Haut PDF Stratégie de calcul pour l'optimisation multiobjectif des structures composites

Stratégie de calcul pour l'optimisation multiobjectif des structures composites

Stratégie de calcul pour l'optimisation multiobjectif des structures composites

- 86 - La problématique de l'optimisation structurale consiste à obtenir les meilleures solutions possibles dans un temps de calcul le plus réduit possible. De ce point de vue, le rôle de la stratégie de calcul est prépondérant. En effet, celle-ci vise à obtenir les résultats les plus précis tout en conservant un temps de calcul raisonnable. Il y a là un compromis délicat à trouver. Le plus souvent, les coûts de calculs sont tels que l'on est contraint d'employer des modèles dégradés correspondant à une vision simplifiée, voire simpliste, de la réalité des phénomènes étudiés. Par conséquent, il est légitime de s'interroger sur l'intérêt de trouver l'optimum du modèle avec la plus grande précision, en écartant les solutions avoisinantes. La précision des comparaisons effectuées sur les contraintes et les objectifs du problème d'optimisation est donc nécessairement limitée par l'erreur associée au modèle. De plus, le biais entre le modèle et la réalité est susceptible de guider l'algorithme d'optimisation vers des solutions très éloignées de l'optimum réel. D'autre part, même en supposant que le modèle est en parfaite adéquation avec la réalité, il faut tenir compte du fait que la pièce fabriquée ne correspond qu'approximativement à ses spécifications. Il convient donc de s'assurer de la stabilité du design retenu vis-à-vis des tolérances de fabrication, de la dispersion des propriétés matériaux, voire de l'évolution de l'ensemble de ses caractéristiques dans son environnement tout au long de son cycle de vie. En fait, on appréhende aisément l'écart qui existe entre l'optimisation "théorique", basée sur des considérations idéalisées, et la réalité à laquelle est confronté le concepteur de structures composites. Dans l'industrie aéronautique, méconnaissances et incertitudes sont respectivement prises en compte sous la forme de marges de sécurité et d'abattement sur les valeurs de calcul. La question est de savoir si cette méthodologie est compatible avec une démarche d'optimisation classique ou s'il est nécessaire de la repenser, ainsi que la démarche d'optimisation.
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Stratégie de calcul haute performance pour les structures composites

Stratégie de calcul haute performance pour les structures composites

61 Av. du Président Wilson, F-94230 Cachan, France {bordeu,boucard,gosselet}@lmt.ens-cachan.fr Résumé — L’utilisation de matériaux composites dans les industries aéronautique et aérospatiale a permis une réduction considérable du poids des structures. Mais l’utilisation de ces matériaux est actuellement limitée par la difficulté de simulation et de prédiction de la ruine sur des structures complexes. L’utilisation d’un modèle d’endommagement à l’échelle du pli nous permet de prendre en compte les principaux mécanismes de dégradation des composites stratifiés. Une stratégie de résolution parallèle avec relocalisation non-linéaire est utilisée pour améliorer les performances. Mots clés — calcul parallèle, méthode de décomposition de domaine, méthode Newton-Krylov- Schur, endommagement, matériaux composites.
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Sur une stratégie de calcul multi-échelle pour l'analyse des structures composites : discrétisation et performances

Sur une stratégie de calcul multi-échelle pour l'analyse des structures composites : discrétisation et performances

loiseau,ladeveze,dureisse@lmt.ens-cachan.fr Résumé Afin de traiter efficacement les problèmes de grande taille associés à la simulation du comportement de structures hétérogènes, une stratégie de calcul multi-échelle fortement liée aux techniques d’homogénéisation a été proposée dans [4]. Ici, des outils destinés au traitement spécifique des matériaux composites sont présentés : l’introduction d’un troisième échelle et l’utilisation de la solution de la théorie de l’homogénéisation des milieux périodiques dans les régions éloignées des bords.
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Sur une stratégie de calcul multiéchelle pour l'analyse des structures composites: discrétisation et performances

Sur une stratégie de calcul multiéchelle pour l'analyse des structures composites: discrétisation et performances

