Haut PDF La méthode du gradient conjugué avec la recherche linéaire non monotone

La méthode du gradient conjugué avec la recherche linéaire non monotone

La méthode du gradient conjugué avec la recherche linéaire non monotone

TABLE DES MATIÈRES Parmi les plus anciennes méthodes utilisées pour résoudre les problèmes du type (P ), on peut citer la méthode du Gradient conjugué. Cette mé- thode est surtout utilisée pour les problèmes de grande taille.Cette méthode a été découverte en 1952 par Hestenes et Steifel , pour la minimisation de fonctions quadratiques strictement convexes.Plusieurs mathématiciens ont étendu cette méthode pour le cas non linéaire. Ceci a été réalisé pour la première fois, en 1964 par Fletcher et Reevese (méthode de Fletcher-Reeves) puis en 1969 par Polak, Ribière et Ployak (méthode de Polak-Ribière-Ployak). Une autre variante a été étudiée en 1987 par Fletcher (Méthode de la descente conjuguée). Une nouvelle variante a été proposée en 1991 par Liu et Storey (Méthode de Liu et Storey). Et en…n une dernière variante qui a été étudiée en 1999 par Dai et Yuan (Méthode de Dai et Yuan) Toutes ces méthodes
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Convergence des méthodes du gradient conjugué avec la recherche linéaire non monotone

Convergence des méthodes du gradient conjugué avec la recherche linéaire non monotone

Le but de cette thèse est de présenter des nouvelles classes de recherches linéaires non monotones lesquelles appliquées à la méthode du gradient conju- gué donnent de bons résultats de convergence et assure la condition de des- cente su¢ sante. Plus particulièrement, appliquées à la méthode du gradient conjugué de Fletcher Reeves (FR) avec des fonctions fortement convexes as- surent la convergence globale et donnent de bonnes performances numériques. Mots clés : Gradient conjugué, Algorithme, Convergence globale, Re- cheche linéaire inexacte, Règle d’Armijo, Règle de Wolf, Méthode de Hestenes- Stiefel, Méthode de Fletcher-Reeves, Méthode de Polak-Ribière-Polyak, Mé- thode de la descente conjuguée, Méthode de Gradient conjugué non mono- tone, La recheche linéaire non monotone.
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Exploitation d’une structure monotone en recherche directe
pour l’optimisation de boîtes grises

Exploitation d’une structure monotone en recherche directe pour l’optimisation de boîtes grises

CHAPITRE 1 INTRODUCTION L’optimisation de boîtes noires est un sujet de recherche qui croît fortement en popularité depuis les années 90 avec la sophistication des ordinateurs. Les ingénieurs sont maintenant en mesure de créer des programmes plus performants capables de simuler des phénomènes physiques complexes. En résulte ainsi un désir accru d’en optimiser les paramètres [22, 50]. Cependant, les irrégularités issues de simulations physiques, ainsi que la complexité des al- gorithmes, rendent bien souvent les méthodes d’optimisation classiques, telles que les multi- plicateurs de Lagrange [36], inapplicables. Plus particulièrement, le gradient de la fonction peut être peu fiable, trop coûteux en temps à calculer ou même inexistant, d’où l’intérêt grandissant envers l’optimisation sans dérivées (DFO). Quelques familles d’algorithmes se trouvent dans cette catégorie. Parmi les plus connues, on y retrouve : les algorithmes géné- tiques [37], la méthode de Nelder-Mead [49], les régions de confiance [24] et les algorithmes par recherche directe [39]. Ce projet est uniquement concerné par cette dernière famille en raison de l’existence de preuves de convergence théoriques ainsi que par la flexibilité permise dans leurs implémentations et l’ajout d’extensions [8, 57].
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Méthodes à région de confiance et gradient conjugué

Méthodes à région de confiance et gradient conjugué

Le concept central est celui de direction de descente. On le retrouvera dans des contextes variés, également pour résoudre des problèmes avec contraintes. Tous les algorithmes d’optimisation n’entrent pas dans ce cadre. Une autre classe importante de méthodes se fonde sur la notion de région de con…ance. Après avoir décrit comment fonctionne un algorithme à directions de des- cente, nous donnons quelques exemples d’algorithmes de ce type. Nous dé- crivons ensuite les principales règles de recherche linéaire.

