Optimization of an LU Factorization Routine Using Communication/Computation Overlap
21
0
0
Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Optimization of an LU Factorization Routine Using Communication/Computation Overlap Fr´ed´eric Desprez, St´ephane Domas, B. Tourancheau. N ˚ 3094 F´evrier 1997 ` THEME 1. ISSN 0249-6399. apport de recherche.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) !"
(8) #$%'&(*)'+ ,-./0%1'
(9) 2 .43,- 5%6
(10) 78:9& ";
(11) <=?A> @ ? > =BDCFE ?AG H = ?JILKNM OQP ?J> HR"SAT? EUWV SXGKJM"YFZ[ UX\= SAT C R?AS \ K ] ^Q` _ a'`bdcfeF` g hi`kjmlAn` ophiqJhro `7_ a'` h stiukv ` opew`kx4j s edjmyAy uzt o|{A` t ` } ^ ` t } ^ `~ Jzz Fcf ` g tr ` t bkzNcbyXjmN` h. "7kmWmN] ^ h t `7y uNt o y t ` hr` ~Joih h u a` uNtr h u ~o ^ ` Djm} o uzti jmo u ~ tru ao ^ ` L}kjz¡£¢ s ¢p¤ ¥§¦ ¨At j t qJ©ª t hro«Aj } u a'yA¦` n o¬qjm~Wjms ¦qJh h h" N` ~ª©u ¬o| j ¦¦ u ^ h"o u u } u a'yAlAoi ` o ^ ` u u yAo ^ a1j ¦ ¨ ¦^ u } h t `d uNt t o ^ ` ¨ ¦ u } u'hiu }kjmoit or` t ` {F{ hrou tr¨ lAo u ~u lAu hi` { ~® J}kujN¡Q¢ ¨ ¢p¤ ¥u ©W¬o u jm¦h z`7hu o `}u aalA~ }kjmo u ~'uy j t hr` h!o t j oj ` ~¯oi` ^`7hro ~AFtro z` ¦°jmyªt © L` } u~{ª«Qo¬ s yj o t jma u ~1j o j ~A{F~Ah ¬´jmx*hi` { s"µ ~Fhi} qJhraor`7yAa'lAhko±©j o ~h±²m} a'alA~ }kj o ~Ah z` ¦°jmy4j ` z`7~1 o ` nJyX` a'` ~Jo³jm¦ ` hrl¦oih ~4¬~Jor` ¦ ¶·J¸W¹±º »Wz¼m½s j t jm¦¦` ¦ª¡ ~A`kj t ¢p¦z` ¨At j«A ¾Djm} o uzti jmo u ~ª« u z` t ¦°jmyª«A J}jz¡Q¢ s ¢p¤ ¥. ¿ À¬Á ìÄÅ ÂÇÁ ÆÈìÉËÊ Ì ïðÎ"õöÍJãQÎ"÷°ÏmóWÐËãªÑ³ÒÓá'ÎiÔQóWÕãÖØäw×2ì ÙÛßrÚ'ÔËîðÑ ÎrÞ ÜËÔQæWÝmøªÞæQÏmáéÐÓѳômÒËïðÎrìpÔQáWßiÑ æXà æà|ÏmÝmÐÓÑ Þ ù7áWÐÓì âªà ãà ädÎWåpæWæWúªâãªäæWûÍJç ê®Ñ ÞwßiÑ åpÞÔÓè°ÐËâªì ãéÔWè°æXê"úéëJãªáWüªÎ"ýªÔÓÐËüéì³óQí³ì äNîðëïzÎiÜÓÔ£ñzÞmì ÞmßzÎéò Ïmì ÐQïðÎ|áWâªãäßrÑ7ÞkÔËÐÓì7ÔXóWèÓáQäNô þ ÍJè°óôúéãªê áWâéãä ÿ ô è°âéãªè°ê ã Ñ ÞmÎØ÷ êéïðÏzÎiÜrô*æXâä ÍJç Ñ7ÞJô ÍJç Ñ ÞáWÎ mÎ ô mÐÓì ÞmßiÎ ô Îià ì îðï. ! "$# %& ! !"'# (&)+*,%-#) . & /0,%1. .
(12). . Unit´e de recherche INRIA Rhˆone-Alpes 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN (France) T´el´ephone : (33) 76 61 52 00 – T´el´ecopie : (33) 76 61 52 52. .
