Nous allons ici montrer qu’un rotateur frappé quantique est équivalent à un problème d’Anderson, et ce de manière formelle. Mais avant de continuer, il est utile préci- ser que les spectres des systèmes chaotiques possède les propriétés de répulsion des niveaux, et sont caractérisés par l’exposant critique ˜β dépendant de le classe d’uni- versalité à laquelle ils appartiennent [4].
1.6.1. Rotateur frappé quasi-périodique
Introduisons un rotateur frappé légèrement modifié : le rotateur frappé quasi-périodique, dont le hamiltonien est
Hqp =
p2
2 + K cos(x)(1 + ε cos(ω2t) cos(ω3t)) X
n
δ(t − n). (1.26)
Au rotateur frappé standard présenté précédemment (Équation 1.2), nous avons ajouté une modulation dans l’amplitude des kicks. L’amplitude de cette modulation est régie par le paramètre ε ∈ [0, 1]. Les fréquences ω2 et ω3 régissent quant à elles le rythme de cette variation au cours du temps. Si l’on pose ε = 0, on retrouve naturellement le hamiltonien du rotateur frappé standard.
Ce modèle exhibe une transition de phase quantique (dont l’origine, tout comme la transition d’Anderson, est liée à l’interférence des ondes de matières) avec une des phases manifestant une localisation dynamique, et l’autre une dynamique diffu- sive dans l’espace des impulsions |pi (voir Figure 1.13). L’état localisé ou diffusif est
1.6 Équivalence entre le problème d’Anderson et le Rotateur Frappé contrôlé par le jeu de paramètres (K, ε). On notera que cette transition de phase n’existe que pour des valeurs (π, ¯k, ω2, ω3) incommensurables entre elles.
On peut dès a présent soupçonner un lien entre le rotateur frappé quasi-périodique et le modèle d’Anderson à 3 dimensions.
1.6.2. Correspondances des deux modèles
Une démonstration formelle de l’équivalence du rotateur frappé standard avec un mo- dèle d’Anderson unidimensionnelle fut proposé par Fishman, Grempel et Prange en 1982 [12, 11]. Elle démontre en somme que la localisation dynamique est équi- valente à la localisation d’Anderson et est due au même phénomène interférentiel. L’observation de la localisation dynamique de manière expérimentale par l’équipe de Raizen constitue ainsi la première observation de la localisation d’Anderson avec des ondes de matière [26]. En 1989, le rotateur frappé quasi-périodique fut démon- tré équivalent à un modèle d’Anderson tri-dimensionnel [13]. J’ai fait le choix de faire une démonstration plus détaillée de ces deux équivalences que le lecteur intéressé trouvera en Annexe A et en Annexe B. Nous allons cependant revenir sur le principe de cette dernière démonstration.
On commence par considérer un modèle de rotateur frappé différent des deux modèles présentés précédemment : le rotateur frappé 3D, dont le hamiltonien s’écrit
ˆ
H3D =
ˆp2 1
2 + ω2ˆp2+ ω3ˆp3+ K cos(ˆx1)(1 + ε cos(ˆx2) cos(ˆx3)
X n
δ(t − n), (1.27) où (ˆx1,ˆp1), (ˆx2,ˆp2) et (ˆx3,ˆp3) sont les trois couples de variables canoniquement conju- guées. En définissant u− et u+ comme étant le même état Floquet mais situé à des instants différents dans le période du système (avec u−juste avant le pulse et u+juste après), on peut montrer (voir Annexes A. et B.) qu’il existe un état défini comme ¯u = 1
2(u
++ u−), qui, écrit dans la base discrète des impulsions m ∈ Z3, satisfait l’équation ǫm¯um− X n6=0 ˆ Vn¯um−n = ˆV0¯um. (1.28)
Cette équation correspond à un modèle de liaisons fortes anisotrope avec des profon- deurs quasi-périodiques de sites ǫm définies ainsi :
ǫm = tan ( 1 2 " ω− ¯km 2 1 2 + ω2m2+ ω3m3 !#) , (1.29)
