Éléments centraux

Étant donné une K-algèbre A, le calcul d’éléments centraux z ∈ A permet de simplifier l’étude de la catégorie mod A. En effet, pour un A-module M, chaque élément central z donne lieu à un endomorphisme fz : M → M défini par fz(x ) = z x. Cet endomorphisme

permet de décomposer M en une somme directe. Cette décomposition simplifie d’ailleurs le calcul des blocs de l’algèbre A, puisque deux sous-modules à gauche indécomposables de _AA ne possédant pas la même valeur propre sous fz ne peuvent pas être dans le même

bloc. Plus particulièrement, fz facilite la décomposition du module à gauche AA en projectifs

indécomposables.

Cette section présente le calculs d’éléments centraux pour TLn et pour TLbn.

2.2.1. Un élément central de TL

L’élément central fn ∈ TLn a été défini2.1 et étudié par Morin-Duchesne et Saint-Aubin

[MDSA11]. Dans cet article, les valeurs propres prises par cet élément sur les modules stan- dards ont été calculées. La description de celui-ci est faite à l’aide de diagrammes. Ces résultats sont rappelés dans cette section et une formule récursive de fn est donnée.

Définition 2.3 (Tuiles tressées). Les tuiles tressées sont définies par

= q1/2 _{− q}−1/2 , = q1/2 _{− q}−1/2 .

Lorsque les tuiles tressées sont présentes dans un dessin, celui-ci s’exprime comme une com- binaison linéaire den-diagrammes. Ces tuiles permettent ainsi d’étendre la définition originale de n-diagramme pour inclure les diagrammes possédant des croisements. Ces nouveaux dia- grammes seront tout de même appelés n-diagrammes comme précédemment.

Définition 2.4. L’élément fn est défini par le n-diagramme

fn= ... ... .

Proposition 2.5 ([MDSA11], [RSA14]). fn est un élément central, auto-adjoint et invariant

sous l’automorphisme d’algèbres induit par q _{7→ q}−1_{. De plus, f}

n agit sur Sn,j comme le 2.1. Cet élément était connu dans la littérature physique, mais l’identification de ses propriétés dans le contexte des algèbres de Temperley-Lieb est due à Morin-Duchesne et Saint-Aubin.

scalaire

λ_j = qj+1_{+ q}−(j+1) _{= [j + 2]}

q− [j]q.

Cette proposition sera en partie démontrée grâce à la formule récursive présentée ci- dessous. Une analyse a posteriori permet de montrer quefndistingue les blocs de l’algèbre TLn.

C’est cette caractéristique qui justifie en partie son introduction. Sa définition diagrammatique rend son calcul plutôt long étant donné quefnest la combinaison linéaire de22nn-diagrammes.

L’introduction d’une formule récursive permet de raccourcir ce calcul. Soient les éléments fd_n,fg_n,fc_n ∈ TLn définis par les n-diagrammes

fd_n = ... ... , fg_n = ... ... , fc_n = ... ... .

Soient m < n et ιn,m : TLm → TLn l’inclusion canonique. Jusqu’à la fin de cette section, les

éléments v _{∈ TLm} sont identifiés avec leurs images ι_n,m(v )_{∈ TLn}.

Lemme 2.6. Les égalités suivantes sont vérifiées :

(q2_{− 1) f}c_n= fn−q−1fn−1, (2.1)

(q2_{− 1) f}d_n = e_n−1fn−1−q−1en−1fn−2, (2.2)

(q2_{− 1) f}g_n = fn−1en−1− q−1en−1fn−2. (2.3)

Démonstration. Premièrement, en remarquant que les tuiles tressées respectent

= q _{− −} + q−1 (2.4)

le développement diagrammatique de la dernière rangée de l’élément fn donne

fn= (βq− 2) fcn+q−1fn−1 = q−1fn−1+(q2− 1) fcn

ce qui démontre l’équation (2.1). En multipliant cette équation à gauche par en−1 et en

effectuant le changement d’indice n _{7→ n − 1, il s’ensuit que}

en−1fn−1= q−1en−1fn−2+(q2− 1)en−1fcn−1

mais,

et donc,

en−1fn−1 = q−1en−1fn−2+(q2− 1) fdn.

Ceci démontre l’équation (2.2). Cette même manipulation à l’aide de la multiplication à droite

par en−1 démontre l’équation (2.3). 

Proposition 2.7. L’élément central fn vérifie la relation de récurrence

fn = β fn−1−en−1fn−1− fn−1en−1+ βen−1fn−2− fn−2

avec les conditions initiales

f1 = (q2+ q−2) id et f2= (q3+ q−3) id−(q − q−1)2e1.

Démonstration. Soitn_{≥ 3. À l’aide de l’équation (}2.4), le développement de l’avant-dernière ligne de l’élémentfc_n donne

fc_n= q fc_{n−1− f}d_{n− f}g_n+q−1en−1fn−2

Selon les équations données dans le lemme, fn= q−1fn−1+(q2− 1) fcn = q−1fn−1+(q2− 1) q fcn−1− fdn− f g n+q−1en−1fn−2
= q−1f_n−1+q(f_n−1−q−1f_n−2)_{− (en−1}f_n−1−q−1e_n−1f_n−2) − (fn−1en−1− q−1en−1fn−2) + (q− q−1)en−1fn−2 = β f_{n−1−en−1}f_{n−1− fn−1}e_n−1+ βe_n−1f_{n−2− fn−2}

ce qui démontre la relation de récurrence. Un développement diagrammatique montre que les conditions initiales à cette récurrence sont celles énoncées dans la proposition 2.7. Ceci

termine la preuve. _

L’élément fn est donc maintenant défini sans l’usage de diagrammes. Par induction, il est

possible de remarquer que fn est auto-adjoint et invariant sous l’automorphisme induit par

q _{7→ q}−1. De plus, la formule par récurrence permet de fournir une preuve du fait que fn est

central. Cette preuve est très similaire à la preuve présentée à la prochaine section au sujet d’un élément central de TLb_n. Elle est donc omise.

