Comme ils l'ont bien montré les exemples présentés dans ce chapitre, l'approche de commande
proposée est une approche particulière de commande prédictive dans laquelle, le problème
d'optimisation à résoudre en ligne est de très faible dimension. En particulier, dans l'ensemble
des exemples montrés, ce problème d'optimisation a été pris scalaire an de pousser la logique
jusqu'au bout. Dans cette section, une idée des temps de calcul par instant de décision
néces-saire pour la mise en ÷uvre en ligne de la loi de commande, est présentée.
L'évaluation du temps de calcul est eectuée sur une machine dotée d'un microprocesseur
intel, à une fréquence d'horloge de 2.5 Ghz. Sur les gures 3.38-3.39 est tracée l'évolution
du temps de calcul (principalement le temps nécessaire pour résoudre le problème
d'optimisa-tion) en fonction des cycles (sachant que le cycle est la période s'étalant entre deux instants
de décision successifs). Dans cette évaluation les trajectoires de référence sont mises à jour
une fois par cycle. Il faut remarquer aussi que les calculs sont eectués sur une plate-forme
visual Fortran 5.0, et les procédures d'optimisation utilisées sont celles de la bibliothèque
numérique IMSL associée à cette plate-forme.
La courbe associée à la première application (système non linéaire dont le linéarisé est
non commandable) est celle de la gure 3.38.(a), la valeur moyenne du temps de calcul, et
celle maximale, évaluées sur 50 cycles sont données par :
¯
t
calc= 0.0168 sec ; t
max= 0.021 sec
Pour la deuxième application (une bille sur un rail), c'est la courbe de la gure 3.38.(b),
qui trace le temps de calcul, les valeurs moyenne et maximale sont respectivement données
par :
¯
t
calc= 0.0567 sec ; t
max= 0.151 sec
En ce qui concerne le pendule inversé (application 3), la courbe du temps de calcul est
celle de la gure 3.39.(a), la valeur moyenne, et la valeur maximale du temps de calcul, sont
données par :
¯
t
calc= 0.0296 sec ; t
max= 0.041 sec
Pour le système de Lorenz (application 4), la courbe qui trace le temps de calcul est celle
de la gure 3.39.(b), l'évaluation de la valeur moyenne et la valeur maximale du temps de
calcul donne :
¯
94
3.6. Conclusion 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 cylessystème non linéaire avec linéarisé non commandable
Temps de calcul [sec]
(a)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16La bille sur le rail
Temps de calcul [sec]
cyles
(b)
Fig. 3.38 Évaluation du temps de calcul : application 1 (a), application 2 (b)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
0.08 Le pendul inversé ECP 505
cyles
Temps de calcul [sec]
(a)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03Le système impulsionnel de Lorenz
cyles
Temps de calcul [sec]
(b)
Fig. 3.39 Évaluation du temps de calcul : application 3 (a), application 4 (b)
3.6 Conclusion
Ce chapitre a fait l'objet d'une présentation de la première approche de commande
dévelop-pée dans le cadre de cette thèse. Il s'agit d'une commande prédictive non linéaire de faible
dimension. Une telle approche est proposée dans le but d'aboutir à une mise en ÷uvre en
temps réel sur des systèmes relativement rapides, ce qui est rarement le cas pour les schémas
de commande prédictive non linéaire.
Plusieurs applications ont été proposées, qui concernent généralement des systèmes
méca-niques sous-actionnés. Cependant, deux applications d'entre elles, constituent de bons exemples
pour des essais en temps réel, à savoir le pendule inversé ECP 505, et le robot bipède rabbit
dans la mesure où les dispositifs correspondant sont à disposition au Laboratoire
d'Automa-tique de Grenoble.
L'approche présentée dans ce chapitre est dédiée à une classe de systèmes hybrides qui
présentent des sauts dans le vecteur d'état. Après avoir présenté l'approche de commande,
une analyse de stabilité du système en boucle fermée a été proposée avec un outil graphique
basé sur une optimisation hors ligne.
L'application de la méthode à la commande du robot marcheur rabbit fera l'objet du
chapitre 5.
