Éléments d’identification des harmoniques

A análise da estabilidade de sistemas chaveados, em particular dos sistemas chaveados lineares, é um assunto cujo interesse tem aumen- tado nos últimos anos. Algumas situações envolvendo a estabilidade de sistemas chaveados merecem destaque. Uma delas é de que mesmo quando todos os subsistemas que compõem um sistema chaveado são exponencialmente estáveis, o sistema chaveado pode apresentar trajetó- rias divergentes para determinados sinais de comutação. Outro aspecto relevante é a possibilidade de realizar o chaveamento entre subsistemas instáveis e obter um sistema chaveado exponencialmente estável. Estes dois casos sugerem que a estabilidade de um sistema chaveado depende não somente da dinâmica de cada subsistema, mas também das propri- edades do sinal de chaveamento (LIN; ANTSAKLIS, 2005). Com o intuito de auxiliar no entendimento dessas duas situações, serão apresentados dois exemplos na sequência.

Exemplo 2.1 (DECARLO et al., 2000) Considere o sistema chaveado linear na forma da equação (2.2), onde x 2 R2_{, M= {1, 2} e}

A1=  1 100 10 1 , A2=  1 10 100 1 .

Os autovalores são os mesmos para os dois subsistemas: 1,2 = 1±

jp1000. Definindo a seguinte função de chaveamento p(t)

p(t+) = ( 1, se p(t) = 2 e x2(t) = 1 kx1(t) 2, se p(t) = 1 e x2(t) = kx1(t).

Para qualquer condição inicial, a função p(t) especifica uma regra com memória para chavear a dinâmica do sistema entre A1e A2. Conside-

rando k = 0.2 e qualquer condição inicial x(0) 6= 0, a trajetória dos estados diverge, conforme apresentado no plano de fase na Figura 2 . Essa situação demonstra que o chaveamento entre dois modos assinto- ticamente estáveis pode gerar uma trajetória instável.

−40 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x1 x 2 Tr a je t´oria inst´ave l Modo 2 Modo 1 x₂= 5x1 x2= −0.2x1

Figura 2 – Exemplo 2.1: plano de fase de um sistema chaveado com trajetória instável composto por dois modos estáveis.

com estrutura semelhante a do Exemplo 2.1, porém com

A1=  0 10 0 0 , A2=  1.5 2 2 0.5 e p(t) = ⇢ 1, se p(t ) = 2 e x2(t) = 0.25x1(t) 2, se p(t ) = 1 e x2(t) = 0.5x1(t).

Neste caso ambos subsistemas são instáveis: os autovalores de A1estão

localizados em zero e os de A2em 0.5±jp3. Conforme visto na Figura

3, através do chaveamento entre os dois subsistemas é possível produzir uma trajetória estável entre dois modos instáveis.

O estudo da estabilidade de sistemas chaveados pode ser dividido em dois tipos de problemas: estabilidade quando o sistema encontra- se sob comutação arbitrária ou sob comutação controlada. Maiores detalhes sobre cada um desses tipos serão vistos na sequência.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 −6 −4 −2 0 2 4 6 x1 x 2 M o do 1 M o do 2 x2= 0. 5x1 x2=−0. 25x1

Figura 3 – Exemplo 2.2: plano de fase de um sistema chaveado com trajetória estável composto por dois modos instáveis.

2.5.1 Estabilidade de sistemas chaveados sob comutação arbi- trária

O problema da análise da estabilidade sob comutação arbitrária consiste em determinar em que condições um sistema chaveado apre- senta estabilidade levando em consideração que não existem informa- ções a priori sobre o sinal de chaveamento e que o mesmo não possui restrições. Para este caso, é necessário que todos os subsistemas que compõem o sistema chaveado sejam assintoticamente estáveis. No en- tanto esta hipótese não é suficiente para garantir a estabilidade, pois mesmo quando todos os subsistemas de um sistema chaveado são está- veis, ainda assim é possível obter uma trajetória dos estados divergente para qualquer condição inicial. Por outro lado, é possível garantir a es- tabilidade global uniforme2_{exponencial de um sistema chaveado linear}

sob comutação arbitrária se existir uma Função Quadrática Comum de Lyapunov (Common Quadratic Lyapunov Function) para todos os sub- sistemas (LIBERZON; MORSE, 1999).

