Haut PDF Quelques problèmes aux limites pour les équations de Navier-Stokes

Quelques problèmes aux limites pour les équations de Navier-Stokes

Quelques problèmes aux limites pour les équations de Navier-Stokes

Un travail préliminaire, ne figurant pas dans cette thèse, a été accompli pour étudier les équations (1-3) dans un contexte 1D. En effet, si on trouve, dans la littérature, des résul- tats concernant certains types d’équations de Navier-Stokes en dimension 1 avec conditions limites non homogènes (voir [AnKaMo]), ce n’est pas le cas, à notre connaissance, pour le modèle particulier de l’écoulement isentropique d’un gaz parfait. La recherche d’un cadre multidimensionnel susceptible de présenter suffisamment d’analogies pour y transposer cer- taines des idées développées dans le modèle 1D nous conduit, dans un premier temps, à étudier un écoulement bidimensionnel entre deux parois parallèles (voir chapitre II). Cette première étude nous sert ensuite de point de départ pour étendre nos résultats à d’autres configurations géométriques (au chapitre III).
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Méthode d'éléments finis stabilisée pour les équations de Navier-Stokes incompressibles avec conditions aux limites équivalentes

Méthode d'éléments finis stabilisée pour les équations de Navier-Stokes incompressibles avec conditions aux limites équivalentes

Unit´e de recherche INRIA Lorraine, Technopˆole de Nancy-Brabois, Campus scientifique, ` NANCY 615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LES Unit´e de recherche INRIA Rennes, Ir[r]

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Résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées pour l'aéroélasticité, l’optimisation de forme et l’aéroacoustique

Résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées pour l'aéroélasticité, l’optimisation de forme et l’aéroacoustique

Cette forme, que nous avons appelée complète, de la matrice de stabilisa- tion a été testée sur les équations de Navier-Stokes non-linéaires et également linéarisées. Les calculs non-linéaires ont montré que la matrice complète est un peu moins visqueuse et donc moins stabilisatrice. La résolution des pro- blèmes implicites linéaires est également plus facile avec cette matrice. Enfin, le mouchetage apparaissant sur la répartition de pression sur le fuselage dis- paraît avec la stabilisation complète. L’étude de cette forme de la matrice de stabilisation en linéarisé donne des résultats moins probants. Les conclusions physiques tirées de l’utilisation pour les équations de Navier-Stokes de la matrice complète restent valable : elle est moins stabilisatrice, et tend à lisser le bruit numérique présent sur le fuselage. L’amélioration de convergence observée en non linéaire n’est pas retrouvée. Cela est très certainement dû au terme temporel supplémentaire présent dans le système implicite. Enfin, la matrice complète a été testée en aéroacoustique. On observe que les condi- tions de Dirichlet homogènes devienne très réfléchissantes, alors qu’elle sont normalement transparentes comme expliqué dans le chapitre 6. Cela montre que la matrice complète de stabilisation ne permet pas un décentrement convenable de la discrétisation des termes advectifs par caractéristique. La transformation d’une condition de Dirichlet homogène en une condition aux limites transparente par la stabilisation SUPG est un bon test de la qualité de la matrice τ .
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Discrétisation spectrale des équations de Navier-Stokes couplées avec l'équation de la chaleur

Discrétisation spectrale des équations de Navier-Stokes couplées avec l'équation de la chaleur

13 turbulente par une viscosité turbulente, voir [7]. Ici, nous optons pour les méthodes spectrales comme méthode d’approximation pour ces équations. Ces méthodes ont été introduites pour la première fois par S. A.Orszag [31] et développées, ensuite, par de multiples auteurs dont Bernardi et Maday [8]. Ces mé- thodes permettent d’obtenir des approximations d’équations aux dérivées partielles avec une bonne précision et une convergence rapide. Leur principale caractéristique est que les solutions discrètes sont cherchées dans des espaces de polynômes de haut degré. Les intégrales sont évaluées au moyen de formules de quadrature appropriées. Ces méthodes sont également très avantageuses, non seulement pour la simplicité des bases qu’elles fournissent et qui sont obtenues en dimension quelconque d’espace par une tensorisation de la base en dimension 1, mais aussi et surtout pour la nature de la convergence des solutions discrètes obtenues vers les solutions continues correspondantes. En ce sens, la précision de ces méthodes n’est limitée que par la régularité de la fonction à approcher. Ajoutons à ça, leur implémentation relativement simple et leur coût raisonnable qui ont fait d’elles des méthodes aussi attractives que compétitives. Ceci leur a permis de trouver un grand succés dans les milieux industriels, essentiellement dans les domaines de l’aé- ronautique, de la météorologie, de la mécanique des solides non linéaire. Les domaines où ces équations (équations elliptiques ou paraboliques) sont posées, se multiplient et se généralisent. Grâce aux produits de tensorisation sur les polynômes, la géométrie de base est soit un carré soit un cube et il est bien connu que la méthode s’adapte parfaitement à ce genre de domaines. Nous pouvons trouver des extensions sur des trapèzes, cylindres ou même des cônes, par conséquent, le champ d’applications des méthodes spectrales ne se limite plus aux géométries simples, mais s’étend aux situations complexes [4], voir les références [6], [22] et [36] pour plus de détails. Beaucoup de problèmes ont été résolus par cette méthode et l’efficacité de la méthode a été montrée aussi bien sur un domaine unique que sur une union de sous-domaines.
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Quelques problèmes aux limites couvernes par le bilaplacien dans un polygone plan

