Il est bien connu que les particulesαsubissent des déexions de leur trajectoire rectiligne par les rencontres avec les atomes de matière. Il ne semble y avoir aucun doute sur le fait que des particules si rapides traversent les atomes sur leur chemin, et que les déexions observées sont dues à la traversée du champ électrique intense qui règne dans le système atomique.[...]
Puisque les particulesαtraversent l'atome, il devrait être possible, à partir d'une étude détaillée de la nature de la déexion, de se faire une idée de la constitution de l'atome qui produirait les eets observés.
En fait, la diusion de particules chargées rapides par les atomes de matière est l'une des méthodes les plus prometteuses pour attaquer ce problème.[...]
Considérons un atome contenant une charge ±N e en son centre, entourée d'une sphère électrisée contenant une charge ∓N e suppo-sée répartie uniformément dans une sphère de rayon R. e est l'unité fondamentale de charge, que nous prendrons dans cet article égale à 4,65×10−10 unité e.s. Nous supposerons que pour des distances infé-rieures à10−12cm, la charge centrale ainsi que la charge portée par la particule αpeuvent être considérées comme concentrées en un point.
Nous montrerons que les déductions principales dé la théorie sont in-dépendantes du fait que la charge centrale soit supposée positive ou négative. Par commodité le signe sera supposé positif. La question de la stabilité de l'atome n'a pas besoin d'être considérée à ce stade, car elle va dépendre de façon évidente de. la structure de l'atome à petite échelle, et du mouvement de ses constituants chargés.
An de se faire une idée des forces nécessaires pour dééchir une particule α d'un grand angle, considérons un atome contenant une charge positive N een son centre, entourée d'une distribution
d'élec-tricité négativeN edistribuée uniformément dans une sphère de rayonR. La force électriqueX et le potentiel V à une distancerdu centre d'un atome, pour un point intérieur à l'atome, sont donnés par
( X =N e r12−Rr3
V =N e
1
r−2R3 +2Rr23
Supposons qu'une particule αde massem, de vitesse uet de charge qsoit envoyée directement vers le centre de l'atome. Elle se retrouvera au repos à une distanceb du centre donnée par
1
2mu2=N eq 1
b − 3 2R + b2
2R3
Supposant que la charge centrale vaut100e, on peut calculer que la valeur debpour une particuleαde vitesse 2,09×109cm·s−1est d'environ3,4×10−12cm. Dans ce calcul,best supposé très petit devantR. PuisqueRest supposé être de l'ordre du rayon de l'atome, c'est-à-dire10−8cm, il est évident que la particuleα, avant d'être déviée vers l'arrière, pénètre si près de la charge centrale que le champ dû à la distribution uniforme d'électricité négative peut être négligé. En général, un calcul simple montre que pour toutes les déexions supérieures à un
degré, nous pouvons supposer sans erreur notable que la déexion est due au champ de la charge centrale seule.
De possibles déviations uniques dues à l'électricité négative, si elle est distribuée sous la forme de corpuscules, ne sont pas prises en compte à ce stade de la théorie. Nous montrerons plus tard que cet eet est en général faible devant celui dû au champ central.
Considérons le passage d'une particule électrisée près du centre d'un atome. En admettant que la vitesse de la particule n'est pas modiée sensiblement par son passage à travers l'atome, la trajectoire de la particule sous l'eet d'une force répulsive variant en raison inverse du carré de la distance sera une hyperbole dont le centre S de l'atome sera le foyer externe. [...]
Enoncé
1) Répartition des charges
On considère, comme dans le modèle de Rutherford que l'atome est constitué d'un noyau au centre d'un repère sphérique, contenantN charges élémentairesqe. Ce noyau est entouré d'une charge négative équivalente
−N qeuniformément répartie dans une sphère de rayonR= 0,5×10−10 m. 1.a) Déterminer la densité volumique de chargeρ.
1.b) Quelles sont les invariances de cette distribution ? 1.c) Admet-elle des plans de symétrie ou d'anti-symétrie ? 2) Champ électrostatique
2.a) Déduire des symétries de la distribution de charge la forme du champ électrostatiqueE~. 2.b) Que vaut ce champ sir > R? Et sir < R?
2.c) Que faudrait-il poser pour retrouver la formule deX donnée dans l'article de Rutherford ? 3) Potentiel électrostatique
3.a) Rappeler la relation qui lie le potentielV au champE~. Pourquoi peut-on xerV = 0à l'inni (ce que l'on fera par la suite) ?
3.b) Déterminer le potentiel sir > R et sir < R.
