Éléments proches et polynômes

SiPest un polynôme enn²variables commutativesX11, X12, . . . , Xnnà coefficients dansZ, siM = (mij)∈Mn(F)(ouMn(L)), on poseP(M) =P(mij)∈F (ouL). Énonçons quatre propositions qui nous seront utiles par la suite :

PROPOSITION 4.1. – SiM, M∈Mn(F)alors

PROPOSITION 4.4. – Supposons que F est de caractéristique non nulle p. Soit P ∈ Z[X11, X12, . . . , Xnn]. Soientk >0etM∈Mn(F)fixés.

(b) On ne fait aucune supposition sur les coefficients de P, mais on suppose toujours que P(M)= 0. Écrivons P =Q+pR où Q, R∈Z[X11, X12, . . . , Xnn] et tous les coefficients

par la prop. 4.1, d’où la première inclusion.

SiA= (Id+B)M(Id+C)avecB, C∈Mn(P_F^k), alors A=M+BM C+BM+M C

oùBM C, BM etM Cse trouvent dansMn(P_F^k+vMn(F)(M))par la prop. 4.1, d’où la deuxième inclusion. ✷

Démonstration de la proposition 4.3. – SoitM=BAC, oùB∈GLn(OF),C∈GLn(OF)et A∈ AF. On a vu qu’alors

ζ¯F L^m

KF^kM KF^k

=KL^kζF L^m (B)ζF L^m (A)ζF L^m (C)KL^k.

Pour montrer queζ_{F L}^m (M)∈ζ¯_{F L}^m (K_F^kM K_F^k)il suffit, par la prop. 4.2, de montrer que ζ_{F L}^m (BAC)−ζ_{F L}^m (B)ζ_{F L}^m (A)ζ_{F L}^m (C)∈Mn

P_L^u

où

u=k−vMn(L)

(ζ_{F L}^m (B)ζ_{F L}^m (A)ζ_{F L}^m (C))⁻¹

=k−vMn(F)

M⁻¹

=m+vMn(F)(M).

On a utilisé pour la deuxième égalité le fait que –ζ_{F L}^m (B)∈GLn(OL),

–ζ_{F L}^m (C)∈GLn(OL)et

– vL(ζ_{F L}^m (A⁻¹)) =vF(A⁻¹) =v(C⁻¹M⁻¹B⁻¹) = vF(M⁻¹). Pour les mêmes raisons, vMn(F)(M) =vMn(F)(A)et si on écrit

A=diag

π^a_F¹;π_F^a2. . . π^a_Fⁿ , alorsvM_n(F)(A) =a1. Donc la relation à montrer est

ζ_{F L}^m (BAC)−ζ_{F L}^m (B)ζ_{F L}^m (A)ζ_{F L}^m (C)∈Mn

P_L^m+a1

;

ou encore :

ζF L^m

Bπ⁻_F^a1AC

−ζF L^m (B)ζF L^m

π_F^−a1A

ζF L^m (C)∈Mn

PL^m

,

qui est évidente, carB, C, π_F^−a1A∈Mn(OF)et on peut appliquer le fait que l’applicationζ¯_{F L}^m est induite par la restriction deζ_{F L}^m . ✷

Démonstration de la proposition 4.4. – Le partage du premier résultat de ce théorème (hypothèseP(M)= 0) en point (a) et point (b) vient du fait que, si F etL sontm-proches la somme àltermes1 + 1 +· · ·+ 1dans les corpsF etLrespectivement donne des éléments m-proches pourl < p (voir la propriété (4)), mais pas pour l=p. Le point (c) traite du cas P(M) = 0où le résultat est de nature différente.

(a) Par la proposition 4.3,ζ_{F L}^m (M)∈ζ¯_{F L}^m (K_F^mM K_F^m). Par la proposition 4.2,N−ζ_{F L}^m (M)∈ Mn(P^m−vMn(F)(M

−1)

F )et doncNetζ_{F L}^m (M)sont[m−vM_n(F)(M⁻¹)−vM_n(F)(M)]-proches.

Mais

m−vM_n(F)

M⁻¹

−vM_n(F)(M) =k+vF

P(M)

−min

v∈SvF

s(M) .

