Pour valider le modèle numérique proposé ainsi que la stratégie de calibration, nous présen-tons ici l’étude menée sur un des grands corps d’épreuve qui a l’avantage de fournir plusieures configuration géométriques pour un même matériau.
Nous prenons comme exemple les mesures effectuées sur la dalle G7SNCH1 juste après la sortie de l’eau. Ce sont donc des mesures sur un béton totalement saturé d’eau. Il s’agit des mesures numéro 084, 090 et 092 (voir la figure 3.21)
Pour ce béton très poreux et entièrement staturé, les caractéristiques diélectriques7 sont les suivantes :εr = 11.3 etσ= 0.14S/m.
figure 3.21: Cas d’étude : mesures sur G7SNCH1 ; configuration géometrique
La figure??montre le A-scan qui correspond à la positionA0de la mesure 084 (en bleu).
En rouge on peut voir le signal simulé en incluant le modèle de dispositif GPR proposé en section 3.5.1 dans une configuration qui reproduit la géométrie qui était celle de la mesure.
On extrait de la mesure 090 un certain nombre de signaux temporels de la partie centrale du radargramme et on en fait la moyenne. En effet, vu la configuration géometrique de la mesure 090, tous le signaux temporels qui ont été enregistrés lorsque le dispositif était (à peu près) au milieu de son déplacement sont identiques au bruit près ; la moyenne (stacking) permet de réduire le bruit. Le signal obtenu est représenté (en bleu) sur la figure 3.23 et comparé à la simulation correspondante.
De la même manière que pour la mesure 090, on extrait un signal temporel débruité de la mesure 092 et on le compare avec la simulation. Voir la figure??.
Enfin, la figure 3.25 représente la différence entre les signaux tracés sur la figure??et ceux de la figure 3.23, ce qui représente la réponse de l’armature.
7. Telles que nous les avons rentrées dans notre modèle.
figure 3.23: 092, signal temporel débruité
figure 3.25: différence entre 084 et 092 : ré-ponse de l’armature
Pour compléter ces essais de validation du modèle, nous avons fait des mesures en plaçant notre dispositif au-dessus d’un bac en aluminium de dimensions 49x23.5x13cm3. Lors une première mesure le bac est vide (remplit d’air :εr = 1etσ = 0) et on compare à la simulation (voir figure ??). Lors d’une deuxième mesure, le bac est remplit de sable sec (εr = 3.5 et σ = 0.01) et on compare à la simulation (figure 3.27). Cette validation est intéressante, car le sable sec se trouve à l’autre extrémité du spectre des matériaux qui nous intéressent par rapport au béton très poreux et saturé.
figure 3.27: 333 : dispositif placé au-dessus d’un bac en aluminium plein de sable
On voit donc que notre modèle numérique et la méthode de calibration associée repré-sentent une base solide pour faire de l’inversion.
3.8 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté un nouveau dispositif de mesure radar à deux ré-cepteurs, qui permet d’avoir plus d’informations sur les champs diffractés, dans le but de faire de l’inversion. Ensuite nous avons détaillé le montage expérimental et notamment les corps d’épreuve sur lesquels nous avons travaillé pour obtenir des mesures adaptées pour tester les méthodes de contrôle non destructif que nous développons. Nous avons présenté un certain nombre de ces mesures avec quelques observations sur les différents signaux enregistrés et en les comparant entre eux. Puis nous avons décrit le modèle numérique du dispositif radar, qui nous permet de reproduire ces mesures par la simulation. On a montré aussi que ce modèle, qui doit servir de base aux méthodes d’inversion proposées, permet aussi calibrer les mesures en vue de leur utilisation pour l’inversion.
Enfin nous avons montré la qualité de notre modèle en comparant des simulations et des mesures pour plusieurs configurations géométriques et plusieurs matériaux. Ces comparaisons permettent aussi de valider la méthode de calibration et montre le bon comportement de notre modèle pour simuler la physique lorsque les antennes sont couplées avec un matériau diélectrique.
