simulations par éléments finis

c CNES, Centre spatial de Toulouse, 18, av. Édouard-Belin, 31401 Toulouse cedex 4, France Résumé — Pour prévoir la simulation de l’initiation et de la propagation du délaminage par la méthode des éléments finis, il a été proposé dans des études antérieures de décrire un stratifié comme un assemblage de couches et d’interfaces susceptibles de se dégrader. Le présent travail concerne la modélisation, l’identification et la simulation des phénomènes de délaminage dans les structures composites stratifiées. Les simulations sont effectuées en tenant compte des non-linéarités géométriques et matérielles. Les modèles d’interface développés sont implantés dans le code éléments finis Castem 2000-CEA. Des essais classiques d’initiation et de propagation du délaminage sont analysés dans cette étude afin de montrer la pertinence de l’approche retenue.  2000 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

87 dynamique peut être représentée par un domaine de Maxwell avec un unique temps caractéristique qui sera cette fois et non (cf. Figure 1 ). Nous nous plaçons donc dans le formalisme des petites déformations. Comme précédemment, chaque est tiré aléatoirement dans une distribution log- normale d’écart-type . Les de deux domaines adjacents sont donc décorrélés. Nous avons vu précédemment que la mécanique linéaire des polymères purs est bien décrite par notre modèle pour des distributions log-normale de temps d’écart-type proche de 2. Nous choisirons donc dans l’ensemble des simulations de ce chapitre. Nous ne considérerons que des systèmes à deux dimensions et nous choisissons de nous placer dans des conditions de déformation plane. Le système étudié est donc un damier de domaines de Maxwell carrés. Les modules caoutchoutiques et vitreux ainsi que la valeur du seuil et la constante sont considérés uniformes sur le système. Nous utiliserons des valeurs typiques de module caoutchoutique et vitreux dans cet article : et . De plus, nous considérons des systèmes incompressibles. Nous considérerons que dans l’ensemble de ce chapitre. Ce choix est motivé par l’expérience. En effet, dans notre modèle, nous allons voir que la contrainte au plateau croit quasi- linéairement avec avec une pente de l’ordre de pour un système homogène unidimensionnel. Sur la Figure 2 , la contrainte au plateau est tracée en fonction de la vitesse de déformation pour du PMMA en compression uniaxiale déformé à 50°C et dont la température de transition vitreuse est égale à 388K 16 . croit également linéairement avec avec une pente estimée par ajustement à 16MPa. est donc bien de l’ordre de 10MPa.

De nombreux articles sont consacr´es a` la mod´elisation et a` la simulation num´erique de l’aggr´egation de bact´eries voir [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], et pour les r´esultats num´eriques pr´[r]

190 4.2.2.3. Remarques sur la résistivité électrique du film Les simulations précédentes ont été réalisées avec une valeur de résistivité électrique du film de 0,3 Ω cm, choisie sur la base d’une plage relevée dans la littérature : 0,14 Ω cm - 60 Ω cm. Cette plage provient de valeurs mesurées sur des échantillons sur lesquels on a déposé une couche d’oxyde. Elle est très large, car les propriétés électriques dépendent beaucoup des paramètres de fabrication. Aucune certitude n’est donc présente sur la résistivité d’un film d’oxyde qui s’est formé par oxydation d’un échantillon de nickel sous atmosphère non contrôlée, ce qui est le cas des échantillons dont nous utilisons les résultats expérimentaux. Par ailleurs, si le rapport des résistivités entre nickel et oxyde de nickel est de l’ordre de 20 000 au minimum d’après les données trouvées, il est beaucoup plus faible pour d’autres matériaux comme le ruthénium : la résistivité de l’oxyde de ruthénium n’est que 5 fois plus

d’un code élément fini qui simule des configurations 2D en un temps de calcul raisonnable de l’ordre de la mi- nute. Les configurations présentées ont été réalisées sur un ordinateur portable classique. Les résultats obtenus doivent encore être confrontés à des données expérimen- tales et à des configurations issues de la littérature. Une extension à des simulations 3D est prévue pour une in- tégration à terme à la plateforme logicielle CIVA.

Xu et Pasquetti (2004) surmontent ces difficultés en appliquant la méthode de stabilisation SVV (Spectral Vanishing Viscosity, ou viscosité spectrale évanescante), qui conserve la préci- sion spectrale ; ils se comparent aux résultats de Qian et Vezza (2001) effectués à Re ≥ 1000 en régime transitoire. De notre côté, nous évaluerons les résultats d’EF6 bruts, sans méthode de stabilisation, dans l’unique but d’évaluer la robustesse du code et la précision des résultats. Nous effectuons des simulations d’écoulements fluides incompressibles à départ impulsif ; à t < 0, les champs de vitesse et de pression sont nuls et pour t ≥ 0, nous imposons un champ de vitesse non-nul u = (1, 0) à la frontière d’entrée. Ce type d’écoulement est difficile à calculer numériquement. En effet, à t = 0, l’écoulement est à divergence non-nulle et le programme, notamment l’intégration temporelle, est mis à l’épreuve durant les premières itérations. De plus, le développement de la couche limite fait apparaître des structures complexes autour du solide que le code doit pouvoir capturer.