Quelques problèmes aux limites couvernes par le bilaplacien dans un polygone plan

Introduction générale Il est bien connu, qu’un très grand nombre de problèmes de la physique mathématique peuvent être modélisés par des équations aux dérivées partielles. Un système d’équations aux dérivées partielles, joint à des conditions aux limites et, lorsque le phénomène est d’évolution, à des conditions initiales, constitue ce qu’on appelle modèle mathématique. La modélisation mathématique des phénomènes, rencontrés par les utilisateurs, est devenue le soutien des travaux de nombreuses disciplines de la physique (ondes, di¤usion de la chaleur, plasmas, nouveaux matériaux, etc...), des sciences de l’univers (astrophysique, géophysique, etc...), de la chimie et évidemment de toutes les branches de la mécanique. Ce travail s’articule autour de l’étude de quelques modèles mathématiques gouvernés par les opérateurs de Stokes et de l’élasticité linéaire. Plus précisément, dans un ouvert plan borné et à frontière polygonale on considère u i et ij (u); i = 1; 2; solutions du problème :
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Étude mathématique des équations de Saint-Venant et de Navier-Stokes

Étude mathématique des équations de Saint-Venant et de Navier-Stokes

Comme ces équations ont une origine physique, on souhaite, pour que la modélisation soit pertinente, qu'à une donnée initiale corresponde une unique solution. On s'intéresse aussi à la durée de validité du modèle. Étant donnée une condition initiale, la solution qu'elle engendre existe-t-elle éternellement ou explose-t-elle en temps ni ? Dans ce dernier cas, cela signie que le modèle n'est plus valable à partir d'un certain temps. Les hypothèses qui ont conduit au modèle, notamment celle d'incompressibilité sont à remettre en cause et le uide suit alors d'autres équations. La compréhension de ces équations est dicile et fait partie des problèmes à un million de dollars posés par le Clay Mathematical Institute en 2000.
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Méthodes de décomposition de domaines pour les équations de Navier-Stokes en jonction fleuve/océan et les lois de conservation scalaires

Méthodes de décomposition de domaines pour les équations de Navier-Stokes en jonction fleuve/océan et les lois de conservation scalaires

grand (ce qui permet de garantir l’ellipticité des sous-problèmes), est en partie à la base des difficultés de la solution avec viscosité cinématique. Pour ces raisons le choix de la viscosité turbulente garantit mieux la stabilité des algorithmes de dé- composition de domaine, et en conséquence la qualité de la solution numérique est plus représentative comme nous le montrent les figures (5.6) présentant la solution hauteur de l’étape de transport aux temps t = 0.5, 1s. On constate que la continuité de l’écoulement sur l’interface se passe remarqua- blement bien. Mieux encore l’écoulement se dirige vers l’interface de manière convergente. Cependant on peut noter que la direction prise par l’écoulement n’est pas seulement liée au choix de la viscosité. Pour s’en convaincre on simule le problème en considérant l’étape de diffusion avec des conditions de glissement, i.e les équations (5.83)-(5.87).
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Discrétisation du problème de couplage instationnaire des équations de Navier- Stokes avec l'équation de la chaleur

Discrétisation du problème de couplage instationnaire des équations de Navier- Stokes avec l'équation de la chaleur

