Limites des fonctions de la variable réelle 4.1 Définition de la limite et propriétés
6.5. ÉTUDES DE QUELQUES FONCTIONS USUELLES
Proposition 6.43. f est une fonction dérivable sur R (et donc continue sur R), strictement décroissante sur ] − ∞,2ab [ et strictement croissante sur [−
b
2a, +∞[.
Son unique minimum est atteint en −2ab et il vaut c − 4ab22.
6.5.2. Les fonctions logarithme et exponentielle. On rappelle que le lo- garithme népérien est défini par :
∀x > 0 ln(x) = Z x
1
1 udu .
Nous montrerons plus tard que, comme ]0, +∞[3 u 7→ u1 ∈ R est continue, ln est bien définie et dérivable sur ]0, +∞[ et de dérivée ln0(x) = 1x, pour tout x > 0. La fonction ln est donc strictement croissante sur ]0, +∞[. Elle est aussi continue car dérivable. On observe que ln(1) = 0.
Proposition 6.44. Pour tout x, y > 0, on a : ln(xy) = ln(x) + ln(y).
Démonstration. Soit y > 0 et, pour x > 0, fy(x) = ln(xy). Par composition,
fy est dérivable sur ]0, +∞[ et fy0(x) = 1 x = ln
0
(x). Il : s’ensuite que fy − ln est
constante sur l’intervalle ]0, +∞[. Pour tout y > 0, il existe donc cy ∈ R tel que
pour tout x > 0, ln(xy) = ln(x) + cy. La fonction c(·) = ln(x·) − ln(·) est dérivable
sur ]0, +∞[ de dérivée c0(y) = 1y si bien qu’il existe une constante a telle que, pour tout y > 0, c(y) = ln(y) + a. On a a = c(1) = 0. La fonction ln :]0, +∞[→ R, étant continue et strictement croissante (de limite −∞ en 0 et +∞ en +∞, par la Proposition 4.27), elle est une bijection. Sa bijection réciproque est exp : R →]0, +∞[. Elle est dérivable par la Proposition 6.41 et sa dérivée vaut, pour tout y ∈ R, exp0(y) = ln0(exp(y))1 = exp(y). La fonction exp est strictement croissante et limx→−∞exp = 0 et limx→+∞exp(x) = +∞.
y = exp(x) x y • 1.5 • • exp(1.5) • 1 •1 y x x = ln(y) • e1.5 • • 1.5 = ln(e1.5) y = x
Figure 5. Courbes représentatives des fonctions exp et ln.
Proposition 6.45. On a, pour tout x, y ∈ R, exp(x + y) = exp(x) exp(y). Démonstration. C’est une conséquence de la Proposition 6.44. Proposition 6.46. Si f : R → R est dérivable en 0 de dérivée f0(0) = 1 et satisfait, pour tout x, y ∈ R, f (x + y) = f (x)f (y), alors f = exp.
66 6. DÉRIVABILITÉ
Démonstration. Il est facile de voir que f (0)2 = f (0) et que si f (0) = 0, alors f est identiquement nulle. On a donc f (0) = 1. Par la preuve de la Proposition 6.20, on obtient que f est dérivable sur R et que f0 = f . Si on pose, pour tout x ∈ R, g(x) = f (x) exp(−x), on en déduit facilement que g0(x) = 0 pour tout x ∈ R. g est
donc constante égale à g(0) = 1.
Lemme 6.47. On a limx→0x ln x = 0.
Démonstration. On définit, pour x > 0, f (x) = x ln x. On a, pour tout x > 0, f0(x) = ln x + 1. Sur ] − ∞, e[, la dérivée est strictement négative et donc f y est strictement décroissante ; f possède donc une limite finie ou −∞ en 0. Pour n ∈ N, on pose un = 2−n (u tend vers 0 par valeurs supérieures). Par la caractérisation
séquentielle de la limite, on sait que (f (un)) tend vers la limite de f en 0. Or, on a,
f (un) = −n2−nln 2. Il est aisé (voir l’Exemple 2.28) de montrer que cette suite tend
vers 0 quand n tend vers +∞.
Définition 6.48. Pour a, x > 0, on pose : xa= exp(a ln(x)). Proposition 6.49. On a, pour tout a > 0 : limx→+∞xae−x = 0.
Démonstration. Par définition, on a
xae−x = e−x+a ln x = ex(−1−ax−1ln x−1).
