Haut PDF Sur la topologie de certains espaces homogènes

V sera designé par {p}. Les points de Q 4 représentent les droites com- plexes d'un espace projectif [3]. Une génératrice plane de Q 4 représente les droites de [3] qui passent par un [r]

C et ouvrage est destiné aux étudiants et chercheurs qui souhaitent approfondir leurs connaissances en topologie et sur les espaces métriques et vectoriels normés. Il s’adresse tout particulièrement aux étudiants de licence, master, ainsi qu’aux élèves ingénieurs de diverses disciplines. Il résulte de diverses notes de cours donnés depuis le début des années 80. On retrouve dans de nombreux ouvrages des développements sur les espaces topologiques. Les différentes notions qui sont explorées font partie du domaine des connaissances standard en mathématiques pures mais elles sont utiles dans divers autres directions des mathématiques appliquées, de l’optimisation, de l’analyse numérique, de la théorie des systèmes, etc.

où 7r est l’homomorphisme qui correspond à C. Les deux buts principaux de cet article sont les suivants : on sait depuis longtemps que la théorie des résolvantes et résolvandes est extrêmement bien adaptée à la détermination de la structure galoisienne de nombreux modules arithmétiques ; notre premier but est de démontrer qu’elle est aussi bien adaptée à la théorie des espaces homogènes principaux d’ordres de

DÉFINITION 1.1. Soient S un schéma, G un S-schéma en groupes, X un S-schéma sur lequel G opère (à gauche). Le schéma X est un S-espace homogènes de G avec isotropie H s’il existe un sous S-schéma en groupes H de G tel que, localement pour la topologie étale, X est isomorphe (comme schéma à groupes d’opérateurs G) au quotient étale de G par H.

This implies the non realizability of D(5) as the cohomology algebra of a topological space. The purpose of this note is to give a proof of a further generalization of the last result.[r]

S = {f M,N = 0} . Le troisième objectif principal de cette thèse est de décrire cet espace de modules, ou en d’autres termes, d’étudier le problème de Zariski associé dans le cas générique. Ce prob- lème n’a que quelques réponses: Zariski [ 52 ] pour le tout premier traitement de certains cas particuliers, Hefez et Hernandes [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] pour les courbes irréductibles, Granger [ 28 ] et Genzmer et Paul [ 58 ] pour la classe topologique homogène et [ 25 ] pour des résultats qui sont des cas particuliers de la classe topologique quasi-homogène traitée ultérieurement par Genzmer et Paul [ 59 ]. Nous suivons ici la stratégie introduite par Genzmer et Paul: sur l’espace de modules de feuilletages M M,N , nous considérons la distribution intégrable

Turhan determinated the parametric representation of the space- like biharmonic curves with timelike binormal according to at metric in Heisenberg group H 3 ([27]).. In 2013, B.[r]

Soient X et Y deux espaces topologiques. On appelle topologie compacte-ouverte sur F (X, Y ) la topologie engendrée par les parties de la forme O(K, U) = {f ∈ F (X, Y ) : f(K) ⊂ U} pour K compact de X et U ouvert de Y . Intuitivement, il s’agit de dire que si deux applications sont “proches” pour cette topologie, alors sur tout compact, leurs valeurs son proches. On appelle aussi topologie compacte-ouverte sur C (X, Y ) la topologie induite par la topologie compacte-ouverte sur F (X, Y ). Sauf mention contraire, l’ensemble C (X, sera muni de cette topologie. Cette définition sera surtout intéressante lorsque X est localement compact (et en particulier séparé), car cette hypothèse implique qu’il y suffisamment de compacts dans X pour que cette topologie soit utile (voir par exemple la proposition 5.14 (1) et l’exercice E.57 (1)).