3.1 Introduction Les résultats théoriques ont été validés dans le chapitre 2 à l'aide des simulations aca- démiques, mais les problèmes industriels reste notre utlime objectif. Ainsi, nous nous intéressons dans ce chapitre à la compréhension et l'analyser du phénomène d'instabi- lité thermique qui apparaît de temps en temps dans l'imprimante 3D. An d'améliorer la précision du calcul, la nesse de discrétisation sera augmentée. L'utilisation d'un seul processeur ne satisfera plus les exigences aux niveaux temps de calcul et place mémoire. Pour dépasser cet obstacle, nous devons utiliser le calcul parallèle en appliquant les mé- thodes de décomposition de domaine. Cependant, la méthode de décomposition en temps de type "parareal" (cf. [46]) qui consiste à résoudre indépendamment le problème sur des sous-intervalles temporels, ne permet pas de diminuer l'empreinte mémoire. Pour cette raison, nous utiliserons des méthodes de décomposition en espace. Ces méthodes per- mettent de résoudre le problème sur des sous-domaines en parallèle. La continuité entre les sous-domaines sera gérée par la transmission d'informations en utilisant la librairie MPI (Message Passing Interface). L'application de ces méthodes diminuera le temps de calcul et l'empreinte mémoire par processeur.
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Discrétisation et résolution numérique de quelques problèmes  aux conditions aux limites

Discrétisation et résolution numérique de quelques problèmes aux conditions aux limites

Introduction Un grand nombre de problèmes de la physique mathématique peuvent être modélisés par des équations aux dérivées partielles. Nous entendons par ces modèles, un ensemble d’équations (ou d’inéquations) associées aux conditions aux limites sur la frontière du domaine spatial, où le phénomène est étudié. La plupart de ces phénomènes sont non linéaires, les cas parmi les plus célèbres étant l’équation de Boltzmann en mécanique sta- tistique, les équations de Navier Stokes en mécanique des ‡uides (équations qui consti- tuent d’ailleurs une approximation de l équation de Boltzmann), les équations de Von Karman des plaques planes en grands déplacements (cf. [3],[4],[6],[10],[13],[14],[17]), etc. . . Tout cela explique pourquoi, dans des sujets très divers, la modélisation par les équa- tions aux dérivées partielles, suivie de l’analyse théorique, puis numérique, suivie a son tour par la simulation numérique, est devenue une démarche de base. Cette modélisa- tion des phénomènes que l’on rencontre surtout dans les sciences de l’ingénieur, conduit, éventuellement après une étape de discrétisation par l’une des méthodes : méthode des di¤érences …nies, méthode spectrale, méthodes volumes …nis et méthode des éléments …nis (cf. [7],[9],[10],[11],[18],[19], à la résolution de systèmes d’équations en dimension …nie.
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Autour des équations de Navier-Stokes

Autour des équations de Navier-Stokes

Pour conclure cette introduction aux équations de Navier-Stokes, nous pouvons indiquer que la résolution des équations de Navier-Stokes fait partie de l’un des sept Problèmes du Millénaire proposés par la Fondation Clay, et dont l’un a été résolu récemment (il s’agit de la conjecture de Poincaré). Pour gagner le million de dollars à la clef, il s’agit soit de démontrer que les équations de Navier-Stokes sont bien posées au sens rappelé au-dessus, pour toute donnée initiale « suffisamment régulière » (mais arbitrairement loin du repos, en un sens que je ne précise pas), soit de démontrer qu’il existe un état initial du fluide tel qu’à un certain instant ultérieur, il « explose en temps fini » comme expliqué ci-dessus.
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Résolution des équations de Navier-Stokes à faible nombre de Mach. Application à l'étude de l'anneau de vorticité à masse volumique variable

Résolution des équations de Navier-Stokes à faible nombre de Mach. Application à l'étude de l'anneau de vorticité à masse volumique variable

∆t ∆x max(c + |v|) ≤ 1. (1.30) En effet, le pas de temps ∆t requis est inversement proportionnel au maximum de la vitesse des ondes acoustiques (c + |v|). Cela nécessiterait des temps de calcul excessifs pour résoudre des problèmes pratiques. Pour éviter cette limitation, certains termes associés au taux de pro- pagation du son lorsque M → 0 doivent être traités de manière implicite ; cette démarche a été adoptée en premier par Harlow et Amsden (1968a) et développée plus tard par plusieurs au- teurs (Casulli et Greenspan, 1984) et (Klein, 1995). L’identification de ces termes soniques dans la littérature ne se fait pas de manière unique (voir (Abarbanel et al., 1989; Casulli et Greenspan, 1984) et (Hirt et al., 1974)). Les termes de convection liés au mouvement lent du fluide peuvent toujours être traités explicitement avec une condition CFL non restrictive liée à la vitesse de convection
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Etude qualitative d'éventuelles singularités dans les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles pour un fluide visqueux.

