Haut PDF Sur quelques problèmes aux limites fractionnaires

Résumé Dans cette thèse, nous nous intéressons aux problèmes aux limites fractionnaires. Dans la première partie, nous commençons par étudier des équations di¤érentielles frac- tionnaires soumises à une condition au dérivée fractionnaire et aux conditions aux limites en trois points. L’existence, l’unicité ainsi que la positivité de la solution sont établies via l’alternative non linéaire de Leray- Schauder , le principe de contraction de Banach, le théorème de Guo- Krasnosel.skii et d’Avery Peterson d’expansion et de compression d’un cône. Dans la deuxième partie, nous traitons les questions d’existence des solutions positives d’un autre problème fractionniare avec des conditions aux limites en deux point, en utilisant la théorie de l’indice du point …xe.

0.1 Introduction Générale Dans l’étude des problèmes aux limites linéaires ou non linéaire, de nombreux résultats ont déjà été obtenus dans le cas de domaines à frontières régulières [24], [1], [2]. Ces résultats permettent à l’heure actuelle des applications en mécanique et dans l’industrie [11], [15]. Par contre, l’étude d’existence, de régularités et de sigularités des solutions de problèmes aux limites dans des domaines non-réguliers, tels que des domaines avec coins et arêtes (polygone, polyèdre) par exemple est plus complexe [17, 23, 26, 27]. Ce domaine de recherche est l’aboutissement logique du précédent, et il est plus réaliste dans de multiples applications industrielles, car en pratique, les hypothèses de régularité ne sont pas toujours vérifiées, au contraire.

Résumé Nous étudions l'existence et l'unicité de la solution de certains problèmes aux limites pour des systèmes d'équations différentielles fractionnaires non linéaires. Le but principal de ce mémoire est l'application du théorème de point fixe de Perov dans un espace à métrique vectorielle.

Ce mémoire est consacré a l’existence des solutions pour les problèmes aux limites consernant les équations di¤érentielles fractionnaires. L’étude des problèmes fractionnaires est d’actualité et plusieurs méthodes sont appliquées pour la résolution de ces problèmes. Néanmoins les méthodes basées sur le principe du point …xe jouent un grand rôle.

La littérature mathématique dédiée à l’étude des phénomènes de contact est plus récente. La raison réside dans le fait que, accompagnés de phénomènes physiques et de surface complexes, les processus de contact sont modélisés par des problèmes aux limites non linéaires, très difficiles à analyser. La première publication concernant le contact des corps déformables était celle de Hertz [32]. IL s’ensuit le travail de Si- gnorini [56] où le problème a été posé dans ce qu’est appelé maintenant une forme variationnelle, et a été par la suite résolu par Fichera [17, 18]. Cependant, la théorie générale de la mécanique du contact a commencé avec la monographie de Duvaut et Lions [15], qui ont présenté des formulations variationnelles de plusieurs problèmes de contact et ont prouvé quelques résultats fondamentaux d’existence et d’unicité de la solution.

Leary-Schauder, le deux` eme r´ esultat est obtenu en moyennant le th´ eor` eme de M¨ onch combin´ e avec la mesure de non compacit´ e de Kuratowski, on termine par un exemple illustratif. Dans le chapitre trois, on donne des r´ esultats d’existence et d’unicit´ e de solutions de deux probl` emes aux limites concernant les ´ equations diff´ erentielles fractionnaires avec la d´ eriv´ ee

RÉSUMÉS Pour les évaluations scolaires internationales, les questions de traduction du matériel de test constituent un enjeu méthodologique majeur pour éviter toute objection sérieuse à leur visée de comparer, malgré les différences de langues, les niveaux de compétences des élèves. À ce titre, le Programme international de suivi des acquis des élèves (PISA), souvent présenté comme la référence actuelle pour ce type d’évaluations, développe une réflexion d’une grande solidité concernant ses propres démarches de traduction. Pourtant, une analyse détaillée de différentes versions (en anglais, arabe, espagnol, français et portugais) d’un exercice tiré du PISA dans le domaine de la compréhension de l’écrit permet de décrire plusieurs problèmes liés à des choix lexicaux, syntaxiques ou discursifs. Si toute entreprise de traduction est discutable, ce travail critique, ici réalisé au-regard des principes mêmes que s’est donnés le PISA, nous permettra non seulement de discuter les limites des résultats obtenus et de leur comparabilité, mais interrogera plus largement une certaine conception des langues et de la lecture que véhicule cette évaluation internationale de la littéracie des élèves.

R´esum´e Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations parabo- liques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non- linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en di- mension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires. L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord.

