4.2.1
Problématique
Les algorithmes robustes de recalage d’images décrits au chapitre 2 sont bien adaptés pour les occultations externes. En effet, le terme de régularisation devient prépondérant pour les pixels dé- tectés comme occultés. La fonction de déformation reste lisse au niveau de l’occultation, ce qui est le comportement souhaité. La détection des régions occultées s’appuie sur le terme de données Ed;
une différence d’intensité pour les approches directes. Elle distingue par simple seuillage de l’image de différence l’occultant de l’occulté, sous l’hypothèse qu’ils soient sensiblement différents en terme d’intensité lumineuse.
En cas d’auto-occultation, l’utilisation de ce critère s’avère inefficace. Les auto-occultations re- quièrent une grande précision de la détection puisqu’elles sont introduites par de fortes déformations. La région d’intérêt étant en outre souvent homogène en terme d’intensité, il devient plus difficile de lever l’ambiguïté entre les régions visibles et non-visibles, en se basant uniquement sur l’information contenue dans les images. Des erreurs de recalage apparaissent inévitablement avec ce module de détection.
4.2.2
Approche proposée
Nous proposons d’utiliser le comportement de la fonction de déformation le long de la fron- tière d’auto-occultation pour détecter les pixels auto-occultés. Il peut être de deux types pour des fonctions continues, sous l’hypothèse que les régions visibles soient correctement recalées : soit la fonction de déformation est rabattue sur elle même, soit elle est comprimée au niveau de la fron- tière d’auto-occultation. La première possibilité représente le comportement naturel d’une fonction de déformation régularisée tandis que la deuxième doit être imposée.
Seule la contraction permet une détection précise des régions auto-occultées en utilisant les déri- vées directionnelles de la fonction de déformation, comme nous le décrivons en §4.3.2. Si la fonction de déformation forme une « boucle », alors ses dérivées permettent de déceler la présence de régions auto-occultées mais ne permettent pas de définir précisément les régions associées comme l’illustre la figure 4.1. Cette figure représente une coupe de la fonction de déformation dans la direction perpen- diculaire à la frontière d’auto-occultation. Cette coupe est représentée pour les deux configurations possibles décrites ci-dessus : contraction et boucle. Sur cet exemple, lorsque la fonction de défor- mation se rabat sur elle même on constate une variation du signe de la dérivée dans la direction x permettant de déceler la présence d’auto-occultation. Cependant, il est impossible de situer préci- sément les bornes de la région auto-occultée (point vert (ou gris clair) et rouge (ou gris foncé)) le long de la courbe. Par contre, si la fonction de déformation est comprimée le long de la frontière d’auto-occultation alors la région auto-occultée correspond parfaitement à une région où la fonction de déformation possède une dérivée nulle suivant la direction x : un critère permettant la détection précise des régions auto-occultées peut alors être défini. En résumé, la présence de boucles lors du recalage doit être évitée et remplacée par la contraction de la fonction de déformation.
Pour cela un troisième terme, appelé le contracteur, est ajouté à la fonction de coût classique (équation (2.1) de la section 2.2.1). Il détecte les boucles comme des variations de signe dans les dérivées directionnelles de la fonction de déformation et impose à la place l’annulation des dérivées dans une direction c’est-à-dire la contraction de la fonction de déformation suivant cette direction. Plus de détails sur le contracteur utilisé dans notre algorithme de recalage sont donnés en §4.3.1. Notons que cette représentation possède également l’avantage de faire disparaître naturellement les régions auto-occultées, ce qui est très utile pour des applications d’augmentation 2D d’images d’une surface déformable auto-occultée. Plus de détails sont donnés en §4.5.
+
+
≈ 0+
0+
-
+
Légende:+ Dérivée suivant X positive - Dérivée suivant X négative 0 Dérivée suivant X nulle
0 Région auto-occultée Coupe le long de la direction x
+
0-
+
0FIG. 4.1 – Coupes de la fonction de déformation pour différentes configurations. A gauche :
l’image de référence sur laquelle est surimposée la coupe appliquée à la fonction de déformation ainsi que les bornes définissant la région auto-occultée le long de cette coupe. Au centre : les différentes configurations possibles de la fonction de déformation en présence d’auto-occultation. En haut à droite : évolution de la composante x de la fonction de déformation le long de la coupe lorsque celle- ci forme une boucle. En bas à droite : évolution de la composante x de la fonction de déformation le long de la coupe lorsque celle-ci est comprimée.
La détection des régions auto-occultées se fait par un module s’appuyant sur la recherche des dérivées directionnelles faibles de la fonction de déformation. Nous allons voir en §4.3.2 que cette recherche exhaustive peut être remplacée par un problème de minimisation pour chaque pixel dont la solution possède une forme analytique simple.
La figure 4.2 illustre les différences entre la fonction de coût robuste classique et celle proposée, modélisant explicitement les auto-occultations.
Un pixel visible
données régularisation
Un pixel occulté
Un pixel visible
données régularisation
Un pixel occulté par un objet externe
contracteur
Un pixel auto-occulté
Notre approche
Termes de la fonction de coût
Termes de la fonction de coût
Approche robuste
FIG. 4.2 – Fonction de coût classique et celle proposée modélisant explicitement les auto- occultations. Les termes qui sont pris en compte dans la minimisation sont représentés par un cercle vert (gris clair) et ceux qui ne sont pas pris en compte sont représentés par un cercle rouge (gris foncé). L’approche classique traite les pixels auto-occultés et ceux occultés par un objet externe de la même manière, c’est-à-dire comme des données aberrantes. Notre approche consiste à activer le contracteur au niveau des pixels auto-occultés ; la détection des régions associées se faisant par le module de détection décrit en §4.3.2.
4.2.3
Approche alternative
Récemment, nos travaux ont été repris dans (Hilsmann and Eisert, 2008) pour proposer un nouvel algorithme de recalage d’images d’une surface déformable auto-occultée. L’idée de base est identique au cadre de gestion des auto-occultations que nous proposons. La fonction de déformation est forcée à se comprimer au niveau de la frontière d’auto-occultation. La détection des pixels auto-occultés s’appuie alors sur cette propriété. Cependant les auteurs procèdent différemment : la détection des pixels auto-occultés se fait en se basant sur un critère de rapport de distances évaluées entre un sommet du maillage définissant la fonction de déformation et ses voisins. Ce critère est ensuite interpolé afin d’obtenir une carte d’auto-occultation pixélique. La contraction de la fonction de déformation est quant à elle imposée en pondérant localement le terme de régularisation en fonction du résultat de la détection, évitant ainsi l’ajout d’un troisième terme dans la fonction de coût.