96
3.6. ConclusionSignication valeur
θ L'angle de la barre du pendule par rapport à la verticale Variable
x La position du centre de gravité de la barre glissante Variable
l
0Longueur de la barre du pendule, du pivot jusqu'à la barre glissante 0.33 m
m
1La masse complete de la barre glissante, y compris les élément attachés m
10+m
w1m
10La masse de la barre glissante sans les éléments attachés 0.103 kg
m
w1La masse des éléments attachés (poids additifs) 0.110kg
(=0 s'ils sont enlevé)
m
2La masse de l'ensemble sans m
1m
20+m
w2m
w2La masse du contrepoids (÷2: si un seul disque est remonté) 1.0 kg
m
20La masse de l'ensemble mobile sans m
1etm
w20.785 kg
l
c0Position du centre de gravité de l'ensemble pendulaire avec la barre 0.071 m
glissante et sans le contrepoids
l
wdistance signée du pivot au centre de gravité du contrepoids −0.1084 m
l
cPosition du centre de gravité de l'ensemble pendulaire sans la barre
(m20lc0+mw2lw)/m2glissante
l
m1distance entre le pivot et le centre de gravité de la barre glissante variable
α L'angle que fait le c.d.g de la barre glissante avec la barre verticale variable
g La gravité 9.8m/s
2J
0∗[J
0∗=J
0e−m
1l
20]évalué lorsquem
w2= 0 0.0246kg.m
2J
0sLe moment d'inertie de l'ensemble pendulaire sans la barre glissante 0.0246 kg.m
2et le contrepoids par rapport au pivot
J
0eLe moment d'inertie de l'ensemble pendulaire complet
J0s+m1l20+mw2l2 w
par rapport au pivot
k
fLe gain de l'ensemble CNA-amplicateur-moteur-poulie 0.0013 N/DACincr
k
xFacteur de normalisation du codeur de la barre glissante (codeur 2) 50200incr/m
k
aFacteur de normalisation du codeur de la barre verticale (codeur 1) 2546 incr/rad
Chapitre 4
Deuxième approche : commande par la
méthode de Lyapunov
4.1 Introduction
Dans ce chapitre, la deuxième contribution de ce travail sera introduite. Elle consiste en
une approche de commande dite de Lyapunov. Cette deuxième approche est basée sur des
lois de commande avec retour d'état non linéaire. Les lois de commande proposées visent à
stabiliser le système autour certaines trajectoires de référence. L'approche part du principe
qu'un cycle de marche est le résultat d'enchaînement de trois phases de marche consécutives :
la phase de simple support, la phase d'impact et la phase de double support. Son objectif
est de commander le robot bipède en phases principales de simple et de double support, tout
en assurant une stabilité robuste pendant la marche vis-à-vis des impacts qui sont considérés
comme étant des perturbations. La commande en phase de simple support asservit le robot
bipède an qu'il poursuive des trajectoires pré-dénies sur les coordonnées actionnées lui
permettant ainsi de faire un pas en avant. Le système à commander durant cette phase de
marche est doté d'un modèle non linéaire sous-actionné, partiellement linéarisable, ce qui va
provoquer un certain comportement de la dynamique interne résultant de la poursuite des
trajectoires sur les coordonnées actionnées. Ce comportement fait que le tronc (coordonnée
non actionnée) diverge de la verticale, or il est souhaitable de le garder autour de la verticale,
mais puisque la durée de la phase de simple support est limitée ('1 sec) le tronc n'aura pas
le temps d'éloigné trop de la verticale, étant donné qu'il n'a pas une dynamique divergente
en temps ni. C'est ici que le rôle de la phase de double support intervient. En eet, cette
phase est utilisée pour stabiliser le système, et en particulier la dynamique interne (coordonnée
non actionnée). Durant cette phase le système est complètement actionné, voir sur-actionné,
alors une commande est appliquée permettant au bipède de garder le double contact avec le
98
4.1. Introductionsol d'une part, et redresser le tronc verticalement d'autre part. Mais qu'en est-il de la phase
d'impact?
Dans cette approche les impacts sont traités comme étant des perturbations. Autrement dit
les lois de commande en phases de simple support et de double support assurent une
conver-gence asymptotique, et entre ces deux phase vient l'impact rigide qui perturbe le système. Il
introduit des discontinuités sur les vitesses articulaires. Donc dans l'analyse de stabilité du
sys-tème sur le cycle complet de marche, les impacts sont traités comme étant des perturbations.
Ceci se traduit par une stabilité robuste du bipède pendant la marche.
4.1.1 Le cycle de marche
La marche d'un robot bipède consiste en une alternance des jambes. La manière d'interaction
du robot bipède avec le sol dénit ce qu'on appelle les phases de marche. Autrement dit le
simple contact donne lieu à la phase de simple support, le double contact induit la phase
de double support, et la collision du pied de vol avec la sol engendre la phase d'impact. De
cet eet un cycle de marche adopté pour cette approche de commande comporte trois phases
consécutives. Deux phases principales (simple support et double support) séparées par une
phase instantanée dite d'impact. Cette séquence est illustrée sur la gure 4.1.
˙
x=f
2(x) +g
2(x)u
˙
x=f
1(x) +g
1(x)u
x
+= ∆(x
−)
simple support double support
impact
Fig. 4.1 Séquence des phases du cycle de marche
Durant son cycle de marche, le bipède passe par trois phases. Pendant la première, il
ressemble à une chaîne cinématique ouverte, caractérisé par un contact persistant avec la
surface de marche. Alors que pendant la deuxième phase, le phénomène engendré illustre
le passage de la chaîne ouverte à une chaîne fermée (impact avec le sol). Enn, pendant la
troisième phase de marche, il ressemble à une chaîne cinématique fermée, avec deux points de
contact avec le sol.
Dans le document
Quelques contributions à la commande non linéaire des robots marcheurs bipèdes sous-actionnés
(Page 101-107)