Table 1: Erreurs vis-` a-vis de la solution de r´ ef´ erence, pour chaque cas-test On rassemble dans le Table 1 les erreurs relatives en ´energie sur toute la structure entre la solution obtenue et la solution ´ el´ ement finis du calcul complet. Les r´ esultats des cas-tests (i) et (ii) ne permettent pas de distin- guer un ´ el´ ement parmi les autres, toutefois on notera que l’erreur obtenue est tr` es basse ; on peut en conclure que les ´ el´ ements propos´ es sont tous aptes `

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Sur un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés

Sur un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés

Conclusion et perspectives Les travaux de thèse détaillés ici ont permis de poursuivre le développement d’un mo- dèle micro semi-discret de dégradation des composites stratifiés. Deux évolutions fortes ont été apportées. Tout d’abord, l’amélioration du modèle à travers l’introduction de nouveaux comportements, tels que la plasticité, la viscosité et la rupture dans le sens des fibres. D’autre part, afin de valider ce modèle, l’implémentation numérique a également été poursuivie, à travers l’introduction des non-linéarités (endommagement diffus, plasti- cité, viscosité, rupture sens fibre), suivie d’une optimisation numérique de cette stratégie. Ainsi, des simulations réalistes ont pu être réalisées pour montrer les capacités du modèle. Le modèle micro proposé dans de précédents travaux, a donc été complété avec une partie des comportements pertinents intervenant dans les phénomènes de dégradation des stratifiés jusqu’à rupture. Le constituant élémentaire continu, le matériau fibre-matrice, a maintenant un comportement élastoviscoplastique endommageable. Ceci permet de capter la complexité de la réponse des stratifiés, notamment dans la phase précédent l’apparition de la fissuration. Le rupture sens fibre, également introduite dans ce volume homogénéisé, permet de mener des calculs complets, jusqu’à la ruine complète du stratifié. L’autre constituant élémentaire, la surface minimale de rupture, a quant à elle gardé ses propriétés liées à la mécanique de la fissuration discrète.
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Sur un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés

Sur un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés

Telle qu’elle est proposée, cette stratégie ne permet pas de traiter des calculs importants. En ef- fet, la stratégie de décomposition de domaine impose notamment la résolution d’un problème dit « Macro ». Ce problème qui porte sur un nombre réduit de ddls, est global, donc dépendant de la taille du problème de référence. Pour les applications visées, il devient donc difficile de construire et stocker l’opérateur associé sur une seule machine, la mémoire vive disponible devenant vite limitante. C’est pourquoi, nous nous sommes tournés vers une parallélisation complète du code. Une méthode de décomposition de domaine primale du problème macro de type BDD [10] a été introduite, afin de palier à ce soucis de mémoire. Cela revient à ajouter une échelle supplémen- taire dans la résolution. Si bien que le prolème macro, résolu initialement de manière directe, est maintenant résolu itérativement, avec un opérateur global mais décomposé sur les différents processeurs. Toutes les autres opérations de la stratégie sont locales par sous-structure ou par in- terface, donc aisément parallélisable.
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Stratégie de couplage locale/adaptative - globale/fixe en temps-espace pour la simulation d'impact sur structures composites.

Stratégie de couplage locale/adaptative - globale/fixe en temps-espace pour la simulation d'impact sur structures composites.

Résumé — Ce travail vise à proposer une méthode de couplage en dynamique entre une description globale de type coque et une description locale raffinée permettant d’introduire un méso-modèle de comportement, en particulier de délaminage. Les approches de type couplage de sous-domaines avec différents pas de temps [1] [2] nécessitent la redéfinition des domaines dans le cas de la propagation de délaminage sur de grandes étendues [3]. Ce travail est dédié à la mise au point de la méthode pour des modéles de même dimensions. Son objectif est de permettre de garder le modéle et le solveur global inchangés tout au long du calcul tout en introduisant un modéle local raffiné en temps en espace par une technique de substitution itérative [4] [5].
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Une nouvelle stratégie de calcul micro/macro en mécanique des structures

Une nouvelle stratégie de calcul micro/macro en mécanique des structures

R´ esum´ e. Une nouvelle strat´ egie de calcul micro/macro est propos´ ee pour analyser les structures dont le com- portement est d´ ecrit ` a l’´ echelle “ micro ” (par exemple : les structures composites). Elle devrait remplacer avantageusement, au moins pour un certain nombre de questions, les techniques standards d’homog´ en´ eisation et de r´ eanalyse locale plus ou moins coupl´ ees. Le but est ici de d´ ecrire les bases de cette approche.