Donc les coefficients de mêmes indices des deux matrices respectivement sont[k+vF(P(M))−

minv∈SvF(s(M))]-proches. Par la propriété (3), pour chaque s∈S, s(M) et s(N) sont [k+vF(P(M))−minv∈SvF(s(M))]-proches. Les coefficients devant ces monômes se trouvent dans l’ensemble {1,2, . . . , p−1}. Les éléments 1F et 1L sont m-proches par la condition imposée dans la définition de l’application λ^m_{F L}. Alors, par la propriété (4), pour tout l∈ {1,2, . . . , p−1}, les sommes à l termes 1 + 1 +· · ·+ 1 dansF et L respectivement sont m-proches. AinsiP(M)etP(N)sont des sommes non nulles d’éléments[k+vF(P(M))− minv∈SvF(s(M))]-proches deux à deux. Donc, par la propriété (4), P(M) et P(N) sont k-proches.

(b) Par le point (a) et le choix de m,Q(M) etQ(N) sontk-proches. Remarquons que la caractéristique deF étantp,Q(M) =P(M). Il suffit de montrer donc queQ(N) +pR(N)et Q(N)sontk-proches. Or, siLest un corps de caractéristique nullem-proche deF, alors l’image de la somme àptermes1 + 1 +· · ·+ 1 dansOL/P_L^m est la classe de0, donc la valuation de l’élément1 + 1 +· · ·+ 1(pfois1) est supérieure à m. Par le choix de mdans l’hypothèse, pR(N)∈P_L^k+vL(Q(N))et doncQ(N) +pR(N)etQ(N)sontk-proches.

(c) Considérons le polynômeQ(X) =P(X) + 1. On a Q(M)= 0et on peut appliquer le point (b) àQ. Or, siQ(M)etQ(N)sontk-proches, alorsQ(N)−ζ_{F L}^m (Q(M))∈P_L^k. Mais

Q(N)−ζ_{F L}^m Q(M)

=

P(N) + 1

−1 =P(N) d’où le résultat. ✷

4.3. Éléments proches et polynômes caractéristiques, cas deGLn

SoientF un corps local de caractéristique non nullep. SoientPM un polynôme unitaire de degrénà coefficients dansF et séparable (sans racine multiple), etM la matrice compagnon dePM . Soitl >0.

PROPOSITION 4.5. – Il existe deux entiers,mlets, qui ne dépendent que dePM et de l, tels que, siLest un corps local de caractéristique nullem-proche deF, on ait : si gest un élément deGL(resp. deGF) dont le polynôme caractéristique ests-proche dePM, alorsgest conjugué à un élément deζ¯_{F L}^m (K_F^lM K_F^l)(resp. deK_F^lM K_F^l).

Démonstration. – On pose

s=l−vM_n(F)(M)−vM_n(F)

M⁻¹

et

m=s.

Par la proposition 4.3 et le choix dem,ζ_{F L}^m (M)∈ζ¯_{F L}^m (K_F^lM K_F^l)et donc ζ¯_{F L}^m

K_F^lM K_F^l

=K_L^lζ_{F L}^m (M)K_L^l. D’autre part, siKFM KF=KFAKF,A∈ AF, alors

vMn(F)(M) =vMn(F)(A) et

vMn(F)

M⁻¹

=vMn(F)

A⁻¹ .

Comme on aζ¯_{F L}^m (K_F^lM K_F^l) =K_L^lζ_{F L}^m (M)K_L^l, on en déduit que un polynômes-proche dePM, alorsP est un polynômes-proche du polynôme caractéristique Pζ_{F L}^m (M) de ζ_{F L}^m (M) aussi. Donc la matrice compagnon Comp(P) de P sera s-proche de

Par la proposition 4.2 on a alors

Comp(P)∈K_L^lζ_{F L}^m (M)K_L^l = ¯ζ_{F L}^m

K_F^lM K_F^l .