On conclut grâce au Lemme 6.47 et une composition de limites. Proposition 6.50. Soit a > 0 et f :]0, +∞[3 x 7→ xa ∈]0, +∞[. f est stricte- ment croissante et dérivable de dérivée f0(x) = axa−1.
Démonstration. C’est une conséquence de la Proposition 6.13. Proposition 6.51. On a, pour tout α > 0 : limx→0xαln(x) = 0.
Proposition 6.52. Soit a > 0, a 6= 1. Les propriétés suivantes sont vérifiées : (1) la fonction x ∈ R 7→ ax est dérivable sur R, de dérivée (ax)0 = ln(a)ax. Elle
est strictement monotone, de sens donné par le signe de ln(a) :
x −∞ +∞ variations de ax quand a > 1 0 +∞ x −∞ +∞ variations de ax quand 0 < a < 1 +∞ 0 (2) la fonction x ∈ R 7→ ax est une bijection de R sur ]0, +∞[ ;
(3) ∀x, y ∈ R, ax+y = ax× ay;
(4) a0 = 1 ;
(5) ∀x ∈ R, ln(ax) = x ln(a) ;
(6) ∀x ∈ R, a−x = 1 ax ;
(7) pour tout réel b > 0, ∀x ∈ R, (ab)x = ax× bx.
6.5. ÉTUDES DE QUELQUES FONCTIONS USUELLES 67
6.5.3. Les fonctions sinus et cosinus hyperboliques. On définit, pour x ∈ R, cosh(x) = e x+ e−x 2 , sinh(x) = ex− e−x 2 .
La proposition suivante se déduit aisément des propriétés de l’exponentielle.
Proposition 6.53. La fonction cosh est paire et la fonction sinh est impaire. Elles sont toutes deux dérivables sur R de dérivées cosh0 = sinh et sinh0 = cosh. La fonction sinh est strictement croissante sur R et la fonction cosh est strictement croissante sur ]0, +∞[. On a
lim
x→±∞cosh(x) = +∞ , x→±∞lim sinh(x) = ±∞ .
Définition 6.54. On définit argcosh comme la fonction réciproque de cosh : [0, +∞[→ [1, +∞[ et argsinh la bijection récriproque de sinh.
Proposition 6.55. On a :
∀x > 1 , argcosh(x) = ln(x +√x2− 1) ,
et
∀x ∈ R , argsinh(x) = ln(x +√x2+ 1) .
De plus, pour x > 1, argcosh0(x) = √ 1
x2−1 et pour x ∈ R, argsinh
0
(x) = √ 1 x2+1. Démonstration. Examinons le cas de argsinh. Soit y ∈ R. Cherchons x ∈ R tel que y = sinh(x). On sait déjà qu’un tel x est unique. On a donc :
y = e
x− e−x
2 .
Cela est équivalent à :
e2x− 2yex− 1 = 0 . On pose X = ex et on veut résoudre :
X2 − 2yX − 1 = 0 .
Le discriminant est ∆ = 4(y2+ 1) > 0. La seule racine positive est :
X1 = y +
p
1 + y2.
La conclusion s’ensuit de manière élémentaire. On traite de même argcosh. 6.5.4. Les fonctions sinus et cosinus. On a déjà vu que les fonctions sin et cos sont définies sur R, dérivables sur R, de période 2π et que cos0 = − sin, sin0 = cos. On rappelle aussi l’Exemple B.13.
Proposition 6.56. La fonction sin : −π2, π
2 → [−1, 1] est une bijection stric-
tement croissante. Sa bijection réciproque est notée arcsin et elle est dérivable sur ] − 1, 1[ de dérivée :
∀x ∈] − 1, 1[ , arcsin0(x) = √ 1 1 − x2 .
Démonstration. On sait déjà que la fonction sin est dérivable sur R et que sin0 = cos. Il s’agit de montrer que cos ne s’annule pas sur ] −π2,π2[ ; cela peut être montré en considérant l’Exemple B.13. Par continuité et du fait que cos(0) > 0, on en déduit que cos > 0 sur ] −π2,π2[. Le reste de la preuve est une conséquence de la
Proposition 6.41.
68 6. DÉRIVABILITÉ
Proposition 6.57. La fonction cos : [0, π] → [−1, 1] est une bijection stricte- ment décroissante. Sa bijection réciproque est notée arccos et elle est dérivable sur ] − 1, 1[ de dérivée :
∀x ∈] − 1, 1[ , arccos0(x) = −√ 1 1 − x2 .