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Un Algorithme de Gradient Conjugué Projeté Préconditionné pour la Résolution de Problèmes Unilatéraux

Un Algorithme de Gradient Conjugué Projeté Préconditionné pour la Résolution de Problèmes Unilatéraux

3. Préconditionneur Comme il est usuel dans le cas de l’utilisation de méthodes itératives, il est souhai- table de préconditionner le problème afin d’en accélérer la résolution (Saad, 2005). Le préconditionneur proposé est basé sur des remarques sur les espaces fonctionnels aux- quels appartiennent les différents objets manipulés dans l’algorithme. Durant la phase de recherche linéaire, le multiplicateur de Lagrange λ est mis à jour par la formule λ k + αW k . Or, ces deux vecteurs n’appartiennent pas aux mêmes espaces fonction-

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Sur quelques résultats nouveaux de la méthode du gradient conjugue

Sur quelques résultats nouveaux de la méthode du gradient conjugue

Le second chapitre traite l’optimisation unidimensionnelle et les notions de recherche linéaire exacte et inexacte(Armijo, Goldstein et Wolfe). Le chapitre 3 est consacré à l’étude de la méthode du gradient conjugué dans le cas linéaire et non linéaire. On va aborder d’abord le principe géné- ral d’une méthode à directions conjuguées et le théorème fondamental qui garantit la convergence d’un algorithme à directions conjuguées appliqué à une fonction quadratique à n variables. On s’intéresse ensuite à la méthode du gradient conjugué dans le cas linéaire. On passe en…n à la méthode du gradient conjugué dans le cas non linéaire.
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Convergence globale d’une nouvelle méthode du gradient

Convergence globale d’une nouvelle méthode du gradient

Le concept central est celui de direction de descente. On le retrouvera dans des contextes variés, également pour résoudre des problèmes avec contraintes. Tous les algorithmes d’optimisation n’entrent pas dans ce cadre. Une autre classe importante de méthodes se fonde sur la notion de région de confiance. Après avoir décrit comment fonctionne un algorithme a directions de des- cente, nous donnons quelques exemples d’algorithmes de ce type . Nous dé- crivons ensuite les principales règles de recherche linéaire

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Gradient conjugué, étude unifiée

Gradient conjugué, étude unifiée

Conclusion et perspectives Dans cette thèse, nous avons proposé une famille à deux paramètres des méthodes du gradient conjugué non linéaire et étudié la convergence globale de cette méthode. Cette famille comprend non seulement les trois méthodes du gradient conjugué déjà connues, mais aussi une autre famille des méthodes du gradient conjugué comme sous- famille. Tout d’abord, nous pouvons voir que la propriété de descente de la direction joue un rôle important à établir des résultats généraux de convergence de cette méthode avec la recherche linéaire de Wolfe faible (6.4) et (6.11 ), même en l’absence de la condition de descente su¢ sante (6.53), à savoir, les théorèmes 6.1, 6.2 et 6.3. Ensuite, d’après le théorème 6.4, nous avons prouvé que la famille à deux paramètres peut assurer une direction de descente à chaque itération et converge globalement sous condition de la recherche linéaire (6.4) et (6.9) où les scalaires 1 and 2 satisfont
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Développements récents de la méthode du gradient conjugué

Développements récents de la méthode du gradient conjugué

Dans [28], Dai et Yuan montrent qu’avec la méthode de FR, les conditions Wolfe fortes n’engendrent pas en général des directions de descente quand σ > 1/2, même pour la fonction f (x) = λ kxk 2 , où λ > 0 est une constante. Par conséquent, la contrainte σ ≤ 1/2 doit être imposée pour assurer la descente. Dans les implémentations typiques des conditions Wolfe, il est souvent plus efficace de choisir σ proche de 1. Par conséquent, la contrainte σ ≤ 1/2, nécessaire pour assurer la descente, représente une restriction importante dans le choix des paramètres de la recherche linéaire. D’autre part, Dai et Yuan montrent dans [25] que, lorsque σ > 1/2
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Extension non-linéaire des méthodes FFT accélérées par gradient conjugué

Extension non-linéaire des méthodes FFT accélérées par gradient conjugué

La figure 5 compare la convergence des deux méthodes en fonction de la raideur de l’inclusion. On peut constater que la sensibilité à la raideur de l’inclusion est bien mois grande pour la méthode accélérée par gradient conjuguée, le gain pouvant être très importants pour les forts contrastes. On remarquera cependant que pour les valeurs de  autour de 0.1 la méthode de base semble plus efficace. En réalité, cette observation est probablement due à l’algorithme utilisée pour la résolution du problème linéaire : le gradient conjugué (« bicgstab » dans matlab) est introduit dans une boucle au sein de laquelle sa tolérance est diminuée si la solution obtenue ne vérifie pas le critère d’équilibre, ainsi, le nombre d’itération est toujours sur évalué.
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Contributions en automatique non-linéaire

