Algorithme Branch-And-Bound

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B&B@Grid : une approche efficace pour la gridification d'un algorithme Branch and Bound

B&B@Grid : une approche efficace pour la gridification d'un algorithme Branch and Bound

3.1 Principe de B&B@Grid Cette nouvelle approche utilise la notion de liste de sous problèmes actifs. Les sous problèmes actifs d’un B&B sont ceux générés mais non encore traités. Au cours d’une résolution, cette liste évolue constamment et l’algorithme s’arrête lorsqu’elle devient vide. Comme l’indique la figure 1, une liste de sous problèmes actifs couvre un certain ensemble de sous problèmes de l’arbre. Cet ensemble est constitué de tous les sous problèmes pouvant être explorés à partir des sous problèmes de cette liste. Le nombre de sous problèmes couverts par les sous problèmes actifs diminue au fil d’une résolution, tandis que le nombre de sous problèmes implicitement ou explicitement explorés augmente. Un sous problème est implicitement exploré lorsqu’un algorithme B&B conclut, sans le visiter, qu’il ne peut pas contenir de solutions optimales. Par contre, un sous problème visité est dit explicitement exploré. Au début d’une résolution, l’ensemble des sous problèmes actifs ne contient que le problème racine, tous les autres sous problèmes de l’arbre sont couverts par le problème racine. A la fin d’un calcul, tous les sous problèmes de l’arbre du B&B appartiennent à l’ensemble des sous problèmes implicitement ou explicitement visités.
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Efficacité et fiabilité des méthodes utilisant l’approche branch-and-bound‘ pour l’optimisation globale non convexe

Efficacité et fiabilité des méthodes utilisant l’approche branch-and-bound‘ pour l’optimisation globale non convexe

blème unidimensionnel a…n d’appliquer les méthodes d’optimisation plus e¢ caces au cas d’une seule variable. Ainsi notre problème est ramené à un problème plus facile à résoudre car il y a une seule direction à explorer. Nous avons couplé la méthode de Piyavskii d’une part avec la nouvelle variante d’Aliénor [56], et d’autre part avec l’algorithme de Branch-and-Bound [18; 19]. Il semble à première vue qu’il y a une relation entre les deux, en e¤et, le dernier algorithme est appliqué sur un hyper- rectangle mais il procède à une minimisation unidimensionnelle de la fonction objectif sur la diagonale principale de l’hyper-rectangle, et l’algorithme Aliénor-Piyavskii procède à une minimisation unidimensionnelle de la fonction objectif sur une courbe -dense qui véri…e cer- taines propriétés dans l’hyper-rectangle. Les algorithmes obtenus à partir de ces couplages sont simples et e¢ caces, ils n’exigent pas de la fonction objectif d’être dérivable mais seulement lipschitzienne. Par ailleurs, la convergence est quasiment immédiate si la constante de Lipschitz est relativement petite.
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Experimental Evaluation of a Branch and Bound Algorithm for computing Pathwidth

Experimental Evaluation of a Branch and Bound Algorithm for computing Pathwidth

Résumé : Les décompositions en chemin de graphes sont très importants pour la conception d’algorithmes de programmation dynamique pour résoudre de nombreux problèmes NP-difficiles. Calculer la pathwidth et la décomposition en chemin correspondante sont donc d’un grand intérêt tant d’un point de vue théorique que pratique. Dans ce papier, nous proposons un algorithme de Branch and Bound qui calcule la pathwidth et une décomposition. Notre contribution principale réside dans les techniques que nous prouvons pour réduire la taille du graphe donné en entrée (pré- traitement) et réduire la taille de l’espace d’exploration de la phase de recherche de l’algorithme. Nous évaluons expérimentalement notre algorithme en le comparant aux algorithmes proposés dans la littérature. Les simulations montrent que notre algorithme apporte un gain significatif par rapport aux algorithmes existants. Il est capable de calculer la valeur exacte de la pathwidth de tout graphe composé d’au plus 60 sommets en un temps raisonnable (moins de 10 minutes). De plus, notre algorithme montre de bonnes performances lorsqu’il est utilisé en heuristique (c’est-à-dire lorsqu’il retourne le meilleur résultat trouvé en un temps donné).
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Une méthode de Branch and Bound par Intervalles appliquée à la résolution en vitesse de conflits aériens

Une méthode de Branch and Bound par Intervalles appliquée à la résolution en vitesse de conflits aériens

