À la fois dans [FGKM] et dans [KR], les auteurs établissent un développement asymp-totique du ν-ième moment de E(X, q, ·) et montrent que le terme principal vaut
δ2|ν ν!
2ν/2(ν/2)!V ν/2
pour un certain V > 0. Ceci correspond bien au ν-ième moment d’une loi normale de variance V .
Le but de cette étude est de calculer ces moments dans le cas d’une forme de poids demi-entier et où le module q de la progression arithmétique est une puissance de nombre premier. On verra alors que le comportement asymptotique mis en évidence dans ce cas est bien différent de ceux rencontrés dans [FGKM] et [KR].
Notre première contribution se concentre uniquement sur les moments de E(X, q, ·). Afin d’exploiter la multiplicativité des coefficients de f , on aura besoin de faire l’hypothèse suivante. On rappelle que pour f ∈ S`+1/2(N, χ) (respectivement S`+1/2+ (N, χ)), on dit que f est une forme propre si elle est vecteur propre pour tous les opérateurs de Hecke
Tp`+1/2,N,χ2 (respectivement Tp`+1/2,N,χ,+2 ) avec p premier. De plus, on note f0 = f |`+1/2WN ∈
Hypothèse 3.1.1. Pour f ∈ S`+1/2(N ), avec ` > 1, on suppose qu’au moins l’une des conditions suivantes est vérifiée :
1. N = 4 et f est une forme propre. 2. f0 est une forme propre.
3. f0 ∈ S`+1/2+ N,N· est une forme propre de l’espace de Kohnen.
Par ailleurs, dans le cas où ` = 1, on suppose que f est dans l’orthogonal du sous-espace engendré par les séries thêta.
Dans l’énoncé qui suit, la dépendance exacte en les paramètres initiaux est omise. Cet aspect sera traité plus tard. Pour éviter des problèmes de notation, on notera plutôt N0 le niveau de la forme.
Théorème 3.1.3. Soit f ∈ S`+1/2(N0) une forme cuspidale de poids demi-entier vérifiant
l’hypothèse 3.1.1. On définit E(X, q, a) comme en (3.1.2). Soit ν > 0 un entier et e ∈ {±1}. Il existe une constante explicite Cν dépendant seulement de ν telle que pour toute puissance d’un nombre premier q = pN avec p - N0, tout X > 0 et tout ε > 0 vérifiant
1 6 Y(1+ε)2ν−2 < Cνq où Y = N0q2/X, on a 2 ϕ(q) X a [q] a p = e E(X, q, a)ν = δ2|ν ν! (ν/2)! 1 Y X 1 6 m < Y1+ε m p = e ˆ f0(m)2B2 m Y ν/2 (3.1.4) + O Y−(1/2−α)+ε+Y ν/2+ε p !
où α ∈ [0, 1/2[ est défini en (3.2.3), ˆf0(n) est le n-ième coefficient de Fourier normalisé
de f à la pointe 0 et B est une fonction C∞ à décroissance rapide et ne dépendant que de w et `.
On prouvera même une version plus élaborée de ce théorème avec plus de flexibilité en les paramètres (voir théorèmes3.6.1et3.6.2). Le fait que le terme d’erreur soit non borné lorsque p est fixé et Y → +∞ est une des premières complications. On verra que dans ce régime de convergence, on peut définir à partir de S(X, q, a) un analogue de E(X, q, a) qui converge.
En revanche, si on veut rendre ce terme d’erreur négligeable pour tout ν, alors Y doit croître moins vite que toute puissance de p. Ce faisant, le symbole de Legendre tordant la somme du terme principal engendre une difficulté supplémentaire. En effet, contrôler une somme courte tordue par un caractère de grand conducteur est un problème très délicat en général. En fait, différents comportements peuvent apparaître et on explicitera précisément l’un d’entre eux dans la proposition 3.8.1. On reviendra en détail sur cet aspect du problème dans la section 8 et on en déduira un analogue des théorèmes 3.1.1 et3.1.2 pour une sous-suite de E(X, q, a).
1 Introduction
Corollaire 3.1.1. Soit f ∈ S`+1/2(N0) une forme cuspidale de poids demi-entier vérifiant
l’hypothèse 3.1.1. On suppose que ses coefficients de Fourier à la pointe 0 sont réels ( i.e.
ˆ
f0(n) ∈ R pour tout n). On définit E(X, q, a) comme en (3.1.2). Soit (qk)k>1 une suite de puissances de nombres premiers, disons qk = pNk
k , où (pk)k est la suite des nombres premiers. Si (Xk)k est une suite de réels strictement positifs telle que
q2
k
Xk
= o(log log pk) et Xk = o(qk2) quand k → +∞ (3.1.5)
alors il existe une sous-suite de la suite de variables aléatoires
Z/qkZ× → R
a 7→ E(Xk, qk, a) qui converge en loi vers la loi mixte
1 2δ0+
1
2N (0, 2Vf,w)
où δ0 est la mesure de Dirac en 0 et N (0, 2Vf,w) est une loi normale d’espérance nulle et
de variance 2Vf,w = 2(4π)Γ(`+1/2)`+1/2hf, f i||w||2
2 avec hf, f i défini comme en (2.1.1).
Remarque 3.1.2.
• Le régime de convergence (3.1.5) peut être élargi si on suppose certaines conjectures classiques. Par exemple, sous GRH il suffit d’avoir seulement qk2/Xk = o(log pk). • Supposer que les coefficients sont réels est crucial. C’est cependant une hypothèse
re-lativement classique que l’on fait souvent dans les articles qui traitent des formes de poids demi-entier. Notamment dans l’étude des changements de signes de ( ˆf∞(n))n>1 (voir [BK], [HKKL] ou [LRW]). De plus, l’hypothèse que f ou f0 est une forme propre entraîne souvent qu’à renormalisation près, ses coefficients sont réels (voir par exemple le corollaire2.2.1). Des exemples explicites de telles formes sont donnés dans [BK, page 7] et [C2, page 109] mais aussi après la proposition 2.1.3.
Ce résultat est plutôt surprenant si on compare au cas du poids entier. On est tenté de se demander pourquoi la convergence n’est établie que pour une sous-suite de nombres premiers. On verra en quoi c’est une restriction naturelle dans la section 8.
L’apparition d’un mélange de deux lois distinctes dans le corollaire3.1.1est une consé-quence de l’équirépartition asymptotique des sommes de Salié. Celle-ci est elle-même mixte puisque (comme on le verra) on a deux comportements différents suivant que a est un carré modulo q ou non. Pour cette raison, on va décomposer les moments en une moyenne entre un moment sur les carrés et un moment sur les non-carrés modulo q.
Dans la dernière section, on verra que la preuve du théorème 3.1.3 peut être adaptée pour traiter le cas de coefficients de Fourier d’une forme modulaire de poids entier en progression arithmétique de module q = pN où p est un nombre premier impair et N > 1. On donnera un schéma de preuve du théorème suivant.
Théorème 3.1.4. Soit f une forme cuspidale quelconque de niveau N0 et de poids (pair) κ. On définit E(X, q, a) comme en (3.1.2). Soit ν > 0 un entier et e ∈ {±1}. Il existe
une constante explicite Cν, dépendant seulement de ν telle que pour toute puissance de nombre premier q = pN avec p - 2N0 et N > 2, tout X > 0 et tout ε > 0 satisfaisant
1 6 Y(1+ε)2ν−2 < Cνq où Y = N0q2/X, on a 2 ϕ(q) X a [q] a p = e E(X, q, a)ν = δ2|ν ν! (ν/2)!