6.5.5. La fonction tangente.
Proposition 6.58. La fonction tan :−π2,π2 → R est une bijection strictement croissante et dérivable, dont la dérivée vaut tan0(x) = 1 + tan2(x) pour tout x ∈
−π 2,
π
2. Sa bijection réciproque est notée arctan : R → − π 2,
π
2, elle est dérivable
sur R et, pour tout x ∈ R, arctan0(x) = 1+x1 2.
Démonstration. Il s’agit de dériver un quotient et de dériver une bijection
réciproque.
6.6. Exercices Exercice 87
1- Montrer que la fonction f (x) = x3 est dérivable en tout réel x
0 et que f0(x0) =
3x2
0. On pourra montrer que a3− b3 = (a − b)(a2+ ab + b2).
2- Montrer que la fonction f (x) = √x est dérivable en tout réel x0 > 0 et que
f0(x0) =
1 2√x0
. On pourra penser à utiliser l’expression conjuguée de √a −√b. 3- Montrer que la fonction f (x) =√x est continue en 0 mais non dérivable.
4- Calculer l’équation de la tangente (T2) à la courbe d’équation y = x3− x2− x au
point d’abscisse x = 2. Calculer a afin que la tangente (Ta) au point x = a soit
parallèle à (T2).
5- Montrer que si une fonction f est paire et dérivable, alors f0 est une fonction impaire.
Exercice 88
Les fonctions suivantes prolongées par continuité en 0 sont-elles dérivables en 0 et le cas échéant deux fois dérivable en 0 ?
(1) f (x) = x sin 1
x si x 6= 0 et f (0) = 0, (2) g(x) = x2sin1
x si x 6= 0 et g(0) = 0. Exercice 89
Calculer les dérivées des fonctions suivantes (on pourra donner le domaine de dérivabilité) : 1- x 7→ x2ex et x 7→ x2(1 + x)5 2- x 7→ (2x2+√x + 1)ex et x 7→ ln |x| 3- x 7→ 1 (x + 1)2 et x 7→ sin x (cos x + 2)4 4- x 7→ x 2+ 1 (x + 1)2 et x 7→ x n−1ln x 5- x 7→ ln 1 + sin(x) 1 − sin(x) et x 7→√x ln x
6.6. EXERCICES 69
6- x 7→√x2 + 1 et x 7→ (2x3+√x2+ 1 + 1)2
7- x 7→ ln(x2− 1) et x 7→ ex2
8- x 7→ tan(x/2) et x 7→ tan2(x/2) Exercice 90
On définit la fonction f par : f (x) = 1 − cos x
x pour x > 0 et f (0) = 0 . 1- Calculer la limite de f en +∞.
2- Calculer la limite de f en 0.
3- Montrer que la fonction f est continue en 0.
4- Montrer que la fonction f est continue sur [0; +∞[. 5- Montrer que f est dérivable en 0.
6- Montrer que la fonction f est dérivable sur [0; +∞[. 7- La fonction f0 est-elle continue sur [0; +∞[ ?
Exercice 91
Etudier la fonction f (x) = x5− 5x + 1 définie sur R. En déduire que l’équation x5− 5x + 1 = 0 admet trois solutions réelles distinctes.
Exercice 92
Calculer les limites suivantes quand x tend vers 0 : a. sin 2x x b. x − sin x x c. cos x − 1 x2 Exercice 93 Soit f (x) = x 3 3 + x2
2 − 2x + 2. Étudier la fonction f . Tracer son graphe. Montrer que f admet un minimum local et un maximum local.
Exercice 94
Déterminer les extremums de f (x) = x4− x3+ 1 sur [−1, 1] puis sur R.
Exercice 95
(1) Soit f (x) =√x. Appliquer le théorème des accroissements finis sur l’inter- valle [100, 101]. En déduire l’encadrement 10 + 1
22 < √
101 < 10 + 1 20. (2) Soit f (x) = ex. Que donne l’inégalité des accroissements finis sur [0, x] ?
Exercice 96
Dans l’application du théorème des accroissements finis à la fonction f (x) = αx2+ βx + γ
sur l’intervalle [a, b] préciser le nombre “c” de ]a, b[. Donner une interprétation géo- métrique.
Exercice 97
Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que : (1) ex > 1 + x pour tout réel x.
70 6. DÉRIVABILITÉ
(2) ln x6 x − 1 pour tout réel x > 0. (3) | sin x| 6 x pour tout réel x.