Chapter 2 PTM: Probabilistic Transformation Method II.2.4.2 PTM-FEM in Reliability Analysis [KAD06a] The reliability analysis is based on the calculation of the failure probability. As the information on the probability density function of the mechanical response is not available, approximate methods like First and second order reliability method (FORM/SORM) as well as Monte Carlo simulations, have to be applied. The main drawbacks of these methods are that the mapping of the failure function onto a standardized set involves significant computational effort for nonlinear black box numerical models. In addition, simultaneous evaluation of probabilities corresponding to multiple failure criteria would involve significant additional effort.

de turbulence basé sur un solveur Navier Stokes stabilisé et une méthode de suivi/capture d’inter- face. Nous avons pour cela choisi un approche stabilisée de type Variational Multi Scales (VMS), qui s’est révélée efficace pour simuler des nombres de Reynolds modérés, alliée à une méthode level-set permettant de déterminer de manière précise et à tout moment la position de l’interface liquide/air. La turbulence est quant à elle prise en compte grâce à un modèle dynamique de type Large Eddy Simulations (L.E.S.), ne faisant pas apparaître de paramètre empirique. Chacune de ces méthodes numériques a été confrontée à des résultats expérimentaux, numériques ou analytiques. Nous avons également conçu notre propre maquette expérimentale de remplissage d’eau, afin de valider le cou- plage des solveurs pour un cas représentatif. Une autre caractéristique de ces procédés à durée re- lativement longue (jusqu’à plusieurs dizaines de minutes) est l’importance des transferts thermiques, pouvant mener à la solidification du métal en cours de remplissage. Il convient donc de développer une méthode de résolution stabilisée de la thermique avec convection dominante. Cette méthode doit prendre en compte les variables turbulentes introduites précédemment. Enfin, nous proposons une méthode innovante pour simuler le changement de phase, basée sur une approche germina- tion/croissance avec fonction level-set. L’application de toutes ces méthodes au cas du remplissage avec glaçon mobile a enfin permis de valider la robustesse numérique de notre code et le bon cou- plage de ses différentes entités.

Tel que discuté dans l’article, le tube pollinique a dans certains cas particuliers, la propriété de changer de forme pour entraîner un gonflement ou un changement de direction. Un des objectifs de l’outil de modélisation est de pouvoir simuler ces modifications observées expérimentalement. Pour les cas du gonflement ou de la diminution de rayon, certaines simulations ont déjà permis d’identifier les paramètres produisant ces formes (Fig 3.4). Il serait ensuite intéressant de comparer la distribution spatiale expérimentale des composantes biochimiques de la paroi à celle obtenue des simulations. Le cas de changement de direction demanderait des modifications plus importantes du modèle, car les simulations actuelles du tube, qui sont axisymétriques, ne permettraient pas la mise en place de cette déviation entraînant la perte de cette symétrie. La simulation de ce cas requerrait le développement d’un nouveau modèle tridimensionnel complet (et non plus seulement un quart de type axisymétrique). Il faudrait ensuite appliquer des propriétés mécaniques différentes selon le domaine en suivant les conclusions précédentes (le tube complet pourra être décomposé en quatre parties ou plus selon les besoins). Par exemple, l’utilisation de propriétés de gonflement d’un côté et de rétrécissement de l’autre devrait provoquer une déviation de la direction de croissance.

La déchirure de l’enveloppe fasciale est également possible lors d ’une contraction excentrique d ’un muscle de faible raideur radiale telle qu ’observée lors des simulations (cf. Figure 5.7). Cette faiblesse du muscle entraîne la propagation d ’une onde de choc qui augmente les déformations près de son extrémité causant une réplique potentielle d ’une blessure traumatique. L’effet de ce phénomène sur un muscle de forme fusiforme serait d ’autant plus important étant donné ses extrémités de plus petites sections. Ce constat rejoint le nombre élevé de blessures traumatiques observées près de la région de transition du muscle et du tendon [Best et al., 1995; Kirkendall et Garrett Jr, 2002; Sharafi et al., 2011]. Cette déchirure longitudinale et non transverse de la couche de tissu conjonctif suggère un bris par cisaillement pouvant causer la rupture des vaisseaux sanguins entraînant ainsi une ecchymose. A l’échelle cellulaire, cette déchirure représente un microtraumatisme de l’endomysium. Une succession de contraction excentrique pourrait ainsi engendrer des dommages plus importants, dont la déchirure partielle ou complète de la membrane.

