Haut PDF Solutions entières des équations du genre O

sans points rationnels (d'après le théorème rappelé page 13). — La réciproque du théorème I concernant l'existence d'une représentation entière pour les courbes de genre O ayant une infi[r]

Dans ce chapitre, on s’intéresse à étudier la croissance des solutions de certaines équations di¤érentielles linéaires d’ordre supérieur à cœ¢ cients entières de même ordre et de même type. Tout d’abord, on va citer quelques résultats y liés. En 2001, B. Belaïdi et S. Hamouda ont établi le résultat suivant :

De nombreux résultats importants ont été obtenus sur les points …xes des fonctions méro- morphes transcendantes pendant près de quatre décennies (voir [50]). En 2000, Chen (voir [11]) est le premier qui a souligné la relation entre l’exposant de convergence des points …xes distincts et l’ordre de croissance des solutions des équations di¤érentielles linéaires d’ordre deux à coe¢ cients fonctions entières. En 2006, Chen (voir [10]) a étudié les zéros de f (j) (z) ' (z)

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Corollaire 2.3.3 Supposons que les coe¢ cients A j (z) (j = 0; 1; ; n) dans (2:1) sont des fonctions entières d’ordre …ni tels que, parmi les coe¢ cients il existe un coe¢ cient ayant l’ordre maximal = max 0 j n f (A j ) g ; et un type plus grand que les autres. Soit f (z) une solution méromorphe d’ordre …ni de l’équation (2:1). (1) Si a (z) est une fonction méromorphe d’ordre …ni< + 1 et satisfait

Il est très connu que si les coe¢ cients de (0:0:2) sont des fonctions entières alors les solutions le sont aussi. Plusieurs auteurs ([5] ; [15] ; [17]) cherchent des conditions su¢ santes sur les coe¢ cients de l’équation (0:0:2) qui assurent que toute solution f 6 0 de (0:0:2) soit d’ordre in…ni ;

Théorème 2.1.5 [5]Soient F (z); A j (z); j = 1; :::; n des fonctions entières telles que F (z)A n (z) 6 0, et soit C k ; k = 1; :::; n des constantes distinctes. Supposons que f (z) est une solution entière d’ordre …ni de l’équation au di¤érence linéaire non homogène A n (z)f (z + C n ) + A n 1 f (z + C n 1 ) + ::: + A 1 (z)f (z + C 1 ) = F (z): (2.1.27)

de Hadamard, on peut écrire f sous la forme : f (z) = g (z) =d (z), où g (z) et d (z) sont des fonctions entières avec (d) = (d) = (1=f ) < n (f ) = (g) : Pour tout jzj = r su¢ samment grand; soit z r = re i r un point véri…ant jg (z r ) j = M (r; g). D’après le Lemme 4.2.3, il existe une constante r (> 0) ; une suite fr m g m2N ; r m ! +1 et un ensemble E 2

[6] B. Belaïdi, H Habib Relations between mermorphic solutions and their derivatives of dif- ferential equations and small functions. Ann. Univ. Buchar. Math. Ser. 6(LXIV)(2015), no. 1, 35-57 [7] B. Belaïdi, Fonctions entières et théorie de Nevanlinna, Editions AL Djazair, 2017. [8] Z. X. Chen, Zeros of meromorphic solutions of higher order linear di¤erential equations,

0 + h 0 (z)e bz f = 0, (2) où h j (z) (j = 0, 1) sont des fonctions entières d'ordre strictement inférieur à un, a et b sont des nombres complexes non nuls. Ses travaux ont été plus tard généralisés pour les équations diérentielles linéaires d'ordre supérieur (voir par exemple ([12], [13])). Diérents chercheurs ([9], [20], [27]) se sont intéressés à l'étude des équations diéren- tielles linéaires de la forme :

reste valable pour l’autre [n; p] type (n 2 p 1) : Corollaire 2.1.14 Soit A 0 (z) 6 0, A 1 (z),. . . . . . , A k 1 (z) des fonctions entières, et soit i(A 0 ) = n (0 < n < 1).Supposons que nous avons la condition (*) du théorème 2.1.12. Alors toute solution f 6 0 de (2:2) satisfait i(f) = n + 1 et n+1 (f ) = n (A 0 ).

fonctions entières, Gary G. Gundersen [8] a cherché des conditions sur les coe¢ cients de telle façon que chaque solution soit d’ordre in…ni. On sait que si A (z) est transcendante, alors au moins une de chaque deux solutions linéairement indépendantes est d’ordre in…ni. Plusieurs chercheurs ont étudié l’oscillations des solutions de l’équation di¤érentielle

Dans la suite on voir une généralisations dans un autre sens: c’est pour l’étude de l’exposant itératif comme suivant. 3.2 Résultats principaux Le but de ce chapitre est de voir l’amélioration du théorème E concernant les équa- tions di¤érentielles linéaires de coe¢ cients entières d’ordre …ni dans (2.3) à coef- …cients entières d’ordre itératif …ni faite par Tu, Xuan et Xu [28] en realisant les résultats suivants.

