Équivalence entre DFA et NFA - Théorie des langages et de la compilation

Écrire un NFA supprime la contrainte du déterminisme

mais nous montrons que pour tout NFANon peut construire un DFAD équivalent (càdL(D) =L(N)) et vice-versa.

on utilise la technique de laconstruction de sous-ensembles : chaque état deDcorrespond à un ensemble d’états deN

C(NFA) ⊆ C(DFA)

Théorème (Pour tout NFAN, il existe un DFADavecL(N) =L(D)) Preuve :

Soit un NFA N :

N=hQN,Σ, δN,q0,FNi définissons (construisons) le DFA D :

D=hQD,Σ, δD,{q0},FDi avec

QD={S|S⊆QN}(càd QD =2^Q^N) FD ={S⊆QN |S∩FN 6=∅}

Pour tout S⊆QN et a∈Σ,

δD(S,a) =δN(S,a) (= [

p∈S

δN(p,a))

Notons que|QD|=2^|Q^N^|(bien qu’en général, beaucoup d’états soient inutiles car inaccessibles)

C(NFA) ⊆ C(DFA) (suite)

Exemple (NFANet DFADéquivalent)

5 états sont inaccessibles ^b

{q }

Les langages réguliers et expressions régulières Les automates finis Equivalence entre FA et RE

Exemple de!-NFA Exemple

Le!-NFAMaccepte l’ensemble des strings sur l’alphabet{0,1,2}qui correspond à l’expression régulière 0^∗1^∗2^∗. et le diagramme de transition :

0 1 2

Les langages réguliers et expressions régulières Les automates finis

Configuration et langage accepté

Définition (Configuration d’un FA) Couple<q,w>∈ Q×Σ^∗

Configuration initiale :<q0,w>où w est le string à accepter Configuration finale (qui accepte) :<q,!>avec q∈F

Définition (Changement de configuration)

<q,aw>#_M<q^",w>si

δ(q,a) =q^"pour un DFA

q^"∈δ(q,a)pour un NFA

q^"∈δ(q,a)pour un NFA!avec a∈Σ∪{!}

#∗est la fermeture réflexo-transitive de#

Les langages réguliers et expressions régulières Les automates finis

Configuration et langage accepté

Définition (Configuration d’un FA) Couple<q,w>∈ Q×Σ^∗

Configuration initiale :<q0,w>où w est le string à accepter Configuration finale (qui accepte) :<q,!>avec q∈F

Définition (Changement de configuration)

<q,aw>#_M<q^",w>si

δ(q,a) =q^"pour un DFA

q^"∈δ(q,a)pour un NFA

q^"∈δ(q,a)pour un NFA!avec a∈Σ∪{!}

#∗est la fermeture réflexo-transitive de#

q0 q

Les langages réguliers et expressions régulières Les automates finis Équivalence entre FA et RE Autres types d’automates finis Propriétés des langages réguliers Équivalence et minimisation d’automates finis

C(NFA) ⊆ C(DFA) (fin)

Théorème (Pour tout NFAN, il existe un DFADavecL(N) =L(D)) Preuve (suite) :

On va montrer que L(D) =L(N) Il suffit de montrer par induction que :

δˆD({q0},w) = ˆδN(q0,w)

Base : (w=) :OKpar définition desδˆ Induction : (w=xa)

δˆD({q0},xa) ^def= δD(ˆδD({q0},x),a)

h.i= δD(ˆδN(q0,x),a)

cst= δN(ˆδN(q0,x),a)

def= ˆδ (q ,xa)

C(NFA) ⊆ C(DFA) (suite)

Exemple (NFANavecn+1 états qui a un DFADéquivalent à 2ⁿétats) Exponential Blow-Up

There is an NFAN with n+ 1 states that has no equivalent DFA with fewer than 2ⁿ states

Start

Suppose an equivalent DFA D with fewer than 2ⁿ states exists.

D must remember the last n symbols it has read.