La critique de la partie dédiée à la construction d’un espace vectoriel, visant à comparer les réseaux n’est pas suffisamment développée. Multifractal, le dimensionnement d’un réseau effectué par l’étude de la distribution (R, L(R)), avec L(R) longueur totale du réseau inclus dans une boule de rayon R mesurée à partir d’une origine et donc relative à la position de cette origine, permet de définir les parties de ce réseau qui sont homogènes morphologiquement, comme si elles étaient organisées de façon sous-jacente par un principe d’autosimilarité statistique. Sur un réseau ou un ensemble de réseaux connectés, nous sommes partis de l’idée que cet ensemble de réseaux morphologiquement homogènes vis-à-vis de la géométrie fractale, pouvaient constituer un espace vectoriel, chacun d’eux étant un vecteur. Cette structure permet d’introduire un produit scalaire et une norme ouvrant à la comparaison. Nous aurions dû préciser que la condition de vectorialité d’un ensemble de réseaux est qu’il soit tout d’abord une communauté. Nous entendons par communauté un ensemble dont toutes les parties ont une partie commune, le centre de l’ensemble 3 . Ce Centre commun à tous les réseaux

Le principe général est le suivant. Considérons X une variété différentielle munie d’une structure géométrique rigide q (comme une connexion affine ou, dans notre cas, une mé- trique pseudo-riemannienne), et supposons que le groupe G des transformations de X qui préservent q agit transitivement sur X. Alors, étant donnée une variété M de même di- mension que X, il existe, sous certaines hypothèses, une correspondance naturelle entre les structures géométriques rigides sur M localement isomorphes à (X, q) et les atlas de cartes de M à valeurs dans X dont les changements de cartes sont dans G. C’est cet atlas que Thurston appelle une (G, X)-structure sur la variété M. On peut alors “oublier” en quelque sorte la structure géométrique dont on a muni M pour se focaliser sur la structure locale d’espace homogène qu’elle induit. La notion de (G, X)-structure est même définie pour des espaces G-homogènes X où G n’est pas a priori le groupe des automorphismes d’une structure géométrique sur X.

2. H converge vers 0 à l’infini, 3. H est continue sur R  R 2n , à valeurs dans R. Notre étude des espaces complétés se poursuit dans le but de comprendre de manière aussi concrète que possible leurs éléments. En premier lieu, nous montrons qu’il est possible de définir, de deux manières différentes, une no- tion de support pour les éléments de H et Ham, qui coïncide avec la notion usuelle pour les objets continus. Nous suggérons ensuite différentes approches pour définir l’image d’un ouvert par un élément de H. Nous introduisons une notion de système intégrable généralisé, et conjecturons que ceux-ci sont tous représentés par des fonctions hamiltoniennes continues. Enfin, nous propo- sons des approches aux deux problèmes ouverts suivants :

Remarque. Toutes les propri´ et´ es des distances donn´ ees plus haut ont une traduc- tion en termes de norme dans les espaces vectoriels norm´ es. 4.1.2 Normes ´ equivalentes D´ efinition 4.1.3 (Normes ´ equivalentes). Deux normes k.k 1 et k.k 2 sur un espace vectoriel E sont ´ equivalentes s’il existe des constantes C 1 > 0 et C 2 > 0 telles que

1.3 Caractéristiques topologiques La topologie est une branche des mathématiques visant à une analyse qualitative des principales propriétés de certains espaces. En particulier, la topologie s’intéresse aux caractéristiques invariantes lors de déformations continues (pas de déchirure ou de collage) de ces espaces. Contrairement à la géométrie, on ne se soucie donc pas des mesures et des distances, et on s’intéresse uniquement à des caractéristiques globales des espaces considérés. Dans cette section, on supposera par souci de simplicité les surfaces représentées sous forme de complexes simpliciaux, c’est-à-dire de collections de sommets (0-simplexes), arêtes (1-simplexes) et triangles (2- simplexes) agencés de manière cohérente, i.e. telle que l’intersection de deux simplexes soit vide, ou bien soit un simplexe de dimension strictement inférieure et appartenant au complexe.