2.2.2. Un élément central des algèbres à une frontière

Cette section s’intéresse à l’introduction d’un élément central pour les algèbres à une fron- tière ne provenant pas d’une définition diagrammatique. Encore une fois dans cette section, les éléments provenant de sous-algèbres sont identifiées à leur image par l’inclusion.

Proposition 2.8. L’élément bfn∈ TLbn défini par

bfn = β2fn−enfn− fnen+ βenfn−1−β1fn−1

est central.

Démonstration. Puisque l’élément fn est central dans TLn, les générateurs ei commutent

avec fn, fn−1 et en présents dans l’expression de bfn pour i ≤ n − 2. Il reste donc à montrer

que en−1 et en commutent avec bfn.

Étant donné que l’expression de f_n−1 ne fait intervenir que des générateursei pouri ≤ n − 2,

un calcul direct montre que

enbfn=−enfnen+ ββ2enfn−1−β1enfn−1

et

bfnen=−enfnen+ ββ2enfn−1−β1enfn−1.

Donc, en commute avecfn.

Pour montrer que en−1 commute avec bfn, il suffit de développer l’expression de fn à l’aide de

la relation de récurrence de la proposition 2.7. Le calcul est routinier malgré sa longueur. La multiplication à gauche par en−1 donne

e_n−1bf_n = β₂e_n−1fn−en−1enfn− fnen−1en+ βen−1enfn−1−β1en−1fn−1

et à droite, celui-ci donne

bfnen−1= β2en−1fn−enen−1fn−1− fnenen−1+ β fn−1enen−1− β1fn−1en−1.

Le commutateur s’écrit donc comme

en−1bfn−bfnen−1= (enen−1− en−1en) fn | {z } (a) − f_|n(en−1en_{z− enen−1_}) (b) + (βe_n−1en− β1en−1) fn−1 | {z } (a’) − fn−1(βenen−1− β1en−1).

En substituant la relation de récurrence de fn, l’expression (a) se réduit à

(a) = (enen−1− en−1en)(β fn−1−en−1fn−1− fn−1en−1+ βen−1fn−2− fn−2)

= enen−1 − fn−1en−1+ βen−1fn−2− fn−2
+ fn−2en−1en − βen−1en− β1en−1
f_n−1 | {z } (a’) + e_n−1e_nf_n−1e_{n−1− ββ1}e_n−1f_n−2
| {z } auto-adjoint

et pour calculer (b), il suffit de remarquer que

(a)∗ = (enen−1− en−1en) fn
∗ = fn(en−1en− enen−1) = (b) ce qui donne en−1bfn−bfnen−1= enen−1 − fn−1en−1+ βen−1fn−2−2 fn−2
| {z } (c) − − en−1fn−1+βen−1fn−2−2 fn−2
| {z } (d) en−1en.

Un dernier développement à l’aide de la relation de récurrence (avec un peu de courage) permet de remarquer que

(c)=_{−(β f}n−2−en−2fn−2− fn−2en−2+ βen−2fn−3− fn−3)en−1+ βen−1fn−2−2 fn−2

= e_n−2e_n−1f_n−2+ f_n−2e_n−2e_{n−1− βen−2}e_n−1f_n−3+e_n−1f_{n−3−2 fn−2}

et donc, e_{n−1· (c) = 0. Encore une fois, l’expression (d) est l’adjointe de l’expression (c) et} ceci démontre que e_n−1bfn−bfnen−1= 0.

Conséquemment, bfnest un élément central puisqu’il commute avec tous les générateurs. 

Voici le résultat du calculs des éléments bfn pour n= 2 :

bf2= (−(q2+ q−2)β1+ (q3+ q−3)β2) id + (2− q2− q−2)β2

e1

et pour n = 3 : bf3 =  − (q3+ q−3)β1+ (q4+ q−4)β2  id +(_−q−3+ q−1+ q_{− q}3)β1+ (q−2− 2 + q2)β2  e1 + (_−q−3+ q−1+ q_{− q}3)β1e2 + (_−q−4+ q−2+ q2_{− q}4)e3 + (q−2_{− 2 + q}2)β2e1e2+ (q−2− 2 + q2)β2e2e1 + (q−3_{− q}−1_{− q + q}3)e2e3+ (q−3− q−1− q + q3)e3e2+ (q−3− q−1− q + q3)e3e1 + (_−q−2+ 1_{− q}2_)e 1e2e3+ (−q−2+ 1− q2)e2e3e1 + (_−q−2+ 1_{− q}2)e3e1e2+ (−q−2+ 1− q2)e3e2e1

Houde Therrien [HT18] a construit un élément central Fn ∈ TLbn défini à l’aide de

diagrammes.

Conjecture 2.9. À une constante multiplicative non nulle λ_{∈ C}× _près,F

n= λbfn.

Il est démontré dans [HT18] que l’élément central Fn distingue les blocs de l’algèbre TLbn

lorsque celle-ci est semisimple. Le résultat n’a pas été démontré pour le cas général, mais les expériences numériques semblent indiquer que ceci est vrai.

De plus, l’élément bfn ne génère pas le centre de l’algèbre pour toutn et tous paramètres

β, β1, β2. En effet, il est possible de vérifier que pour n = 5, q = eiπ/5, β1= 0 et β2 =−1,

le centre a dimension 5 tandis que le polynôme minimal de bf5 est de degré 3.