1.3 Le cas quasi-périodique
2.1.2 Équation de Lippmann-Schwinger abstraite
Nous allons maintenant expliquer comment on peut formellement réduire le problème modèle (2.1) à un problème posé dans Ω0. Nous savons qu’une telle chose est possible, puisque nous y
sommes d’ores et déjà parvenus dans le chapitre précédent au moyen des opérateurs DtN. Toutefois, le calcul d’opérateurs DtN sur la frontière deΩ0, dans une configuration extérieure aussi complexe,
est une tâche très difficile (la thèse de S. Fliss donne une méthode (complexe) pour y parvenir, mais seulement dans le cas où tous les milieux périodiques extérieurs sont les mêmes, i.eρ−= ρ+= ρ
int,
donc uniquement dans le cas des défauts bornés). Nous allons donc utiliser une autre approche, qui constitue une abstraction de la classique équation de Lippmann-Schwinger utilisée en milieu homogène. Le principe sous-jacent est assez simple : nous voulons exprimer la solution de notre problème comme la solution du problème sans le défaut dû au milieu (i.e ρ6= ρint dans Ω0), plus
une perturbation due à cette variation du milieu dans Ω0. Dans notre cas, cela signifie que nous
allons décomposer la solution comme la solution d’un problème avec un défaut linéique parfaitement périodique en y, plus une perturbation locale. C’est pourquoi nous définissons le milieu ρp qui
correspond au cas sans le défaut local :
ρp= ρ− dansΩ−
ρint dansΩint
ρ+ dansΩ+
Clairement,ρp∈ L∞(R2), satisfait 0 < ρ−≤ ρp≤ ρ+ et estL-periodique dans la direction y. C’est
ce milieu, plus simple car partout périodique dans la directiony, qui va nous servir de référence. De plus :
supp (ρ− ρp)⊂ Ω0
ce qui montre que le milieuρ est bien une perturbation de ρp. Alors, en écrivant :
ρu = ρpu + (ρ− ρp)u
et en reportant ceci dans (2.1), nous obtenons : −∆u − (ω2+ iεω)ρ
pu = f− (ω2+ iεω)(ρp− ρ)u
C’est la raison pour laquelle nous introduisons l’opérateur suivant : S : L2(Ω
0) −→ L2(R2)
f 7−→ Sf
oùSf est l’unique solution dans H1(R2) (en vertu de 1.1) du problème :
−∆Sf − (ω2+ iεω)ρpSf = ef
où l’on a noté :
e f = f dansΩ0 0 dans R2\ Ω0
samedi 7 mai 2011
Ω− Ω+
Ωint
Figure 2.2 – Le milieu ρp sur l’exemple de la figure 2.1
Pour toute fonction f définie sur Ω0, nous identifierons désormais f et son prolongement par zéro
e
f . Comme ρ, ρp ∈ L∞, nous avons(ρp− ρ)u ∈ L2(R2). De plus, cette fontion étant à support dans
Ω0, nous pouvons l’identifier à sa restriction à Ω0. Alors par linéarité et unicité, il est clair que la
solutionu de (2.1) est donnée par :
u = Sf + S −(ω2+ iεω)(ρp− ρ)u (2.2)
Nous voyons nettement sur cette expression queu se décompose comme annoncé en la solution d’un problème posé sur le milieu de référence ρp (le morceau enSf ) plus une perturbation. Cependant,
(2.2) demeure une équation posée sur un domaine non borné. Aussi, nous n’avons pas terminé notre travail de réduction. On introduit pour y parvenir les opérateurs suivants :
S0: L2(Ω0) −→ L2(Ω0) f 7−→ Sf|Ω0 S0,ρ: L2(Ω0) −→ L2(Ω0) f 7−→ S−(ω2+ iεω)(ρ p− ρ)f| Ω0