(13) )
(14) 7Û%F'&*"% .&F&0z
(15) " )
(16) . %7; )
(17) ½; &d) "&p .%9 &2 &2 )$
(18) ; d%'; ) 3 (%F'
(19) ..) J}k·AjN ¡Q ¢
(20) s ·§¢p ¤ ¥6¤ © ` s t t ` jma yAyÓ`_ uzt t ` oay ` t~J`7gokhr«"` ~Jlor~A` `4 JjmlA~X`7j ¦ ¦ JqJlAhi`7`'h{Ao `Ft j} zu j a'lAn yA¦` hiln t oA`g¦°j ` hitrou lA{ o u ~A~`F~` g {A`z`F© ¬jm} ¦¦o `'uztryW h³` jmt a'o u ` ~ o{A `F$}kj {A¦`4} lA¦°¦j ` t ¨A¦j5¨ ¦ o±u j o ^Q¦¦`_` J{AlA`` ¨ ¦ u } h u yAo a1j ¦`"y u l t ¦ jd{ hio tr¨ lo u ~ ¨ ¦ u } ¬} qJ} ¦ ¯l` lAo ¦ hA` g ` {Xj ~Ah| J}jz¡Q¢ s ¢p¤ ¥© ¦¦` { u ~A~A`F` g Jjm¦` a'`7~¯oǦ`7h"y ^ j hr` h {At`} u a'alA~ }jmo u ~u Jl yX` l z` ~Jou ` o t ` u t `7} u u lAN` t oi` hk©d` lAn Ó` _ a't ` a` ~Jok«Q{` lAn tr u yAo a h±jmo u ~At h ¨ j hA` g `7s hthrl t u ¦` h t ` } u l s ` aµ ` ~Jorh }kj ¦} lA¦h±² } aalA~ }kjmo ~Ah"h ~Jo { ~A~ ` g ` h jN` } {A` h ` g hilA¦o±j orhp`7n¯y ` g a'`7~¯o³jmlAnhrl ¬~Jor` ¦ j jm ~F` op¬´ x © ¾»W Û¹Û · ¢d¦ `_ ¨At `¦ ~ `kg j t `yXj t jm¦¦ ` _ ¦`z« Djm} o uzti h³jmo u ~1 « t `7} u lA t ` a'` ~Joihk«X L}kjz¡£¢ s ¢p¤ ¥.
(21) é" 5%' . ] ^ ` -Dj } o uNtr jmo u ~ ho ^ ` ` t ~A` ¦ u a1jm~JqFjmyAyA¦ }kj o u ~Ah© ] ^ lAh«Qo ^ ` ay uNt o±j ~A} ` u u yo a ~Ao ^A h tiu lAo ~A` ^ j h~ u oo u®¨ `4y tiu z` ~ ¨ ` }kjmlhr` u 2o ^ ` ~A} t `jmh ~A{` a1j ~A{ u 2jmyyA¦ }jmo u ~Ah{`kjm¦ ~A o ^ ¦ j t N`'a1j o ti }7` hk© ¬orh ` 'u } ` ~J] o^ yXj t jm¦¦` ¦ ayA¦` a'`7~¯o³jmo tu ~}kjm~ u ¨Ati ~^ t J` jm¦ a'u y tiu z` at u` ~Jorh ~4to ^ `^Au` nJ` }7lAo u ~ hruzyWt ` ` { u ^A| o ^ `^ ^Au ¦`jmt yAy^A¦ }kj ^ o t ~ªuN© t `!hryW` ` {¨ ¬lAy {A` yWtiuz` ~A^A{A¨Ah `kjmoi¦u q ~5o ` ti¨ ~A{ "hilAyX` uz} t a'yAlAoi` ^A } hr` ~é© "` u4} o ¨ a1jm} uJu ~A`7¨ h jz`z` ¨ q yWyW`` t uNt aFaFjmjm~A~A} } `7`7hkhp« jm~AlA{Fo} jFu hryok© o N`} hiok© hro lAor`7{ a'`7a qFa1jm} ~A`7hhi` ` a0o `1j5 { j ¦ j ~A} ` ` o¬ ` ` ~ séuzt o³j ¨A ¦ o¬q h u ~A` u o ^ ` ` q hihrlA` u } u a'ylAor` t y tru t j a'a ~AW©x4jm~Jq ¦ ¨At j tr ` h ^ jN` ¨ ` ` ~{A` h N~A` { o u ` ~At hil t `y uNt ¨ o³j ¨Au ¦ o¬q j ~A{ yX` t uztuNa1t j ~A} ` htiu j } tru hrh a¨ l¦o u yA¦`2j t } ^At or`7} orl t uN` hkt © ] ^ `´¡£¢uN tr W« Ju «"b j ~At{ ¡£¢ s ¢p¤ ¥ ^ j `®s jzj ¦°j ¦` ~ aFjm~Jq® y¦ j o¬ ahk«y µ {A`7{ q } ayAlAor` h's N` ~A{ h© ^ Dj } o t jmo ~ t jmu h ` u ¦`kjmhi` { ¨ ~ o u ` ¡Q¢ s ¢p¤ ¥½yXj } jmz`Ns «"lAh ~^ ¦`7z¨ ` ¦h4bz« jm~A{ 5u ´¡£¢ Qt© J}kjNuz¡Qt ¢ ¨A ¢p ¤ ¥ b t uzt ho `5yXj jm¦¦` ¦|N` h u ~ j5truhrl hi` o ¡Q¢ ¢p¤ ¥©X J}kjN¡Q¢ ¢p¤ ¥ j h ` `7~4{A` h N~A` {4o ` ~Ahil ` y o±j ¦ o¬qJ«zyW` a1jm~} ` hpjm~{1`jmhr` lhr`j } hrhpaFjm~Jq yXj t t jm¦u ¦` ¦ u a1j ^ } ^ ~` hk© x4jmo tr } ` s hFj t `{ hro tr¨ lAuoi` { ~ j ¨ ¦ u u } hr¨ }kj oror` t ` { tru jqJ© uNs t j t jmu ¦¦` ¦ hia t h ^A {Ati{A `7~ t ~ j4u yWj t j ¦¦`7¦ z^ ` h ~ ªo ` ´¡£ ¢ }jm¦¦` { ´ ¡Q¢ ð Ø©¤ aal~ }kjmo ~Ah ` o¬|`7` ~Fy } ` hih h ~'j2 orlXj ¦A {j `p{ ~A` lAh ~ o `] ´ ^ ¡Q¢p¤ yXu jm} ^Ajm N` ð r© t! u ^Au ^ tru `' j au ti|u o hyX¨ j yX` ^ ho h u u o t jmo a'y^ z`7a'` ~Jorh }jm~ ¨ ` uN¨ o±j ~` { ~ o ^ ``7n hio ~A1 L}kjz¡£¢ s ¢p¤ ¥$ N u r t Dj } o ] ^ jmo t ~ lAo u ~A` qt o `lAhi` ^ zt ` ¦°jmyF¨or` u} ~ JlA`7hk© u u u ] ^ u u t t ¨A¨ ¦ u ` t jmy ^ hroq hiu ` ~} o o ^ ~`yXy j ` t hrjm`7¦¦~¯` oi¦|h' o :`'DyXjm} j o uzj ti¦¦` jm¦ o u ¦ ~ª} ©'¬ o! } u ~J{Ao±` j } ~Aa'h6y jhhi` o ¦` } ~ªo © u ~ u p`yWhr` jm} yW` ~At {ho hr^ `7j } oo t ~` Xy` }7or`7hhr` o~J^ or`'hF{j `7` } t ` ` ~J~Joo h u ¦lAo u ~u h uzu t o ^A¨ h y u truN¨ ¦` a® © ] u ^ ` o ¨^At {Fhr` u}7o u ~4u y t ` hi` ~Jor h ju } u ayA¦` u n o¬qhiorlA{Au q u uo ^ t ` J}kjN¡Q] ¢ ^ s ¢p¤ ¥ u tiu lAu o ~` ^ hk« jm~{ o¬ y hih ¦` yAo a j o ~h jmhi` { ~ } a'alA~ }kj o ~ ² } a'yAlo±jmo ~ N` ¦°j yª© `4aFj ~ j ¦ o ` } u a'yA¦ ` n uzo¬t q1j ~Xjmu ¦qJh h ¨Wu ho u ^ y tru u {A` o ^ ` u yAo u a1jm¦ ^ ¨ ¦ u } ^ h ` uzt o ¨^ ` u ¨ ¦ u t} hi}kjmoior` t ` { {` } u ay u h o u ~ª« ¨ lAo o2j ¦h u N` h ~J a1j o ~j lAo o ` } aalA~ }kj o ~y jmhi` hpo jmo aFjq ` z` ¦°jmyAyW` {ª©
(22) "
(23) ; ;7&p; ; *&p . )Û . ¬~1tiu L}kjz¡£uz¢ t s ¢ptr¤ ¥«J] o ^ ^ `dyXj t jm¦¦` ¦Q Dtij } o uN tr j o u ~lAhi ` hj ¨ ¦ tu } ¨ hiu }kjm oior` t ` {4{A` } u a'] ^ y u h o u ~ ^ u ªtra1u jmo tr nuNtu u ~Fj u y }7` hrh h! {ª© ` *a1j o n hd{ {A`7{ ~Fh JlXj ` ¦ } h © lAh«W`kjm} y } ` hih ~hj¦ }kj ¦ ¨ ¦ u } hk© ] ^ hÇ{ hro ti¨ lAo u ~ h t `jm¦¦qhil o±j ¨ ¦` uzt o ^ ` ¨ ¦ u } {` } u ay u h o u ~6j ~A{ a1j o ti n! o ^ o y tru {A` hpj! uJu {F¦ u jm{ ¨ jm¦°j ~A} ~A ¨ ` o¬ ` ` ~ y tru } ` hih uNt hk© . . . .