R´esum´e Cette thèse est centrée autour de l’étude théorique et de l’analyse numérique des équations parabo- liques non linéaires avec divers conditions aux limites. La première partie est consacrée aux équations paraboliques dégénérées mêlant des phénomènes non- linéaires de diffusion et de transport. Nous définissons des notions de solutions entropiques adaptées pour chacune des conditions aux limites (flux nul, Robin, Dirichlet). La difficulté principale dans l’étude de ces problèmes est due au manque de régularité du flux pariétal pour traiter les termes de bords. Ceci pose un problème pour la preuve d’unicité. Pour y remédier, nous tirons profit du fait que ces résultats de régularités sur le bord sont plus faciles à obtenir pour le problème stationnaire et particulièrement en di- mension un d’espace. Ainsi par la méthode de comparaison "fort-faible" nous arrivons à déduire l’unicité avec le choix d’une fonction test non symétrique et en utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires. L’existence de solution se démontre en deux étapes, combinant la méthode de régularisation parabolique et les approximations de Galerkin. Nous développons ensuite une approche directe en construisant des solutions approchées par un schéma de volumes finis implicite en temps. Dans les deux cas, on combine les estimations dans les espaces fonctionnels bien choisis avec des arguments de compacité faible ou forte et diverses astuces permettant de passer à la limite dans des termes non linéaires. Notamment, nous introduisons une nouvelle notion de solution appelée solution processus intégrale dont l’objectif, dans le cadre de notre étude, est de pallier à la difficulté de prouver la convergence vers une solution entropique d’un schéma volumes finis pour le problème de flux nul au bord.

0.1. INTRODUCTION 7 0.1 Introduction Le monde industriel connait actuellement un énorme développement technologique sous l’e¤et de la concurrence et des besoins de plus en plus exigeants du point de vue qualité et performance. En grande partie, ce progrés est dû au développement qu’a connu la recherche fondamentale dans divers domaines tels que ceux de l’analyse numérique et de la théorie des systèmes. Tout ceci a permis de mettre en oeuvre des méthodes et des approches trés complexes pour l’identi…cation et la commande des systèmes. Le développement des mathé- matiques en général a été et sera toujours nécessaire pour la résolution des problèmes de plus en plus complexes posés par la physique et les sciences de l’ingénieur. L’une des théories qui peut être considérée aussi bien ancienne que nouvelle et qui connaît actuellement une grande popularité parmi les chercheurs dans les sciences fondamentales et en ingénierie est celle du Calcul Fractionnaire qui étend la dérivation et l’intégration aux ordres fractionnaires. Quand on introduit la notion de dérivée, on se rend compte vite qu’on peut appliquer le concept de dérivée à la fonction dérivée elle même et donc on peut introduire la dérivée seconde,... puis les dérivées successives d’ordre entiers naturels. L’intégration, opération inverse de la dérivée peut éventuellement être considérée comme une dérivée d’ordre "moins un". On peut aussi se demander si ces dérivées d’ordre successifs ont un équivaut d’ordre fractionnaire.

Introduction générale Il est bien connu, qu’un très grand nombre de problèmes de la physique mathématique peuvent être modélisés par des équations aux dérivées partielles. Un système d’équations aux dérivées partielles, joint à des conditions aux limites et, lorsque le phénomène est d’évolution, à des conditions initiales, constitue ce qu’on appelle modèle mathématique. La modélisation mathématique des phénomènes, rencontrés par les utilisateurs, est devenue le soutien des travaux de nombreuses disciplines de la physique (ondes, di¤usion de la chaleur, plasmas, nouveaux matériaux, etc...), des sciences de l’univers (astrophysique, géophysique, etc...), de la chimie et évidemment de toutes les branches de la mécanique. Ce travail s’articule autour de l’étude de quelques modèles mathématiques gouvernés par les opérateurs de Stokes et de l’élasticité linéaire. Plus précisément, dans un ouvert plan borné et à frontière polygonale on considère u i et ij (u); i = 1; 2; solutions du problème :

Dans cette thèse, on présentra des résultats d’ordre non entier sur les estimations des moments fractionnaires d’ordres (r; ) en utilisant la théorie des intégrales fractionnaires de Riemann-Liouville. Aussi en appliquant l’intégrale k fractionnaire de Riemann-Liouville on donnera des résultats sur les estimations des espérances k fractionnaire, des variances k fractionnaire. En suite, on s’intéresse à l’applications des inégalités intégrales fraction- naires pour étudier un problème aux limites d’ordre arbitraire dans un espace de Banach. Finalement, on traitera la question d’existence et d’unicité de solutions d’un système d’équa- tions di¤érentielles fractionnaire.