Etude qualitative d'éventuelles singularités dans les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles pour un fluide visqueux.

p by S. Jaffard in [29], to Besov spaces by G. Koch in [36] and to general critical embeddings by H. Bahouri, A. Cohen and G. Koch in [2]. Let us notice the recent work [5] of H. Bahouri, M. Majdoud and N. Masmoudi concerning the lack of compactness of the Sobolev embedding of H 1 (IR 2 ) in the critical Orlicz space L(IR 2 ). Then profile decomposition techniques have been applied in many works of evolution problems such as the high frequency study of finite energy solutions to quintic wave equations on IR 3 , by H. Bahouri and P. Gérard [4]. C. Kenig and F. Merle investigated in [33] the blow up property for the energy critical focusing non linear wave equation. Profile techniques turned out to be also a relevant tool in the study of Schrödinger equations. Notice this kind of decomposition was stated and developped, independently from [26], by F. Merle and L. Vega [43] for L 2 -solutions of the critical non linear Schrödinger in 2D, in the continuation of the work of J. Bourgain [6]. Then, S. Keraani revisited in [35] the work of H. Bahouri and P. Gérard [4] in the context of energy critical non linear Schrödinger equations. C. Kenig and F. Merle investigated in [34] the global well-posedness, scattering and blow up matter for such solutions in the focusing and radial case. We mention the work of I. Gallagher [22] for a relevant utilisation of profile theory in the context of Navier-Stokes equations.
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Une nouvelle mise en oeuvre de la méthode IIM pour les équations de Navier-Stokes en présence d'une force singulière

Une nouvelle mise en oeuvre de la méthode IIM pour les équations de Navier-Stokes en présence d'une force singulière

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Formulation faible des équations de Navier-Stokes non inertielle en rotation pure en éléments finis spectraux

Formulation faible des équations de Navier-Stokes non inertielle en rotation pure en éléments finis spectraux

Figure 3.1 Constante de Lebesgue de différents ensembles de points en dimension 1 19 Figure 3.2 Constante de Lebesgue de différents ensembles de points en dimension 1 20 Figure 3.3 Exemp[r]

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Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier-Stokes compressibles. II : validation numérique

Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier-Stokes compressibles. II : validation numérique

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex France Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - [r]

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Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier-Stokes compressibles. I : cadre théorique

Une nouvelle méthode de relaxation pour les équations de Navier-Stokes compressibles. I : cadre théorique

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex France Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - [r]

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Problèmes aux limites obliques et non linéaires pour les équations de lamé

Problèmes aux limites obliques et non linéaires pour les équations de lamé

Résumé Dans ce chapitre nous prouvons en premier le résultat d’existence et d’unicité d’une solution faible, aux équations dynamique pour Elasticité linéaire dans un domaine borné à trois dimensions avec des conditions de frottement sur une partie de la frontière et Dirichlet sur l’autre partie ; alors nous étudions l’analyse asymptotique quand ε tend vers zéro. La convergence forte de la vitesse est prouvée, l’équation spécifique de Reynolds est aussi prouvée.

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Positivité de la solution de quelques problèmes aux limites fractionnaires

Positivité de la solution de quelques problèmes aux limites fractionnaires

Ces dernières années, de nombreux problèmes aux limites de type résonance liés aux equations di¤érentielles ordinaires ou fractionnaires ont été étudiés et de nom- breux resultats ont été obtenus voir [7; 11; 27; 28; 31; 55; 59] ainsi que leurs références. Dans la plupart des documents mentionnés ci-dessus, la théorie du degré de coïnci-

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Les problèmes aux limites concernant les équations di¤érentielles fractionnaires

Les problèmes aux limites concernant les équations di¤érentielles fractionnaires

1 à 3, d’aprés le théorème d’Arzela-Ascoli, nous pouvons conclure que F : C ([0; T ] ; R) ! C ([0; T ] ; R) est un opérateur continu et complètement continue. étape 4 : Les limites à priori. Maintenant il reste à montrer que l’ensemble :

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Méthode de compacité pour l’étude de l’équation de Navier-Stokes

Méthode de compacité pour l’étude de l’équation de Navier-Stokes

C’est en fait dû au caractère hyperbolique: la vitesse de propagation le long des bicarac- téristiques est finie, il faut donc un temps pour atteindre ω. La démonstration de ce théorème nécessite quelques résultats intermédiaires. Dans la suite, Ω est un ouvert borné de R n de frontière ∂Ω de classe C 2 et ω est l’ouvert défini

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