(24) . . . . . . . . . . . "!. #. %$. *+'-,. 546 798;:;< '. & ')(. /.10/'-032. 4>= ?@8;:;<. 0. 1. 2. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 3. 4. 5. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 3 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 0. 3. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 0. 1. 2. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 3. 4. 5. 0. 1. 2. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 3. 4. 5. 0. 1. 2. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 3. 4. 5. 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. 1. 2. 4. 5. zl t `b ´ ¦ u } hr}kj oror` t ` { {A` } u a'y u h o u ~ u |jb µ t b µmt a1j o tr n u ~4j µ 1 tr {ª© Nl t ` b t h ^Au h ti ^u o u ^{ hio tr¨ lor¨ `po t^ `t t ¨ ¦ u } h u ªjb ¨ µ u b µu aF^ jmo tr n uz¨ u ~j µ trd ti { uzt ~6j ¨ ¦ u } hi}kjmoior` t t ` { ¨ ju q¯© ¨ JlXj u ` h aFu j tru ` { uNo t j'~JlAa ` `7y ` hi` ~Jo'jh ~Az¦` ¦ } o `z¦ j ¦a1jmo nQ© ` nAjmayA¦`z«Qjm¦¦" ` q ¦ } h ` ¦ ~o y } ` hih © ãªã Þ BA. '. C0@'%0. ED
(25). 0@'. 0. '. '.
(26) ] ^ ` ¨ ¦ u } {A` } u a'y u h o u ~} u ~h hroih ~o ^At ` `py ^ jmhr`7hk« t ` yW`kjmoi` {4jmha1j ~Jqo a'` h"jmhÇo ^ ` t `j t ` ¨ ¦ u } } u ¦lAa~Ah o u!¨u ` Dj } o uNtrt ` { ~uzo t^ `pN¦ uN¨ jm¦JaF^ jmo ti n ~Ahior`kj uN{ t u Qu uztrJ ~A u ~'jd^ h ~u z¦` } u ¦lAa~ u Qo ^ `ptiz ¦ uN¨ jm¦Jt a1j o uztit n j o|jo au `z« !} ¦lAa~Ah|j `dDjm} o ` {4jmo `kj } hior` yª©Ç¢p~A{ } ~Jz` ~ `7~A} `z«Wo `¦ }kj ¦ª j ~A{4§aFjmo } ` h j `hio ` { ~1y¦ j } ` o ^ `aFjmo tr no u¨ `!{A` } u a'y u hr`7{ª© A. $. 0. r. A. 00. A. 01. L 00. 0. U 00. A. 10. A. 11. L 10. L 11. 0. U. 01. M. U 11. Nl t ` µ t hrodhroi` y u "o ^ ` ¨ ¦ u } ¾Dj } o uNtr j o u ~ª© A. . 0
(27) . *, 2 ! "$# 0&% ' ( 0) &% * ,+.-0/ 1324657"8 * 86%9# *: 9;86% * 1# * * 8 "86% * ;$%<$;= >65"
(28) 6? : ;6@A"& ; @6@
(29) # <$"6 "B< 57;86C"(# *: ?D * ,+.-0/ 1324657"8 % *E:F* %"(A 86%" G % * ;CIHJ"6@KH < @LH * 6 9# * : A6# %;"M< @LH *N O 9G O&P=Q R6STUQ$P "86% * "86% . . . ¾. a ~. b. b. * Z+-[/ 0 >( 0 \2&65"8 ;$%<$;= L]3] ;6@ @# $< "= @ : " ^]_] ` K]bac5$]a P=Q dT=e fgQ$P "86% * . . . $ 5"& 0 . ¾b ¾b. WW WW WW WW WWW WW W X. WW #65;$" O WW WW WW WW WWW WW W Y V WW. ?. X. WW #65;$"9h Y V. $; %<$;= ia ] 9 8 # $< "6 ? ;$%<$;= ]a j 8 # 7 $< "=6 < @A k8D A6#6%;$ " $ a_aml $ a_a an] ` ]ba PQ R66S f foQpP. . V WW. . Y. X. #65;$"9q. .rDs 2 - t;( 0 > .r 0 &s 2 - t;& . "86% . zl t ` s j t jm¦¦` ¦ ¨ ¦ u } ¾Djm} o uzti jmo u ~'lAh ~'j ¨ ¦ u } hi}kjmoior` t ` {®{Wjmo±j!{ hro tr¨ lAo u ~ª© ¢p} } uzt { ~'o u zl t ` µ «Jo ^ `!o ^At ` ` hroi` yAhj t `!o ^ `d u ¦¦ u ~ANh u ~ uzt {A` t o uuz¨ o³j ~ Ë ]_] ³ an] jm~A{ ]_] «Wj h a'yA¦`wv!jmlAhih jm~` ¦ a ~Xjmo u ~ h } u a'yAlor` { u ~
(30) xzy {|{ © y~} { A. A. >.. 2. è âªãªè ê.