où ω est la quasi-énergie associée à l’état de Floquet (u±), et m = (m
1, m2, m3) un vecteur dans l’espace des impulsions. Le critère d’incommensurabilité apparaît immédiatement, nous garantissant qu’il n’existe pas de périodicité dans le terme ǫm,
assimilable au désordre tel qu’Anderson le définit dans son modèle dans l’espace réel (Équation 1.20). En effet, une telle périodicité dans ǫm détruirait l’équivalence
Le terme de couplage entre-sites ˆVn est défini de la sorte : ˆ Vn = X x=x1,x2,x3 e−in.x· tan K
2¯kcos ˆx1(1 + ǫ cos ˆx2cos ˆx3)
. (1.30)
Strictement parlant, ce couplage n’est pas limité au plus proches voisins, mais comme il décroit exponentiellement vite à mesure que les sites couplés sont éloignés, nous restons bien dans le cadre d’un problème d’Anderson où la portée des couplages entre sites est limitée. Cette assertion est vraie dans la mesure où |K(1 + ǫ)/2¯k| < π/2. Ce modèle tridimensionnel de rotateur frappé étant équivalent à un modèle d’Anderson 3D pour n’importe quelles conditions initiales Ψ(t = 0), on pose que celles-ci sont une « source plane » :
Ψ(t = 0) = Ξ(x1, t= 0)δ(x2− ϕ2)δ(x3− ϕ3). (1.31)
Soumis à celles-ci, on peut montrer (voir Annexe B.) que l’évolution de la fonction d’onde sur le couple (x1, p1) est régi par le hamiltonien
ˆ
Hqp =
ˆp2 1
2 + K cos(ˆx1)(1 + ε cos(ω2t) cos(ω3t)
X n
δ(t − n). (1.32)
La manifestation de la localisation d’Anderson étant multi-axiale, elle se manifeste nécessairement sur cet axe. Nous avons ainsi défini un modèle de rotateur frappé, le rotateur frappé quasi-périodique dont le comportement sur un axe dans l’espace des impulsions est parfaitement analogue au comportement dans l’espace réel d’un hamiltonien d’Anderson.
Dans le cadre de l’étude de la transition d’Anderson, les avantages de cette méthodo- logie sont multiples. Le premier est l’unidimensionnalité effective. Expérimentalement, nous verrons que le problème en est grandement simplifié. On peut aussi noter que cet avantage s’applique aux simulations numériques, où il est toujours plus simple de résoudre un problème à 1D qu’à 3D (ou plus). L’autre avantage est plus subtil : ce modèle exhibe une transition « propre ». Dans le cadre des solides désordonnés, les états propres du hamiltonien se répartissent de part et d’autre du seuil de mobilité Ec en fonction de leur énergie E, (certaines sont localisées, d’autres étendues) pour une réalisation du désordre W/V . Ainsi coexistent les états isolants avec les états conduc- teurs, ce qui rajoute une difficulté supplémentaire dans l’observation de la transition d’Anderson à 3 dimensions [9, 10]. Dans notre modèle, cette énergie E devient ˆV0, une constante toujours nulle. Celle-ci n’est alors plus un paramètre pertinent pour franchir cette transition, il ne nous reste plus que le paramètre de désordre microsco- pique W/V pour caractériser cette dernière. Dans la Figure 1.10, cela revient à réduire la dimension de ce portrait de phase en supprimant la composante énergétique de ce dernier.
La correspondance entre ces deux modèles (rotateur frappé et problème d’Anderson) étant maintenant fermement établie, on peut affirmer qu’une transition de phase se manifeste dans le rotateur frappé quasi-périodique. L’Équation 1.29 nous montre que le rotateur quasi-périodique n’offre pas de contrôle sur le désordre sur site « W ». En revanche, l’Équation 1.30 indique que l’amplitude du couplage aux plus proches
1.7 Théorie d’échelle à un paramètre appliqué au rotateur frappé