Contributions en automatique non-linéaire

Il apparaît clairement que les variables d’amplitude (onde de ciel et onde de sol) possèdent un modèle linéaire conditionnellement à toutes les autres variables. De plus, la fonction d’observation est continûment dérivable par rapport aux variables : et ) . Cette propriété, mariée au fait que les bruits de dynamiques (erreurs de mesure des capteurs de cap et vitesse) sont de faible puissance, fait que le !ltre de Kalman étendu peut être utilisé dans de bonnes conditions en poursuite, c’est à dire quand l’écart type d’estimation est faible vis à vis de la longueur d’onde du signal (5''' 4&% En d’autres termes, si l’écart type de position est inférieur au quart d’une longueur d’onde (@9' 4), le !ltre de Kalman étendu est stable autour de la bonne position. Tout le problème réside alors dans l’acquisition de la position quand l’incertitude initiale est de l’ordre de "' :4, valeur type utilisée par les marins. En effet, la pseudo-périodicité de l’onde rend la densité de probabilité a posteriori multi-modale.
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Physique non-linéaire et instabilités

Physique non-linéaire et instabilités

– Bifurcation. Lorsqu’on fait varier un paramètre de contrôle d’un système dynamique, le point de bifurcation cor- respond à une modification du comportement qualitatif du système. Par exemple, si plusieurs po- sitions d’équilibre peuvent coexister, leur stabilité peut changer en variant un paramètre physique. Lorsqu’une position d’équilibre devient linéairement instable, l’amplitude d’une petite perturbation autour de cette position augmente exponentiellement. Rapidement, les effets non-linéaires deviennent prédominants ; ainsi, de "nouvelles" positions d’équilibre peuvent devenir stables. C’est l’exemple le plus simple d’une bifurcation (pour une définition plus générale de la notion de bifurcation, voir Bergé et al ou Manneville.)
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La méthode de tir pour des problèmes de programmation linéaire bicritères

La méthode de tir pour des problèmes de programmation linéaire bicritères

Finalement nous avons illustre cette methode a l'aide de deux problemes relies a des applications reelles de problemes de melange : un probleme de diete pour pore et un probleme d[r]

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La recherche linéaire inexacte dans les méthodes de descente

La recherche linéaire inexacte dans les méthodes de descente

fait, dans la plupart des algorithmes d’optimisation modernes, on ne fait jamais de recherche linéaire exacte, car trouver signi…e qu’il va falloir calculer un grand nombre de fois la fonction ', et cela peut être dissuasif du point de vue du temps de calcul. En pratique, on cherche plutôt une valeur de qui assure une décroissance su¢ sante de f: Cela conduit à la

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Tomographie par cohérence optique plein champ linéaire et non linéaire

Tomographie par cohérence optique plein champ linéaire et non linéaire

densités  de  puissance  utilisées  en  régime  femtoseconde  à  haute  cadence  (puissance  crête  typique  de  l’ordre  du  TW/cm²)  peuvent  être  plus  destructives  localement.  Il  y  a  donc  des  conditions  d’excitation  à  respecter.  Ces  conditions  sont  difficiles  à  estimer,  puisqu’elles  dépendent  de  nombreux  paramètres  tels  que  la  concentration  et  le  type  de  fluorophore  utilisé, la longueur d’onde d’excitation, le type d’échantillon étudié, et demeurent aujourd’hui  encore  un  vaste  domaine  de  recherche.  Des  études  ont  ainsi  démontré  que  la  puissance  moyenne  des  faisceaux  lasers  excitateurs  au  niveau  de  l’échantillon  ne  doit  pas  dépasser  quelques  mW  pour  éviter  tous  phénomènes  de  saturation  ou  dégradation  thermique  [116,  117]. Selon une étude récente, il apparaît qu’à faible intensité d’excitation, les taux de photo‐ blanchiment  suite  à  des  excitations  mono  et  bi‐photoniques  sont  comparables  [118].  Néanmoins,  en  microscopie  de  fluorescence  sous  excitation  mono‐photonique,  l’excitation  induit  des  effets  de  photo‐blanchiment  sur  la  quasi‐totalité  du  trajet  du  faisceau.  Une  dégradation progressive de l’échantillon lors d’acquisition dans des plans focaux successifs  est ainsi induite, dégradant la qualité et la fiabilité des images obtenues. 
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Réflexion sur quelques relations d'inférence non-monotone graduelles

Réflexion sur quelques relations d'inférence non-monotone graduelles

tonie rationnelle faible. 2 7.4 Conclusion sur les proprietes Tous les resultats demontres dans les sections precedentes (section 7.3.1 page 42 a section 7.3.13 page precedente) sont recapitules dans les tableaux 7.1 et 7.2 page suivante. On constate ainsi que les relations graduelles etudiees veri ent tres peu de proprietes parmi celles de nies par [KLM90, GM94]. Ce resultat n'est pas surprenant puisque ces proprietes avaient ete de nies initialement dans le cadre de relations d'inference non-monotone utilisant le principe d'inference Uni . Remarquons cependant que les resultats
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Comparaison de relations d'inférence non monotone : etude de complexité