Muitos esforços têm sido direcionados para o estudo de funções quadráticas comuns de Lyapunov, motivados principalmente pelo fato de que as condições de existência de uma função quadrática comum de

2_{Neste caso, a palavra “uniforme” é utilizada para descrever a uniformidade com}

Lyapunov não são fáceis de serem atingidas. Como exemplos de traba- lhos já publicados sobre este tema, é possível citar (LIBERZON, 2003; KING; SHORTEN, 2004). Liberzon, Hespanha e Morse (1999) propõem um método para sistemas chaveados lineares e invariantes no tempo baseado na solução da álgebra de Lie gerada pelas matrizes da dinâ- mica dos estados dos subsistemas. Este método leva em consideração que as condições para solução da álgebra de Lie implicam na existência de uma função quadrática comum de Lyapunov.

Para sistemas de ordem elevada com mais de dois subsistemas, as condições necessárias e suficientes para a existência de uma função quadrática comum de Lyapunov de um sistema chaveado linear e in- variante no tempo ainda apresentam-se como um problema em aberto (LIN; ANTSAKLIS, 2005). É importante salientar que a existência de uma função quadrática comum de Lyapunov é uma condição somente suficiente para estabilidade de um sistema chaveado sob comutação arbitrária. Existem sistema chaveados que não possuem uma função quadrática comum de Lyapunov, mas que apresentam estabilidade sob comutação arbitrária (LIBERZON, 2003).

2.5.2 Estabilidade de sistemas chaveados sob comutação com restrições

Nesta subseção será abordada a análise de estabilidade de siste- mas chaveados considerando que o sinal de chaveamento possui restri- ções. Através desta análise, será possível determinar quais restrições devem ser incluídas no sinal de chaveamento para garantir a estabi- lidade de sistemas chaveados. As restrições no sinal de chaveamento podem existir no domínio do tempo (por exemplo, limites para o tempo de residência ou tempo médio de residência) ou no espaço de estados (LIN; ANTSAKLIS, 2005).

Uma das ferramentas utilizadas na análise de estabilidade de sis- temas chaveados com comutação restrita são as Múltiplas Funções de Lyapunov (Multiple Lyapunov Functions). A ideia básica consiste em utilizar uma função de Lyapunov associada a cada modo ou região do espaço de estados do sistema chaveado. Estas funções concatenadas for- mam uma função de Lyapunov com características não convencionais: podem apresentar descontinuidades, podem não decrescer monotoni- camente ao longo das trajetórias dos estados e são diferenciáveis por partes.

guinte situação. Supondo que todos os modos sejam estáveis, então cada modo pode ser associado com uma função de Lyapunov. Quando o modo estiver ativo, o valor da função de Lyapunov deste modo deve decrescer. Se for incluída uma restrição no sinal de chaveamento de forma que cada vez que o sistema realiza a ativação de um modo o valor da função de Lyapunov correspondente seja menor que o valor na ativação anterior, então o sistema chaveado será assintoticamente estável (LIN; ANTSAKLIS, 2005).

O uso de múltiplas funções de Lyapunov tem sido tema de várias pesquisas. Como exemplo de trabalhos com este enfoque já publicados, é possível citar (BRANICKY, 1998; DECARLO et al., 2000; LIBERZON; MORSE, 1999). A busca por funções de Lyapunov também pode ser for- mulada como um problema de desigualdades matriciais lineares (LMIs), conforme apresentado em trabalhos anteriores, como por exemplo (PET- TERSSON; LENNARTSON, 1996;COUTINHO; TROFINO, 2003).

O exemplo a seguir ilustra a utilização de múltiplas funções de Lyapunov para análise de estabilidade de um sistema chaveado linear. Exemplo 2.3 (DECARLO et al., 2000) Considere o sistema chaveado do Exemplo 2.2. Para cada modo de operação é possível estabele- cer uma função de Lyapunov V1(x(t)) := x(t)TP1 x(t) e V2(x(t)) :=

x(t)TP2 x(t), sendo P1 e P2 as seguintes matrizes positivas (P1 >

0, P2> 0) e simétricas (P1= P1T, P2= P2T) P1=  0, 46875 1, 875 1, 875 15 , P2=  1 1, 2 1, 2 1, 6 .

A Figura 4 apresenta os resultados obtidos em simulação. No gráfico da Figura 4(a) é possível visualizar os valores de cada uma das funções de Lyapunov. O gráfico que considera somente a função de Lyapunov do modo ativo é visto na Figura 4(b). Analisando os gráficos é possível verificar que neste sistema o valor da função de Lyapunov do modo ativo é sempre decrescente. Também constata-se que a energia decresce a medida que vai ocorrendo o chaveamento entre os dois modos, con- firmando a estabilidade deste sistema chaveado.