L’introduction et la prise en compte des incertitudes liées aux paramètres physiques ou méca-niques apparaissent comme un critère permettant d’évaluer la fiabilité structurale. De ce fait, la procédure probabiliste constitue une alternative aux approches déterministes ou semi-probabilistes (utilisation de coefficients partiels de sécurité). Dans la méthode probabiliste, une probabilité de dé-faillance élevée ou un faible indice de fiabilité n’entraîne pas forcément une dédé-faillance imminente vis-à-vis d’un mode de défaillance donné. Par contre, il indique que des actions de maintenance, de surveillance, de réparation, de réhabilitation ou de renforcement sont nécessaires au risque d’encourir à un dysfonctionnement global.
La plupart des études d’évaluation de la fiabilité structurale est basée sur la vérification des élé-ments de structure, sous condition de disposer d’une caractérisation probabiliste des paramètres et d’un état limite explicite. C’est ce qui se réalise au travers des approches de fiabilité comme les mé-thodes de niveau II auxquelles appartiennent les mémé-thodes F ORM et SORM . La fonction d’état limite peut être évaluée également par calculs numériques (méthodes aux différences finies, aux élé-ments finis. . . ). La combinaison des méthodes de fiabilité et le calcul aux éléélé-ments finis est appelée méthode de fiabilité aux éléments finis. Gallimard[2011] a utilisé une méthode de fiabilité du pre-mier ordre (F ORM ) en conjonction avec une analyse EF pour calculer la probabilité de défaillance d’une plaque fissurée en traction. L’analyse combinée EF et fiabilité présentée permet d’obtenir des encadrements de l’indice de fiabilité et de calculer la probabilité de défaillance.Humbert et al.[2010] ont combiné un modèle EF et une approche probabiliste. Le modèle EF est fondé sur des essais d’arrachement des barres d’acier encastrées dans des éprouvettes en béton avec différentes longueurs d’ancrage. Cette étude offre une analyse complémentaire à d’autres études déterministes de ce pro-blème mécaniquement non linéaire. D’autres méthodes peuvent être utilisées pour évaluer la fiabilité structurale, comme la procédure par surfaces de réponse consistant à construire la fonction d’état li-mite en utilisant un polynôme ajusté aux résultats d’un nombre limité de calculs aux éléments finis. Le calcul en fiabilité des structures complexes peut recourir à des simulations numériques de type Monte-Carlo. Cette méthode implique des tirages en grand nombre avec des appels conséquents au code de calcul, entrainant un long temps de calcul. Ces procédures de type Monte-Carlo (même dans leurs versions optimisées, comme les techniques de tirage d’importance ou conditionné) deviennent vite prohibitives pour le calcul d’un ouvrage complexe. Cette approche se complique davantage dans les cas où plusieurs modes de défaillance doivent être considérés de manière simultanée. Cet effet système est cependant essentiel dans l’étude de la fiabilité d’ouvrages.
Cette partie présente les différentes techniques de calculs classiques en fiabilité : méthodes de niveau II (FORM, SORM) ou III (Monte-Carlo).
2.1.1 Variables aléatoires
Pour l’étude de la fiabilité des structures, les paramètres incertains sont considérés comme des variables aléatoires. Les incertitudes peuvent provenir des variabilités liées aux chargements appliqués ou au processus de réalisation du système considéré. La sélection des variables aléatoires est faite en fonction du matériau étudié (comportement mécanique) et du système considéré (actions). Notons que ces variables aléatoires sont en général regroupées dans un vecteur, appelé vecteur des variables de base et noté X. Ces variables aléatoires sont définies dans ce que l’on appelle espace physique. Les variables aléatoires peuvent avoir un impact significatif sur le mode de fonctionnement de la structure qui se traduit au niveau local par l’occurrence d’un mode de défaillance et de manière globale par un mécanisme de ruine.
2.1.2 Mode de défaillance
Lorsque qu’un élément de structure n’assure plus une de ses fonctions alors un mode de dé-faillance élémentaire se produit. Plusieurs phénomènes physiques tels que la plastification, la fissu-ration, la fatigue, le fluage et les grandes déformations peuvent être à l’origine d’une défaillance. Chacun des phénomènes cités précédemment ou leur combinaison peut représenter un mode de dé-faillance. Dans la plupart des publications les chercheurs se placent dans le cas des structures ayant un seul mode de défaillance (par exemple : rupture fragile ou rotule plastique).