3 Résultats L’algorithme de Branch and Bound par Intervalles permet de résoudre efficacement des instances de problème allant jusqu’à six ou sept avions. Au-delà, les temps de calcul deviennent très importants. Plusieurs stratégies ont été testées pour calculer l’estimateur du meilleur point atteint et aussi pour classer les vecteurs d’intervalles dans la liste des intervalles restant. Il reste de nombreuses pistes à explorer pour essayer d’atteindre des performances au moins égales à celles des autres approches citées en introduction, on peut notamment s’intéresser à des stratégies spécifiques de découpage et de classement des intervalles qui favorisent l’emergence de la solution optimale.
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Experimental Evaluation of a Branch and Bound Algorithm for computing Pathwidth

Experimental Evaluation of a Branch and Bound Algorithm for computing Pathwidth

Résumé : Les décompositions en chemin de graphes sont très importants pour la conception d’algorithmes de programmation dynamique pour résoudre de nombreux problèmes NP-difficiles. Calculer la pathwidth et la décomposition en chemin correspondante sont donc d’un grand intérêt tant d’un point de vue théorique que pratique. Dans ce papier, nous proposons un algorithme de Branch and Bound qui calcule la pathwidth et une décomposition. Notre contribution principale réside dans les techniques que nous prouvons pour réduire la taille du graphe donné en entrée (pré- traitement) et réduire la taille de l’espace d’exploration de la phase de recherche de l’algorithme. Nous évaluons expérimentalement notre algorithme en le comparant aux algorithmes proposés dans la littérature. Les simulations montrent que notre algorithme apporte un gain significatif par rapport aux algorithmes existants. Il est capable de calculer la valeur exacte de la pathwidth de tout graphe composé d’au plus 60 sommets en un temps raisonnable (moins de 10 minutes). De plus, notre algorithme montre de bonnes performances lorsqu’il est utilisé en heuristique (c’est-à-dire lorsqu’il retourne le meilleur résultat trouvé en un temps donné).
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Développement d’un algorithme de branch-and-price-and-cut pour le problème de conception de réseau avec coûts fixes et capacités

Développement d’un algorithme de branch-and-price-and-cut pour le problème de conception de réseau avec coûts fixes et capacités

Tout comme pour les problèmes de programmation linéaire en nombres entiers, une méthode basée sur une approche polyédrale pour résoudre des problèmes de conception de réseau consiste à représenter une partie de l’enveloppe convexe du domaine réalisable à l’aide d’inégalités valides. Si on réussit à représenter l’enveloppe convexe à l’aide d’in- égalités valides, on peut alors utiliser un algorithme de programmation linéaire pour ré- soudre un problème de programmation linéaire en nombres entiers. En pratique, on ne réussit généralement qu’à identifier un sous-ensemble des inégalités qui définissent l’en- veloppe convexe. Cela permet tout de même de développer des algorithmes de branch- and-bound plus efficaces, puisqu’on peut y intégrer une méthode de coupes réduisant l’écart d’intégralité lors de de l’évaluation des noeuds (voir section 2.2.1.2).
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Méthode branch and Bound en optimisation non linéaire non convexe

Méthode branch and Bound en optimisation non linéaire non convexe

la m´ ethode Branch and Bound en optimisation non lin´ eaire non convexe Branch and Bound est un algorithme assez g´ en´ eral qui joue un rˆ ole tr´ es important dans la th´ eorie d’optimisation globale. L’id´ ee g´ en´ erale de la m´ ethode est de d´ ecomposer le probl` eme primaire en sous probl` emes parall` elles (Branching) qui peut ˆ etre graduellement plud facile ` a r´ esoudre, puis ´ evaluer les bornes inf´ erieures et sup´ erieures (Bounding) des valeurs des solutions optimales sur ces probl´ emes secondaires. Par cons´ equent, le proc´ ed´ e Branch and Bound peut ˆ etre repr´ esent´ e sous forme d’un arbre : le probl´ eme initial est situ´ e comme racine de cet arbre et les branches sont les sous probl´ emes hi´ erarchiquement construits par l’algorithme. Cette construction est r´ egie par la strat´ egie de la recherche qui d´ eterminera la suite de solution des probl` eme secondaires. La s´ equence de la d´ ecomposition et la recherche de la solution continue jusqu’` a ce qu’il puisse v´ erifier que l’un ou l’autre sur la branche indiqu´ ee ne peut pas apporter une meilleure solution que la solution du condidat sortant (trouv´ e d´ eja par le proc´ ed´ e Branch and Bound).
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Pépite | Hétérogénéité et localité dans les protocoles distribués de vol de travail pour les algorithmes Branch-and-Bound irréguliers à large échelle