(31) ^]_] ` K]_]m ]_] rb µ Ian] ` K ]_]m an] u o ^ ` ]ba ¨ ¦ u } h uz¨ o³j ~A` { ¨ q'jo ti j ~Azl¦ j t h u ¦z` °hi` ` ` ¯lWjmo u ~1 7© ]_] ` ]ba ]ba Ó a_a an] ` ]ba © u a_a ` a_a h N` ~ ¨ q` JlXjmo u ~'W©¢§a1jmo tr ny tru {AlA}7o h ~A` ` {` { an]` ~ ]a s I a_aE` ^ a_ac a3a I ° ] ^ ` o ^At ` `!hror`7yAhj t ` t ` }7l t h N` ¦qF} u ayAlAor`7{ u ~1 a_a ` a_a o uuN¨ o±j ~1 a_a j ~A{4 a_a © ] ^ `z` ~A` t jm¦ÇyXj t jm¦¦` ¦"jm¦ uNtr o ^ a hp N` ~ ~® zl t `6© R6ST hj¦` N` ¦ µ ´ ¡Q¢ Q« dTDef ho ^ `¦` N` ¦"´ ¡Q¢ o ti jm~ANlA¦°j t h u ¦N` tiu lAo ~A` jm~A{ R6S6f f h o ^ `z` ~A` t jm¦éa1j o tr ny tiu {AlA} o tiu lAo ~`z© ] ^ s tru ^ ¨u uzti u u tr ti ¨ lAoi` { ` ~1 Jj }kjN¨ ¡Q¦ ¢u } ¢phr¤ }jm¥ oroi` t `7lA{®o ~A ` jh q¯© R6 S6zldTt ` h j '~A{jm~A{ R6S t d` y ht ` ` hinJ` ~J` } olo or^ ` ` o ` nJ` ` }7lA¦ o }u ~5 hr¾} ^ D` jma} o ` h u jmo o ^ ` ~hi`o¬~F j uaFtru jmlo o ~An` h{ hio u R6S6d hyW` t uzt aho ^ `Dj } o uNtr j o u ~ u pj ¨ ¦ u } } u ¦lAa~4o u } u ayAlAor`^ ]_]m«ðI an]m«jm~A{ K]_] °y ^ jmhi`®b u o ^ ` z` ~A` t jm¦jm¦ uNtr o ^ a ~4 zl t `2 © u R6S6dT }kj ¦¦h R6S6d hX«o ^ ` ~ lAyW{Xjmoi` ho ^ ` t ` aFj ~ ~A ¨ ¦ u } h u o ^ `Fa1jmo tr n4o u } u ayAlAor`FI a_aE` ^ a_ak« ~ ]a °y ^ j hr` µ jm~{ u "o ^ `z` ~A` t jm¦jm¦ uNtr o ^ a ~4 zl t `2 © #$&d;
(32) & !. |t j tru lAhda'` o ^Atiu {Ah ^ jz` ^A¨ ` ^`7~t y tru yu u hr` { o u1 auzy trtitruzu ¨WN`uzt o ^ `yXj ¨ t jm¦¦u` ¦ ¬ jm} o uztr j o u ~é© ] ^ `} uztit ` hiy u ~A{ ~A4yWjmyW` t h y ` hr` ~Jod` nJyX` tru a'` uz~Jtiorhd } j ^A` u h a'` o t a'` h"} ^ jmor`7{ q } ayA ¦u` n o¬qhroilA{u ` h© t t t ¨Atiu jm¬~ {}k jm
(33) hiØ«Jo"j o u } ^AuJu hi` ` ~Jo or^ ` ` {t a`kjm` ¦Ao y { u o"h"jmay u `7~Ahr` p~Jj or`7¦¦¯{1o ^ ` o ¦ u }kjmjm~¦Ay ` ' u} oi` hk~J« o|u y ~A `7{ o¨hr`7q ¦`7{ } o ` t~é`7©~¯¬oÇo"y lAtrhru `7} h` hij h uN`7t zhk© ` ¬hr~` JhryX}kjNj ¡Q~A~¢ s ~A¢p ¤ o ¥` ` « o hp~ u §jm} ^A ` N` { ¨ qFo ^ ` ´ ¡Q¢p¤ u yX` t jmo u ~ R6f h ©AAl t o ^ ` t a uzt `N« ~ µ r«Wj¦ u jm{ ¨ jm¦°jm~} ~Ahro t jmoi` zq uNt o ^ ` } ^Auz } ` u o ^ ^` y u tro u hpjm{ {A` tr{F¨ o u ou ^ ` tru u uztr ` ~Joi^ ` {Fa'^ ` o ^At u {1 o ^ u j ¦ u u } u hro ^tru u ~Juor` t } ^ jm~A N`zt © tiu uzt ^ xF`kj ~¯ ¦`z«Wj ¾{ hro lAo ~FhrlAyAy hi` ho j o o ` `kj ¦ªy o h Óoi` ~F} hr`7~ ~®j{ ` ` ~Jopy }7` hrh o j ~ otr^u ` u ~A` t u ªo ^ `d} l tit ` ~Jo tiu © ] ^ lAh«Jo ^ ` t ` j t `ph u a'` } u a'alA~ }jmo u ~Ahªo u ` nJ} ^ j ~Az`jm~A{o u¨Atru jm{A}kj hro o ^ `y u o © ¬~ bNb Ø«j} u ¦lAa'~ Dhi}kjmoior` t ` { { hio ti¨ lAo u ~ hF} ^Au hr` ~§ o ^ o ^ ` |`7¦¦ ~ u ~ y yW` ¦ ~` { ti ~A j ¦ uzti o ^ a®© ¢ } u a'yAtr¦ ` oi`yX` t tuzt a1j ~A} `` hio a1j o u ~ h y tru {A` { uNt { hro tr¨ lAoi` { a` a uNt q'yWj t j ¦¦`7¦"a1j } ^ ~` hk«jm~A{} u a'yWj t `7{®o u ` nJyW` a'`7~¯o³jm¦ u ` hrlA¦oihk© t tr¨ u ^Au ¬~ ð r«Qj} ¦lAa'~ ¬hr}jmoroi` `7{4{ hro lAo ~ hp} hr` ~ j ~A{®jmhiqJ~A} ^Atru ~ u lAh} u a'alA~ }jmo u ~Ah|j t `lhr` { o uFu z` t ¦°jmy } u a'yAlAtro³ jmo u ~Au h u } uu ¦lAa~AhlAyW{Xjmoi` h 7©'¢o ^ ` uNt ` o }jm¦ a u {A` ¦ h N` ~4 uzt o ^ `} u a'y¦`7n o¬q u ~jF} u a'yA¦` oi`~` o¬ uNtr jm~{ ] j ^ ~Au o y ¦ Nq¯© ^Au t ¨ ^AuJu ^ u u tru uNt u jm¦¦¬t «W¦ `F` o¬~ µ ¦°« jm
(34) hio a' h` zo ` t q4{AhDj j hro ` jm J~l {®or` `nJ} ` ^ 'j } ~A` ~J ~Ao tr` u }k jmhlhru `F} } } l t h h ~ ~A ¦ u }ko j ¦`1a'y ` a ouzt qJ~ © ] j5^ h ` ~At `ÛN ¦uz`t `zy « o} `7lAhrhih ` hj X~~Ahror``jm { t j ~ yXj jm¦¦` ¦ hra s © J}kjN¡Q¢ ¢p¤ ¥ hpj ¨ ¦ u } {A`7} u ay u h o u ~ o ^ j ¨ ¦ u } hi}kjmoior` t ` {®{ hio ti¨ lAo u ~ u o ^ `{Xjmo³jA© ¬~ r«Wj } u a'yA¦` n t o¬qhr^ oilA{Aq®j t ~A{4{ ` t ` t~Jotrj hrhilAa' yA^ o u ~Ah tru u ~4o ^ u`} ^Atruzu } ` u uN t o ^ ` ¨ u ¦ u } h `6j uz~At {4^ o ^ `t tr u {4h `j u t `y tru y u hi` t {ª© ¬] o ^ jmyAyW`k j ho j o j ^ `7} ¨ o±j ~AzlAu ¦°j ^ { t o Ó` ^A u h ¨ y } ` hih^ h u ht yAo t a1 jm¦ u o ` `ku jmh ~Ah` nJy hi` {lAyAyW` 7© lAhk« o|}kj ~FlAhr` o ` ` hro o `y ` } ` {A`7~¯oa` o {Ah lAo o } j hr` j ~F} a'yAlo±jmo ~Ah© ] ^ ` ¨ ¦ u } hr}kj oror` t ` { { hro tr¨ lAo u ~FlAhr` { ~Fo ^ ` L}kjz¡£¢ s ¢p¤ ¥ §Dj } o uNtr j o u ~Fhr`7` a'hdo u¨ ` o ^ `!a u hio ~¯oi` t ` hio ~Ah u ¦lAo u ~. uzt { hio ti¨ lAor` {Fa` a uNt q} u ayAlAor` t hk«Aj h Dj t j h o ^ ` ¨ ¦ u } j ~A{'o ^ ` ti {'h `7hj t ` ` ¦¦Q} ^u hr`7~ª© ãªã Þ 5$. . 2. 5$. .. 2. .. 2. /.. B2. 5$. ". $. 2. $. . ;2. -. A. .. 2. .. 2. . . - . . . . . . . .. 2. . . .. 12. . . . E.. ED
(35). 2.