3.c) Est-ce cohérent avec la formule donnée dans l'article de Rutherford ? 4) Etude mécanique
On s'intéresse à une particule αde charge q= 2qe et de massem= 6,64×10−27kg qui partant de l'inni avec une vitesse de normeuse dirige vers un atome d'or de numéro atomique N ≈100électrons. On suppose, comme Rutherford que la particule "pénètre si près de la charge centrale que le champ dû à la distribution uniforme d'électricité négative peut être négligé".
4.a) Justier le fait que la trajectoire est plane et que c'est une hyperbole, comme sur la gure de l'article.
4.b) En utilisant un raisonnement énergétique, montrer que, si la particule α fait demi-tour à une distanceb du noyau, alors
1
2mu2=N eq 1
b − 3 2R + b2
2R3
4.c) Vérier que " la valeur de b pour une particule α de vitesse 2,09×109 cm·s−1 est d'environ 3,4×10−12 cm".
5) Conclusion
On a considéré que le noyau était ponctuel.
5.a) Au vu du texte donner une taille maximale du rayon du noyau.
5.b) En quoi la nature de la matière est-elle lacunaire ?
Correction
1) Répartition des charges
1.a) La densité volumique de charge est :ρ= 0sir > R. Sir < R (r= 0exclu), on a une charge volumique constante telle que 43πR3ρ=−N qequi donne
ρ=−3N qe
4πR3 1.b) ρ(r)ne dépend ni deθ, ni de ϕ.
1.c) ρ(r)admet comme plans de symétrie tout plan passant parO, le centre du repère. Elle n'a pas de plans d'anti-symétrie.
2) Champ électrostatique
2.a) E~ ne dépend donc que de r et, puisque c'est un vrai vecteur, appartient à tous les plans de symétrie de ρ. Il est donc suivant le vecteur~er:
2.c) On retrouve la formule deX donnée dans l'article de Rutherford si qe
4πε0
=e
On peut faire l'application numérique : qe
4πε0
= 1,6×10−19
4×π×8,85×10−12 = 1,4×10−9SI
(on ne retrouve pas la valeur numérique du texte, mais c'est normal : Rutherford utilisait d'autres unités que les unités SI).
3) Potentiel électrostatique 3.a) E~ =−−−→
gradV qui devient dans notre cas Er(r) =−dVdr. On peut xerV = 0à l'inni car le potentiel est xé à une constante près (celle de l'intégration de la précédente relation).
3.b) Sir > R, l'intégration donneV(r) =cste= 0.
3.c) C'est exactement la formule donnée dans l'article de Rutherford, pour peu qu'on xe comme précédemment e=4πεqe
0. 4) Etude mécanique
4.a) La particule α ne ressent qu'une force électrique F~ = 2qeE~ qui est radiale. Le théorème du moment cinétique donne un moment cinétique constant donc une trajectoire plane.
Puisque la particule "pénètre si près de la charge centrale que le champ dû à la distribution uniforme d'électricité négative peut être négligé", F~ = 2qeE~ ≈= 2N q4πε2e
0
1
r2~er, qui est une force comparable à la force d'attraction gravitationnelle.
Aussi, la résolution montre qu'il s'agit d'une conique. Puisque la particule vient de l'inni, cette conique est une hyperbole, comme sur la gure de l'article.
4.b) L'énergie mécanique de la particule est Em= 12mv2+ 2qeV. A l'inni, le potentiel étant nul, Em= 12mu2et lorsque la particule fait demi-tour, sa vitesse étant nulle,Em= 2qeV(r=b). La conservation de l'énergie mécanique donne donc :
1
2mu2= 2N qe2 4πε0
1 b − 3
2R+ b2 2R3
=N eq 1
b − 3 2R + b2
2R3
4.c) Siu= 2,09×107 m·s−1, 1
2mu2=6,64×10−27× 2,09×1072
2 = 14,5×10−13J D'autre part, si b= 3,4×10−14 m,
2N qe2 4πε0
1 b − 3
2R + b2 2R3
= 2×100× 1,6×10−192
4×π×8,85×10−12
1
3,4×10−14 − 3
2×0,5×10−10+ 3,4×10−142
2 (0,5×10−10)3
!
donc
2N qe2 4πε0
1 b − 3
2R + b2 2R3
≈ 2×100× 1,6×10−192
4×π×8,85×10−12×3,4×10−14 = 13,5×10−13 J Les deux valeurs sont très comparables.
5) Conclusion
5.a) Le rayon du noyau est plus petit que b= 3,4×10−14 m.
5.b) La matière est donc lacunaire puisque ce noyau est entouré de quelques (N ≈100) électrons dans un atome de tailleRb >rayon du noyau.