Pépite | Hétérogénéité et localité dans les protocoles distribués de vol de travail pour les algorithmes Branch-and-Bound irréguliers à large échelle

3.5. Experiments 81 report therein different statistics concerning the time where a PU stays idle search- ing work. Firstly, we can see (last column of Table 3.1) that the proportion of time that a PU spends requesting work over all B&B execution is significantly smaller for 3MBB (6.79% in average and over all instances) compared to 2MBB (32.88%). This indicates that the 3MBB allows us to maximize useful B&B computations over work transfer. This also shows that balancing B&B work efficiently among PUs is the critical issue when considering fine-grain large scale scenarios. Secondly, we can see that much less inter-node communications are performed by 3MBB compared to 2MBB (by a factor of 40.5 times in average). In fact, only the leader threads are allowed to perform inter-node steals in contrast to 2MBB where all individual threads execute inter-node steals. Not only the number of inter-node steals is signif- icantly smaller for 3MBB, but they are also much less time consuming (by a factor of 3.43 times in average). This is attributed to the fact that a PU is likely to re- ceive more work requests simultaneously, thus inducing more delays for responding them. Secondly, we can see that the intra-node steals are dominant compared with the inter-node ones which illustrates how the 3MBB approach prioritizes intra-node steals over inter-node steals. Since the cost of intra-node communication is relatively low and the design of the split work pool allows us to minimize the cost of thread synchronizations, the shared-memory computations are then optimized resulting in an efficiency mechanism for balancing the B&B tasks among the shared memory CPU-cores. On the other side, inter-node steals are much slower than intra-node steals; but they are very important to balance work load among distributed com- pute nodes. Let us remind that 3MBB tries to balance workload adaptively based on the aggregated power of available cores. A leader thread in 3MBB always tries to fetch enough tasks in order to serve all the threads sharing the same memory. Since only one single leader performs remote steals on behalf of many others, the scale of the distributed system is then artificially reduced to relatively few leaders and the inter-node communication is likely to be much more efficient.
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A branch and bound approach for minimizing the energy consumption of an electrical vehicle

A branch and bound approach for minimizing the energy consumption of an electrical vehicle

with (i, j) ∈ I ×J. To obtain the Þnal value for E and pos, we have to sum all the lower and upper bounds. The rest of the Branch and Bound algorithm that we develop is simple and uses the following classical principle: (i) subdivision into two (distinct) parts of the enumerate set IREF (which represents the possible values for iref); (ii) the upper bound is updated by taking the middle of the box IREF if the constraints are satisÞed and if its value is better than the previous one (we start with +∞); (iii) we branch following the heuristic of lowest lower bound of the energy.
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Optimizing the Design of a Route in Terminal Maneuvering Area Using Branch and Bound

Optimizing the Design of a Route in Terminal Maneuvering Area Using Branch and Bound

1 Introduction The continuously increase in air traffic flow density causes traffic congestion in the areas surrounding airports, thus affecting the normal operation of air traffic. An area surrounding one or more neighboring airports is called Terminal Maneuvering Area (TMA), and it is designed to handle aircraft arriving to and departing from the air- ports. Optimizing departure and arrival procedures in TMA is therefore crucial to regulate air traffic flows. Most of the airports have pre-designed procedures indi- cating how aircraft depart from or arrive to airports. These procedures are called Standard Instrument Departure (SID) routes and Standard Terminal Arrival Route (STAR). A SID is a flight route followed by aircraft after take-off from an airport until the start of en-route phase. A STAR is a route which connects the last en-route way-point to the Initial Approach Fix. Currently, SID/STARs are designed manu- ally according to operational requirements (ICAO Doc 8168), taking into account airport layout and nearby constraints. However, this kind of design is generally not very efficient and not expected to optimize any specific criterion. The objective of this work is to automatically design SID/STARs in 3D with respect to certain opti- mization criteria. Being this study at a strategic level, only static obstacles are taken into account. Rather than considering an individual flight, we deal with flows of flights, that is to say the flights following the same SID (or STAR) belong to the same flow.
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A branch and bound approach for minimizing the energy consumption of an electrical vehicle

A branch and bound approach for minimizing the energy consumption of an electrical vehicle

