√ N (1.58)
où la limite présentée est appelée la limite quantique standard (Standard Quantum Limit en anglais) dans le contexte de lŠestimation de la phase dans lŠinterférométrie Ramsey.
1.7.3 État comprimé de spins
Dans la partie précédente, nous avons vu que la limite quantique standard est une limite pour estimer la diférence de population dŠun ensemble atomique préparé dans un état cohérent de spins car en absence dŠintrication entre les particules la distribution du bruit est isotrope selon la direction orthogonale de lŠobservable Jz.
Il a été théoriquement et expérimentalement démontré quŠil est possible de surpasser cette limite en introduisant des corrélations quantiques entre les particules. Lorsque la forte corrélation est présente entre les atomes lŠincertitude dans la direction orthogonale à Jz est réduite et par conséquent la mesure peut être plus précise. La relation dŠincertitude dŠHeisenberg démontrée dans (1.54) reste donc valide et la variance dans lŠautre direction est augmentée. Cet état est appelé un état comprimé de spins. Grâce à la préparation de lŠétat comprimé du spin collectif, la précision de la mesure augmente de manière signiĄcative.
Les déĄnitions de lŠétat comprimé de spins sont diférentes dans la littérature [73]. Pour les photons, la première déĄnition de lŠétat comprimé de spins a été proposée par Kitagawa et Ueda [74]. Ce critère est similaire à celui utilisé dans lŠoptique quantique pour le compression entre deux quadratures du champ électromagnétique et lorsquŠil
est valable, lŠétat est intriqué [75]. Cependant, ce critère présente quelques limitations et ne forme pas un critère complet pour les applications métrologiques. Pour cela, un autre critère dit métrologique a été introduit pour lŠinterféromètre de Ramsey par Wineland et al [76, 77] noté par ξ2
R.
Notre but est de réaliser une mesure QND de la diférence de population des atomes de 87Rb piégés au centre de la cavité pour obtenir un état comprimé de spins qui va permettre de dépasser le SQL. Pour cela, nous sommes principalement intéressé à lŠapplication de lŠétat comprimé du spin collectif à la métrologie. Le gain métrologique est obtenu grâce à lŠétat comprimé de spins. LŠétat est considéré comprimé lorsque la variance de lŠune de ses composantes est inférieure au bruit de projection quantique J/2 donné par (1.57). Le paramètre ξ2
s sŠécrit donc :
ξs2 = 2
J∆J2
min (1.59)
où ∆J2
min est la variance la plus basse des composantes orthogonales de spin. Dans le cas dŠun état cohérent le paramètre ξ2
s = 1 et si lŠétat est comprimé ξ2
s < 1. La relation (1.59) est également liée aux expériences des condensats de Bose-Einstein dans des doubles puits [78, 79].
Pour le cas de lŠinterférométrie de Ramsey le critère donné par (1.59) est valide mais la longueur du pseudo-spin est réduite pendant la création de lŠétat comprimé, ce qui dégrade la sensibilité de lŠinterféromètre. Le paramètre proposé par Wineland prend en compte la cohérence de lŠétat déĄnie par la longueur moyenne de spin ♣⟨J⟩♣b 2
donc le paramètre qui décrit lŠétat comprimé de spins dans un interférométrie est :
ξR2 = ξ2s
♣⟨J⟩♣b 2 (1.60) La précision de la mesure de la phase dans lŠinterféromètre de Ramsey augmente quand ξ2
R<1. Pour le cas dŠun état cohérent de spins ξ2
R= 1. En comparant les deux critères nous voyons ξ2
s ≤ ξ2
R. A lŠheure actuelle les meilleurs résultats obtenus pour le gain métrologique avec un état comprimé de spins sont 20.1±0.3 dB réalisés à Stanford [54] et 19.6(4)dB réalisés au JILA [46]. Dans les deux cas lŠétat comprimé de spins est induit par la mesure quantique non-destructive dans une cavité optique.
1.7 État collectif et cohérent de spins 45
Dans la suite, nous allons brièvement présenter la séquence dŠinterférométrie Ramsey avec lŠétat cohérent de spins. Puis, nous allons décrire la possibilité de dépasser la limite quantique grâce à lŠutilisation dŠun état comprimé de spins.
