(V-20) Ensuite, une évapotranspiration nette est calculée par neutralisation de

l’évapotranspiration grâce à un facteur de modulation de l’ETP (6ème paramètre):

( ) (V-21) La pluie efficace est obtenue grâce à un indice d’humidité du sol qui correspond à un indice des pluies et humidités antérieures :

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Avec l’indice d’humidité et des pluies antérieures qui est exprimé en fonction de la capacité maximale du réservoir (1^er paramètre) par la formule :

(V-23)

La pluie efficace alimente l’écoulement dans les réservoirs de routage, tandis que l’autre partie de la pluie brute sert à satisfaire les pertes par évaporation du bassin versant. La pluie efficace est ensuite divisée en deux composantes d’écoulement, l’une rapide, l’autre lente, chacune étant routée par un hydrogramme unitaire. Ces deux hydrogrammes unitaires en parallèle sont équivalents à deux réservoirs de routage de niveaux initiaux et , se vidangeant de façon linéaire. La répartition de la pluie efficace dans chaque réservoir se fait suivant un paramètre de partage des écoulements . Ainsi ils subissent chacun une partie de la pluie efficace et leurs niveaux respectifs deviennent :

et (V-24)

Les deux réservoirs de routage et se vidangent donc en donnant les écoulements et suivant les formules :

et (V-25 et V-26) Ainsi les niveaux restant dans les réservoirs après vidange deviennent :

et (V-27) Le débit total est obtenu par sommation des deux débits avec un delai

.

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Figure V-2 : Schéma conceptuel du modèle IHAC.

II. C

’

Quel que soit le modèle hydrologique utilisé, il ne permet qu’une représentation simplifiée des processus hydrologiques, et renvoie de ce fait des résultats plus ou moins éloignés de la réalité. Il est donc nécessaire pour l’hydrologue de connaître la marge d’incertitudes associée aux simulations des débits effectuées par le modèle, ce qui permet une évaluation des performances de ce dernier.

L’évaluation des modèles se fait par l’utilisation de critères de performance qui donnent une idée de la capacité du modèle à reproduire la variable d’intérêt. En hydrologie, deux types de critères assez complémentaires sont généralement utilisés : les critères quantitatifs (fonctions numériques) et les critères qualitatifs (graphiques). Il faut noter que pour que l’évaluation d’un modèle soit plus fine, il vaut mieux utiliser

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plusieurs critères; de plus lorsque l’on s’intéresse à une variable particulière de l’hydrogramme, il convient de bien identifier les critères mettant l’accent sur cette caractéristique particulière.

Une autre manière de comparer les modèles et d’analyser a posteriori leurs imperfections consiste à quantifier les erreurs induites par le processus de modélisation. Même si ces méthodes ne permettent pas forcément d’optimiser des paramètres des modèles comme le font les fonctions-objectifs (ou fonctions de coût), elles amènent à renforcer la confiance de l’utilisateur, en évaluant les risques associés à l’application des modèles, et fournissent des éléments nécessaires à une prise de décision efficace en contexte incertain.

II.1. Critères de performance des modèles ou fonctions-objectifs

Parmi les fonctions-objectifs les plus utilisés pour le calage d’un modèle, la fonction calculant le critère de Nash-Sutcliffe (Nash and Sutcliffe,1970) est la plus connue. Les valeurs de ce critère varient dans l’intervalle ] ] (Perrin, 2000; Valent et al., 2014). Il estime l’amélioration d’ajustement que l’on obtient en utilisant le modèle pour simuler les débits par rapport à un modèle ‘zéro’ (modèle de référence) qui donnerait sur toute la période considérée un débit constant égal au débit moyen. Il présente l’avantage d’avoir une interprétation facile ; une valeur du critère de

Nash-Sutcliffe (NS) de 1 signifie que le modèle reproduit parfaitement les débits,

tandis qu’une valeur inférieure à zéro signifie que le modèle n’arrive pas à reproduire le comportement du bassin versant. L’expression de la fonction donnant le critère de Nash est donnée par l’équation (V-29) :

^{∑ ( )}

∑ ( ^̅ ) (V-29)

Où représente la valeur du débit observé au jour , la valeur

correspondante du débit calculée par le modèle, et ̅ _{la moyenne des débits} journaliers observés.

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Le second avantage que présente ce critère réside dans le fait que l’on obtient une appréciation globale de la performance du modèle sur l’ensemble de la période et sur toutes les classes de débits. Cependant, lorsque l’on s’intéresse à des variables spécifiques de l’écoulement il arrive souvent que ce critère ne soit pas le plus adapté.

D’autres fonctions-objectifs accordent par leur formulation une importance plus grande à des classes spécifiques de débits, et la plupart de ces critères proposent une préalable transformation des débits (Nascimento, 1995). Concernant les crues deux approches sont possibles. La première consiste à définir une fonction-objectif ayant une formulation spécifique pour les débits forts, sans prendre en compte les débits moyens ou faibles. Cette approche est peu conseillée car elle revient généralement à ignorer les conditions antérieures à la génération des crues. La seconde approche consiste à définir une fonction qui permette de prendre en compte l’adéquation des débits de pointe tout en gardant une bonne représentation des débits moyens et faibles. A ce sujet, plusieurs fonctions ont été testées dans le cadre d’ajustement des simulations sur les débits extrêmes ( Nascimento, 1995; Lamb, 1999; Cameron et al., 2001; Tan et al., 2005; Paquet et al., 2013; Valent et al., 2014), montrant plus ou moins de performances en fonction des contextes et des modèles utilisés. En raison de la multitude de modèles, de bassins et de fonctions testés et des diverses réponses obtenues, il est difficile de dégager une synthèse claire des résultats obtenus.

Les fonctions critères utilisées dans ce travail ne sont pas toutes référencées, certaines d’entre elles proviennent de travaux antérieurs. La plupart de ces fonctions sont basées sur l’application du coefficient de Nash sur des débits transformés, ou des variables particulières du régime hydrologique. Nous avons, testé et comparé différentes équations de la fonction-objectif afin de voir laquelle permet d’avoir les meilleures performances. En vue de rendre cette comparaison plus claire, nous avons regroupé ces fonctions en trois catégories : les fonctions qui évaluent les performances du modèle d’un point de vue temporel, les fonctions qui évaluent les performances du modèle suivant l’ordre de grandeur des débits et les fonctions composites qui font la combinaison de ces deux aspects. Huit fonctions-objectifs ont ainsi été listées dans le tableau V-3, ainsi que leurs références pour celles ayant déjà été testées dans d’autres études

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