Alors, en appliquant l’opérateur de restriction àΩ0 à l’équation (2.2), nous obtenons :
(I− S0,ρ)u|Ω0 = S0f (2.3)
ce qui constitue la véritable équation de Lippmann-Schwinger. Son intérêt principal réside en le fait qu’elle soit posée sur un domaine borné. Néanmoins, il faut vérifier qu’elle est suffisante pour déterminer la solutionu du problème originel, sinon elle ne constituerait guère plus qu’une curiosité algébrique. Il nous faut donc vérifier, puisque nous savons déjà queu|Ω0 est solution de cette équation, que c’est la seule solution. Pour démontrer cela, nous aurons besoin du lemme suivant :
2.1. MÉTHODE LS-DTN EN MILIEU PÉRIODIQUE 47
Lemme 2.1. Pour toutΩ0 ouvert borné, les opérateursS0 et S0,ρ sont compacts en tant qu’opéra-
teurs surL2(Ω 0)
Démonstration. Pour toutf dans L2(Ω
0), S0f est la restriction à Ω0 deSf , solution dans R2 de :
−∆Sf − (ω2+ iεω)ρ
pSf = f
Comme f ∈ L2(R2), les résultats usuels de régularité elliptique (voir par exemple [15]) nous ap-
prennent queSf ∈ H2(R2). Par conséquent S
0f ∈ H2(Ω0), qui, Ω0 étant borné, s’injecte de façon
compacte dansL2(Ω
0). Alors S0est compact. La même preuve nous donne bien entendu la compacité
deS0,ρ.
Ce résultat élémentaire nous autorise à démontrer le caractère bien posé de l’équation de Lippmann- Schwinger (2.3) :
Théorème 2.1. Pour tout Ω0 ouvert borné, et pour tout F ∈ L2(Ω0), le problème : trouver u ∈
L2(Ω
0) tel que :
(I− S0,ρ)u = F (2.4)
est bien posé. De plus, siF = S0f , la solution de (2.3) est la restriction à Ω0de la solution de (2.1),
qui peut être reconstruite en posant :
u = u|Ω0 dansΩ0 Sf + S−(ω2+ iεω)(ρ p− ρ)u|Ω0 dans R2\ Ω0 (2.5)
Démonstration. En vertu du lemme 2.1, nous savons queS0,ρest un opérateur compact surL2(Ω0).
Par conséquent,I−S0,ρest un opérateur de Fredholm d’indice zéro, et le problème (2.4) est gouverné
par l’alternative de Fredholm (voir par exemple [66]). Il nous suffit donc de montrer l’injectivité de I− S0,ρ. Nous considérons doncu solution de
(I− S0,ρ)u = 0
Nous définissons ensuite :
e u = u dansΩ0 S −(ω2+ iεω)(ρ p− ρ)u dans R2\ Ω0
Alors, commeS0,ρf est la restriction à Ω0 deS −(ω2+ iεω)(ρp− ρ)f par définition, nous avons
en utilisant l’équation (2.4) :
u = S0,ρu = S −(ω2+ iεω)(ρp− ρ)u dansΩ0
et par suite :
e
u = S −(ω2+ iεω)(ρ
p− ρ)u dans R2
Puis, commesupp (ρ− ρp)⊂ Ω0,(ρp− ρ)u = (ρp− ρ)eu, nous pouvons réécrire ceci :
e
u = S −(ω2+ iεω)(ρ
p− ρ)eu dans R2
En particulier, nous en déduisons queue∈ H1(R2). D’un autre côté, par définition de eS,
e u est solution de : −∆eu− (ω2+ iεω)ρ pu =e −(ω 2+ iεω)(ρ p− ρ)eu
ce qui se réécrit aussi :
−∆eu− (ω2+ iεω)ρ
e u = 0
En vertu du théorème 2.1, l’unique solution dansH1(R2) de ce problème est la solution nulle, aussi
vertu de l’alternative de Fredholm. Alors le problème (2.4) possède une unique solution. Prenons maintenantF = S0f , et posons cette fois :
e u = u dansΩ0 Sf + S −(ω2+ iεω)(ρ p− ρ)u dans R2\ Ω0
De nouveau, comme S0,ρf est la restriction à Ω0 de S −(ω2+ iεω)(ρp− ρ)f, nous obtenons en
