Équations pour notre application

A semiótica é a ciência que se encarrega de estudar os signos e os sistemas de sinais empregados em comunicação e, sem dúvida, a aprendizagem da Matemática é carregada de todo um sistema de símbolos e representações além da língua natural. Como afirma Duval (2009), a aprendizagem das matemáticas aborda de forma mais contundente a pluralidade de registros semióticos de representação do que as outras disciplinas.

Para Duval (2009), a questão central a ser respondida é se o uso de diversos sistemas semióticos de representação e de expressão é fundamental ou, significa somente uma forma confortável, mas secundária, no desenvolvimento das aprendizagens? Ou ainda, o funcionamento cognitivo do pensamento humano como a construção de um conceito independe da pluralidade de registros semióticos de representação? Estas perguntas são importantes, porque tentar respondê-las traz subsídios para determinar a relevância das representações semióticas no desenvolvimento das atividades cognitivas.

De acordo com Duval (2009), temos pelo menos dois argumentos fortes, que por si só tentam se estabelecerem.

O primeiro é que se não distinguimos um objeto da sua representação não pode haver compreensão matemática. Assim, não se pode confundir o objeto matemático com sua representação. Neste sentido Duval afirma,

É essencial jamais confundir os objetos matemáticos, como os números, as funções, as retas, etc, com suas representações, quer dizer, as escrituras decimais ou fracionárias, os símbolos, os gráficos, os traçados de figuras ... porque um mesmo objeto matemático pode ser dado através de representações muito diferentes. (DUVAL, 2009, p. 14).

Mas neste caso a ênfase será para o objeto representado e não suas representações semióticas, como afirmam Deledicq et al. (1979), ou seja, as diversas representações semióticas dos objetos matemáticos estariam em segundo plano, seriam dessa forma externas ao desenvolvimento conceitual dos objetos.

O segundo argumento diz respeito às representações mentais e, segundo Duval (2009, p. 15), significa “(...) todo o conjunto de imagens e de conceituações que um indivíduo pode ter sobre um objeto, sobre uma situação e sobre aquilo que lhe é associado.” Neste caso, o conjunto de representações semióticas seria apenas a forma de o sujeito expressar suas representações mentais. Assim, seriam totalmente subordinadas às representações mentais, cumprindo somente o ofício de comunicar.

Esse entendimento é possível se partirmos de definições mais reducionistas para semiósis e noésis como afirma Duval,

Se chamamos de semiósis a apreensão ou produção de uma representação semiótica, e noésis os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou compreensão de uma inferência, pareceria então evidente admitir que a noésis é independente da semiósis ou, ao menos, a dirige. Muitos trabalhos psicológicos e didáticos partem implicitamente desta evidência. (DUVAL, 2009, p. 15).

Acontece que na aprendizagem matemática as relações entre semiósis e noésis não se estabelecem de forma extrínseca, elas têm uma interdependência e podemos afirmar que as representações semióticas são imprescindíveis para o desenvolvimento das tarefas matemáticas.

Apoiamo-nos também em outros autores que referendam a importância da relação indissociável entre a representação mental e a representação semiótica.

Neste contexto, Granger (1979) afirma que não se separa a formação do pensamento científico de simbolismos exclusivos para representar o objeto e suas respectivas relações.

Duval (2009) aponta a evolução dos sistemas semióticos utilizados em livros didáticos, para tal basta comparar livros produzidos em 1930 com outros dos anos de 1950, 1970, 1990, para verificar o aumento e a diversidade dos registros de representação.

Vygotsky (1985) destaca que o desenvolvimento das representações mentais acontece por meio da internalização das representações semióticas, bem como as imagens mentais são uma interiorização das percepções.

Dessa forma Duval vai de encontro aos dois argumentos iniciais e estabelece que,

Sendo atribuídas a necessidade das representações semióticas para certas funções cognitivas fundamentais e a implicação recíproca das representações mentais e das representações semióticas, parece legítimo avançar a hipótese contrária: não há noésis sem semiósis, é a semiósis que determina as condições de possibilidade e de exercício da noésis. (DUVAL, 2009, p. 17).

Assim, há situações em que os sistemas semióticos evidenciam as relações entre a noésis e semióses, no entanto, estes sistemas devem desempenhar três atividades intrínsecas a toda representação.

Primeiramente, constituir um traço ou um ajuntamento de traços perceptíveis que sejam identificáveis como uma representação de alguma coisa em um sistema determinado. Em seguida, transformar as representações apenas pelas regras próprias ao sistema, de modo a obter outras representações que possam constituir uma relação de conhecimento em comparação às representações iniciais. Enfim converter as representações produzidas em um sistema em representações de um outro sistema, de tal maneira que estas últimas permitam explicar outras significações relativas ao que é representado. (DUVAL, 2009, p. 37).

A relação entre a noésis e semiósis é exclusiva dos sistemas semióticos que admitem as três atividades cognitivas fundamentais citadas anteriormente; a linguagem natural, os gráficos, a linguagem simbólica, as figuras geométricas, etc. são exemplos desses sistemas. Por outro lado, alguns sistemas, como o morse ou o código da rota, não preenchem estes requisitos.

A linguagem natural, os gráficos, as figuras geométricas, a linguagem simbólica, dentre outros, constituem os registros de representação semiótica, que oferecem ao indivíduo várias possibilidades de expressão e comunicação. Nesse sentido temos,

Tais registros constituem os graus de liberdade de que um sujeito pode dispor para objetivar a si próprio uma ideia ainda confusa, um sentimento latente, para explorar informações ou simplesmente para poder comunicá-las a um interlocutor. (DUVAL, 2009, p. 37).

Assim, os registros de representação semiótica se constituem em uma ferramenta fundamental no desenvolvimento da aprendizagem, mas é preciso atenção a três fenômenos intrínsecos a esses registros que, de acordo com Duval (2009), são a diversificação dos registros de representação semiótica, a diferenciação entre representante e representado e a coordenação entre os diferentes registros.

Vamos descrever os três fenômenos citados tomando como referência os números racionais, trata-se de um campo muito fértil para a discussão dos registros de representação semiótica.

1. A diversificação dos registros de representação semiótica manifesta-se nos números racionais por meio dos três tipos de registros apontados por Duval, registro na língua natural, registro simbólico (numérico e algébrico)

e registro figural (contínuo e discreto). Exemplos desses registros podemos ver no quadro a seguir, organizado por Igliori e Maranhão (2003, p. 59)

Digite a equação aqui.

Quadro 4 – Diversificação dos registros de representação semiótica dos números reacionais. (Fonte: Igliori et al., 2003)

Dessa forma, o registro figural, o registro simbólico e o registro na língua natural, são sistemas de representações diferentes e, portanto, exigem aprendizagens diversificadas.

2. A diferenciação entre representante e representado de acordo com Duval (2009) geralmente se traduz como a compreensão do que uma representação