There are 2ⁿ bitsequences a1a2· · ·a_n

∃q, a₁a₂· · ·a_n, b₁b₂· · ·b_n:q∈ˆδ_N(q₀, a₁a₂· · ·a_n), q∈ˆδ_N(q₀, b1b2· · ·bn),

C(NFA) = C(DFA)

+Flèches 1 + 2 :

e-NFA NFA

DFA RE

1 2

3 4

5 6

C(NFA) = C(DFA)

Théorème (Un langageLest accepté par un DFA si et seulement siLest accepté par un NFA)

Preuve :

si⇐voir théorème précédant seulement si⇒

Il suffit à partir du DFA D de construire un NFA N avec siδD(q,a) =p alorsδN(q,a) ={p}

C(-NFA) ⊆ C(DFA)

+ Flèche 3 :

e-NFA NFA

DFA RE

1 2

3 4

5 6

C(-NFA) ⊆ C(DFA)

Théorème (Pour tout-NFAE, il existe un DFADavecL(E) =L(D)) Preuve :

Soit un-NFA E :

E=hQE,Σ, δE,q0,FEi définissons (construisons) le DFA D :

D=hQD,Σ, δD,qD,FDi avec :

QD={S|S⊆QE∧S=eclose(S)}

qD=eclose(q0)

FD ={S|S∈QD∧S∩FE6=∅}

Pour tout S∈QDet a∈Σ,

C(-NFA) ⊆ C(DFA) (suite)

Exemple (-NFAExample:Eet DFA!-NFADéquivalent)E

q q q q q

DFA D corresponding to E

Start Example: !-NFAE

q q q q q

DFA Dcorresponding to E

Start

C(-NFA) ⊆ C(DFA)

Théorème (Pour tout-NFAE, il existe un DFADavecL(E) =L(D)) Preuve (suite) :

On va montrer que L(D) =L(E). Il suffit de montrer par induction que : δˆE({q0},w) = ˆδD(qD,w)

Base : (w=) :

δˆE({q0}, ) =eclose(q0) =qD = ˆδ(qD, ) Induction : (w=xa)

ˆδE({q0},xa) ^{def de}=^ˆ^δ^E eclose(δE(ˆδE({q0},x),a))

h.i.= eclose(δE(ˆδD(qD,x),a))

cst= δD(ˆδD(qD,x),a)

def deˆδ_D

= δˆD(qD,xa)

C(-NFA) = C(DFA)

+Flèches 3 + 4 :

e-NFA NFA

DFA RE

1 2

3 4

5 6

C(-NFA) = C(DFA)

Théorème (Un langageLest accepté par un DFA si et seulement siLest accepté par un-NFA)

Preuve :

si⇐voir théorème précédent seulement si⇒

Il suffit à partir du DFA D de construire un-NFA E avec siδD(q,a) =p alorsδE(q,a) ={p}

C(DFA) ⊆ C(RE)

+ Flèche 5 :

e-NFA NFA

DFA RE

1 2

3 4

5 6

C(DFA) ⊆ C(RE)

Théorème (Pour tout DFAD, il existe une RERavecL(R) =L(D)) Preuve :

Soit le DFA D=hQD,Σ, δ,q1,Fiavec : QD={q1,q2, . . . ,qn}

On définit l’expression régulièreR_ij^kdécrivant l’ensemble des labels correspondants à tous lescheminsde D

partant de l’état qi

aboutissant à l’état qj

et ne traversant que des états de l’ensemble{q1, . . . ,qk} Theorem 3.4:For every DFAA= (Q,Σ,δ, q0, F) there is a regexR, s.t.L(R) =L(A).

Proof: Let the states of A be {1,2, . . . , n}, with 1 being the start state.

• Let R^(k)_ij be a regex describing the set of labels of all paths inA from statei to state j going through intermediate states{1, . . . , k}

only.