Comparaison de relations d'inférence non monotone : etude de complexité

polynomial : pour de tr`es nombreux probl`emes, d’utilit´e pratique importante, on ne connaˆıt pas d’algorithme polynomial et on n’a pas pu d´emontrer qu’il n’en existait pas. La th´eorie de la complexit´e offre un palliatif `a cette situation en introduisant la notion d’algorithmes non d´eterministes polynomiaux (NP, contenant la classe des algorithmes polynomiaux) et en distinguant parmi ceux-ci la classe particuli`erement riche des algorithmes “les plus difficiles de NP” (ou NP-complets : elle contient de tr`es nombreux probl`emes classiques de logique, de recherche op´erationnelle ::: ) telle que si l’un de ces probl`emes se r´esout en temps polynomial (personne n’a encore r´eussi cet exploit), alors tous les prob- l`emes de NP se r´esolvent en temps polynomial.
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Approches par maillage conforme en mécanique non-linéaire de la rupture : méthode G-theta et modèle de zone cohésive

Approches par maillage conforme en mécanique non-linéaire de la rupture : méthode G-theta et modèle de zone cohésive

6.1 Modèle cohésif et maillage adaptatif La résolution numérique des problèmes basés sur des approches cohésives, parce qu’ils modélisent, à l’aide de loi de comportement particulièrement non-linéaire, le phénomène de rupture localisé sur une interface, requièrent des discrétisations particulièrement fines. En effet, seule l’utilisation d’éléments à une échelle très locale permet d’obtenir une "process zone" qui peut s’approcher de la zone transition entre fissure macroscopique et endommagement observable au cours d’essais sur structures réelles. Dans ces conditions, l’utilisation de modèles cohésifs pour la simulation de fissures longues (à l’aide d’élé- ments finis) est directement liée à la possibilité de raffiner et de déraffiner le maillage à mesure de la propagation pour éviter des coûts de calculs rédhibitoires.
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Comportement élastique linéaire et non-linéaire du bois en relation avec sa structure

Comportement élastique linéaire et non-linéaire du bois en relation avec sa structure

Sulsky a étendu la méthode FLIP pour appliquer aux matériaux solides [Sulsky, 1994 ; Zhou, 1998] en ajoutant la force interne entre les particules, ce qui n’existe pas dans la FLIP [Sulsky, 1995]. Cette méthode, dite MPM (Material Point Method), est une des méthodes sans maillage [Frank, 2010] ; elle a obtenu des succès dans le traitement des problèmes concernant la grande déformation des matériaux solides. Dans cette méthode, le matériau est discrétisé en plusieurs particules (points matériels), comme une image numérique représentée par pixel [Nairn, 2006]. Ces points matériels emmènent toutes les propriétés du matériau et donc gèrent les équations constitutives dans l’approche lagrangienne. [Frank, 2010]. Comme la FLIP, la MPM utilise deux discrétisations de matériau, l’une basée sur la grille de calcul et l’autre basée sur les points matériels. Cette approche combine les avantages des descriptions eulérienne et lagrangienne en évitant les défauts de chacune [Sulsky, 1995]. Premièrement, les mailles de calcul utilisées dans la MPM ne sont jamais trop déformées. Les points matériels se déplacent à travers des mailles mais la grille de calcul est réactualisée à chaque boucle de calcul, donc il n’apparaît pas sa distorsion. Deuxièmement, la MPM gère automatiquement le contact entre les points matériels ainsi qu’entre les parois cellulaires lors de la densification du bois [Nairn, 2006]. Un autre avantage de la MPM est la discrétisation simple de matériau complexe [Bardenhagen, 2005], y compris la discrétisation directe à partir des images 2D ou 3D [Frank, 2010].
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Classification de relations d'inférence non-monotone : la prudence et les propriétés de déduction

Classification de relations d'inférence non-monotone : la prudence et les propriétés de déduction

Kraus, Lehmann, Magidor obtiennent alors le theoreme de representation 4.1.3. Theoreme de representation 4.1.3 Soient et  deux formules du langage L , j  p  , il existe un modele preferentiel de nissant une relation j = p telle que j = p  . P peut-il ^etre considere comme un systeme convenable pour faire du raisonnement non-monotone ? Il semblerait que l'on ne puisse ajouter aucune autre regle de type deductif (permettant de deduire de nouvelles assertions). On peut par contre rajouter des regles d'un autre type, celles qui deduisent de l'absence d'une assertion l'absence d'une autre assertion :
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