2.3 Modélisation de la CLA
2.3.1 Les équations gouvernant la turbulence
Le système de Reynolds
La modélisation de la CLA est basée sur la représentation de l'impact des mou- vements turbulents sur les champs moyens. Pour simpli er les calculs et la mise en équation des évolutions des paramètres moyens de la CLA, nous décrirons ici directement le système d'équations de Reynolds en coordonnées cartésiennes, dans l'approximation de Boussinesq (les variations de la densité ρ sont négligées dans l'équation de continuité) et l'hypothèse anélastique ( ltrage des ondes acoustiques). Ainsi, les uctuations de densité sont déterminées par les uctuations de pression. Les équations de Reynolds sont obtenues à partir du système de Boussinesq auquel a été appliqué l'opérateur de moyenne véri ant les axiomes de Reynolds(1895). Les valeurs instantanées des variables thermodynamiques ont été divisées en une valeur moyenne (selon Reynolds) et une perturbation ou uctuation turbulente, par exem- ple φ = φ + φ0 où φ est la valeur moyenne de φ et φ0 sa uctuation turbulente.
On obtient ainsi le système décrit entre autres par De Moor [1983] où les eets radiatifs ne sont pas négligés. Le système est décrit en utilisant les variables conser- vatives θl et rt. En eet, ceci permet de tenir compte des eets de changement de
phase et de plus ce sont souvent ces variables qui sont transportés dans les schémas de turbulence. P Rd = ρTv ∂uj ∂xj = 0 ∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj = − 1 ρref ∂p0 ∂xi + δ3i g θvrefθv− 2ijkΩjuk+ ν ∂2u i ∂xj∂xj − ∂ ∂xju 0 iu 0 j ∂θl ∂t + uj ∂θl ∂xj = νθl ∂2θ l ∂xj∂xj + 1 ρref ˙ Q − ∂x∂ ju 0 jθl0 ∂rt ∂t + uj ∂rt ∂xj = νrt ∂2r t ∂xj∂xj − Srt ρref − ∂ ∂xju 0 jr0t (2.10)
Nous allons décrire dans l'ordre les équations composant ce système dit de Reynolds :
La première équation est l'équation d'état des gaz parfaits où Tv est la tem-
pérature virtuelle utilisée pour tenir compte des eets de l'humidité.
La deuxième équation est dîte de continuité. La divergence du vent moyen est considérée nulle si on se place dans l'approximation de Boussinesq et l'hy- pothèse anélastique valide dans la basse atmosphère. L'hypothèse anélastique considère que l'atmopshère est proche d'un état hydrostatique et adiabatique de référence. L'indice ref fait référence à cet état. De plus, cette hypothèse per- met de ltrer les ondes acoustiques et leurs eets (notamment sur les variations de pression). L'approximation de Boussinesq permet de négliger les variations de densité ainsi ρ peut-être remplacée par ρref.
La troisième équation est l'équation de conservation de la quantité de mouve- ment (2nde loi de Newton) écrite en utilisant les deux hypothèses précédentes. Le terme de pression a été linéarisé et les variations de densité n'ont pas été négligées dans le terme de ottabilité. Ainsi, dans l'approximation de Boussi- nesq et l'hypothèse anélastique, le terme de pression peut s'écrire :
1 ρ ∂p ∂xi = 1 ρref ∂p0 ∂xi + δi3g θ0v θvref (2.11) La quatrième équation est l'équation de conservation de chaleur (1ère loi de
la thermodynamique) dans l'approximation de Boussinesq.
La cinquième équation est l'équation de conservation de l'humidité dans l'ap- proximation de Boussinesq.