utilisant l’équation (2.3)
u = S0,ρu + S0f = S −(ω2+ iεω)(ρp− ρ)u + S0f dansΩ0
Rappelons-nous ensuite queS0f est également la restriction de Sf à Ω0, d’où :
u = S −(ω2+ iεω)(ρ
p− ρ)u + Sf dansΩ0
Alors nous obtenons : e
u = S −(ω2+ iεω)(ρp− ρ)u + Sf dans R2
D’autre part, nous avons toujourssupp (ρ− ρp)⊂ Ω0,(ρp− ρ)u = (ρp− ρ)eu, et donc :
e
u = S −(ω2+ iεω)(ρ
p− ρ)eu + Sf dans R2
Par conséquenteu satisfait (2.2), ce qui signifie qu’elle est l’unique solution dans H1(R2) de (2.1), et
u est sa restriction à Ω0.
Ce résultat montre que le problème non borné de départ (2.1) est équivalent à l’équation de Lippmann-Schwinger (2.3) définie surΩ0 (mais qui n’est plus une équation aux dérivées partielles).
En apparence, nous avons réduit le problème à un domaine borné. Mais tout comme pour les opé- rateurs DtN, les deux opérateurs S0 et S0,ρ qui doivent être déterminés au préalable, masquent le
caractère non borné du problème, puisqu’ils sont définis comme la restriction àΩ0 de la solution de
problèmes posés en domaine non borné. C’est dans la résolution de cette difficulté que réside une partie de l’originalité de nos travaux. Nous allons voir que l’utilisation conjointe de la transformée de Floquet-Bloch et des opérateurs DtN de guide va nous permettre de ramener la détermination de ces deux opérateurs à la résolution d’une famille de problèmes posés en domaines bornés. Remarque 2.1. Dans le cas particulier du milieu homogène sauf dans Ω0, remarquons que l’opé-
rateur S s’écrit, si G est la fonction de Green du milieu homogène : Sf = Z R2 G(x− y)f(y)dy = Z Ω0 G(x− y)f(y)dy commef est à support dans Ω0. L’équation (2.3) s’écrit alors dans ce contexte :
u + (ω2+ iεω) Z Ω0 G(x− y)(ρp− ρ)(y)u(y)dy = Z Ω0 G(x− y)f(y)dy
C’est cette équation qui est connue sous le nom d’équation de Lippmann-Scwhinger. Comme il est clair que (2.3) n’en est qu’une version abstraite dans un contexte plus général, nous avons choisi de conserver cette dénomination pour la désigner, les idées sous-jacentes étant exactement les mêmes. Toutefois, il semble que les emplois d’une équation de ce type ont toujours été basés sur le calcul (plus ou moins) explicite de la fonction de Green. Notre approche (même si on pourrait probablement calculer la fonction de Green par notre méthode) va permettre de s’en dispenser, rendant ainsi accessible l’ensemble des milieux périodiques, pour lesquels de manière très générale, il n’est pas possible de calculer explicitement la fonction de Green.
Le lecteur aura sans doute remarqué que nous avons pris soin de préciser dans l’énoncé de chacun des résultats de ce paragraphe, que ceux-ci restent valides quel que soit l’ouvertΩ0. En effet, nous avons
seulement utilisé le caractère borné de Ω0 pour les établir, et nullement sa géométrie particulière.
Ceci est destiné à préparer le cas plus général comportant plusieurs défauts linéiques, que nous traiterons plus tard dans ce chapitre.
2.1. MÉTHODE LS-DTN EN MILIEU PÉRIODIQUE 49