On conclut par le fait que sig∈GLn(F)a le même polynôme caractéristiqueP queComp(P), alorsgetComp(P)sont conjugués (carPest sans racine multiple). ✷

PROPOSITION 4.6. – Soitπune représentation de carré intégrable deGF. SoitMun élément elliptique régulier deGF. SoitPM le polynôme caractéristique deM. Il existe alorsmetsqui ne dépendent que deπet dePM tels que, siLest un corps local de caractéristique nulle m-proche deF, on ait : pour tout élémentgdeGL dont le polynôme caractéristique ests-proche dePM, on a

χζ¯^m_{F L}(π)(g) =χπ(M).

Démonstration. – On peut supposer que M est la matrice compagnon de PM, puisque les caractères sont constants sur une classe de conjugaison. Dans [2] nous montrons à la p. 65, au cours de la démonstration du th. 4.3, qu’il existel tel que χπ soit constant surK_F^lM K_F^l et m tel que, siL est un corpsm-proche deF, alorsχζ¯_{F L}^m (π)soit constant surζ¯_{F L}^m (K_F^lM K_F^l), et ces deux constantes sont égales. Les entiers l et m ne dépendent que deM et de π. (Ce relèvement local des caractères ne se fait que pour des représentations de carré intégrable et pour unM elliptique régulier, car il passe par un relèvement local de l’intégrale orbitale d’un pseudocoefficient.) Nous appliquons ensuite la prop. 4.5 pour celet, quitte à augmenterm, nous avons le résultat. Les entiersmetsobtenus ne dépendent que del,M etπ, maislne dépend à son tour que deM etπ, etM ne dépend que dePM, étant sa matrice compagnon. ✷

4.4. Éléments proches et polynômes caractéristiques, cas des formes intérieures deGLn

Dans cette sous-section on démontre un résultat sur les formes intérieures de GLn(F)(la proposition 4.10). SoitDF une algèbre à division centrale de dimensiond² surF. SoitE une extension non ramifiée de dimensiondsur F incluse dansDF. On supppose qu’on a fixé une uniformisanteπFdeF (et deEaussi), ainsi qu’une uniformisanteπDF deDF et un générateur σE de Gal(E/F)qui correspondent à DF comme dans la sous-section 2.4. Soitr un entier strictement positif etG_F=GLr(DF). On posen=rd. Chaque fois qu’on se donneLun corps local m-proche deF, on considère que le triplet correspondant est choisi de façon à ce que l’uniformisante deF qui y apparaît soitπF. On reprend alors toutes les notations de la section précédente pourK,DL et tous les objets qui leur sont associés, avec une seule exception : la dimension deDF surFest notée icidalors que dans la section précédente elle était notéen. On rappelle que la base de voisinages{KF^l}l∈Nde l’identité avec laquelle on a travaillé surG_F est associée à la base de voisinages{PD^dl_F}l∈Nde0et non pas à la base de voisinages{PD^l_F}l∈N.

PROPOSITION 4.7. – SiM, M∈Mr(DF)alors

vMr(DF)(M M)vMr(DF)(M) +vMr(DF)(M).

PROPOSITION 4.8. – SoitM∈GLr(DF). Pour toutk >0on a : M+Mr

P^{d(k−vMr(DF)(M}

−1)) DF

⊂K_F^kM K_F^k ⊂M+Mr

P_D^d(k+v_F ^Mr(DF)(M)) . PROPOSITION 4.9. – Sik >0est fixé, siM∈GLr(DF), en posant

m=k−vM_r(D_F)(M)−vM_r(D_F)

M⁻¹

on a : siFetLsontm-proches, alorsζ_D^m_FDL(M)∈ζ¯_D^m_FDL(K_F^kM K_F^k).

Démonstrations. – Les démonstrations des propositions 4.1 et 4.2 s’appliquent aux proposi-tions 4.7 et 4.8 sans changement. Pour la proposition 4.9 il y a un petit problème car l’uni-formisante de DF ne commute pas avec tous les éléments de DF donc il faut vérifier que ζ_D^m_FDL(BAC)−ζ_D^m_FDL(B)ζ_D^m_FDL(A)ζ_D^m_FDL(C)∈Mn(P_L^d(m−a1))est toujours vrai. On mul-tiplie parπ_D^−a_F¹comme dans la démonstration de la proposition 4.3 et on écrit :

π_D^−a_L¹ζ_D^m_FDL(BAC) =ζ_D^m_FDL

π_D^−a_F¹BAC

=ζ_D^m_FDL

σ^a_E¹(B)(π_D^−a_F¹A)C

car nous avons définiζ_D^m_FDLde sorte qu’elle commute à la multiplication par les uniformisantes (propriété (2)).

