Évaluation du SCV .1 Evaluation théorique.1 Evaluation théorique

Dans cette section, nous analysons la probabilité d’observer des collisions de co-ordonnées. Pour cela, nous caractérisons l’espace des coordonnées possibles dans le voisinage d’un nœud et nous calculons l’espérance du nombre de paires de nœuds qui obtiennent la même coordonnée et qui sont dans le voisinage d’un même nœud. Nous supposons que les nœuds sont distribués de manière aléatoire et uniforme sur un plan et qu’un nœud de gradient h a toujours au moins un voisin à h − 1 (%(h − 1) > 0) (c’est-à-dire que le gradient est bien construit : si on a pas de voisin à h−1 c’est qu’on se situe au moins à h+1 et non à h). Comme on ne fait pas d’hypothèse sur la réparti-tion du voisinage d’un nœud, on suppose que la coordonnée est choisie aléatoirement de manière uniforme dans l’espace des coordonnées possibles. Cette dernière hypo-thèse implique que l’on suppose que les positions des voisins des nœuds d’un même voisinage sont indépendantes. Intuitivement, ce n’est pas le cas car deux nœuds très proches géographiquement vont avoir tendance à avoir des voisinages assez similaires. Cette supposition va donc permettre à plus de nœuds d’obtenir des coordonnées dif-férentes. De plus, nous ne prenons pas en compte les collisions dues aux projections dans cette partie, cela signifie que seuls les nœuds qui ont exactement les mêmes proportions de voisins sont en situation de collision. Ces hypothèses impliquent que nous prenons en compte moins de collisions dans l’analyse théorique que celles qui apparaissent en réalité. Cependant, cette analyse nous permet de comprendre quali-tativement comment évolue le nombre de collisions quand le degré du réseau varie. Pour obtenir une estimation quantitative plus réaliste du nombre de collisions, nous évaluons ce paramètre par simulation dans la section 4.2.2.

Caractérisation de l’espace des coordonnées

Tout d’abord, nous caractérisons l’espace des coordonnées. Les nœuds peuvent se différentier grâce à leurs proportions voisins de gradients h − 1, h et h + 1. Nous considérons un nœud avec k voisins qui ont aussi tous k voisins. Les combinaisons possibles de proportions de voisins définissent l’espace des coordonnées. Le nombre de proportions accessibles dépend du nombre de voisins. Si un nœud a 2 voisins, il peut en avoir 0% ou 50% dans l’anneau h (100% n’est pas possible car il y à au moins un voisin dans l’anneau h − 1), s’il a 3 voisins, il peut y avoir 0%, 33% ou 66% dans l’anneau h. Le cardinal de l’espace des coordonnées (noté C) augmente avec le nombre de voisins. La possibilité d’avoir une proportion de voisins avec un gradient donné dépend des proportions dans les autres gradients : par exemple, si un nœud a 3 voisins et qu’il en a 33% dans l’anneau h − 1, il peut en avoir 33% dans l’anneau h et 33% dans l’anneau h + 1, ou 66% dans h et 0% dans h + 1, ou encore 0% dans h et 66% dans h + 1, il n’y pas d’autres possibilités.

Nous avons donc %(h − 1) + %h + %(h + 1) = 1 qui peut être écrit :

m1

k + o¹

k + p¹

k = 1 (4.6)

avec m + o + p = k, et k le nombre de nœuds dans un voisinage, m ∈ [1, k] et o,

p ∈ [0, k] respectivement le nombre de voisins dans h − 1, h et h + 1. Si m est fixé nous avons k − m = o + p donc

o = (k − m) et p = 0 ou bien o = (k − m − 1) et p = 1 ... ou bien o = 0 et p = (k − m)          k− m + 1 possibilités

Nous sommons le nombre de possibilités pour chaque valeur de m :

k X m=1 k− m + 1 = k + (k − 1) + ... + 1 = ^{k(k + 1)}₂ C = ^{k(k + 1)} 2 ^(4.7)

Espérance du nombre de collisions

Nous voulons obtenir l’espérance du nombre de collisions en fonction du nombre de voisins des nœuds du réseau (noté k). Si nous supposons que les coordonnées sont tirées de manière uniforme dans l’espace de coordonnées, dans un voisinage de

k nœuds, la probabilité qu’un nœud donné i ait la même coordonnée qu’un nœud

j est donnée par 1

C. Posons Xij, une variable aléatoire tel que Xij = 1 s’il y a une collision entre i et j et Xij = 0 sinon, la variable aléatoire X = P

i6=jXij représente donc le nombre de paires de nœuds en collision pour un réseau de degré k. On note ici qu’en comptant le nombre de paires de nœuds en collisions on surestime le nombre

de collisions : prenons trois nœuds a, b et c qui ont la même coordonnée (ils sont en collision), en comptant le nombre de paires de nœuds en collision on compte la collision entre a et b, a et c et b et c donc trois collisions au lieu d’une. On a dans ce cas l’espérance du nombre de collisions E[X] =P

i6=jE[Xij] : E[X] = ^k₂ ! 1 C = ^k! 2!(k − 2)! 2 k(k + 1) ⁼ k− 1 k+ 1 ^(4.8) car C = k(k + 1)/2. On note que

lim

k→+∞

k− 1

k+ 1 ^{= 1 (4.9)}

Figure4.5 – Espérance du nombre de collisions en fonction de la taille d’un voisinage

