Haut PDF Sur la théorie des probabilités géométriques

Sur la théorie des probabilités géométriques

Sur la théorie des probabilités géométriques

Les groupes corrélatifs des deux groupes J signalés plus haut sont : pour le premier, le groupe à six paramètres rencontré au chapitre II avec les variables avw à propos des plans de l'e[r]

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La théorie des probabilités et l'Institut Henri Poincaré (1918-1939) : construction d'un champ probabiliste parisien et pratique d'un transfert culturel

La théorie des probabilités et l'Institut Henri Poincaré (1918-1939) : construction d'un champ probabiliste parisien et pratique d'un transfert culturel

Lévy estime que « pour le mathématicien, cela ne saurait suffire » 506 , d’autant plus que cet « appareil mathématique n’est pas aussi imposant qu’on le croit généralement. » 507 Cette opposition vis à vis de Borel n’est toutefois pas si simple. Les positionnements des probabilistes que nous avons mentionnés vis à vis des applications ne sont pas totalement binaires. Au premier niveau, quand il est question de l’interprétation d’une probabilité, Lévy reprend des idées déjà exprimées par Borel, notamment concernant les probabilités négligeables. Ensuite, au second niveau, Borel, surtout avant 1925, défend une approche tournée vers les applications et plus encore la mise en application. De ce point de vue le recours à des mathématiques élémentaires est une nécessité pour permettre un usage large des probabilités par des non-mathématiciens. Borel retrouve ses préoccupations dans certains écrits de Fréchet, Haag ou Galbrun. Cela étant, Borel s’intéresse aux applications à la physique et aux mathématiques, s’autorisant donc un recours à des mathématiques supérieures comme il l’avait lui-même été amené à le faire lors de ses premiers travaux probabilistes où il utilise par exemple la théorie de la mesure de Lebesgue. Par ailleurs, l’attention de Hadamard pour le théorème ergodique, et donc une application des proba- bilités à la physique, le conduit sans embarras à une formulation du problème en terme d’équations intégrales qui nécessite donc des techniques issues de l’analyse fonctionnelle. En un mot, Borel est soucieux d’adapter le matériel mathématique au lecteur qu’il envi- sage. Le point de friction entre Borel et Lévy, tient donc au fait que ce dernier propose une approche des fondements des probabilités en recourant immédiatement à des outils mathématiques transcendantes (fonction de répartition, intégrale de Stieltjes et trans- formée de Fourier-Stieltjes) excluant de fait les usagers ayant un bagage mathématique restreint. Cette opposition sur le traitement mathématique à accorder aux probabilités disparait dans les classifications disciplinaires utilisées dans les CRAS. Les notes de Lévy, après deux notes classées en calcul des probabilités, et même en présence de contenus probabilistes, sont presque systématiquement dans la catégorie analyse mathématique. De la même façon, les notes écrites par Borel lui-même montrent un usage très spécifique de la catégorie calcul des probabilités. La moindre trace d’analyse ou d’algèbre conduit à classer la note en analyse ou en algèbre, et seule l’affirmation du caractère probabiliste de la note dans les premières lignes (le titre ne suffisant pas toujours) semble garantir son p. 16.
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Un examen critique des liens entre le Traité des probabilités et la Théorie générale de Keynes

Un examen critique des liens entre le Traité des probabilités et la Théorie générale de Keynes

Pour le montrer, il est nécessaire de rappeler ce à quoi Keynes s’oppose dans le Treatise on probability.L’économiste remet en cause les deux grandes traditions en matière de théorie des probabilités : l’approche mathématique et l’approche fréquentiste. La première (l’approche mathématique) repose sur ce que Keynes appelle le principe d’indifférence, qui n’est jamais que le principe de raison non-suffisante de Bernouilli. La probabilité est définie, selon ce dernier, comme le rapport entre le nombre d’alternatives favorables et le nombre total d’alternatives. Or dit Keynes, une telle loi ne peut être valide en général. Elle requiert que les probabilités puissent être mesurées ou comparées. Si tel n’est pas le cas, le principe d’indifférence n’a plus lieu d’être. Parmi les grands types de relations de comparaison possibles entre les probabilités (comparaisons cardinale, ordinale, et non- comparabilité), le troisième est le plus fréquent, en raison de l’hétérogénéité des ensembles d’informations récoltés par l’individu. Ces types de comparaisons ont pour origine l’existence de deux sous-classes de probabilités :
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Approche Fractionnaire en Théorie des Probabilités

Approche Fractionnaire en Théorie des Probabilités

Les inégalités intégrales jouent un rôle fondamental en théorie des équations et des systèmes di¤érentielles, en probabilités et statistiques et en sciences appliquées. Cette théorie a connu un développement dans les deux derniers décénées. De plus, l’étude des inégalités de type fractionnaire a aussi une grande importance dans la théorie des équations di¤érentielles fractionnaires et des systèmes di¤érentielles fractionnaires.

