3.3 Calculs efficaces d’une sortie modèle et du transposé
3.3.1 Économies de mémoire et de calculs
−(oα+ nTevα) 2 2Σ2 α −(oβ+ nTevβ) 2 2Σ2 β # erfcx Σβvα√(oα+ nTevα) 2ΣαΣv + Σαvβ(oβ+ nTevβ) √ 2ΣβΣv + ΣαΣβ √ 2τeΣv ! dλ
où (i,j) sont les indices spatiaux des coefficients de décomposition du ciel, k l’ordre de développe-ment de Taylor, (l,m) les indices de l’échantillonnage spatial des bolomètres, n l’indice de l’échan-tillonnage temporel. Les lignes de H sont déterminées par les indices l,m,n et les colonnes par les indices i,j,k. Comme toutes les fonctions utilisées pour le modèle ont une étendue spatiale infinie, cette matrice est pleine, il n’y a pas de zéros.
Le travail présenté ici montre, à l’aide d’approximations, que la matrice pleine H peut tout d’abord avoir une approximation creuse. Puis on montre que le modèle peut se séparer en une partie invariante et une partie non invariante mais très peu coûteuse en calculs pour ressembler à un modèle classique de sur-résolution. Enfin une troisième approximation consiste à rendre le modèle entièrement invariant.
3.3.1 Économies de mémoire et de calculs
En analysant la structure du modèle et sans faire d’approximation supplémentaire, il est possible de faire ressortir des propriétés intéressantes. Il y a deux aspects. Tout d’abord un aspect creux de
la matrice H vient du fait que l’étendue observée est limitée. Deuxièmement un aspect invariant discret, reliquat de l’invariance continue venant des convolutions.
Aspects creux
Les réponses et les gaussiennes de décomposition spatiale ont un support infini donc la matrice H est pleine. Cependant, pour effectuer une mise en œuvre sur une machine de calculs il faut considérer une décomposition sur un nombre fini d’échantillons x. On néglige donc la contribution d’une portion de ciel trop lointaine en considérant que l’énergie de la réponse est négligeable au delà d’une certaine étendue spatiale.
Si cette hypothèse est employée pour le bord du ciel, lorsque l’on fait le calcul pour les extrémités, il n’y a aucune raison à ne pas considérer la même hypothèse pour les contributions du centre du ciel ce qui revient à considérer que la réponse est négligeable au delà d’une certaine étendue.
De même lorsque l’on reproduit les données acquises lorsque le centre du ciel est observé, il n’y aucune raison à ne pas considérer également ici que la réponse est négligeable au delà d’une certaine étendue. On néglige les contributions du ciel aux extrémités.
En conclusion, une donnée produite par un bolomètre dans une région n’est quasiment pas influencée par une région du ciel relativement éloignée dans le temps et l’espace ce qui revient à tronquer l’étendue spatiale et temporelle de la réponse.
Dans la partie 2.4.3 nous avons vu que la dimension temporelle se mêlait aux dimensions spa-tiales. La réponse était définie seulement par les dimensions spaspa-tiales. La réponse temporelle in-troduisait une traînée dans la réponse spatiale mais très peu visible. Pour effectuer une troncature nous allons donc considérer uniquement la taille du lobe principal calculée à partir de la largeur de la gaussienne de décomposition, du miroir et des cornets, avant convolution par la réponse du bolomètre. Cette réponse centrée a pour expression
1 2π(Σα+ Σβ)exp " −12 α 2 Σ2 α + β2 Σ2 β !#
et sa largeur est caractérisée par deux écart-types qui dépendent de la longueur d’onde. Dans ce cas une mise à zéro pour des valeurs supérieures ou inférieures à ±3(Σα+ Σβ)/2 conserverait environ 99% de l’énergie.
Ce principe peut être appliqué lors du calcul de la matrice H. Pour quantifier le gain nous allons considérer un problème de taille similaire à ce qui peut être observé par spire. La carte recherchée possède une étendue de 60 arcminutes de côté. Si on souhaite un échantillonnage de 2 secondes d’arc, correspondant à la distance parcourue par le télescope entre deux échantillons temporels, il faut alors environ 1800 coefficients de décomposition dans l’espace dans une dimension. Dans ce cas la matrice H possède 3 240 000 colonnes par ordre de développement de Taylor. De plus pour un balayage du photomètre possédant le plus de bolomètres cela correspond également environ à 1 800 échantillons temporels pour 139 bolomètres. Donc la matrice H possède environ 250 000 lignes. Autrement dit la matrice en double précision fait environ 250 000 × 1 8002× 8/109 = 6 480 giga bits (GB) pour un ordre de développement de Taylor et un balayage. C’est une taille importante même sur un support de stockage de type disque dur magnétique.