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Une stratégie de calcul pour l'analyse à l'échelle "micro" des endommagements jusqu'à rupture des composites stratifiés

Une stratégie de calcul pour l'analyse à l'échelle "micro" des endommagements jusqu'à rupture des composites stratifiés

Figure 5.1: Incompatibilité des sous-structures (vue de dessus) : Pour deux plis de même épaisseur, la compatibilité entre les géométries est impossible pour deux orien- tations quelconques En effet, cette compatibilité est recherchée pour deux raisons essentielles. La première raison est liée à la stratégie multiéchelle et à la volonté de limiter les données stockées. Pour chaque sous-structure, il est nécessaire de déterminer plusieurs opérateurs : la raideur (assemblée avec les directions de recherche) et l’opérateur homogénéisé dépendant des in- terfaces définies autour d’une sous-structure. En réalisant des pavages incompatibles entre les plis, le voisinage d’une sous-structure est toujours différent et les opérateurs doivent être construits pour chaque sous-structure. Cette construction est coûteuse en terme de stockage et temps de précalcul, principalement lorsque le nombre de sous-structures est très élevé. On souhaite alors générer une décomposition de domaines contenant peu de sous-structures dont la forme diffère et pour lesquelles la forme des interfaces voisines est similaire, de manière à n’avoir à calculer les opérateurs que sur quelques sous-structures de base.
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Stratégie de calcul et utilisation de séries de Fourier pour les tubes composites dégradés

Stratégie de calcul et utilisation de séries de Fourier pour les tubes composites dégradés

Mod´elisation et simulation sont de nos jours des mots clefs du m´etier d’in- g´enieur. En effet, dans ce domaine, une volont´e de plus en plus forte tend `a mettre en avant la pratique des simulations dans le processus industriel afin de guider, de compl´eter ou de remplacer une partie de l’approche exp´erimen- tale. On parle alors d’essais virtuels (virtual testing en anglais). Cette volont´e se manifeste actuellement `a travers certains programmes de recherche natio- naux ou europ´eens dans le domaine de l’a´eronautique (MAIA, MUSCA, ...). Un des enjeux du virtual testing en m´ecanique des mat´eriaux et des structures est la pr´evision de l’´evolution des endommagements et de la rupture aussi bien en statique qu’en dynamique. Ceci est d’autant plus vrai pour les mat´e- riaux composites qui poss`edent une grande diversit´e de constituants de base et d’architectures car ils engendrent ainsi des campagnes d’essais tr`es lourdes et coˆ uteuses. Qui plus est, la gamme d’essais est tr`es large et s’´etend sur dif- f´erentes ´echelles, des essais de base aux essais sur structures en passant par diff´erents niveaux d’´eprouvettes technologiques. Dans le cadre de l’A340-600, par exemple, le coˆ ut des essais de caract´erisation concernant les composites atteint plusieurs centaines de millions d’euros. Notons que dans le domaine spatial, dans lequel se situe cette th`ese, le recours `a la simulation est indispen- sable afin de valider les mod`eles utilis´es pour la pr´ediction du comportement en service.
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Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation en temps et en espace pour le calcul de structures fortement hétérogènes

Une stratégie de calcul multiéchelle avec homogénéisation en temps et en espace pour le calcul de structures fortement hétérogènes

Introduction Le comportement des structures hétérogènes telles que les structures composites résulte souvent de phénomènes complexes à l'échelle microscopique. La prédiction du comportement de ces structures a donc conduit à l'élaboration de modèles de plus en plus sophistiqués qui décrivent le matériau à une échelle très ne comparée à l'échelle de la structure. La simulation numérique de tels problèmes nécessite alors la conception de stratégies de calcul ables et performantes prenant en compte ces aspects multiéchelles. An de capter les phénomènes locaux à courte longueur de variation, aussi bien au niveau spatial que temporel, le calcul doit être opéré sur une discrétisation ne de la structure et de l'intervalle de temps d'étude. Cela conduit à des problèmes à très grand nombre de dégrés de liberté dont le coût de calcul est généralement prohibitif avec des codes de calcul standards. Un des principaux objectifs de ces dernières décennies et dans lequel s'inscrit ce travail de thèse a consisté en l'élaboration de stratégies de calcul robustes adaptées à la résolution de ce type de problèmes.
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Stratégies de calcul intensif pour la simulation du post-flambement local des grandes structures composites raidies aéronautiques