Dans ce système d'équations, chaque terme représente un processus physique. Ainsi dans les 3 dernières équations, le premier terme à gauche représente l'évolution temporelle de la variable, et le deuxième correspond à l'advection de la variable par le vent moyen. Les termes à droite des équations ne sont pas équivalents pour les 3 équations. Nous allons donc les décrire
L'équation d'évolution des composantes du vent moyen fait intervenir cinq termes qui représentent, dans l'ordre, les forces des uctuations de pression, les eets de ottabilité, les eets de la force de Coriolis, les eets visqueux et en n les eets turbulents. Pour les équations d'évolution de la température potentielle liquide et du contenu en eau totale, le premier terme correspond à la diusion moléculaire. Dans l'équation de θl, les deux suivants correspondent, respectivement, à l'apport ou la
perte de chaleur en particulier par le rayonnement. Dans l'équation d'évolution de rT,
un terme d'apport ou de perte d'eau, correpondant aux eets des processus humides (changement d'hydrométéores, perte par sédimentation) est ajouté. Le dernier terme dans ces deux dernières équations correspond aux eets turbulents.
Ces équations dîtes de Reynolds sont les mêmes que les équations du système de Boussinesq à ceci près qu'elles font intervenir un terme supplémentaire ayant la forme de la divergence d'un ux turbulent. Les ux u0
iu0j, u0iθ0l et u0ir0t représentent
respectivement le transport des variables u0 j, θ
0 l et r
0
t par les uctuations de vitesse
dues à la turbulence. La divergence de ces ux va être une source ou un puit dans l'évolution des paramètres moyens de la CLA.
Le problème de fermeture
Le système d'équations de Reynolds n'a pas de solution, il contient trop d'incon- nues pour le nombre d'équations. Ce système d'équations décrivant les mouvements turbulents n'est pas fermé. En eet, les ux turbulents ne sont pas décrits par des équations pronostiques ou diagnostiques. Pour éliminer la non détermination de ces covariances, il est possible de dériver à nouveau les équations pour obtenir des équations pronostiques de ces ux turbulents. Malheureusement, cette opération fait apparaître de nouvelles inconnues qui correspondent à des triples corrélations, par exemple u0
iu 0 ju
0
k. De la même manière si on dérive des équations pronostiques pour
ces moments d'ordre 3, on obtiendra des termes d'ordre 4 toujours inconnus. On voit apparaître un problème de fermeture de nos équations lié aux caractéristiques non-linéaires de la turbulence.
Il nous faut donc fermer le système en paramétrant ces ux turbulents à partir des variables connues. Plusieurs types ou ordres de fermeture existent. Le tableau 2.1 présente les inconnues devant être paramétrées suivant l'ordre de fermeture voulu pour les équations des variables statistiques liées au vent. On peut noter que plus l'ordre de fermeture devient élevé plus le nombre d'inconnues est grand.
Table 2.1 Tableau dé nissant les termes inconnus en fonction de l'ordre de fermeture (tiré de Stull [1988]
Ordre de fermeture Triangle des corrélations des inconnues
ZERO U V W UN u02 u0v0 u0w0 v02 w02 DEUX u03 u02v0 u02w0 u0v02 u0v0w0 u0w02 v03 v02w0 v0w02 w03
à partir des variables pronostiques du modèle : u0iθ0 = F (u
i, θ, qT, ...) (2.12)
Beaucoup de méthodes diérentes ont été utilisées pour paramètrer les termes de fermeture à l'aide d'hypothèses assez diérentes. Nous pouvons noter qu'en dépit de l'ordre de fermeture, il existe deux grandes familles de méthode de fermeture :
La fermeture locale qui ne tient compte que des valeurs locales des quantités pronostiques au point où l'on veut déterminer les termes de fermeture
La fermeture non-locale qui elle peut tenir compte de valeurs intégrées sur la verticale, moyennées sur plusieurs points, ou d'autres variables ayant une évolution verticale pour déterminer les termes de fermeture
Sans vouloir exposer tout l'historique de ces paramétrisations et de ces méthodes de fermeture de manière exhaustive, nous essaierons de balayer une partie de la bibliographie pour plusieurs méthodes et ordres de fermeture.