Espaces topologiques Dans ce chapitre, nous allons définir le concept de topologie en général, et passer en revue plusieurs moyens de se donner une topologie sur un ensemble X quelconque. Nous généra- liserons ensuite les notions étudiées dans le cours de première année, telles que l’intérieur, l’adhérence, la frontière d’un ensemble, ou les applications continues. Nous introduirons des constructions classiques en topologie qui permettent de définir de nouvelles topologies à par- tir d’anciennes : les sous-espaces, les produits et les quotients. Nous appliquerons ensuite les quelques résultats obtenus pour étudier quelques propriétés des groupes topologiques et de leurs actions.

comparaison de topologies : topologie plus fine, moins fine qu’une autre ; topo- logie initiale sur un ensemble X (ou définie par une famille d’applications de X à valeurs dans des espaces topologiques) ; topologie finale sur un ensemble X (ou définie par une famille d’applications partant d’espaces topologiques à valeurs dans X) ; sous-espace topologique, point isolé ; topologie somme disjointe (*) ; topologie produit (d’une famille quelconque d’espaces topologiques), ouvert élémentaire, pro- priétés élémentaires de la topologie produit (systèmes fondamentaux de voisinages, continuité des applications à valeurs dans un produit, associativité et commutati- vité de la topologie produit, adhérence des produits, un produit d’espaces séparés est séparé) ; topologie quotient (*), propriétés élémentaires de la topologie quotient (continuité de la projection canonique, continuité des applications définies sur un quotient, caractérisation de la séparation des quotients par les ouverts saturés) ; re- lation d’équivalence engendrée (*) ; cône (*), suspension (*), écrasement (*), recol- lement d’un espace topologique X sur un espace topologique Y par une application continue f : X → Y (*) ;

REMARQUE 1.5.25. Dans cette d´ emonstration, on utilise le caract` ere loca- lement ferm´ e des espaces m´ etriques. Tout point d’un espace m´ etrique admet une base de voisinages ferm´ es (les boules ferm´ es de rayon arbitrairement petit). Cela donne l’inclusion de f (O ∩ A) un voisinage de f(a) `a partir de celle de f (O ∩ A). Le r´esultat est donc encore vrai si on remplace l’hypoth`ese ”(X 0 d 0 ) espace m´ etrique” par l’hypoth` ese ”(X 0 , T 0 ) espace topologique s´ epar´ e locale- ment ferm´ e”. Il y a des topologies s´ epar´ ees qui ne v´ erifient pas cette propri´ et´ e (cf. Exercice 42).

Géométrie et topologie de systèmes dynamiques intégrables Résumé : Dans cette thèse, on s’intéresse à deux aspects différents des systèmes dynamiques intégrables. La première partie est dévouée à l’étude de trois familles de systèmes hamiltoniens inté- grables : les systèmes de pliage de Kapovich et Millson sur les espaces de modules de polygones 3D de longueurs de côtés fixées, les systèmes de Gelfand–Cetlin introduits par Guillemin et Sternberg sur les orbites coadjointes du groupe de Lie U(n), et une famille de systèmes définie par Nohara et Ueda sur la variété grassmannienne Gr(2, n). Dans chaque cas on montre que les fibres singulières de l’application moment sont des sous-variétés plongées et on en donne des modèles géométriques sous la forme de variétés quotients.

Lemme 4 : Pour tout entier k tel que 1 ≤ k < dim(S p V ), il existe un sous-espace vectoriel de S p V de dimension k qui n’est pas stable par tous les automorphismes S p A, A ∈ GL(V ). Les sous-espaces de dimension k ayant cette propri´ et´ e constituent un ouvert de la grassmannienne Gr(k, S p V ) des sous-espaces vectoriels de dimension k de S p V .

l'indique la liste de nos involutions. Il est facile de voir si la courbe miroir est séparante car la surface X s'obtient en prenant deux exemplaires du tore T 2 et en reliant chaque ovale d'une copie du tore à son jumeau sur l'autre copie au moyen d'un tube standard. Ainsi la courbe miroir est séparante si et seulement si l'ensemble Fix(/) sépare le tore. De plus si la courbe miroir XR est séparante sa topologie est entièrement déterminée grace aux formules d'orientations complexes de Rokhlin [12] selon qu'un des deux cercle fixes traverse des ovales de XR ou pas

structure uniforme p-adique sur F(A). Nous allons voir que l’on peut donner plusieurs définitions équivalentes de ces deux notions. Une première façon de procéder consiste à utiliser la notion de structure initiale. Rappelons que si E est un ensemble et si X = est une famille d’applications Wi : 2? 2013~ de E dans un espace topologique (resp. uniforme) la topologie (resp. structure uniforme) initiale définie