Stratégies de calcul intensif pour la simulation du post-flambement local des grandes structures composites raidies aéronautiques

La stratégie PBAMR et sa combinaison avec la décomposition de domaine (PBAMR- DD) présentent cependant quelques limites. Le changement de mode de flambement (mode switching), qui peut survenir par la présence de bifurcations secondaires, n’est pas pris en compte. Bien que la procédure adaptative confère une certaine robustesse à la stratégie, le nombre de complétions de la base réduite, en cas de changement de mode, risque de la rendre inefficiente. Nous avons proposé quelques pistes pour traiter le mode switching (mise à jour de la base réduite, augmentation de la taille initiale, etc.). En ce qui concerne la combinaison avec la décomposition de domaine, bien que la partition soit guidée par des considérations mécaniques (raideur importante des raidisseurs), une contrainte est imposée par l’implémen- tation actuelle. Le calcul du mode de flambement par sous-domaine est en effet réalisé à interfaces fixes. Cela permet de rendre indépendantes les constitutions des bases réduites par sous-domaine mais impose que les raidisseurs, le long desquels le découpage est réalisé, ne flambent pas. Dans le cadre du post-flambement local des grandes structures raidies, il est possible de se ramener à ce genre de configuration mais cela impose une connaissance a priori de la réponse de la structure. Pour plus de flexibilité dans la méthode nous avons également proposé des pistes concrètes pour la prise en compte d’un flambement non local, strictement, au sens de la décomposition en sous-domaine. Les limites de notre étude concernent donc l’extension vers le mode switching et le flambement non local en décomposition de domaine, mais aussi l’évaluation de l’influence des paramètres de déclenchement de l’adaptivité et de convergence multi-niveaux pour la stratégie PBAMR-DD.
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Un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés, améliorations et simulations = A micro model for analysis of laminated composites, improvement and illustrations

Un modèle micro pour le calcul des structures en composites stratifiés, améliorations et simulations = A micro model for analysis of laminated composites, improvement and illustrations

Le micromodèle hybride proposé permet la simulation pertinente d'éprouvettes simples jusqu'à rupture, en reproduisant fidèlement la chronologie des dégradations. Il doit être vu comme une base de données comportant les modélisations de l'ensemble des comportements indispensables à la prise en compte des dégradations menant à la rupture du stratifiés. Pour cela, des dégradations à différentes échelles doivent être prises en compte, en commençant par les dégradations diffuses, représentées ici de manière homogénéisée grâce à des variables d'endommagement, suivies des fissurations, représentée de manière discrète dans le cadre de la mécanique de la fissuration discrète. Est associée maintenant la prise en compte des comportements plastiques et visqueux. Actuellement, en quasi-statique, le modèle est compatible avec la connaissance que l'on a des mécanismes de dégradation aux échelles micro et méso. Les simulations sont rendues possible grâce aux progrès réalisés sur la stratégie numérique de décomposition de domaine, maintenant totalement parallélisée. Il reste cependant un effort à fournir pour simuler des éprouvettes plus réalistes. C'est le travail numérique en cours, avec pour objectif le calcul de cas à plusieurs centaines de millions de ddls.
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Pépite | Conception et optimisation des structures tissées interlock pour optimisation de la mise en forme 3D de renforts fibreux de matériaux composites

Pépite | Conception et optimisation des structures tissées interlock pour optimisation de la mise en forme 3D de renforts fibreux de matériaux composites

Les travaux de thèse développés dans ce manuscrit sont tous en lien avec les technologies et les techniques de tissage, de mise en forme et de consolidation de pièces composites. Pour chaque application, des préformes tissées 3D interlock chaine ont été conçues afin de répondre aux cahiers des charges définis par les utilisateurs finaux, et ont été élaborées sur des machines à tisser armurées, puis mises en forme par emboutissage ou par pliage, et enfin consolidées. Les études présentées dans ce manuscrit ont pour objectif de mieux comprendre le comportement des structures tissées 3D interlock chaine lors de ces différentes étapes. Ces travaux de thèse se sont déroulés au sein du laboratoire GEMTEX (EA n°2461 – ENSAIT de Roubaix) sous la direction de Damien SOULAT et co-encadrés par François BOUSSU et Peng WANG. Ce manuscrit est divisé en trois chapitres.
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Méthodologie d'éco-conception de procédés par optimisation multiobjectif et aide à la décision multicritère