Tout ceci nous donne une base solide pour développer des méthodes d’inversion sur des mesures réelles, dans des conditions réalistes (présence d’armatures) mais bien maîtrisées.
Chapitre 4
Stratégie d’inversion pour caractériser un béton homogéne saturé et armé, à l’aide de mesures.
Dans des travaux qui ont précédé cette thèse, nous avions pour des mesures effectuées avec un autre dispositif, proposé une stratégie d’optimisation 2D relativement efficace pour remonter aux caractéristiques d’un béton homogène non armé.
Dans le contexte de cette thèse nous avions ensuite adapté cette approche à des bétons hétérogènes non armés dont les constantes diélectriques étaient supposées varier linéairement en fonction de la profondeur dans l’échantillon observé. Les premiers essais sur des données simulées avec rajout d’un faible bruit, ont permis de valider globalement une statégie d’opti-misation. Toutefois, sur des données simulées avec un bruit supérieur à10%ou dans le cadre de données mesurées, nous avions montré que la convergence du processus était très difficile avec un grand nombre d’oscillations. Il nous était alors apparu qu’il fallait régulariser notre fonction coût.
Fort de cette expérience, dans ce chapitre, nous reprenons sur de nouvelles mesures mieux contrôlées, pour des bétons homogènes saturés en eau et étant armés, nos travaux antérieurs pour une inversion 3D. Pour cela, dans un premier paragraphe, nous faisons une étude nu-mérique de la variation de la fonction coût par rapport à la permittivité et à la conductivité, puis, dans un deuxième paragraphe, nous proposons et mettons en œuvre une méthode d’inver-sion 3D basée sur une approche Levenberg-Marquardt qui permet de régulariser le processus d’inversion. Enfin dans les troisième et quatrième paragraphes, afin d’augmenter les perfor-mances de notre inversion, nous nous intéressons respectivement à un portage sous Open-MP de notre algorithme sur machine multi-cœurs à mémoire partagée et à la possibilité d’utiliser une inversion 2D pour définir un point de départ à l’inversion 3D, proche de la solution.
4.1 Étude numérique de la variation de la fonction coût en fonction de la permittivité et de la conductivité pour les mesures effectuées sur nos échantillons saturés et supposés homogènes
Dans ce paragraphe, nous allons étudier sur nos échantillons saturés en eau donc supposés homogènes, comment varie la fonction coût de notre problème inverse pour un ensemble de valeurs de permittivité et de conductivité choisies dans des intervalles adaptés aux mesures effectuées dans le chapitre 3. Pour cela, la fonction coût est définie par l’écart en normeL2des valeurs mesurées et calculées sur les deux antennes réceptrices du dispositif, pour une position A0donnée du capteur sur l’échantillon (voir figure 4.1).
figure 4.1: PositionA0 du capteur pour les mesures.
On peut encore écrire cette fonction coûtF(ε, σ) sous la forme :
F(ε, σ) = 1
2kEc(x0)−Emes(x0)k2 (4.1) oùEc(x0) définit les champs relevés sur les deux récepteurs du dispositif localisé au pointx0. Dans nos simulations, nous prenons une plage pour la permittivité relative εr entre 6 et 12.5 et pour la conductivité σ, une plage entre 0 S/m et 0.25 S/m. En prenant 30 valeurs de conductivité et de permittivité sur chaque intervalle, nous évaluons par simulation les champs et nous calculons la variation de la fonction coût par rapport aux deux variables.
Pour avoir une vision assez générale de la forme de la fonction coût, nous proposons 3 mesures effectuées sur des échantillons de même géométrie et 3 mesures simulées pour tester un échantillon homogéne non saturé, qui n’existe pas dans nos mesures.
Les figures 4.2, 4.3 et 4.4 montrent la variation de la fonction coût suivant la permittivité et la conductivité pour des mesures effectuées avec respectivement un échantillon constitué de granulats siliceux tel que E/C = 0.7, un échantillon constitué de granulats siliceux avec E/C = 0.51 et finalement un échantillon constitué de granulats calcaires tel queE/C= 0.7.