(36) searching for local maximum value : IDAMAX. searching for maximum value between each processor of the current block column :. in the current processor column ?. DGMAX2D no. yes yes. pivot = 0 ? no. decompose a block column :. singularity found !! no. have pivot ?. PDGETF2. yes receive pivot line : and pivot information. broadcast local pivot line : and pivot information broadcast pivot information :. receive pivot inforamtion :. IGEBS2D. IGEBR2D. DGEBS2D. DGEBR2D no. have current line ?. yes. have current line ?. yes exchange part of rows not swapped in pdgetf2 :. exchange rows :. exchange local pivot line and local current line :. swap local pivot line. PDLASWP. PDLASWP. and local current line :. no. DGESD2D DGERV2D. DSWAP. compute block row of U : PBDTRSM. scale column by pivot and update local matrix : update trailing submatrix :. DSCAL DGER. PBDGEMM. t u ^ u ^ t u ^ u ^ rt u lAzlo ~A`1`N© nJ` } lAo ~ hi} ` a'` o ` R6S6dT ti u lAzlo ~` `z© nJ` } lo ~ hi} ` a'` 2o ` R6S6d h u ^ t t u t u u uzti u ^ ¨ u t ou ti¨ ¤ lAo ~Au hi~1`¨ Jjmu lA~` {1 ~Jorjm¦~qJ «Qu oz` t h¦°^AjmyXyu j ¨yX` ` o¬ y ` ` `7~4hr` } ~Ju ora'ht ajm~ tilu ~ yA}koj o a u ~` h {4j ~AN{'` t }h u a'~ ylAo±j o u ~ADjmh©Q}7o ¬opjm¦jmh u o ~4 N` h oj aj ` o ^A¦ u }{o uhr}}jmu oroia'` yA`7l{ or`{ j h ~ yo a1j ¦ ¦ } h ` o lAopjm~ i` ~ Jl q lAo ~` Ój h y ` ` ` { ~ ð 7© &
(37)
(38) ,
(39) !"
(40) '
(41) ; ') )
(42)
(43) 7( . next block column. next column. A. - A. -.. 2. . !#"%$&('*)+#$ ,-! ,. "!. ¢½t y t ` { } o t u ~ ^Au 2 ^o ^ `4 ` nJ` }7lAo u ~¾^ o a` h u a'y uzt o±j ~¯oo u ¨} u ~ t a o ^ `4` trnJu yW` tr a'^ `7~¯o³jmu ¦ t ` hilA¦orhk© t ^] ^ t `4zuNj t ¦lA` u o ^ ` yX^ j jma` or` hFu } ~ u XlA` ^ ~} `®u o ` ` nJ` } lAo u ~§o ^ a'`F}kj ~ `^ {A` {At lA}7 ` {¾u a(t o ` a t {A ` ¦¬©-t Al o ` u a ^A`zuJ«u o ^ z`7h o u `4` nJ` } lA o ~¾u o a'u` u t o `5} aalA~ }kjmo ~ y jmhi` hk©- JlA} y ` { } o ~AhFj `5z` q ~Jor` ` hio ~A o } hi`4 j o } a'alA^~ }kj o ~hos z` ¦°jmyª© uzti u t uNt t `u jmor¦ q u ~F¨o ^ u ` ¨ ¦ u } h u ` lAhiuN` {5 uzt o ^ ` ¨ ¨ ¦ t u } u ¬ 4 ~ o 2 ` L k } z j £ ¡ ¢ p ¢ ¤ ¥ ¾ D m j 7 } o m j o ª ~ J « W y ` F a m j A ~. } 7 ` p h A {. ` W y. ` A ~ 5 { t u u u. ] ^ t u u ^ hr}jmoroi` `7{ {A` } a'y h o ~ª© lAhk« o h ~Joi` ` hio ~Ao } ayAlAoi`o ` yAo aFjm¦ ¦ } h `1o j { j5~JlAa ` è âªãªè ê . ;.