Méthodologie d'éco-conception de procédés par optimisation multiobjectif et aide à la décision multicritère

1.4 Indice d’impact environnemental potentiel (« Waste Reduction algorithm ») Compte tenu de la difficulté à renseigner l’ensemble des informations requises par le calcul des indicateurs d’une métrique, au stade de la conception préliminaire d’un procédé, un certain nombre de travaux se sont orientés vers le développement d’un bilan environnemental. Une méthode, très citée dans la littérature dédiée et identifiée par le terme d’Algorithme de Réduction des Rejets (plus connue, sous son acronyme anglo-saxon WAR, WAste Reduction algorithm), est basée sur le concept de bilan environnemental, analogue aux bilans de matière et d’énergie. Elle fut présentée dans la littérature pour la première fois en 1994 par Hilaly and Sikdar [HIL 94]. Il ne s’agit pas d’un outil d’analyse du cycle de vie, car l’approche est essentiellement basée sur le procédé et la génération d’utilités associées au sein du cycle de vie du produit et n’intègre pas les autres phases : acquisition des matières premières, distribution, utilisation et recyclage du produit. [YOU 99] définissent sur la Figure 1.3. les frontières du système dans la méthodologie WAR. Cette méthode est utilisée en phase de conception d’un procédé et utilise les informations du procédé (débits et fractions massiques) ainsi que des données toxicologiques pour calculer l’impact environnemental du procédé. Elle nécessite le recours à un logiciel de flowsheeting. Cette méthode américaine a été développée au sein de l’EPA (Environmental Protection Agency, National Risk Management Research Laboratory) pour prendre en compte l’aspect environnemental dès la phase de conception du procédé.
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ANSYS et le calcul des structures sandwich

ANSYS et le calcul des structures sandwich

Dans ce papier, nous étudierons un cas très simple avec ANSYS 5.2 en vue d’illustrer la nécessité d’un post-traitement [7] qui permet de vérifier les condi- tions de continuité précitées. Cette méthode de post-traitement est basée sur la formulation de Reissner afin d’améliorer la précision des contraintes aux interfaces des structures sandwich.

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Modélisation dynamique de la densité de population via les réseaux cellulaires et optimisation multiobjectif de l'auto-partage

Modélisation dynamique de la densité de population via les réseaux cellulaires et optimisation multiobjectif de l'auto-partage

170 Chapitre 4. Algorithmes mémétiques et optimisation multiobjectif favoriser une direction de recherche (direction définie par la pondération), mais au contraire d’explorer au maximum l’espace de recherche. Pour appliquer l’algorithme proposé, nous avons présenté le problème particulier de la localisation optimale des stations pour un service d’auto-partage. Alors que jusqu’à présent les approches rencontrées dans la littérature pour résoudre ce problème étaient des approches exactes, qui ne permettaient de résoudre qu’une version simplifiée du problème (maillage du territoire en maille d’un kilomètre carré), l’introduction d’une approche heuristique a permis d’offrir de nouvelles perspectives. Nous avons proposé une modélisation du problème sous forme de MOP qui permet de construire des configurations diverses du service, où chaque configuration est une façon de localiser n stations. Les solutions retournées par l’algorithme sont les solutions rencontrées appartenant à l’ensemble Pareto, non pas réel car cet ensemble n’est pas connu, mais l’ensemble Pareto composé de toutes les solutions non-dominées entre elles que peut trouver l’algorithme. La constitution de cet ensemble Pareto suppose la définition des fonctions objectifs du problème. Nous avons proposé et formalisé trois fonctions permettant de trouver les configurations qui (1) s’adressent au maximum de flux de déplacements, (2) permettent une auto-régulation du service maximisant l’équilibre entre flux entrant / flux sortant à une même plage horaire et (3) favorisent un fonctionnement tout au long de la journée et non uniquement aux heures de pointe.
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Pépite | Optimisation combinatoire multiobjectif : apport des méthodes coopératives et contribution à l'extraction de connaissances

