Le résolution du problème inverse introduit précédemment est, à notre connais- sance, un problème largement ouvert.
Concernant l’unicité, C. Fabre et G. Lebeau ont prouvé dans [39] un résultat de continuation unique pour les équations de Stokes avec un potentiel borné à partir duquel on peut apporter une réponse à la question (i) pour le problème de Stokes. Pour ce faire, ils ont établi une variante de l’inégalité de Carleman locale classique pour le Laplacien.
Différents types de problèmes inverses concernant le système de Stokes ont été étudiés. Nous avons choisi de parler de certains d’entre eux. Il s’agit bien sûr d’une liste non exhaustive, mais qui permet de rendre compte des différents résultats qui y sont obtenus ainsi que des outils en jeu.
O.Y. Imanuvilov et M. Yamamoto se sont intéressés dans [53] à l’estimation d’un terme source dans le système de Stokes avec des conditions de Dirichlet homogène, à partir de mesures internes dans un ouvert ω ⊂ Ω et de mesures en un temps donné sur tout le domaine. Ils obtiennent une inégalité de stabilité Lipschitzienne. Pour ce faire, ils utilisent une variante de la méthode de A.L. Bukhgeim et M.V. Klibanov [24]. A.L. Bukhgeim et M.V. Klibanov ont introduit une méthode efficace pour résoudre des problèmes inverses lorsque le paramètre que l’on cherche à récupérer est présent dans l’équation aux déri- vées partielles en question. Cette méthode consiste à considérer la dérivée en temps du problème initial. Ce faisant, on retrouve le paramètre que l’on cherche à estimer dans la condition initiale. Puis, utilisant bilan d’énergie et inégalité de Carleman, il est alors possible d’obtenir des inégalités de stabilité. On renvoie à [18] pour une mise en oeuvre de cette méthode dans le cas de l’équation de la chaleur avec un second membre non linéaire et des conditions de Neumann homogène et à [34] pour le cas d’un système visco-élastique. Cette méthode n’est pas adaptée à notre cas car le paramètre que nous cherchons à récu- pérer intervient sur une partie du bord : en dérivant le problème en temps, on ne retrouve pas le paramètre dans la condition initiale. Dans [8], A. Ballerini considère un autre type de problème inverse. Elle s’est intéréssée à la détection d’un corps immergé dans un conte- neur rempli d’un fluide qui obéit aux équations de Stokes, à partir de mesure de la vitesse et de la force de pression qui s’exerce sur le bord du domaine. Elle précise dans ce papier que la question de la stabilité pour ce genre de problème reste une question largement ouverte. La question de l’unicité a quant à elle été démontrée dans [6] en utilisant des techniques de continuation unique. A. Ballerini a obtenu une estimation de la stabilité du typelog-log, ce qui signifie que la fonction f impliquée dans l’estimation de la stabilité est
C0
log(|log(x)|), C0 > 0. Le principal outil utilisé est l’inégalité des trois boules pour la puis-
sancelèmedu Laplacien. Notez que la preuve utilise le fait que, puisque−∆u+∇p = 0 et u étant à divergence nulle, on a ∆p = div(∆u +∇p) = 0. On renvoie également à [6] et [29] pour d’autres résultats concernant la détection de la forme et de la position d’un corps ri- gide en mouvement dans un fluide visqueux incompressible à partir de mesures frontières. Pour terminer ce paragraphe, notons que dans [58], C.L. Lin, G. Uhlmann et J.N. Wang prouvent une inégalité des trois boules pour u solution d’une équation de Stokes et ils en déduisent ensuite un résultat quantitatif de la propriété forte de continuation unique pour les équations de Stokes (quand le potentiel est non borné, contrairement au résultat de continuation unique de C. Fabre et G. Lebeau) prouvé par R. Regbaoui dans [71]. Pour cela, ils se ramènent à des équations elliptiques en utilisant la divergence nulle et le rotationnel.
