exercices limite de suites

Limites de suites - Réurrene - Exeries

T

^ale

S

Exerie 1 Déterminerdans haun des as lalimite de lasuite

(u ⁿ )

^:

a)

u n = 2 n + 1

n + 325

^b)

u n = 2 n ² − 3 n + 2

1 − n

⁾

u n = 4 n ² + 1

n(2n + 1)

^d)

u n = 3 2 √ n + 17

e)

u n =

√ 3n + 1

3 + √ n

^f)

u n =

√ n ² + n + 2

√ n ² − n − 1

g)

u n = √

n + 1 − √

n

^h)

u n = √

n ² + n − n

Exerie 2 Soit

(u ⁿ )

^{lasuite dénie par}

u 0 = 2

^{et, pour tout entier}

n

^,

u n+1 = 5u ⁿ + 4

^.

Montrer que, pour tout entier

n

^,

u n > 0

^.

Exerie 3 Soit

(u ⁿ )

^{lasuite dénie par}

u 0 = − 3

^{et, pour tout entier}

n

^,

u n +1 = 5 − 4u ⁿ

^.

Montrer que, pour tout entier

n

^,

u n = ( − 4) ⁿ⁺¹ + 1

^.

Exerie 4 Soit

( u n )

^{lasuite dénie par}

u 0 = 1

2

^{et, pour tout entier}

n

^,

u n+1 = u n + 1 u n + 2

^.

Montrer que, pour tout entier

n

^,

0 < u n < 1

^.

Exerie 5 Montrer que, pour tout entier

n

^,

n

X

k=1

k × k ! = ( n + 1)! − 1

^.

(Rappel : pour tout entier

n

^,

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1

^).

Exerie 6 Soit

( u n )

^{lasuitedéniepar}

u 0 = 1

^,

u 1 = 2

^{et,pour tout}

n ∈ IN

^,

u n+2 = 5 u n+1 − 6 u n

^.

Caluler

u 2

^,

u 3

^et

u 4

^.

Démontrer que,pour tout entier

n

^,

u n = 2 ⁿ

^.

Exerie 7 Soit

( u n )

^{lasuite dénie par}

u 0 = 1

^{et, pour tout entier}

n

^,

u n+1 = 1

4 u n + 3

^.

1. Traer dans un repère la ourbe représentative de la fontion

f : x 7→ 1

4 x + 3

^{, puis plaer les}

points

A 0

^,

A 1

^,

A 2

^et

A 3

^{d'ordonnée nulleetd'absisse respetive}

u 0

^,

u 1

^,

u 2

^et

u 3

^.

2. Montrer que,pour tout entier

n

^,

u n 6 4

^.

3. Montrer par réurrene quela suite

(u ⁿ )

^{est roissante.}

4. En déduireque lasuite

(u ⁿ )

^est onvergente.

Exerie 8 Soit

(u ⁿ )

^{lasuite dénie par}

u 0 = 1

^{et, pour tout entier}

n

^,

u n+1 = √

u n + 3

^.

1. Calulerlesquatrepremierstermesdelasuite,etonjeturerlesensdevariationdelasuite

(u ⁿ )

^.

Démontrer ette onjeture.

2. Montrer que,pour tout entier

n

^,

0 < u n < 3

^.

3. En déduireque lasuite

(u ⁿ )

^{est onvergente vers une limite}

l

^.

4. Déterminer

l

^.

Exerie 9 Soit

(u ⁿ )

^{lasuite dénie par}

( u 0 = 1

pour toutentier

n, u n+1 = 1

3 u n + n − 2

^.

1. Caluler

u 1

^,

u 2

^et

u 3

^.

2. Montrer que,pour tout

n > 4

^,

u n > 0

^.

3. En déduireque, pour tout

n > 5

^,

u n > n − 3

^.

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^ale

S

^1/2

4. En déduirela limite de la suite

( u n )

^.

Exerie 10 Soit, pour tout entier

n

^,

u n = cos(n) n + 1

^.

Montrer quepour tout entier

n

^,

− 1

n + 1 6 u n 6 1

n + 1

^{,puis en déduirelalimitede lasuite}

(u ⁿ )

^.

Exerie 11 Soit, pour tout entier

n

^,

u n = n + ( − 1) ⁿ n ² + 1

^.

Montrer quepour tout entier

n

^,

n − 1

n ² + 1 6 u n 6 n + 1

n ² + 1

^{,puis en déduirelalimitede lasuite}

(u ⁿ )

^.

Exerie 12 Soit, pour tout entier

n

^,

u n = ( − 1) ⁿ + n ( − 1) ⁿ + 2

^.

Montrer que pour tout entier

n

^,

u n > n − 1

3

^{,puis en déduire lalimite de la suite}

( u n )

^.

Exerie 13 Soit la suite déniepar

u 0 = 0

^et

u n+1 = 1 2

p u ² n + 12 .

^.

1. Déterminer lesinq premierstermes de ette suite.

Quel sembleêtre lalimite de

( u n )

^?

2. Montrer quela suite

( v n )

^{dénie par}

v n = u ² n − 4

^est géométrique.

3. En déduirela limite de la suite

( v n )

^{puis elle de lasuite}

( u n )

^.

Exerie 14 Soit

( u n )

^{la suitedénie par}

u 0 ≥ − 3 u n +1 = √

3 + u n

Quelle valeur de

u 0

^{faut-ilprendre pour que lasuite}

(u ⁿ )

^soitstationnaire?

Exerie 15 On onsidère lasuite

( u n )

^déniepar

u 0 = 5

^{et, pour tout entier}

n

^,

3 u n +1 = u n + 4

^.

1. Caluler

u 1

^et

u 2

^.

2. Démontrer que, pour tout entier

n

^,

u n > 2

^.

3. Montrer que

(u ⁿ )

^{est une suite roissante.}

4. Montrer quela suite

( u n )

^{est onvergente etdéterminer sa limite.}

5. On pose, pour tout entier

n

^,

v n = u n − 2

^.

Montrer que

(v ⁿ )

^{est une suite} géométrique.

En déduirel'expression de

v n

^{en fontion de}

n

^.

6. Soit

S n =

n

X

k =0

v k = v 0 + v 1 + · · · + v n

^et

T n =

n

X

k =0

u k = u 0 + u 1 + · · · + u n

^.

Déterminer l'expression de

S n

^{, puis de}

T n

^{, en fontion de}

n

^.

7. Déterminer

lim

n→+∞ S n

^et

lim

n→+∞ T n

^.

Exerie 16 Soit la suite numérique

(u ⁿ )

^{dénie sur}

IN ^∗

^par

u n = n(n + 2) (n + 1) ²

^.

1. a. Montrer que, pour tout

nIN ^∗

^,

u n = 1 − 1 (n + 1) ²

^.

b. Prouverque, pour tout

n ∈ IN ^∗

^,

0 < u n < 1

^.

. Etudierle sens de variationde lasuite

(u ⁿ )

^.

2. On pose

x n = u 1 × u 2 × · · · × u n

a. Démontrer par réurrene que, pour tout entier

n ∈ IN ^∗

^,

x n = n + 2 2(n + 1)

b. Déterminerla limitede lasuite

( x n )

^.

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