Si on considère le caractère creux, c’est à dire que l’on tronque la réponse à ±3σ ≈ 200 secondes d’arc, voir annexe D, alors il n’y a plus que 100 coefficients significatifs environs par ligne de H. Nous avons donc une réduction de plus de 300 ce qui fait une matrice de 20 GB. Cette matrice peut être mise dans la mémoire d’un serveur de calcul mais il s’agit de la matrice pour un ordre de développement de Taylor et un balayage. Les dimensions même réduites sont toujours considérables. Une étude plus fine du modèle et notamment son caractère invariant permettra de réduire les calculs.
3.3. CALCULS EFFICACES D’UNE SORTIE MODÈLE ET DU TRANSPOSÉ
Aspects invariants
Le modèle fait initialement intervenir des convolutions spatiales continues et donc invariantes. On peut se poser la question de l’exploitation de ces propriétés d’invariance continue après échan-tillonnage. La question est de savoir comment se transmet la structure d’invariance continue dans le formalisme discret.
Le modèle de l’équation (2.52) page 69 peut s’écrire
H(i,j,k,l,m,n,q) = H(oα+ nTevα, oβ+ nTevβ) où
oα = cα+ αij − αlm, et oβ = cβ+ βij − βlm.
L’invariance continue apparaît dans le fait que H dépend de la somme des différentes positions spatiales des gaussiennes, réponses instrument, etc. La réponse ne dépend que du décalage entre ces positions. Comme le problème est formulé en discret (i,j) il faudrait faire apparaître une invariance par décalage quantifié dans les expressions
cα+ αij − αlm+ nTevα et cβ + βij − βlm+ nTevβ.
Les variables cα et cβ sont négligées dans la suite puisqu’elles sont fixées pour un balayage. Comme nous avons choisi de décomposer le ciel sur une famille de gaussiennes régulièrement espacées alors
iTα− αlm+ nTevα et jTβ − βlm+ nTevβ.
La position des bolomètres (αlm,βlm) peut s’exprimer à l’aide d’une grille hexagonale et d’une rotation (voir annexe B.1). Cependant ce n’est pas très intéressant ici et nous allons voir pourquoi. Le seul degré de liberté est sur les paramètres Tαet Tβ le reste étant fixé par l’acquisition. On peut donc choisir
Tα = Tevα et Tβ = Tevβ
c’est à dire que le pas d’échantillonnage des gaussiennes correspond au déplacement effectué par l’instrument entre deux échantillonnages temporels (ou un multiple de ce pas). Ainsi
(i + n)Tα− αlm
(j + n)Tβ− βlm
et nous obtenons une invariance quantifiée. Donc une partie des calculs peut se faire par convolution discrète. Il y a donc un gain en occupation mémoire et en quantité de calculs. Le choix aurait pu se porter sur les positions des bolomètres plutôt que les décalages dans un balayage. Cependant nous cherchons à gagner en temps de calculs. Or nous avons au maximum 139 bolomètres alors que nous pouvons avoir plusieurs centaines d’échantillons temporels pour un balayage. Le gain est donc bien plus important.
En pratique nous avons considéré précédemment que nous avions 1 800 échantillons temporels par bolomètre pour un balayage, chacun correspondant à une ligne de la matrice H. Comme nous avons une invariance discrète, les coefficients de cette ligne sont les mêmes décalés et le bloc est de Toeplitz. Nous n’avons donc plus qu’une matrice de taille 20 GB/1 800 ≈ 12 MB pour calculer la sortie modèle pour un ordre de développement de Taylor en λ et un balayage. La taille est cette fois bien plus raisonnable.
Le gain est double. Tout d’abord les matrices sont de tailles réduites, calculables et peuvent être stockées. Ensuite le calcul de tous les échantillons temporels pour un bolomètre et un balayage peut se faire par convolution.
En conclusion nous avons montré deux pistes pour obtenir un calcul efficace sans faire d’approxi-mation supplémentaire. En effet le caractère invariant est présent dans le problème et le caractère creux est inhérent aux calculs avec un nombre fini de coefficients de décomposition.
Nous verrons dans la prochaine partie qu’il est possible d’établir l’invariance discrète sur tous les paramètres, au prix d’une approximation supplémentaire.