Maintenant

π⁻_DL^a1ζ_D^m_FDL(B)ζ_D^m_FDL(A)ζ_D^m_FDL(C) =σ_K^a1

ζ_D^m_FDL(B)

π_D^−a_L¹ζ_D^m_FDL(A)ζ_D^m_FDL(C)

=σ_K^a1

ζD^m_FD_L(B) ζD^m_FD_L

π_D^−a_F¹A

ζD^m_FD_L(C).

On a aussi

ζ_D^m_FDL

σ_E^a1(B)

=σ^a_K¹

ζ_D^m_FDL(B) par la relation (2.13). Il faut donc montrer que

ζ_D^m_FDL

σ_E^a1(B)(π⁻_DF^a1A)C

−ζ_D^m_FDL

σ_E^a1(B) ζ_D^m_FDL

π_D^−a_F¹A

ζ_D^m_FDL(C)∈Mr

P_D^k_F .

On conclut comme dans la démonstration de la proposition 4.3, carσ^a_E¹(B), π⁻_D^a_F¹AetCsont dansMr(OD_F).

PROPOSITION 4.10. – SoientM∈G_F etk∈N. Il existe un entiermtel que, siF etLsont m-proches, alors pour toutg∈ζ¯_D^m_FDL(K_D^m_FMK_D^m_F)les polynômes caractéristiques deMet gsontk-proches.

Démonstration. – On rappelle la proposition de la p. 295, [19] :

SoitAune algèbre centrale simple surFde dimensionn². SoitEune extension de dimension ndeF. Alors, si on a un morphisme d’algèbres unitairesΨ :A→Mn(E), pour tout élément g deA, le polynôme caractéristique deΨ(g)(qui a priori a des coefficients dansE) a tous ses coefficients dansFet c’est le polynôme caractéristique deg.

Dans notre cas,A=Mr(DF). Elle agit surD_F^r. En écrivantDF =

0idπⁱ_DFE on a un isomorphismeD^r_FEⁿet par conséquent une action deMr(DF)surEⁿ. On a obtenu donc un morphisme d’algèbresΨ :Mr(DF)→Mn(E). Le polynôme caractéristique deMest alors égal au polynôme caractéristique deΨ(M). On va calculer ce dernier en fonction des coefficients de M. Supposons que M s’écrit M = (m_ij)1i,jr et que Ψ(M) s’écrit (nst)1s,tn. Supposons maintenant que pour tousietj,m_ij s’écrit sur la base1, πDF, π_D²_F. . . π_D^d−_F¹deDF

surE:

m_ij=

0kd−1

π^k_DFe^k_ij, e^k_ij∈E.

Pour tout0ld−1, pour tout tele^k_ij posonse^kl_ij=σ^l_E(e^k_ij). On peut fabriquer une matrice U(M) = (uvw)1v,wn anlignes etncolonnes et à coefficients dansEen posant pour tout 1v , wn:uvw=e^kl_ij oùi, j, ketlsont définis comme suit :l est le quotient de la division euclidienne devparr,i−1est le reste de la division euclidienne devparr,kest le quotient de la division euclidienne dewparretj−1est le reste de la division euclidienne dewparr.

Notation. – SiP est un polynôme dansZ[X11, X12, . . . , Xnn][t], siA= (aij)1i,jn est une matrice dansMn(F), six∈F, l’élémentP(a11;a12;. . .;ann;x)deFsera noté abrégéP(A;x).

LEMME 4.11. – Pour tout 1s, tn il existe un polynôme indépendant de M, Pst∈ Z[X11, X12, . . . , Xnn][t], dont le degré total en les variablesX11, X12, . . . , Xnnest1, tel qu’on aitnst=Pst(U(M);πF).