2.1.3 Fonction d’état limite
La modélisation probabiliste d’un mode de défaillance se fait par la définition d’une fonction d’état limite G(X). Cette fonction d’état limite correspond à l’équilibre entre la ressource et le besoin. Elle permet la réalisation d’une partition de l’espace physique en deux domaines : la sûreté et la défaillance. Le vecteur X regroupe les paramètres incertains d’entrée modélisés par des variables aléatoires X(w) = {X1, ..., Xn}, où w représente l’aléa, à valeur dans l’espace dit "physique", Xn ⊂
Rn. Pour un aléa fixé, les réalisations de ce vecteur sont notées x = {x1, ..., xn} ∈ Xn. Ainsi on a : — G(X) > 0 représente le domaine de sûreté de la structure ;
— G(X) < 0 définit le domaine de défaillance de la structure ; — G(X) = 0 constitue la frontière appelée surface d’état limite.
La FigureI.12montre que le système considéré possède deux états possibles : acceptables ou de fonctionnement et inacceptable ou de défaillance.
FIGURE I.12 – Domaine de sûreté et de défaillance dans le cas de deux variables aléatoires
Lorsque les composants du vecteur X de variables aléatoires est supérieur ou égal à 2 alors l’état limite est une hypersurface de l’espace physique (x = {x1, ..., xn}). Pour la clarté, de nombreuses hypothèses sont progressivement introduites et le nombre de variables aléatoires est finalement limité à 2 :
— une variable aléatoire résistance R, dont une réalisation est r ; — une variable aléatoire sollicitation S, dont une réalisation est s.
L’écriture de la fonction d’état limite G(X) dans l’espace initial dit "des variables physiques" est :
G(R, S) = R − |S| ≤ 0. (I.19)
2.1.4 Transformations isoprobabilistes
Selon Thoft-Christensen and Murotsu [1986], toute application permettant de substituer la mé-trique de l’espace physique par une mémé-trique normée, tout en conservant la valeur de la probabilité en chacun des points de cet espace, est appelé transformation isoprobabiliste FigureI.13.
FIGUREI.13 – Transformation des variables de base (Mansouri[2013])
Les variables aléatoires X (corrélées ou non) de l’espace physique suivant une loi quelconque, sont transformées en des variables aléatoires centrées réduites et indépendantes U . Ces dernières dé-finissent les vecteurs de base de l’espace normé. L’espace transformé est adapté pour effectuer les calculs de probabilité. En effet, les difficultés liées aux domaines de définition des densités des va-riables aléatoires de l’espace physiques sont évitées, par exemple dans le cas de la densité gaussienne où le support est infini.
Quelques transformations possibles de l’espace physique vers l’espace des variables normées en fonction de l’information disponible sur les lois des vecteurs aléatoires sont données dans le Ta-bleauI.1.
TABLEI.1 – Bilan des différentes transformationsLemaire[2005]
Information disponible Transformation Remarques
loi conjointe du vecteur Xi Rosenblatt transformation non unique
lois marginales de Xi information suffisante pour
et corrélation cor[Xi, Xj] loi normale Xinormale et log-normale, corrélation prise en compte directement
lois marginales de Xi information suffisante pour
et corrélation cor[Xi, Xj] Nataf Xi normale et log-normale, corrélation équivalente à calculer
moments marginaux de Xi base de décomposition
2.1.5 Probabilité de défaillance
Les variables aléatoires sont définies par leur fonction de densité de probabilité notée fX(d, X). Selon Aoues [2008], la probabilité de défaillance Pf, associée à la marge G, est le poids probabi-liste de la partie de l’espace constitué par le domaine de défaillance (G ≤ 0). Autrement dit, cette probabilité est l’intégration de la densité conjointe de probabilité sur le domaine de défaillance :
pf = P rob(Gi ≤ 0) =
Z G(X)≤0
fX(x1, ..., xn) dx1....dxn (I.20) L’illustration de l’Equation (I.20) est donnée sur la FigureI.14dans laquelle la densité conjointe de probabilité des variables aléatoires est Gaussienne. Le poids probabiliste Pf est le volume situé sous la partie grisée.
FIGUREI.14 – Distribution conjointe et probabilité de défaillance (Aoues[2008])
Dans l’Equation (I.20), l’expression fX(x1, ..., xn) représente la densité conjointe du vecteur des variables aléatoires. Dans le cas où elles sont indépendantes alors la densité de probabilité conjointe est égale au produit de toutes les densités de chaque variable.
fX(x1, ..., xn) = Πni=1fXi(xi) (I.21)
L’Equation (I.20) est l’expression générale de la probabilité de défaillance. Son estimation n’est pas une tâche facile car deux exigences sont rarement satisfaites, à savoir, la connaissance de la densité conjointe de probabilité du vecteur X et la possibilité de l’intégration directe (Dehmous[2007]). Pour pallier ces deux difficultés, il existe plusieurs méthodes de calcul afin de déterminer la probabilité de défaillance. Il s’agit des méthodes d’approximation, des méthodes de simulation, des méthodes de calcul des moments statistiques et des méta-modèles (Dehmous[2007],Lemaire[2005],Lind[1996],
Mansouri[2013],Thoft-Christensen and Murotsu[1986]).