(4) Montrer que pour tout réel positif x, on a √1 + x 6 1 + x 2. Exercice 98
1- La fonction R \ {0} 3 x 7→ ln |x| ∈ R est-elle dérivable sur son domaine de définition ? 2- On considère l’expression 1 2ln x + 1 x − 1 .
Montrer qu’elle permet de définir une application f (dont on précisera le domaine de départ et le domaine d’arrivée).
3- Montrer que f est dérivable et calculer sa dérivée. Exercice 99
On pose D = R \13 . Soit f : D → R la fonction définie par
∀x ∈ D , f (x) = 2x 3x − 1 . 1- Déterminer f (D).
2- La fonction f est-elle injective ?
3- On considère g : D 3 x 7→ f (x) ∈ f (D). Expliquer pourquoi g est bijective et expliciter sa réciproque.
4- Esquisser les graphes de g et g−1 sur un même dessin. Exercice 100
On pose I =] − 3, +∞[ et on considère I 3 x 7→ f (x) = 5 − 12x − 2x2 ∈ R. 1- Montrer que f est strictement décroissante et réalise une bijection sur son image
(bijection qu’on appellera encore f ). Donner la bijection réciproque. 2- Esquisser le graphe de f et le graphe de son inverse sur un même dessin.
Exercice 101
On considère les fonctions définies sur R et à valeurs dans R par : ∀x ∈ R sinh(x) = e
x− e−x
2 , cosh(x) =
ex+ e−x
2 .
1- a- Établir que, pour tout (a, b) ∈ R2,
cosh(a + b) = cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b) . b- Montrer que, pour tout x ∈ R, cosh2x − sinh2x = 1.
2- a- Montrer que sinh : R → R est une bijection et donner l’expression explicite de sa bijection réciproque, notée argsh.
b- Calculer la dérivée de argsh.
c- La fonction cosh : R → R est-elle surjective, injective ?
d- On considère maintenant cosh : [0, +∞[→ [1, +∞[. Montrer que la fonction est bien définie et qu’il s’agit d’une bijection dont on calculera la réciproque, notée argch.
?? SUITES RÉELLES DÉFINIES DE MANIÈRE IMPLICITE 71
e- Calculer la dérivée de argch. Exercice 102
Trouver des exemples numériques pour montrer qu’en général arctan(x) 6= arcsin(x)
arccos(x). Exercice 103
Simplifier les expressions suivantes : 1- sin(arcsin(x)), pour x ∈ R, 2- arcsin(sin(x)), pour x ∈ [−π2,π2], 3- arcsin(sin(x)), pour x ∈ [π, 3π], 4- arcsin(sin(x)), pour x ∈ [3π2, 5π2], 5- cos(arcsin(x)), 6- sin(arctan(x)). Exercice 104
Donner le domaine où les fonctions suivantes sont définies et dérivables et déter- miner la dérivée sur ce domaine :
(a) f1(x) = x ln(x) + arcsin(x 2); (b) arctan x + 1 x ; (c) arccos(2x2− 1) .
?? Suites réelles définies de manière implicite Exercice 105
On définit la fonction f :]0, +∞[→ R par f (x) = x + ln(x), pour tout x > 0. 1- Montrer que, pour tout n ∈ N \ {0}, il existe un unique xn ∈]0, +∞[ tel que
f (xn) = n. Donner la valeur de x1.
2- Étudier la monotonie et la convergence de la suite (xn).
3- Étudier le signe de f (n) − n pour tout entier n > 0. En déduire que xn6 n. Par
une méthode analogue, montrer que n − ln(n)6 xn.
4- En déduire, si elle existe, la limite de xn
n
n∈N\{0}.
Exercice 106
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la fonction fn de R dans R par :
∀x ∈ R , fn(x) = x5+ nx − 1 . 1- a- Montrer que ∀n ∈ N∗, ∃ !u n ∈ R , fn(un) = 0 . b- Montrer que : ∀n ∈ N∗, un∈ [0, 1]. 2- a- Calculer fn+1(un) en fonction de un.
b- En déduire la monotonie de la suite (un).
3- a- Montrer que la suite (un) est convergente et que sa limite ` appartient à [0, 1].
72 6. DÉRIVABILITÉ
Exercice 107
On définit la fonction f :]0, +∞[→]0, +∞[ par f (x) = x exp(x), pour tout x > 0. 1- Montrer que, pour tout n ∈ N \ {0}, il existe un unique un ∈]0, +∞[ tel que
f (un) = n.
Chapitre 7