Échelles physiques et modélisation

Le système que l’on souhaite étudier est appelé suspension colloïdale et désigne un ensemble de corps dont la taille est de l’ordre du micromètre qui évoluent en suspension dans un fluide. L’échelle de description la plus fine du point de vue de la mécanique classique, dite échelle microscopique, serait de résoudre l’évolution de chacun de ces corps, c’est-à-dire l’évolution de leurs positions et de leurs vitesses, soit six variables par grains sédimentaires. Par ailleurs, les molécules constituant le fluide seraient elles aussi chacune représentée par six variables pour résoudre leurs positions et leurs vitesses. L’évolution de ces variables obéirait alors aux équations de Hamilton. La précision d’un tel calcul permettrait d’obtenir toutes les propriétés désirées du transport sédimentaire (Allen et Tildesley, 1989). Cependant, le système d’équations obtenu est théoriquement résoluble mais le nombre de variables serait pharamineux et ne permettrait une résolution par ce biais que pour un système extrêmement petit et donc peu intéressant dans le cadre de ce travail. Aussi, il convient de représenter le système à des échelles spatiales et temporelles beaucoup plus grandes que l’échelle microscopique. À l’opposé de l’échelle microscopique se trouve l’échelle macroscopique qui est la plus large échelle de représentation du système. Cette fois-ci, le système est uniquement décrit par des grandeurs globales sur l’ensemble de celui-ci, comme par exemple la température, la masse, le volume et l’énergie totale. Là encore, cette échelle n’est pas pertinente du point de vue des objectifs de ce travail et n’est donc pas considérée.

De multiples échelles de description comprises entre les échelles microscopique et macroscopiques sont possibles et sont alors appelées échelles mésoscopiques. Ces échelles sont obtenues en représentant des fluctuations petites en temps et en espaces par des termes évoluant plus lentement qui résultent de l’élimination de degrés de libertés du système. La procédure résultant en l’élimination de ces degrés de liberté est appelée coarse-graining, que l’on pourrait traduire par méthode à grains grossiers. Souvent, ces termes interviennent sous forme de variables markoviennes, c’est à dire que leur état futur ne dépend que de leur état présent. Ceci n’est cependant possible que lorsque les échelles temporelles représentées par ces variables sont nettement différentes de celles des degrés de libertés qui ont été éliminés. Si ce n’est pas le cas, les nouveaux termes apparaissent sous forme intégro-différentielle, ce qui les rend beaucoup plus difficile à résoudre. Dans le cas d’un système de colloïdes en suspension dans un fluide, les différentes échelles mésoscopiques possibles pour représenter son état sont les échelles dites hydrodynamique, de Fokker-Planck, de

Smoluchowski et de Fick.

L’échelle hydrodynamique consiste à considérer que les fluctuations de positions et de vitesses des molécules constituant le fluide varient à une échelle de temps très courte mais que leur mouvement global, du fait de leurs multiples interactions, évo- lue à une échelle de temps beaucoup plus longue. Ainsi, le fluide peut être représenté par des variables continues représentant sa masse volumique locale, c’est à dire le nombre de molécules présentes dans un petit volume de contrôle, sa quantité de

1.2. Le transport sédimentaire 37

mouvement locale ainsi que son énergie locale qui seront les sommes des quantités de mouvement et des énergies des molécules présentes dans ce même volume de contrôle. Cette représentation est gouvernée par les équations hydrodynamiques as- sociées à chacune des trois variables pour le fluide et aux équations de Newton pour les corps en suspension (de Groot et Mazur, 1962). C’est cette représentation qui est choisie pour la première méthode employée dans cette étude : la méthode tracker. En effet, cette représentation est utilisée pour les mesures ponctuelles effectuées par exemple avec un ADV ou bien pour les mesures de suivi de grains en laboratoire par des mesures PTV , ce qui permet une comparaison directe des résultats.

L’échelle de Fokker-Planck considère que la propagation des forces hydrodyna- miques est très rapide par rapport au mouvement des corps solides. La description du système se réduit ainsi à l’étude de l’évolution de la probabilité de trouver un grain donné dans un état donné, où un état est représenté par la position du centre du grain et sa vitesse. L’évolution de cette probabilité obéit à une équation de Fokker-Planck (Murphy et Aguirre, 1972). L’échelle de Smoluchowski suppose que l’évolution des vitesses des grains est beaucoup plus rapide que l’évolution de leurs positions. Il est donc possible de ne représenter le système qu’à l’aide de probabilités que les grains aient des positions données. Là encore, l’évolution de ces probabili- tés obéit à une équation de Fokker-Planck (Murphy et Aguirre, 1972). Notons que pour les deux dernières échelles, les équations de Fokker-Planck peuvent être rem- placées par des équations de Langevin puisque les équations de Fokker-Planck et de Langevin représentent un système de manière différente mais s’avèrent équivalentes. La dernière échelle considérée ici est l’échelle de Fick. Cette description aban- donne la représentation des grains individuels pour ne s’intéresser qu’au nombre de grains présents dans une région donnée. La variable d’intérêt devient donc la concentration, ce qui suppose que l’évolution de celle-ci est lente par rapport à l’évolution des positions des grains. Dans ce cas, l’évolution de la variable d’in- térêt, la concentration, est déterminée par l’équation d’advection-diffusion. C’est cette représentation qui sera choisie pour la méthode particulaire et la méthode des moments. Cette représentation est intéressante à étudier car elle correspond aux mesures à grande échelles effectuées en milieu naturel à l’aide de prélèvements ou bien par l’utilisation d’appareils de mesure tels que les OBS qui permettent de mesurer la concentration de matières en suspension dans l’écoulement.

Chapitre 2

Méthode tracker

Sommaire

2.1 Introduction . . . . 39