1. E/C est la grandeur qui exprime le rapport entre le poids d’eau de gâchage et le poids de ciment d’un béton
figure 4.2: variation de la fonction coût – échantillon E/C=0.7, granulats siliceux.
figure 4.3: variation de la fonction coût – échantillon E/C=0.5, granulats siliceux.
figure 4.4: variation de la fonction coût – échantillon E/C=0.7, granulats calcaires.
Si on étudie la variation de ces courbes, on note un minimun pour(εr = 11.6, σ= 0.16S) pour la première, (εr = 9.9, σ = 0.15S) sur la deuxième et enfin (εr = 12.5, σ = 0.2 S/m) pour la dernière. Pour plus d’information sur la différence entre la simulation et la mesure, les figures 4.5, 4.6 et 4.7 représentent respectivement cette différence entre la simulation pour les paramètres optimaux et la mesure sur le premier capteur.
figure 4.5: comparaison mesure/calcul sur le récepteur R1 – échantillon E/C=0.7, granulats siliceux.
figure 4.6: comparaison mesure/calcul sur le récepteur R1 – échantillon E/C=0.5, granulats siliceux.
figure 4.7: comparaison mesure/calcul sur le récepteur R1 – échantillon E/C=0.7, granulats calcaires.
Sur l’ensemble des expériences menées, on note une bonne concordance entre la mesure et la simulation avec les paramètres optimaux, sauf pour le dernier cas où une différence plus importante apparaît. Ceci est dû au choix des intervalles de variation des paramètres qui étaient certainement trop petits dans ce cas. On peut voir cela dans la variation de la fonction coût sur la figure 4.7.
Afin de compléter ces comparaisons, nous avons aussi considéré une mesure à partir de données simulées pour prendre en compte un béton homogène plus sec. Pour cela, on a choisi (εr = 9, σ = 0.05 S/m). La figure 4.8 montre alors la variation de la fonction coût suivant la
permittivité et la conductivité.
figure 4.8: variation de la fonction coût suivant(εr, σ).
Par ailleurs, toutes les simulations ont été jusqu’alors réalisées pour un béton armé. On a donc choisi deux exemples supplémentaires en considérant à nouveau les mesures par des données simulées et un béton sans armature. Ce choix s’impose car on n’a pas dans nos mesures, de données sur béton sans armature. Les valeurs qui ont été utilisées pour nos mesures sont les données simulées pour (εr = 9, σ= 0.05 S/m) et (εr = 11, σ= 0.15 S/m). Les figures 4.9 et 4.10 montrent la variation de la fonction côut pour ces deux configurations.
figure 4.9: variation de la fonction coût suivant(εr, σ).
figure 4.10: variation de la fonction coût suivant(εr, σ).
En conclusion de toutes ces simulations, si on observe l’ensemble des variations de la fonc-tion coût sur les intervalles choisis pour nos mesures, on a pratiquement une forme convexe à chaque fois, contrairement à ce que l’on avait trouvé avec d’autre mesures, sur d’autres inter-valles de variation des paramétres, dans nos premiers travaux. À partir de cette observation,a prioriquel que soit le point de départ choisi, on devrait converger vers la bonne solution dans une méthode de quasi-Newton ou, plus précisemment, de Gauss-Newton, voire de Levenberg-Marquardt. Le point délicat reste de savoir en combien d’itérations et donc à quel coût de calcul, on obtient la solution.
Par ailleurs, on retrouve sur ces courbes, le fait que la variation de F par rapport aux 2 paramètres semble être le produit cartésien entre la variation de la fonction par rapport à chacun d’eux.
Le fait que l’on ait une courbe convexe, contrairement aux anciennes mesures, peut aussi s’expliquer par un choix d’intervalles de départ plus petit et aussi peut-être par le choix d’un dispositif de mesure différent.