2.2 Discrétisation Concernant la discrétisation, nous choisissons une formulation éléments finis avec un espace V h de champs de déplacements continus de degré 1 ou 2 ainsi que deux multiplicateurs de Lagrange (un pour le contact et un pour le frottement) constants par macro-maille (une macro-maille est une union de mailles contenant au moins le support d’une fonction de base) de telle sorte que la condition inf-sup soit satisfaite en 2D et en 3D pour tout type d’éléments finis [5, 6]. L’espace des fonctions constantes par morceaux sur les macro-mailles est noté X 0 h . Le problème par éléments finis devient :

25 Figure 2.8 Comparaison de l’augmentation de la contrainte pour deux techniques de modélisation Les deux courbes référant au diamètre extérieur (d) pour les deux techniques de modélisation montrent des résultats différents lorsque les éléments sont réduits, par contre les résultats sont convergents à l’intérieur de l’arbre. L’analyse avec les éléments de contact est faite avec un coefficient de friction égal à zéro pour la comparaison avec les équations de couplages. Les résultats obtenus montrent qu’il y a une différence minime entre les deux méthodes de modélisations et ceci est expliqué par le fait que les éléments de contact considèrent les nouvelles coordonnées des nœuds tandis que les équations de couplage se réfèrent aux coordonnées initiales des nœuds seulement.

L'étude du capsulage a pour but de mener une analyse de l'influence de différents paramètres de fabrication et d'assemblage d'une capsule sur la pression de fuite. Pa[r]

Modèle de plasticité cristalline avec prise en compte des interactions entre dislocations (via coefficients) Modèle DDD (Discrete Dislocation Dynamic) Î Coefficients d’interaction de[r]

• Modeling of complex structures, such as front dash panels involving viscoelastic sandwich structures with acoustic treatments combining different effects of the sound package (radiat[r]

Résumé — Dans ces travaux, on s’intéresse à la simulation de transitoires rapides pour un fluide non-visqueux compressible en interaction avec des structures minces. Le problème fluide est traité en volumes-finis. Le problème structure est traité en éléments-finis de type plaque. On propose une formu- lation de couplage fluide/structure permettant l’utilisation de maillages indépendants pour le fluide et la structure.

ont été rapportés pour les éléments quadrilatères et, plus récemment, pour les éléments triangulaires [36] . Une autre trajectoire a été prise par Bergan et d’autres chercheurs qui ont retenu la formulation classique de Kirchhoff mais en conjonction avec l'utilisation des fonctions de forme non conformes de classe C -1 . Ils ont montré que la continuité entre les éléments n'est pas un obstacle pour la convergence à condition que les fonctions de forme satisfont une certaine continuité de l’énergie et aux conditions d'orthogonalité des forces [37] ou bien si la matrice de rigidité est construite en utilisant la formulation libre [38] plutôt que la formulation de l'énergie potentielle standard. La caractéristique principale de ces formulations est la séparation prudente entre les degrés de base et supérieure des fonctions de déplacements choisies. Les résultats pour les éléments triangulaires de flexion tirés à travers cette approche se sont avérés performants [39] . Un de ces éléments basé sur fonctions de forme d’ordre supérieur à forces orthogonales a été classé en 1983 comme le plus performant dans sa classe [40] .

rot rot E T = −µrot B , div E T = 0 . rot B est consid´er´e comme une donn´ee pour calculer E T . La difficult´e de ce probl`eme est la prise en compte des conditions aux limites, qu’il faut partager entre les deux composantes du champ ´electrique [59]. Dans [96], P.-A. Raviart et E. Sonnendr¨ ucker pr´esentent une m´ethode asymptotique pour d´eterminer les conditions aux limites sur B qui permettent d’obtenir que le probl`eme en B soit bien pos´e. Dans [103], E. Sonnendr¨ucker et al. utilisent le syst`eme coupl´e Vlasov-Darwin comme approximation du syst`eme coupl´e Vlasov-Maxwell. Enfin, une analyse de la convergence des ´el´ements finis pour ce mod`ele a ´et´e faite par P. Ciarlet, Jr. et J. Zou dans [43].

Les figures 4-43, 4-44 et 4-45 présentent quelques tentatives de corrélations réalisées à partir du modèle quart de cuve. Sur les trois figures, il est possible de constater qu'entre 6 e[r]

4 Conclusion On a donné l’expression des fonctions de forme associées aux éléments finis généralisés construits à partir de carreaux de Bézier rationnels. Le résultat est étonnament simple, ces polynômes se déduisent facilement des polynômes de Lagrange. En sens inverse, on aurait pu poser directement le résultat et établir la correspondance avec la formulation en Bézier, la question étant également de trouver la relation entre les poids d’un système et ceux de l’autre. La discussion donnée ici pour le degré 2 s’étend évidemment à tout degré et à la trois dimension, à tout le moins pour les tétraèdres, les pentaèdres (prismes) complets et les hexaèdres complets.