Interféromètre de Ramsey : Dans cette partie nous allons introduire
lŠinter-féromètre de Ramsey qui a une large utilisation dans les capteurs atomiques. En efet, sur lŠexemple de lŠinterféromètre de Ramsey nous pouvons présenter comment le SQL de lŠestimation de la phase quantique peut être surpassé en utilisant des états comprimés des spins. Initialement nous considérons que lŠinterféromètre de Ramsey opère avec un état cohérent du spin collectif (Fig. 1.18 a). Nous utilisons les deux niveaux hyperĄns de lŠétat fondamental 52S1/2 dŠun ensemble dŠatomes de 87Rb (raie D2). Au début, lŠétat cohérent du spin collectif est préparé dans ♣↓⟩ (Fig. 1.18 a). Initialement une rotation π/2 est appliquée à lŠaide dŠune impulsion électromagnétique à la fréquence ωπ/2. Elle permet de pivoter le spin autour de by et de mettre le spin
collectif sur un état de superposition (sur lŠaxe bx). LŠétat obtenu par la suite est ♣θ = π/2, ϕ = 0⟩ = QN
i=1
1 √
2(♣↑i⟩ + ♣↓i⟩).
Pendant un temps dŠinterrogation Tev la phase relative commence à évoluer ϕ = (ω↑↓− ωπ/2). Le nombre dŠatomes dans lŠétat ♣↑⟩ et ♣↓⟩ Ćuctue dans le cadre du champ tournante ωπ/2. A la Ąn de la séquence de Ramsey, une autre impulsion π/2 est appliquée pour mesurer la phase ϕ à haute précision. Comme il nŠest pas possible de mesurer ϕ directement, lŠétat collectif du spin est pivoté sur la projection du spin collectif Jz qui est une mesurable. Au Ąnal, la fonction dŠonde a la forme suivante :
♣π/2 − ϕ, 0⟩ = N Y i=1 cosπ/2 − ϕ 2 ♣↑i⟩ + i sinπ/2 − ϕ 2 ♣↓i⟩ (1.61) Dans cette étape, la phase ϕ du spin est transférée sur lŠangle polaire θ. La projection du spin collectif est Jz = N
2 sin ϕ. DŠaprès la mesure de Jz, il est possible donc de calculer la phase. La mesure va introduire le bruit dû à la réduction de la fonction dŠonde de spins préparés dans lŠétat de superposition sur lŠun des états ♣↑⟩ et ♣↓⟩ qui est le bruit quantique de la mesure projective. LŠincertitude de la mesure du spin est ∆Jz= √
rapport du bruit de la mesure projective ∆Jz et la pente du signal de Ramsey dJz/dϕ qui est indépendant de ϕ. Il sŠécrit :
∆ϕCSS = ∆Jz
♣dJz/dϕ♣ =
1 √
N (1.62)
Donc, ∆ϕCSS qui est la limite quantique du rapport signal à bruit dans lŠinterfé-romètre de Ramsey avec lŠétat cohérent de spins qui est exactement le SQL (1.58). LŠutilisation dŠun état comprimé de spins dans lŠinterféromètre de Ramsey permet de réduire le bruit de la mesure projective ∆Jz en conservant la pente du signal de Ramsey dJz/dϕ (Fig. 1.19, à droite). Le paramètre de lŠétat comprimé de spins ξ2
R
introduit dans lŠexpérience dŠinterféromètre de Ramsey représente le rapport de la résolution de phase lors de lŠutilisation dŠun état comprimé de spins sur la résolution de phase lors dŠun état cohérent de spins. LŠétat comprimé de spins métrologique est donné par la relation suivante :
ξR = ∆ϕ ∆ϕCSS
2
(1.63) où ∆ϕ est lŠincertitude de la mesure de phase lorsque lŠensemble atomique est préparé dans un état comprimé de spins. Lorsque ξR < 1 nous pouvons considérer que la sensibilité de lŠinterféromètre de Ramsey est augmentée. LŠapparition de lŠétat comprimé peut être due à lŠintrication sans être pour autant une condition obligatoire. Comme nous avons présenté auparavant, le critère de lŠétat comprimé métrologique déĄni par Wineland [76]. Ce critère prend en compte la réduction du bruit de spins (bruit de la mesure projective), la cohérence de lŠétat mesuré ainsi que le contraste de lŠinterférométrie Ramsey qui est déĄni comme suit : C = ♣⟨J⟩♣/J. Le critère métrologiqueb de lŠétat comprimé de spins pour lŠinterféromètre de Ramsey est déĄni par la forme suivante :
ξR = ∆ϕ ∆ϕCSS
2
1.7 État collectif et cohérent de spins 49