C(DFA) ⊆ C(RE)

Théorème (Pour tout DFAD, il existe une RERavecL(R) =L(D)) Preuve : (suite)

On va définir R_ij^kde façon inductive. Notons que L“

C(DFA) ⊆ C(RE)

Théorème (Pour tout DFAD, il existe une RERavecL(R) =L(D)) Preuve : (suite 2)

Induction :(de la définition de R_ij^k)

Rij^k =R_ij^k−1+R_ik^k−1(R^k_kk⁻¹)^∗R^k_kj⁻¹

Zero or more strings in

In In

string de R ik

k-1 string de R

kj 0 ou plus de strings de R

{

_kk^k-1 k-1

{ {

C(DFA) ⊆ C(RE)

Exemple (Pour le DFAExample: Let’s findA, construction de l’RER forA, where RavecL(R) =L(A)) L(A) ={x0y:x∈{1}^∗ and y∈{0,1}^∗}

Start 0 0,1

1 2

R⁽⁰⁾₁₁ !+1 R⁽⁰⁾₁₂ 0 R⁽⁰⁾₂₁ ∅

R⁽⁰⁾₂₂ !+0+1

C(DFA) ⊆ C(RE)

Quelques règles de simplification des RE (+R)^∗=R^∗

R+RS^∗=RS^∗

∅R=∅=R∅

∅+R=R+∅=R

C(DFA) ⊆ C(RE)

Exemple (Pour le DFAA, construction de l’RERavecL(R) =L(A))

R⁽⁰⁾₁₁ !+1 R⁽⁰⁾₁₂ 0 R⁽⁰⁾₂₁ ∅ R⁽⁰⁾₂₂ !+0+1

R⁽¹⁾_ij =R⁽⁰⁾_ij +R⁽⁰⁾_i1 ^!R⁽⁰⁾₁₁^"^∗R⁽⁰⁾_1j

By direct substitution Simplified R⁽¹⁾₁₁ !+1+ (!+1)(!+1)^∗(!+1) 1^∗ R⁽¹⁾₁₂ 0+ (!+1)(!+1)^∗0 1^∗0 R⁽¹⁾₂₁ ∅+∅(!+1)^∗(!+1) ∅ R⁽¹⁾₂₂ !+0+1+∅(!+1)^∗0 !+0+1

Par substitution directe Simplifié

C(DFA) ⊆ C(RE)

Exemple (Pour le DFAA, construction de l’RERavecL(R) =L(A))

Simplified R⁽¹⁾₁₁ 1^∗ R⁽¹⁾₁₂ 1^∗0 R⁽¹⁾₂₁ ∅ R⁽¹⁾₂₂ !+0+1

R⁽²⁾_ij =R⁽¹⁾_ij +R⁽¹⁾_i2 ^!R⁽¹⁾₂₂^"^∗R_2j⁽¹⁾

By direct substitution R⁽²⁾₁₁ 1^∗+1^∗0(!+0+1)^∗∅

R⁽²⁾₁₂ 1^∗0+1^∗0(!+0+1)^∗(!+0+1) R⁽²⁾₂₁ ∅^{+ (}!+0+1)(!+0+1)^∗∅

R⁽²⁾₂₂ !+0+1+ (!+0+1)(!+0+1)^∗(!+0+1) Simplifié

Par substitution directe

C(DFA) ⊆ C(RE)

Exemple (Pour le DFAA, construction de l’RERavecL(R) =L(A))

By direct substitution R⁽²⁾₁₁ 1^∗+1^∗0(!+0+1)^∗∅

R⁽²⁾₁₂ 1^∗0+1^∗0(!+0+1)^∗(!+0+1) R⁽²⁾₂₁ ∅+ (!+0+1)(!+0+1)^∗∅

R⁽²⁾₂₂ !+0+1+ (!+0+1)(!+0+1)^∗(!+0+1) Simplified

R⁽²⁾₁₁ 1^∗

R⁽²⁾₁₂ 1^∗0(0+1)^∗ R⁽²⁾₂₁ ∅

R⁽²⁾₂₂ (0+1)^∗ The final regex forAis

R⁽²⁾₁₂ =1^∗0(0+1)^∗ Par substitution directe

Simplifié

La RE finale pour A est :

C(DFA) ⊆ C(RE) : Observations

La méthode fonctionne aussi avec des NFA ou-NFA Il y an³expressionsR_ij^k

Chaque pas inductif quadruple la taille de l’expression R_ijⁿpeut avoir une taille 4ⁿ

Pour tout{i,j} ⊆ {1, . . . ,n},R_ij^k utiliseR^k_ij⁻¹ donc on doit écriren²fois l’expressionR_kk^k−1

⇒Il faut trouver une méthode plus efficace : latechnique d’élimination d’états

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