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Théorie des probabilités et risque : penser l'optimisme épistémologique après la catastrophe

Théorie des probabilités et risque : penser l'optimisme épistémologique après la catastrophe

103 de la probabilité réelle d’un événement. Le calcul des probabilités exige donc un grand nombre de répétitions, et donc d’observation, afin de s’approcher de la donnée la plus vraisemblable. L’argument se démontre assez facilement par les théories du jeu. Reprenons, comme dans le cas qui tracassait Blaise Pascal, deux joueurs qui lancent une pièce de monnaie. La pièce tombe, disons, 7 fois de suite sur pile, et seulement 3 fois sur face. On pourrait donc en conclure par nos observations qu’il y a 70% de chance que la pièce donne pile, et 30% de chance que la pièce tombe sur face. Or, nous savons bien qu’en fait nous avons 50% de chance lors d’un jet de dés de tomber sur pile ou sur face. La confusion entre le résultat des jets avec la probabilité réelle apparait évidente dans cet exemple. En répétant l’exercice de lancer une pièce à plusieurs reprises, la théorie des grands nombres nous apprend que nous serions plus près de la réalité, à savoir 50%. De la même manière, selon cette théorie, l’accident de Fukushima ne doit pas être pris comme le témoignage d’une probabilité accrue de catastrophe nucléaire. Le temps nous montrerait comment cet événement particulier est rare, et ne se produit pas souvent sur une échelle de temps plus long. Pour l’illustre mathématicien Andrei Kolmogorov, « la valeur épistémologique de la théorie des probabilités est fondée sur le fait que les phénomènes aléatoires engendrent à grande échelle une régularité stricte, où l'aléatoire a, d'une certaine façon, disparu. » (in Bouchaud, 1995 : 784) Il n’y a donc plus lieu de parler du hasard, pour autant que le « hasard est la mesure de notre ignorance » selon un autre grand mathématicien, Henri Poincaré.
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De la théorie des sous-ensembles flous aux probabilités non-additives : 36 remarques

De la théorie des sous-ensembles flous aux probabilités non-additives : 36 remarques

2.17. A partir de la mise en évidence de cette probabilité non-additive issue de l’affaiblissement de l’axiome d’indépendance, Gilboa 1987 a poursuivi la démarche de Schmeidler en s’attaquant cette fois au modèle pur de Savage 1954. En d’autres termes, il a axiomatisé le principe de maximisation de l’utilité espérée dans le cas où la mesure de croyance correspond à une probabilité non-additive. Relativement à Schmeidler, il n’a plus recours à une distribution objective de probabilités contingentes puisqu’il sort du cadre Anscombe & Aumann. Dans la lignée des travaux de Schmeidler et Gilboa, on trouve nombre de recherches consacrées à certains points particuliers de ce que l’on appelle maintenant les Choquet Expected Utility Models. Ainsi, Wakker 1989 étend un célèbre théorème de Debreu 1960, en donnant les conditions sous lesquelles on peut obtenir une représentation additive des préférences susceptible d’être utilisée dans un contexte non-additif. Comme Gilboa 1987, Wakker 1989 ne prend pas en compte l’hypothèse selon laquelle on doit connaître les probabilités objectives affectant les loteries. Plus récemment, Wakker 1990 a montré comment il était possible de relier l’approche Quiggin - Yaari et celle de Schmeidler - Gilboa ( cf note 25 ). Nakamura 1990 prend la même direction que Gilboa en restreignant l’ensemble des états de la nature au cas fini. Il présente ainsi trois axiomatisations différentes, la première concernant des probabilités non-additives simples, la deuxième des probabilités avec additivité complémentaire ( complementary additivity ) et la dernière des probabilités additives.
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Sur l'itération des substitutions algébriques linéaires à une infinité de variables et ses applications à la théorie des probabilités en chaîne

Sur l'itération des substitutions algébriques linéaires à une infinité de variables et ses applications à la théorie des probabilités en chaîne

Dans la section II nous abordons le cas général des substitu- tions non complètement continues: nous introduisons la notions très simple, mais très importante pour l'itération, du rayon [r]