1.3. État de l’art
La particularité du problème inverse qui nous intéresse réside dans le fait que l’on cherche à récupérer des paramètres définis sur une partie du bord à partir de mesures effectuées sur une autre partie du bord. Au vu des résultats cités ci-dessus, on est tenté de regarder le système de Stokes comme un système de d équations de la chaleur. C’est pourquoi on s’est intéressé dans un premier temps à un problème inverse similaire pour le Laplacien et qui consiste à récupérer un paramètre défini au bord du domaine à partir de mesures accessibles sur une autre partie du bord.
Estimer un coefficient de Robin défini sur une partie du bord du domaine à partir de mesures disponibles sur une autre partie du bord du domaine pouru solution de :
−∆u = 0, inΩ, ∂u ∂n = g, onΓ0, ∂u ∂n+ qu = 0, onΓout, u(0) = u0, inΩ. avecΓout∪ Γ0⊆ ∂Ω.
La littérature concernant la résolution de ce problème inverse est riche. Il s’agit en général d’un problème provenant de la détection de corrosion et qui consiste à déterminer un coefficient de Robin sur une partie inaccessible de la frontière à partir de mesures électrostatiques effectuées sur une partie accessible de la frontière.
La plupart du temps, une inégalité de stabilité logarithmique est obtenue (voir [4], [10], [26] et [28]). S. Chaabane and M. Jaoua ont démontré dans [27] une inégalité de stabilité lipschitzienne locale, selon la terminologie introduite par H. Bellout et A. Friedman dans [12] et qui a été utilisée ensuite par de nombreux auteurs, ainsi qu’une inégalité de stabilité lipschitzienne globale monotone, sous l’hypothèse que le flux g est positif. Affaiblissant cette contrainte en imposant à la place un contrôle sur le caractère oscillant du flux g, G. Alessandrini, L. Del Piero et L. Rondi ont obtenu dans [4] une inégalité de stabilité logarithmique. Plus récemment, E. Sincich a prouvé dans [74], une inégalité de stabilité lipschitzienne, en supposant que le coefficient de Robinq est constant par morceaux. Elle démontre notamment que la constante impliquée dans l’inégalité de stabilité dépend exponentiellement du nombre de morceaux considérés.
Dans ces papiers, différentes approches sont développées. Une première approche consiste à utiliser les propriétés des fonctions analytiques complexes. C’est le cas par exemple dans [4] et [26]. Une caractéristique de cette méthode est qu’elle n’est valable qu’en dimension 2. Une autre approche est basée sur les inégalités de Carleman qui s’avèrent être un outil très efficace pour obtenir des résultats de continuation unique et des inégalités de stabilité. Par exemple, dans [68], K.D. Phung a quantifié un résultat de continuation unique pour le Laplacien dans un domaine borné de classeC∞quand les conditions au bord du domaine sont a priori inconnues : il a établi une dépendance de type logarithmique. Puis, dans [10], M. Bellassoued, J. Cheng et M. Choulli ont utilisé cette inégalité pour obtenir une inégalité de stabilité logarithmique. Il est intéressant de noter que l’inégalité de K.D. Phung a été étendue au cas d’ouvert de classe C1,1 par L. Bourgeois dans [19] puis au cas d’ouvert lipschitzien par L. Bourgeois et J. Dardé [20]. Ajoutons que J. Cheng, M. Choulli, et J. Lin dans [28] ont également utilisé une inégalité de Carleman démontrée par A.L. Bukhge˘ım dans [23] avec des fonctions poids astucieusement choisies pour établir leur inégalité de stabilité.
En ce qui concerne la résolution du problème inverse pour le système instation- naire, peu de résultats existent, à notre connaissance. Dans [10], M. Bellassoued, J. Cheng
Chapitre 1. Introduction générale
Γ
0Γ
outΩ
Figure 1.8 – On cherche à estimer des paramètres définis sur Γout à partir de mesures
disponibles surΓ0.
et M. Choulli ont déduit de l’inégalité de stabilité obtenue pour le cas stationnaire, une inégalité de stabilité logarithmique pour le problème instationnaire. Ils ont pour cela fait appel à la théorie des semi-groupes. Cela conduit à effectuer des mesures en temps infini.