Parmi les techniques pouvant évaluer la probabilité de défaillance, nous présentons la méthode d’approximation First Order Reliability Method (FORM) et les simulations numériques de Monte-Carlo.
2.1.6 Méthode d’approximation : FORM
L’approximation du premier ordre FORM est une méthode de calcul de la probabilité de dé-faillance. Pour ce faire, l’indice de fiabilité β défini comme la distance de l’origine O au point P∗ le plus proche de l’origine sur la surface d’état limite est recherché (Hasofer and Lind [1974]). P∗ est le point de la frontière entre le domaine des états acceptables et celui des états inacceptables, le plus proche de l’origine dans l’espace dit "transformé" des variable centrées (Figure I.13). Ainsi, β est solution du problème de minimisation sous contrainte suivant :
β = min (
s X
i
u2
i ) avec H(U ) ≤ 0 (I.22) où H(U ) est la surface d’état limite dans l’espace transformé (Figure I.15). U représente le vecteur des variables aléatoires réduites et indépendantes dans l’espace transformé.
FIGURE I.15 – Principe de la méthode FORM.
La surface d’état limite H(U ) = 0 est approximée par un hyperplan tangent au point de conception (FigureI.15). L’expression de l’hyperplan est :
Σni=1αiui+ β = 0 (I.23) où α représente le gradient normalisé de la fonction d’état limite, évalué au point de conception :
α = OH(u∗)
k OH(u∗) k (I.24) La valeur de β est associée à la probabilité de défaillance :
pf = Φ(−β) = 0.5 × (1 + erf (−qβ (2)
)) (I.25) où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et erf () représente la fonction erreur.
2.1.7 Méthode de simulation : Monte-Carlo
Les méthodes de simulation numérique ont pris un essor important avec l’avènement des ordi-nateurs et leur puissance de calcul toujours plus importante. En ingénierie, des simulations peuvent être effectuées afin d’étudier la performance d’un système. En particulier, la méthode de Monte-Carlo (M C) est la plus connue pour estimer la probabilité de défaillance (FigureI.16).
FIGURE I.16 – Tirages Monte-Carlo (Beaucaire[2012])
Le principe de la méthode de simulation de M C consiste à effectuer des tirages aléatoires dans l’espace des variables physiques. Pour chacun des tirages, la fonction d’état limite est évaluée afin de conclure si la configuration est dans le domaine de sûreté ou dans le domaine de défaillance. Par comptage des défaillances, on peut estimer la probabilité recherchée. SelonLemaire[2005], l’intérêt majeur de cette démarche est que son résultat est souvent considéré comme le résultat de référence par rapport aux approximations analytiques car il s’agit d’une méthode universelle.
La simulation de Monte-Carlo présente avant tout l’avantage d’une simplicité de mise en œuvre et d’une absence d’exigences mathématiques spécifiques pour la fonction d’état limite. Elle présente également l’avantage d’une convergence sûre. Elle constitue un moyen coûteux en termes de temps de calcul car la convergence est lente. Ainsi, il existe plusieurs variantes de la simulation de Monte-Carlo, visant à optimiser les stratégies de tirs dans le but de réduire le coût de calcul. Il s’agit par exemple des méthodes de tirage d’importance et de tirage directionnel.
Le tirage d’importance consiste à réduire la variance en utilisant une densité de probabilité auxi-liaire qui permet de concentrer les tirages dans les domaines les plus importants du point de vue de la défaillance. Le fondement du tirage directionnel réside dans la notion de probabilité condition-nelle (FigureI.17). La méthode de simulation par subsets (SS - Subsets Simulation) a été également développée. Il s’agit d’un algorithme de simulation stochastique pour calculer efficacement les pro-babilités relatives à de rares événements de défaillance (Dang et al. [2012]). Dang [2014] a vérifié l’applicabilité de la méthode de simulation par subset dans le contexte des études probabilistes du risque sismique.
(a) (b)
FIGUREI.17 – Tirage : (a) d’importance ; (b) directionnel (Mohammadkhani-Shali[2007])