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Aspects géométriques des principes locaux-globaux dans la théorie abstraite des formes quadratiques

Aspects géométriques des principes locaux-globaux dans la théorie abstraite des formes quadratiques

respondance de Brumfiel, qui met en évidence un lien entre la théorie des ultrafiltres et celle des ordres. Pour faciliter l’accès au lecteur, nous ferons un bref rappel sur les notions de filtre, préfiltre et d’ultrafiltre (définition 4.1), (définition 4.5) et (définition 4.7). L’exemple (4.11) constitue l’exemple phare (en dimension 1), pour la compréhension de cette correspondance. Dans la seconde partie de cette section seront définies les notions de topologie semi-algébrique (définition 4.13) et (proposition 4.14), celle de topologie régulière (définition 4.17) ainsi que celle de rang d’un (ultra)filtre (définition 4.27). Les ultrafiltres de rang maximal seront au cœur de cette correspondance, et la proposition (4.29) donne une caractérisation de ces ob- jets. Les ouverts basiques ont une propriété (lemme 4.23), propre aux ouverts réguliers, que n’ont pas les ouverts semi-algébriques en général, comme l’illustre le contre-exemple (4.26). Le théorème principal de cette section (théorème 4.32) stipule qu’il existe une correspondance bijective entre les ultrafiltres de rang maximal d’une variété algébrique réelle et les ordres de son corps de fonctions. Le théorème de Transfert (4.36), établi pour les variétés algébriques réelles, joue un rôle crucial dans cette correspondance. Pour démontrer la théorème (4.32), nous construirons deux applications (proposition 4.38) et (proposition 4.40) qui échangent bi- jectivement les filtres de rang maximal d’une variété algébrique réelle et les ordres partiels de son corps de fonctions. La correspondance de Brumfiel entre ordres et ultrafiltres n’est donc qu’une conséquence de ce résultat.
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D'Alembert et les probabilités

D'Alembert et les probabilités

Nous nous contenterons, ici, d'analyser sommairement le contenu des textes sur l'inoculation, de 1760 à 1767. L'écrit publié en 1761 est fait de trois textes (un texte principal (76) et deux annexes), dont seul le premier et des éléments du second seront repris dans les "Réflexions sur l'inoculation" de 1767, le troisième consistant en une "Théorie de l'inoculation" accessible seulement aux mathématiciens et qu'il n'était pas question d'inclure dans un ouvrage destiné à un public large. Le second texte consiste en notes explicatives de passages du premier, sur les statistiques de mortalités de la petite vérole, sur les variations entre les diverses listes et la critique de leur absence de réels critères, sur une hypothèse de travail relative à la loi dans le temps des décès de petite vérole naturelle, et au rapport de ce risque à celui de l'inoculation, sur l'inoculation comme une loterie. La première partie, qui constitue le texte principal, se propose deux objets : une critique des calculs "faits jusqu'à présent, pour déterminer les avantages de l'inoculation", montrant qu'ils "sont insuffisants et prématurés" ; un essai de déterminer des arguments plus solides en faveur de l'inoculation, essai qui, dans la version de 1760, est assez peu développé. La critique porte sur les estimations des risques et leurs difficultés propres (en particulier quant à la prise en compte de la durée), sur l'absence de tables satisfaisantes, suffisamment précises et détaillées (en fonction de l'âge, par exemple), sur le caractère gratuit et très grossier des hypothèses de Daniel Bernoulli sur les proportions de contamination et de décès de la petite vérole, sur l'insuffisance du critère de la vie moyenne et sur le rapport entre le risque et l'augmentation de celle-ci, sur les intérêts respectifs de l'Etat et du citoyen. Dans les pages qui tentent de fournir des arguments en faveur de l'inoculation, d'Alembert propose un critère pour établir un risque tolérable (en l'occurrence qu'il soit égal ou inférieur à celui de mourir de la petite vérole naturelle en un mois), susceptible d'entrainer l'adhésion des individus, laquelle demande en outre la démonstration que l'inoculation immunise vraiment et qu'elle n'entraîne pas des effets négatifs. Pour bannir toute cause de doute qui susciterait la méfiance du public, on doit, insiste d'Alembert, expérimenter en inoculant et faire des tables précises (77).
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Probabilités et statistiques de base