Introduction Un grand nombre de problèmes de la physique mathématique peuvent être modélisés par des équations aux dérivées partielles. Nous entendons par ces modèles, un ensemble d’équations (ou d’inéquations) associées aux conditions aux limites sur la frontière du domaine spatial, où le phénomène est étudié. La plupart de ces phénomènes sont non linéaires, les cas parmi les plus célèbres étant l’équation de Boltzmann en mécanique sta- tistique, les équations de Navier Stokes en mécanique des ‡uides (équations qui consti- tuent d’ailleurs une approximation de l équation de Boltzmann), les équations de Von Karman des plaques planes en grands déplacements (cf. [3],[4],[6],[10],[13],[14],[17]), etc. . . Tout cela explique pourquoi, dans des sujets très divers, la modélisation par les équa- tions aux dérivées partielles, suivie de l’analyse théorique, puis numérique, suivie a son tour par la simulation numérique, est devenue une démarche de base. Cette modélisa- tion des phénomènes que l’on rencontre surtout dans les sciences de l’ingénieur, conduit, éventuellement après une étape de discrétisation par l’une des méthodes : méthode des di¤érences …nies, méthode spectrale, méthodes volumes …nis et méthode des éléments …nis (cf. [7],[9],[10],[11],[18],[19], à la résolution de systèmes d’équations en dimension …nie.

les deriv´ ees fractionnaires de type Riemann-Liouville et des conditions int´ egrales, et ceci en donnant les expressions explicites des sous et sur solutions et en util- isant le th´ eor` eme de Schauder. Grˆ ace aux mˆ emes techniques, on traite dans un espace de Sobolev fractionnaire un probl` eme aux limites multipoints avec les de-

Le principe du point fixe est très important dans la résolution de nombreuses équations différentielles non linéaires, en particulier dans l'étude de l'existence. Dans cette thèse, nous avons étudié quelques problèmes fractionnaires au sens de Caputo en montrant l'existence des solutions à l'aide de la théorie des points fixes de Mönch à l'aide de mesures non compactes de Kuratowski.

CONCLUSION Dans la première partie, nous avons étudié en détail les singularités de la solution va- riationnelle des problèmes aux limites pour le système de Lamé (élasticité) avec di¤érents conditions. Nous avons mis en évidence des série trigonométriques d’un type nouveau adaptée à l’étude des solutions des problèmes aux limites pour le système de Lamé et comme l’étude de la convergence des séries nécessite des relations d’orthogonalité, nous avons établir grâce à une formule de Green pour l’opérateur de Lamé une relation d’orthogonalité entre les fonc- tions (v ) 2E analogues à celles de l’orthogonalité pour le Laplacien et le bilaplacien dans un secteur plan S, qui facilite le calcul des coe¢ cients de singularité qui est très important, d’une part pour les mécaniciens et d’autres part pour améliorer la convergence des séries. Le calcul étant dans le cas de la …ssure et par conséquent nous avons montré la convergence de la nouvelle série. Cette partie constitue l’originalité de notre travail.

L’étude d’un système d’équations linéarisées peut conduire à traiter des problèmes de contrôle, de stabilisation ou encore à étudier le système non linéaire dont il est issu. Ici, l’objectif était de montrer que le système obtenu était exponentiellement stable ou stabilisable à l’aide de conditions limites ad hoc. Plusieurs pistes ont été envisagées : exploitation du bilan éner- gétique du système, méthode d’extension de Fursikov (voir [Furs 1] et [Furs 2]) ou encore théorèmes caractérisant les semi-groupes exponentiellement stables (cf. [Zheng]). C’est cette dernière piste qui s’est révélée féconde mais seulement sur le cas particulier du système mo- nodimensionnel à coefficients constants. Ce travail est présenté en fin de chapitre.

Introduction La plus part des phénomènes naturels, qu’ils soient physiques, biologiques, épidémio- logiques ou autres, sont décrits par des systèmes d’équations différentielles ou d’équa- tions aux dérivées partielles soumis à des conditions (qui soient de type Cauchy ou aux limites). A part dans quelques cas particuliers, il est impossible de calculer explicitement la solution de ces problèmes aux limites. Il est donc nécessaire d’avoir recours au calcul numérique pour estimer qualitativement et quantitativement cette solution. Le principe de toutes les méthodes de résolution numérique des problèmes aux limites, est d’obtenir des valeurs numériques discrètes (en un nombre fini de points) qui approchent la solu- tion exacte.

Il est nécessaire de signaler que le choix de la méthode numérique dépend des particularités propres du système à étudier. Il n’existe en e¤et aucune " boite noire " qui puisse résoudre avec précision tous les types de problèmes. L’objectif de ce mémoire est de développer une méthode bien adaptée à la résolution numé- rique des problèmes de valeurs aux limites, dite « Méthode de Collocation Orthogonale sur les Eléments Finis » dans le cas bidimensionnel. Cette méthode qui a été développée dans le cas mono dimensionnel par Dr. BELHAMITI. O [14].

2 , le calcul fractionaire a été longuement considéré comme simple théorie mathématique sans aucune explication réel où pratique. Le sujet principale de ce mémoire est l’étude de l’existence et l’unicité des solutions pour les problèmes aux limites concernant les équations di¤érentielles fractionnaires avec des condi- tions non locales.