Pépite | Optimisation combinatoire multiobjectif : apport des méthodes coopératives et contribution à l'extraction de connaissances

3.1 Optimisation multi-objectif et m´ etaheuristiques Afin d’´etudier les possibilit´es offertes par les m´etaheuristiques pour l’optimisation multi- objectif, nous avons utilis´e comme exemple d’application le mˆeme probl`eme de flowshop bi-objectif. Ce travail a ´et´e initi´e en 2000 dans le cadre d’une collaboration avec l’universit´e USTHB d’Alger et en particulier avec Mohamed Hakim Mabed et Malek Rahoual. Il a donn´e lieu `a une pr´esentation `a MOSIM’01 [59] et `a EMO’01 [78]. Ce travail a ensuite ´et´e poursuivi par Matthieu Basseur dans le cadre de sa th`ese qu’il a r´ealis´ee au sein de l’´equipe [4]. La difficult´e de l’optimisation multi-objectif r´eside dans l’absence d’une relation d’ordre total qui lie l’ensemble des solutions du probl`eme. Sur le plan des algorithmes ´evolutionnaires, ce manque apparaˆıt dans la difficult´e de concevoir un op´erateur de s´election qui affecte `a chaque individu une probabilit´e de s´election proportionnelle `a la performance de cet individu. Un autre inconv´enient est li´e `a la perte pr´ematur´ee de la diversit´e. D’o` u la n´ecessit´e de concevoir des techniques de maintien de la diversit´e au sein de la population.
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Sur une stratégie de calcul pour les problèmes multiphysiques

Sur une stratégie de calcul pour les problèmes multiphysiques

L’objectif de cette thèse est de proposer une stratégie alternative et non incrémen- tale pour la simulation des problèmes multiphysiques. Le point de départ est d’étendre le concept d’interface entre sous-structures (cf. [Lad99a] puis [Lad00, Lad01b, Lad02b]) à celui d’interface entre physiques. Chaque physique est alors traitée indépendamment (notamment en terme de discrétisation en temps et en espace) et les couplages entre les physiques sont recouvrés lors de la vérification de « propriétés » d’interface. Les bases de cette méthode ont été présentées dans [Dur03c] et le cas test qui sert de sup- port est un problème multiphysique classique : celui de consolidation d’un milieu po- reux, problème d’interaction fluide-structure fortement couplé en volume. Cette thèse a été réalisée en collaboration avec le Professeur B. A. Schrefler 3 dont les travaux ont largement contribué à la compréhension et à la simulation de ces milieux 4 [Lew98, Sch02]. Le terme consolidation désigne la lente déformation du « squelette » d’un mi- lieu poreux, accompagnée d’un flux du fluide contenu dans les pores [Lew98, Cou04]. Ce phénomène joue un rôle important dans de nombreux problèmes de mécanique des sols et a fait l’objet de nombreuses études. Deux cas ont été examinés avec beau- coup d’attention. D’une part, celui où le sol est soumis à un chargement mécanique : effet du poids d’un édifice, fondations des piles de pont, etc. D’autre part, celui où le sol est soumis à un chargement hydraulique qui peut conduire à un changement d’équi- libre : pompage massif d’une ressource naturelle (pétrole, gaz) dans le sol, etc.
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Sur une théorie des méconnaissances en calcul des structures

Sur une théorie des méconnaissances en calcul des structures

i de probabilit´e 99%. Si on voulait une description plus riche, on pourrait ´egalement utiliser les valeurs `a 50% de ces quantit´es exp´erimentales, ce qui nous donnerait une estimation de l’´ecart-type. Dans un deuxi`eme temps, il est important de s´electionner quelles sont les meilleures mesures exp´erimentales pour r´ealiser les r´eductions successivement sur les diff´erentes sous-structures. Une m´ethode efficace consiste `a s’appuyer sur le fait que la sensibi- lit´e des m´econnaissances effectives vis-`a-vis des m´econnaissances de base est directe- ment li´ee aux ´energies de d´eformation modales du mod`ele th´eorique d´eterministe, comme on peut le constater dans les expressions du paragraphe 3.2. En effet, les informations exp´erimentales les plus pertinentes dans le processus de r´eduction des
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