Ω(t) which represents the speed of the car in km/h (r is the radius of the wheel); (iii) pos is the position of the car. The control u is in {−1, 1} (a switch control); the physical system can switch in 10 −9 s. In this problem, we have a constraint on a state variable to limit the current inside the motor in order to discard the possibility to destroy it. The other terms are Þxed parameters and represent some physical things: -K r = 10, the coefÞcient of reduction; -ρ = 1.293kg/m 3 , the air density; -C x = 0.4, the aerodynamic coefÞcient; -S = 2m 2 , the area in the front of the car; -r = 0.33m, the radius of the wheel; - K f = 0.03, the constant representing the friction of the wheels on the road; - K m = 0.27, the coefÞcient of the motor torque; - R m = 0.03Ω, the inductor resistance; -L m = 0.05,
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Branch-and-Bound Method for Just-in-Time Optimization of Radar Search Patterns

Branch-and-Bound Method for Just-in-Time Optimization of Radar Search Patterns

The returned optimal solution is shown in Figure ( 14 ): the left sub-figure shows the discrete covers of the 20 dwells used in the pattern. 10 dwells use a short signal (represented in blue) and cover high elevation, and 10 dwells use a long signal (represented in red) and cover low elevations. This result is explained by the fact that a radar must usually achieve high detection range near the horizon (where targets are located) and low detection range at high elevation (since most air- crafts have limited flying altitude). It makes sense to use longer, and thus “more energetic” dwells at low elevations than at high elevations.
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A Branch-and-Bound Algorithm to Solve Large Scale Integer Quadratic Multi-Knapsack Problems

A Branch-and-Bound Algorithm to Solve Large Scale Integer Quadratic Multi-Knapsack Problems

A tight upper bound at each node of the search tree Before starting the branch-and-bound procedure : preprocessing techniques... Standard B&B approach (SBB)1[r]

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A Grid-enabled Branch and Bound Algorithm for Solving Challenging Combinatorial Optimization Problems

A Grid-enabled Branch and Bound Algorithm for Solving Challenging Combinatorial Optimization Problems

3 The Proposed Approach: Concepts and Operators The proposed approach is based on the parallel tree exploration model using a depth first search strategy. In this approach, a list of active nodes is considered. Active nodes are nodes generated during the exploration but not yet visited. During the search, this list evolves continuously and the algorithm stops once this list becomes empty. The list of active nodes covers a set of tree nodes made up by all the nodes which can be explored from each node of the list. The principle of the approach is based on the assignment of a number to each node of the tree. The numbers of any set of nodes, covered by a list of active nodes, always form an interval (two numbers). The approach thus defines a relation of equivalence between the concept of list of active nodes and the concept of interval. Knowing one the two should make it possible to deduce the other. As its size is reduced, the interval is used for communications and check-pointing, while the list of active nodes is used for exploration. In order to pass from one concept to the other, the approach defines two additional operators: the fold operator and the unfold operator. The fold operator deduces an interval from a list of active nodes, and the unfold operator deduces a list of active nodes from an interval. To define these two operators, three new concepts are introduced: the node weight, the node number and the node range.
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Pump scheduling in drinking water distribution networks with an LP/NLP-based branch and bound

Pump scheduling in drinking water distribution networks with an LP/NLP-based branch and bound

In this paper, we presented a tailored LP/NLP-based branch-and-bound algorithm to solve at optimality a non-convex formulation of the pump scheduling problem in DWDNs. This framework can readily be implemented by embedding a non-convex NLP solver as a lazy cut separator within a MILP solver. To our knowledge, this framework has never been applied in the context of water or gas networks. The full solution scheme includes also several contributions such as a tailored MILP relaxation that has provided the opportunity to deal with networks of class MS, i.e. with multi-settings active elements such as variable-speed pumps. For the other networks (of class BS: binary-settings), we added several improving techniques including a fast evaluation, cuts, and a new primal heuristic to turn slightly infeasible solutions into feasible solutions. A computational study on several bench- mark instances, including a comparison with competing methods, highlights the strengths and weaknesses of the proposed approach. For DWDNs of class BS, it quickly computes near-optimal solutions but the lower bound evolves slowly afterwards. While a systematic piecewise linear relaxation as in spatial branch and bound does not seem worthwhile, the MILP relax- ation could be refined during the search by branching on the non-convex constraints which are consistently violated. On DWDNs of class MS, the proposed method outperformed a direct application of a global optimiza- tion solver but solving the non-convex NLP restrictions at integer nodes remains a bottleneck as the problem size grows. One option could be to derive sufficient conditions to reject the infeasible integer nodes as done in [ 25 , 26 ] in the context of the optimal design of gas networks. Finally, this work suggests that this two-step LP/NLP-based branch and bound could be considered in a broader context to solve non-convex MINLPs given efficient bound tightening techniques and a tight MILP relaxation.
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Practical Multidimensional Branch Prediction