Démonstration. – Il suffit de vérifier cette propriété pour des matrices du type M_i^ke_0j0 = (m_ij)1i,jroùm_ij=δi0iδj0jπ_D^k_Feoùi0, j0sont des entiers entre1etr,kest un entier entre1 etd, ete∈E, car l’ensemble formé par ces matrices engendreMr(DF)surZet les polynômes considérés sont de degré1en lesn²premières variables. Soitd1, d2, . . . , drla base canonique deD_F^r. L’élémentM_i^ke_0j0 agit sur D^r_F en envoyantdi sur0pour touti=i0et en envoyantdi0

surπ^k_DFedj0. Si on se représente la matriceΨ(M_i^ke_0j0)par blocs de tailled×d, alors tous ces blocs sont nuls à l’exception de celui qui se trouve dans la positioni0j0, et ce dernier est égal à X= (xij)1i,jdoù lesxijsont donnés par :

– si1ik, alorsxij=δi,j−d+kπFσ^k−d+j−1(e), – sik+ 1in, alorsxij=δi,j+kσ^j−1(e).

Le lemme est vérifié. ✷

LEMME 4.12. – Il existe des polynômes P0, P1. . . Pn−1∈Z[X11, X12, . . . , Xnn][t] tels que pour toute matriceM dansMr(DF), le coefficient de Xⁱ,1in−1, dans le polynôme caractéristique deMsoit égal àPi(U(M);πF).

Démonstration. – C’est évident par le lemme 4.11 plus haut.

LEMME 4.13. – Les points (a), (b) et (c) de la proposition 4.4 sont vérifiés si on rem-placeZ[X11, X12, . . . , Xnn]parZ[X11, X12, . . . , Xnn][t],P(M)parP(M;πF)etP(N)par P(N;πL).

Démonstration. – La démonstration marche identiquement en tenant compte que, si F etL sontm-proches, alorsπF etπLsontm-proches. Une autre façon de démontrer ce lemme est de le voir comme un cas particulier de la proposition 4.4 : on applique la proposition 4.4 à(n+ 1)² variables. ✷

Démontrons maintenant la proposition 4.10. On remarque que, siM etMsont dansMr(DF), et siM−M∈Mr(P_D^dh_F), alors pour touti, j, si on écrit

mij=

0kd−1

π_D^k_Fe^k_ij et m_ij=

0kd−1

π_D^k_Fe^k_ij,

on a pour tout k : e^k_ij −e^k_ij ∈P_E^h. Par conséquent, pour tout entier k1 fixé, il existe un entier k2 tel que, si F etL sont k2-proches, pour tout M ∈ζ¯_D^k2_FDL(K_D^k2_FMK_D^k2_F) on ait : U(M)∈ζ¯_EK^k2 (K_E^k1U(M)K_E^k1)(on a utilisé les propositions 4.2, 4.8, 4.3, 4.9 et le fait que si e, e∈Esontk-proches alors, pour toutσ∈Gal(E/F),σ(e)etσ(e)sontk-proches).

Soit maintenantMcomme dans l’hypothèse de la proposition 4.10. On pose N= min

0in−1vMn(E)

Pi(U(M))

qui a un sens parce qu’au moins P0((U(M))) est non nul (car égal àdet(M)). L’entierN n’est autre que la valuation du polynôme caractéristique deMvu comme élément deFⁿ. En appliquant la proposition 4(b) à la matrice U(M)∈Mn(E) on trouve qu’il existe unk0 tel que, siL estk0-proche de F, pour toute matriceM∈ζ¯_EK^k0 (K_EK^k0 U(M)K_EK^k0 ), pour touti entre0etn−1tel quePi(U(M))= 0,Pi(U(M))etPi(M)soientk-proches. En appliquant le lemme 4.13(c) aux polynômes Pi qui vérifient Pi(U(M)) = 0 on trouve qu’il existe un k₀ tel que, si L estk₀-proche de F, pour toute matrice M∈ζ¯_EK^k0 (K_EK^k0 U(M)K_EK^k0 )on a vMn(K)(Pi(M))k+N. En posantk1= max{k0;k₀}l’entierm=k2(voir quelques lignes plus haut pourk2) vérifie les propriétés requises par la proposition 4.10.

Dans le document Correspondance de Jacquet-Langlands pour les corps locaux de caractéristique non nulle (Page 30-36)