La Figure 4.5 représente un tracé de l’équation 4.8 en fonction du nombre de voisins k. La courbe reste toujours en-dessous de la valeur 1, E[X] est bornée par la valeur 1. L’espérance du nombre de collisions dans un 2-voisinage ne dépend donc pas du degré moyen du réseau. Cependant, en réalité il y a plus de collisions en moyenne comme nous le montrons dans la section 4.2.2. C’est dû aux collisions induites par la projection (cf. section 4.1.3), au fait que les répartitions des voisins des nœuds qui sont voisins ne sont pas indépendantes et aussi au fait que l’implémentation utilise des coordonnées à précision finie. Ce résultat reste tout de même intéressant, car il montre que le nombre de collisions devrait rester stable quand le degré du réseau augmente.

4.2.2 Evaluation par simulations

Dans cette section, nous évaluons par simulation le nombre de collisions obtenues après une initialisation du réseau. De cette manière, nous confirmons le résultat de la section théorique (le nombre de collisions reste stable quand le degré du réseau augmente), tout en obtenant des valeurs plus réalistes. Pour réaliser les simulations, nous utilisons le simulateur à événements discret WSNet [WSNet, 2009]. Ce simu-lateur permet d’évaluer les réseaux sans fil large échelle, il implémente notamment de nombreux modèles de propagation (two-ray ground, nakagami, log-normal

shado-wing, etc). Nous simulons un réseau dans une aire de 50× 50 unités de surface avec le puits à (25, 25), le rayon de communication est de 10 unités (on choisit une aire relativement petite car cela permet de limiter les durées de simulation : on peut avoir une forte augmentation du degré, en ayant une augmentation relativement faible du nombre de nœuds). Les simulations sont effectuées avec deux modèles de propaga-tion différents. Le modèle de pertes en espace libre (free space [Goldsmith, 2005]) qui ne prend pas en compte le phénomène de fading, et le modèle log-normal shadowing [Zuniga and Krishnamachari, 2004] présenté dans le Chapitre 3. Dans les deux cas, les interférences des autres nœuds sont prises en compte. Nous simulons le protocole d’initialisation précédemment décrit avec un nombre de nœuds variant de 50 à 750 placés aléatoirement sur une aire de 50x50 unités de longueur (pour chaque nombre de nœuds on effectue 20 simulations), cela permet de faire varier la densité du réseau et donc le degré car la puissance de transmission reste constante. Cela produit des réseaux avec entre 3 et 5 sauts maximum pour atteindre le puits en fonction des topologies.

Le but de cette évaluation de performances est d’évaluer le nombre de collisions de coordonnées résultant de la méthode de construction que nous proposons. Dans le si-mulateur, les coordonnées sont stockées sous forme de nombres à virgule flottante avec une précision finie, cela peut provoquer des collisions. Ces collisions ne proviennent pas directement de notre méthode, mais elles doivent être prises en compte car elles apparaissent nécessairement lors de l’implémentation.

Modèle de pertes en espace libre

La figure 4.6 représente le nombre moyen de collisions dans le voisinage d’un nœud en fonction de son degré. Pour un nœud donné nous comptons le nombre de fois où plusieurs de ses voisins ont la même coordonnée. Ce nombre reste stable quand le degré du réseau augmente, cela confirme le résultat théorique de la section 4.2.1. Cependant, le nombre moyen de collisions est plus important que celui prédit dans l’analyse théorique. Cela est dû aux hypothèses décrites dans la section 4.2.1 ainsi qu’aux sources de collisions que nous ne prenons pas en compte dans le modèle théorique (précision finie, projection, etc). À partir de ces résultats, on peut déduire que notre solution est plus performante dans les réseaux de fort degré car un nœud a moins de voisins en collision en proportion : le nombre moyen de collisions dans le voisinage d’un nœud est environ 2, si l’on fait l’hypothèse que les collisions impliquent seulement des paires de nœuds. Cela signifie qu’en moyenne un nœud à 4 voisins en

Figure 4.6 – Nombre moyen de collisions (les barres d’erreurs correspondent à deux fois l’écart type) en fonction de la densité du réseau pour le modèle pertes en espace libre.

situation de collision. Donc pour un voisinage de 10 nœuds cela fait 40% des voisins en collision et pour un voisinage de 100 nœuds, cela fait 4% des voisins.

Modèle log-normal shadowing

La figure 4.7 représente le nombre moyen de collisions dans le voisinage d’un nœud en fonction de son degré avec le modèle de propagation log-normal shadowing. Dans ce cas, le nombre de collisions est légèrement moins important que dans le cas du modèle de pertes en espace libre. C’est dû au fait que le modèle de propagation ajoute de l’aléa dans la composition des voisinages. De cette façon, des nœuds voisins ont moins de chances d’avoir la même répartition de voisins. On constate que le nombre de collisions, même s’il augmente légèrement, reste assez stable quand le degré du réseau augmente.

Comme évoqué précédemment, ces collisions sont un problème car on veut pouvoir discriminer les nœuds dans un 2-voisinage. D’un autre côté, il y a peu de collisions, on constate qu’au moins 95% des valeurs entre 20 et 90 voisins sont en-dessous de 3 avec les deux modèles de propagation.