Practical Multidimensional Branch Prediction

WH is the first predictor in the literature to track the outcome correlation of a branch encapsulated in a loop nest with occurrences of the same branch in neighboring inner loop iterations, but in the previous outer loop iteration. The number of dynamic instances of these branches can be very significant. When such correlation exists and is not captured by the main predictor, the accuracy benefit can be high.When associated with a state-of-the-art global history predictor, on average WH achieves accuracy improvement on the same range as local history components with a very limited number of entries [4]. Wormhole Limitations. The WH predictor exposes that there is an opportunity to exploit a new form of correlation in branch history. However, the original WH predictor has some limitations that could impair its practical implementation. First, WH only captures the behavior of branches encapsulated in loops with a constant number of iterations. It uses the loop predictor to recognize the loop and extract the number of iterations of the loop. For instance, WH is not able to track any branch if Mmax varies in the example illustrated on Figure 1. Second, the WH predictor captures correlations only for branches that are executed on each iteration of the loop. Branches in nested conditional statements (i.e., branch B4) are not addressed by the WH predictor. Lastly, WH uses very long local histories. The speculative management of these very long local histories is a major design challenge as detailed in the next section. The IMLI-based predictor components proposed in this paper address these shortcomings.
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notion algorithme

notion algorithme

Exercice 12 Ecrire un algorithme qui permet de déterminer la plus grande puissance de 2 inférieure à un nombre donné. Notion de variable informatique Exercice 13 Ecrire un algorithme qui calcule la somme des 50 premiers nombres entiers positifs. Exercice 14 Un professeur veut photocopier des exercices pour ses élèves, Ecrire un algorithme qui calcule le prix de n photocopies sachant que les 20 premières photocopies coûtent 0,10 €, que les vingt suivantes coûtent 0,09 € et que chaque photocopie au-delà coûte 0,08 €.

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Algorithme Génétique

Algorithme Génétique

Introduction Général L’algorithme génétique est une méthode inspirée par la théorie de l’évolution telle qu’elle a été dé…nie par le naturaliste britannique Charles Darwin au siècle dernier dans son livre intitulé « The Origin Of Spacies» [5] .Dans ce livre, Darwin constata que l’évolution des espèces est basée sur deux composantes : la sélection et la reproduction. La sélection garantit une reproduction plus fréquente des chromosomes des êtres vivants les plus robustes, tandis que la reproduction est une phase durant laquelle l’évolution se réalisera et les descendants obtenus ne sont pas reproduits à l’identique. Et c’est John Holland dans ces travaux sur les systèmes évolutifs, en 1975, trouver le premier modèle formel des algorithmes génétiques (the canonical genetic algorithm AGC) dans son livre « Adaptation in Natural and Arti…cial Systems » . Il expliqua comment ajouter de l’intelligence dans un programme informatique avec les croisements (échangeant le matériel génétique) et la mutation (source de la diversité génétique). Ce modèle servira de base aux recherches ultérieures et sera plus particulièrement repris par Goldberg, un ouvrage de vulgarisation des algorithmes génétiques à travers son livre "Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning " (1989). Ce livre est encore édité aujourd’hui et reste le "best-seller" des algorithmes génétiques.
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The K ‐partitioning problem: Formulations and branch‐and‐cut

The K ‐partitioning problem: Formulations and branch‐and‐cut

Gr¨ otschel and Wakabayashi [ 22 , 23 ] propose an integer programming for- mulation for a clustering problem in which the size and the number of clusters are not bounded. They study the polyhedral structure of the problem and present a cutting plane algorithm. Osten et al. [ 37 ] consider the clique par- titioning problem in which each cluster must correspond to a clique. They introduce families of valid inequalities which are generalizations of the ones presented by Gr¨ otschel and Wakabayashi [ 23 ]. They also discuss lifting and patching techniques to define new facets.
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TAGE-SC-L Branch Predictors

TAGE-SC-L Branch Predictors

ple PC-indexed 2-bit counter bimodal table; in order to save storage space, the hysteresis bit is shared among several counters as in [7] for the limited size predictor. An entry in a tagged component consists in a signed counter ctr which sign provides the prediction, a (partial) tag and an unsigned useful counter u. In our study, u is a 2-bit counter and ctr is a 3-bit counter for the limited size predictors, and a 5-bit counter for the no-limit predictor. A few definitions and notations The provider component is the matching component with the longest history. The al- ternate prediction altpred is the prediction that would have occurred if there had been a miss on the provider compo- nent.
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