Probabilités et statistiques de base

Probabilités Il y a eu dans l’histoire des mathématiques plusieurs définitions successives ou parfois concurrentes de la notion de probabilité d’un événement dit aléatoire. J’aborde ici deux définitions possibles. La première approche est appelée approche fréquentielle. Elle pré- sente l’avantage d’être intuitive, mais présente rapidement des difficultés mathématiques. L’autre approche, dite axiomatique, fournit des bases mathématiques solides, mais un peu plus abstraites et moins liées à l’expérience concrète que chacun a, par exemple, du lancé d’un dé. Je vais privilégier la deuxième approche, qui permet de mettre en place et d’étudier plus facilement les résultats mathématiques de la théorie. Les deux approches se rejoindront dans le deuxième chapitre, quand nous discuterons de la loi des grands nombres Je profiterai également du début de ce chapitre pour rappeler des notions de théorie (naïve) des ensembles et d’analyse combinatoire.
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Les probabilités ont-elles un objet? La conception logique des probabilités selon le Tractatus.

Les probabilités ont-elles un objet? La conception logique des probabilités selon le Tractatus.

Selon von Mises, il y a bel et bien un objet de la théorie des probabilités, et ses propositions ont un objet particulier : les phénomènes dits aléatoires. Dans Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit [14, p. 102], il affirme que les probabilités sont une théorie de faits observables déter- minés, d’événements répétés en masse comme les jeux de hasard, la statistique des populations, etc 9 . Von Mises précise qu’il utilise alors le terme de théorie au sens où on parle de ((théorie des phénomènes caloriques )) pour la thermodynamique, ou de ((théorie des phénomènes spatiaux)) pour la géométrie. Suite de comparaisons inacceptables pour l’auteur du Tractatus ! Chaque théo- rie, poursuit von Mises, commence par un certain nombre d’axiomes, dans la formulation des- quels il est fait ((usage de l’expérience générale)), même s’il est clair qu’ils n’énoncent pas de ((faits directement observables)). Voilà une différence irréconciliable entre un philosophe aprio- riste comme Waismann (et l’auteur du Tractatus), et un mathématicien appliqué comme von Mises : cet ((usage)) de l’expérience générale 10 serait dénué de sens dans le cadre du Tractatus.
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Lieux géométriques

Lieux géométriques

Document n o 40, réalisé le 28/5/2003, mis à jour le 15/11/2008 Latin English - lieu : locus - pluriel : lieux : loci Extrait du programme de 1S La problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas l'objet d'un chapitre indépendant.

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Constructions géométriques

Constructions géométriques

Constructions géométriques au collège Page 4/10 Faire des mathématiques … avec GéoPlan Réseau de droites parallèles D'après ce que propose Valérie dans le forum momes.net, on peut utiliser les droites parallèles obtenues en pliant la feuille en quatre (la

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Problèmes et théorèmes de probabilités

Problèmes et théorèmes de probabilités

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Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles et indépendance

2 Indépendance d’évènements. Parfois A et B sont tels que P B (A) = P (A): savoir que B est réalisé ne modifie pas la probabilité de A. Ainsi dans le schéma succès échec fini avec N = 2, Ω a 4 élé- ments SS,SE,ES,EE de probabilités respectives p,p(1 − p),(1 − p)p,(1 − p). Si B = (SS,SE) est l’évènement: "le premier essai est un succès" et A = (SS,ES) est l’évè-

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Probabilités : variables aléatoires

Probabilités : variables aléatoires

Remarque : On représente en général la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme de tableau. Valeurs prises par la variable aléatoire X x i x 1 x 2 … x n Probabilités que X prenne la valeur x i p ( X  x i )  p i p 1 p 2 … p n 3°) Espérance d’une variable aléatoire.

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#1 Probabilités élémentaires

#1 Probabilités élémentaires

La firme estime que la probabilit´ e d’obtenir le projet 1 est de 0.22, celle d’obtenir le projet 2 est de 0.25 et la probabilit´ e d’obtenir les deux projets est de 0.11.. Calculer la p[r]

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Exercices de simulation en probabilités

Exercices de simulation en probabilités

Exercice 2 Une balle se déplace dans une série de n + 1 cases ; au début de l’expérience elle se trouve dans la première et à chacune des n étapes elle avance d’une case ou reste immobil[r]

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Deux problèmes de probabilités

Deux problèmes de probabilités

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Probabilités conditionnelles

Probabilités conditionnelles

 On appelle cardinal de A, le nombre noté card ( A ) égal au nombre d’issues qui réalisent A.. 11 - Probabilités Probabilités conditionnelles.[r]

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