Au cours de la mise en place de la démarche de calcul, on a définit principalement deux paramètres de calculs qui pourraient influencer les résultats obtenus. Le premier apparait au cours de la subdivision de la tomographie en sous-images. On peut en effet s’interroger sur l’effet de ce paramètre, n, sur les propriétés thermomécanique obtenues si on choisit des sous-images de 10 voxels de côté ou bien de 100 voxels de côté. Le second correspond aux conditions aux limites qui sont choisies pour la résolution des équations.
5.2.1 Étude de l’influence de la taille des sous-images
Dans un premier temps on va donc s’intéresser à la taille de sous-image choisie. Pour cela, des calculs ont été réalisés sur une image de 3203 voxels. Elle a été subdivisée en sous-images de 8, 16 et 32 voxels de côté. Les propriétés thermomécaniques de l’image ont été calculées en utilisant la démarche présentée précédement, avec chacune de ces subdivisions. La Figure 5.5présente les propriétés thermomécaniques en fonction de la taille des sous-images, suivant les axes ~x, ~y et ~z du matériau.
E1 E2 E3 G12 G23 G13 0 10 20 30 40 50 Module [GPa] FEM_MD Sub_8 FEM_MD Sub_16 FEM_MD Sub_32
(a) Module de Young
a11 a22 a33 0e+00 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05 Coefficient de dilatation [°C-1] FEM_MD Sub_8 FEM_MD Sub_16 FEM_MD Sub_32 (b) Coefficient de dilatation
FIGURE5.5 – Évolution des propriétés thermomécaniques dans les axes du matériau en fonction de la taille des sous-images. Avec FEM pour le calcul élément-fini, MD pour méthode CEPI développée et Sub indique le nombre de voxel de côté des sous-images.
La première observation réalisée à partir de ces résultats, est que la taille des sous-images n’in-fluence pas les résultats numériques. Outre le fait que c’est un résultat qui permet de valider la consistance de la méthode, elle apporte une réelle réponse du comportement du matériau vis à vis du choix de modélisation. Tant que la taille de sous-image permet de représenter localement un fil et son environnement proche, les résultats thermomécaniques ne sont pas influencés. Pour la suite des calculs numériques, elle a été fixé autour de 25 voxels, soit la taille d’un fil du matériau. Cela permet un bon compromis pour optimiser les temps de calculs. En effet, diminuer n augmente le nombre de calculs à réaliser mais qui sont peu coûteux en temps de calcul, alors que l’augmenter augmente le temps que va prendre chaque calcul mais diminuer le nombre total de calculs.
5.2.2 Étude des conditions aux limites
Il existe principalement 4 conditions aux limites qui sont appliquées lors de calculs d’homogenéisa-tion. On peut tout d’abord travailler en déplacements (KUBC) ou en déformation (SUBC) uniformes (Eq5.1, Eq5.2), ou bien avec des conditions périodiques (PBC) (Eq5.3), ou enfin des conditions périodiques mixtes uniformes (PMUBC) (Eq5.4).
u(x) = 0 x ∀x ∈ Γ (5.1)
t(x) = σ0n ∀x ∈ Γ (5.2)
u(xl) = u(xr) ∀(xl, xr) ∈ (Γl, Γr) (5.3)
(u(x) − 0x).(t(x) − σ0n) = 0 ∀x ∈ Γ (5.4)
Avec u, t, n et x respectivement les vecteurs de déplacement, traction, normal et position, r right, l left. Γ représente les contours du domaine d’étude.
En 1994 ([31], Hazanov a permis de comparer les conditions de déplacement et déformation uniforme ((KUBC),(SUBC)), ainsi que les conditions périodiques mixtes (MUBC). Il a pu alors déterminer que les premières conditions permettent d’encadrer les résultats obtenus à l’aide de (MUBC). En 2008 ([54]), Pahr a également étudié ces différentes conditions aux limites, notamment afin de déterminer l’influence qu’elles peuvent avoir sur les résultats numériques. Ces principales conclusions sont que les conditions de déplacements uniformes (KUBC) fournissent toujours une surestimation du résultat, notamment lorsqu’elles sont appliquées à de petits volumes. De plus, les conditions périodiques mixtes (PMUBC) semblent fournir les meilleurs résultats, comme le montre la Figure5.6.
FIGURE5.6 – Erreur sur les modules de Young (gauche), les modules de cisaillement (centre) et les coefficients de Poisson (droite) (BVTV représente la fraction volumique d’os)
Pour les calculs numériques réalisés au cours de la démarche CEPI, trois conditions aux limites ont été testées : KUBC, PBC, PMUBC. Tout d’abord, concernant les conditions aux limites de dépla-cements uniformes (KUBC), on a très vite redémontré la surestimation obtenue par [54] avec parfois des modules surestimés de plus de 50%. Pour la suite de l’étude des conditions aux limites seules les conditions périodiques et mixtes ont été étudiées.
Afin d’étudier l’effet de ces conditions sur les résultats, un volume de 1283 voxels a été utilisé. Un premier calcul éléments finis sur le volume complet a été réalisé afin de comparer les résultats obtenus avec ceux de la méthode CEPI avec des sous-images de 16 voxels de côté. Ensuite, la méthode CEPI (Partie5.1) a été utilisée pour réaliser les calculs d’homogénéisation. Sachant qu’il y a des calculs d’homogénéisation aux échelles mésoscopique et macroscopique, les différentes combinaisons de conditions aux limites ont alors été testées (ex : PMUBCmeso/PMUBCmacroou PBCmeso/PMUBCmacro, ...). La Figure5.7présente les résultats obtenus pour le comportement élastique et en dilatation de l’image, pour les différentes combinaisons de conditions aux limites possibles.
E1 E2 E3 G12 G23 G13 0 10 20 30 40 50 Module [GPa] FEM PMUBC
FEM sub16 PMUBC/PMUBC FEM sub16 PBC/PMUBC FEM sub16 PMUBC/PBC FEM sub16 PBC/PBC
(a) Comportement élastique
a11 a22 a33
0e+00 2e-06 4e-06 6e-06 8e-06 1e-05 Coefficient de dilatation [°C-1] FEM PMUBC
FEM sub16 PMUBC/PMUBC FEM sub16 PBC/PMUBC FEM sub16 PMUBC/PBC FEM sub16 PBC/PBC
(b) Comportement en dilatation
FIGURE5.7 – Évolution du comportement thermomécanique en fonction des différentes combinaisons de conditions aux limites utilisées
Quel que soit le jeu de condition aux limites qui est utilisé, les résultats présentent moins de 5% d’écart avec les résultats d’un calcul complet direct. Les conditions aux limites n’ont donc que très peu d’influence sur les propriétés thermomécaniques déterminées numériquement. La taille des sous-images étant une fois de plus proche de la taille des fils du matériau, les sous-images peuvent être assimilées à des motifs représentatifs du matériau. Cela permet d’obtenir des résultats équivalents en utilisant des conditions périodiques classiques.
Cette étude a donc permis de démontrer l’indépendance des résultats en fonction des différentes conditions aux limites qui sont utilisées. Par souci de performances numériques et par temps de calcul, la suite des calculs ont été réalisés en utilisant des conditions périodiques mixtes (PMUBC). En 2008, Pahr a également réalisé des tests de performances sur les différentes conditions aux limites ([53]) et a mis en avant la diminution des temps de calcul et de l’espace mémoire grâce à l’utilisation des conditions de calculs périodiques mixtes uniformes (PMUBC).