Haut PDF L27 [V2-VàC] – Droites du plan

Références [ 87 ], [ 88 ], [ 89 ], [ 90 ] Dans cette leçon, on se donne un repère orthonormé (O, #»ı, #») dans le plan. Chaque droite du plan est caractérisée par une relation algébrique entre l’abscisse et l’ordonnée de ses points : c’est l’équation cartésienne de la droite.

Proposition 28.27 Si dans un repère orthogonal le plan P a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 (l’un des trois réels a, b et c n’étant pas nul) et M 0 a pour coordonnées (x 0 , y 0 , z 0 ) alors la distance de M 0 à P est donnée par : d (M 0 , P) = |ax 0 √ + by 0 + cz 0 + d|

Un triangle équilatéral ayant trois côtés de même longueur, chacun de ces côtés peut être consi- déré comme la base d’un triangle isocèle. Toutes les droites remarquables relatives à cette base se superposent. On en déduit les propriétés suivantes d’un triangle équilatéral :

[68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia. [69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia. [71] D. R OBERT , Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013. http: //perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf. [72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont

53.2 Intégrale et aire Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O, #»ı, #»), non nécessairement orthonormal. Définition 53.8 — Aire sous la courbe. Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle [a , b] et C sa courbe représentative. L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] est l’aire du domaine plan D limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x = a et x = b. On note

[68] Contributeurs de Wikipédia, Géométrie analytique, Wikipédia. [69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia. [71] D. R OBERT , Mathématiques en Terminale ES, Enseignement de spécialité, 2012-2013. http: //perpendiculaires.free.fr/wp-content/TESspe-2012-2013.pdf. [72] Devoir maison – 5, Chiffrement de Hill, Spé TS, Lycée Victor Duruy - Mont

33.3 Exercices et applications 11 33.2.2 Réciproque du théorème de Thalès Théorème 33.8 Étant doné deux droites sécantes coupées toutes deux par deux droites d et d 0 (de telle façon que l’on ait deux triangles). Si le plus grand triangle est un agrandissement du plus petit alors d et d 0 sont parallèles.

[69] Contributeurs de Wikipédia, Repérage dans le plan et dans l’espace, Wikipédia.. [70] Contributeurs de Wikipédia, Système de coordonnées, Wikipédia.[r]

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Cette activité peut être réalisée en classe de troisième.  Exercice 36.2 1. Tracer un cercle C de centre O et de rayon 3. 2. Soit I un point du cercle C, tracer un C 0 de centre I et de rayon 6 − 3 √2. 3. Placer A et B tels que [AB] est un diamètre du cercle C perpendiculaire à (OI). 4. Tracer les droites (AI) et (BI).

CUAZ, Plan d’étude d’une fonction numérique, Terminale S. DELAHAYE, Exercices d’étude de fonctions, Terminale ES[r]

1. (a) Donner les expressions Bi,n(t) lorsque n = 4 sous forme de produit de polynômes du premier degré, puis sous forme développée et ordonnée. (b) Résoudre chacune des équations Bi, 4 (t) = 0 pour 0 ≤ i ≤ 4. 2. Dans le plan rapport à un repère orthonormal (O, #»ı, #»), on considère les points de contrôle : P 0 (3, 0), P 1 (0, 1), P 2 (−1, 0), P 3 (0, −1) et P 4 (3, 0)

37.4 Utilisation des barycentres  Exemple 37.6 ABC est un triangle dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité 1 cm. 1. On va déterminer l’ensemble E1 des points M tels que M B # » + 2 M C # » = 6 cm. Pour réduire la somme vectorielle, on pose G1 # » le barycentre de (B, 1), (C, 2) (que l’on peut construire avec

[124] S. DELAUNAY, M302 : Cours de Géométrie I, 2009-2010. [125] C. PARFENOFF, Droites sécantes, perpendiculaires et parallèles. URL : http://www. parfenoff.org/pdf/6e/6e_%20perpendiculaires_paralleles.pdf [126] P. LUX, Produit scalaire et Orthogonalité dans l’espace. URL : http://pierrelux. net/documents/cours/TS_2012/produit_scalaire/produitscalaire_ orthogonalite.pdf

2. Quitte à se placer dans le plan P, les différentes expressions du produit scalaire (sauf l’expression dans un repère du plan) des sections précédentes restent valables. 3. Les règles de calcul sur le produit scalaire (bilinéarité, carré scalaire, identités remarquables) restent les mêmes que dans le plan.

On peut faire de même pour démontrer le volume de la pyramide. • Propriété 31.19 La section d’un cylindre de révolution ou d’un prisme droit avec un plan parallèle à la base est une figure identique à la base. La section d’un prise droit (resp. d’un cylindre de révolution) avec un plan parallèle à une arête (resp. avec la hateur) est un rectangle.

9.3 Un cas particulier de chaîne de Markov : marches aléatoires sur Z 15 Dv Nous allons modéliser le dépouillement par un chemin dans le plan. Lors du processus de dé- pouillement, on ouvre les enveloppes une à une, chacune contenant un bulletin « A » ou un bulletin « B ». Si l’on affecte la valeur 1 aux bulletins « A »et la valeur −1 aux bulletins « B », alors on peut représenter le déroulement du dépouillement par un chemin qui part du point (0, 0), va monter 600 fois et descendre 400 fois, donc qui arrive au point (1000, 200). On considère que tous les ordres possibles d’apparition, au cours du dépouillement, des bulletins « A » et « B » sont équiprobables. Le nombre total de dépouillements possibles est 1000 600
.

lèles, il existerait un point A appartenant à d f et à d g donc ses coordonnées seraient (x, ax) et (x, ax + b) donc b = 0 impossible. Donc les droites sont parallèles. • Propriété 24.21 Soit f : x 7→ ax + b une fonction affine. Il y a proportionnalité entre les accroisse- ments de f(x) et les accroissements de x.

thogonale à l’autre. 2. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre. R 38.6 Attention ! Certaines règles vraies dans le plan ne sont pas vraies dans l’espace. Par exemple, dans le plan, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles ; ce qui n’est pas vrai dans l’espace.

L’aire du cercle de rayon 3 cm est 9π cm 2 64.4 Intégrale et aire Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O, #»ı, #»), non nécessairement orthonormal. Définition 64.28 — Aire sous la courbe. Soit une fonction f, continue et positive sur un intervalle [a , b] et C sa courbe représentative. L’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a , b] est l’aire du do- maine plan D limité par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x = a et x = b. On note R b