CONCLUSION Plusieurs chercheurs ont étudié la croissance et l’oscillation des solutions des équations di¤é- rentielles linéaires du second ordre à coe¢ cients fonctions entières. On sait que ces solutions sont des fonctions entières et elles sont soit d’ordre in…ni, soit d’ordre …ni. Cependant le cas où les coe¢ cients de ces équations sont des fonctions méromorphes est un peu di¢ cile à étudie car les solutions ne sont pas toujours des fonctions méromorphes.

Cette thèse est composée d’une introduction et de cinq chapitres. Le premier chapitre est un ensemble de dé…nitions, des résultats et quelques notions préliminaires de la théorie de R. Nevanlinna dont on aura besoin dans les chapitres suivants. Dans le deuxième chapitre, on s’intéresse à l’étude de la croissance des solutions des équations di¤érentielles linéaires non homogènes d’ordre supérieur à coe¢cients fonctions entières dont le coe¢cient dominant admet un ordre inférieur < 1

On signale ici qu’il est très connu que si les coe¢ cients de (0.0.1) sont des fonctions entières alors les solutions le sont aussi, la même chose pour le cas des fonctions analytiques dans le disque unité. La question qui se pose ici, qu’en est-il pour le cas oú il existe un coe¢ cient transcendant (non polynôme) ? Plusieurs auteurs cherchent des conditions su¢ santes qui as- surent que toute solution f (6 0) de (0.0.1) est d’ordre in…ni ; (voir par exemple [2],[3],[5],[11]. Plusieurs auteurs ont étudié l’équation di¤érentielle particulière suivante

Plus tard, dans [12] ils ont également considéré l’équation di¤érentielle linéaire f (k) + A k 1 f (k 1) + ::: + A 0 f = F; (0.0.2) où A 0 ; A 1 ; :::; A k 1 ; F sont des fonctions entières sous certaines conditions sur les coe¢ cients, ils ont montré que chaque solution de (0:0:2) est un polynôme ou une fonction entière trans- cendante d’ordre in…ni. La question qui se pose ici, qu’en est -il lorsque A 0 ; A 1 ; ::; A k 1 ; F sont

Chapitre 4 Conclusion Nous avons traîté dans ce mémoire les caractéristiques que sont l’ordre et l’hyper ordre des solutions des équations di¤érentielles d’ordre 3 dans le cas où les fonctions coe¢ cients sont des fonctions entières. Et cela ouvre la porte pour plusieurs perspectives.Les questions suivantes se posent : Conserve-t-on ces mêmes caractéristiques dans le cas où les fonctions coe¢ cients sont des fonctions méromorphes ?. Peut-on généraliser les résultats obtenus pour des fonctions méromorphes ? Et sous quelles conditions cette généralisation serait possible ? En e¤et, les résultats obtenus peuvent être généralisés sous certaines conditions posées sur l’ordre, l’ordre inférieur et l’exposent de convergence dont la condition

c est un nombre complexe, et nous obtenons les résultats suivants. Théorème 2.0.5 (1) Soit A (z) une fonction entière transcendante d’ordre …ni. Soient d j (z) (j = 1; 2) des fonctions entières d’ordre …ni non toutes identiquement nulles telles que maxf (d 1 ) ; (d 2 )g < (A) ; si f 1 et f 2 sont deux solutions linéairement indépendantes de 2:0:1; alors le polynôme des

Théorème (Gauss). Le genre principal est exactement Cl(∆) 2 . L’existence de solutions entières locales implique en particulier l’exis- tence de solutions rationnelles locales, et donc d’après le Principe de Hasse, l’existence de solutions globales dans Q 2 . Ainsi, on voit que si l’équation [R] 2 = [Q] a une solution dans Cl(∆), alors l’équation Q(X, Y ) = 1 a une solution dans Q 2 . Si l’on tient compte aussi des solutions entières locales, ceci devient une équivalence. Ce résultat est rendu explicite dans [1] et [7], où la forme quadratique R est construite à partir d’une solution particulière de Q(X, Y ) = 1. Nous voulons montrer que le lien n’est pas naturellement entre R et la solution particulière, mais entre R et la paramétrisation des solutions.