(44) or`7hrorh© ¬o hj ¦h u' ~Jor` t ` hro ~AFo u } u a'ylAor`j lAo u a1j o }kjm¦¦qo ^ ` ¨ `7hro {Xj o±j.{ hro ti¨ lAo u ~ uNt yXj t j ¦¦` ¦é} u ay ¦` t h«J uNt ` nAjma yA¦` t © ^Au ^ u ^ ¨ u u ^ t uzt Nl ` .h h!o ` a'yWjm} o o ` ¦ } h ` ~ o `yW` aFjm~A}7` u o ^ `6 L}kjz¡£¢ s ¢p¤ ¥$ ¬jm} o uztr j o u ~é© ~o ^ `¬~Jor` ¦ s j t jm u ~ j oo ^ `d~ z` t h o¬q u ¡Qq u ~ª«ªjFh ` u m h¦` hrh` '} ` ~Jo o ^ jm~
(45) «ª ^ } ^ ho ^ ` u yAo a1jm¦ zjm¦lA`N© ".. 2. ). C. . 160 optimal blocksize : 8 blocksize : 64 140. 120. Mflps. 100. 80. 60. 40. 20. 0 0. 200. 400. 600. 800. 1000. 1200. 1400. 1600. 1800. matrix size (in double precision). s zt l t ` u s ` t uNt a1j ~A} ` ¬~1x u yAh u Dj } o uNtr j o u ~ u ~y tru } ` hih uzt hp o ^ o¬ u { ` t `7~¯o ¨ ¦ u } h ` h u ~¬~Jor` ¦ j jm ~ª© C A. %.. . . 2. · ¾»ª¼é· ¬~Fo ^A h t hi` } o u ~ª«Ao ^uzt` o ^ ` uzt ` o }kj ¦ u yt o u a1j ¦ ¨ ¦ u t } u h `^ h uN¨ o±¨Aj tru ~` { ¨ q'j ~ uN t ~Joi` t y u ¦°¨Ajmtio u u ~ª« ¨ j hr` { u ~1u`7n¯yWu ` ti a` ~Jo±j ¦ a'¨ `ujmhrl ` a^ ` ~Jorh u j N` ~® hilAyW` } t a'yAlor` t o ` ^ hil lAti o ~A`7hk©u jm¦^¦hrl u lAo ~A` hÓl~A} o ~ hr` ` ` ¦ ] ^ «Jo u ` ` nJ` } lA o ~Fo t a'` h ` nJ¨ y ` u hihr` { ¦ ^ or` jm¦¦q¯«zj ^~A{F¨ o u `7~4 {A` N` {Fo X~{1o ` ^ yAo a1jm¦¨ t © u tiu uzt tiu ` } a'yA¦` n o ` hpj ` z` ~ ` ¦ § o j hpo ` ¦ } h `N« j ~A{ j hpo ` ~JlAa ` "y }7` hrh h jm~{ } u ¦lAt a~Ahk«mjm~{ fj h"o ^ ` a1jmo tr^ nh ^ `z© ] uN^ ¨ `phrl ¨Au tru lAo ~A` h ~Xj a'u ` h"j t R6` So ^ e ` ´ ¡Q¢ R fuNt ¡Q¢ s ¢p¤ ¥ ~Xj t a'` tihu ` nJuzy t t ` uhrhi` { ~' Nl `7h| jm~{ A© `pjmhihrlAa`|o jmo o `pz¦ jm¦J} a'alA~ }kj o ~h h h H6H6H j `py y o ~Xj ¦ o u ^ o ^ t ` ¨ jm h }p} u a't a lA~ }kj ¨ o u ~!^ o a'u ` Ë c [su Q©"^ uzt j^ z` ~^Az¦ uz¨ jm¦W^ } u aauz¨ lA~ }kjmu o u ~ _é« ! Óu ^#uz" t [s « `t $` " ¨Atiu h {` or` a u ~A` { tiu q'o u ` } tia'u alAuz~ t }jmo ~^Ahi} ` a'` o jmopjm} ` N`o ` N¦ j ¦Q} aalA~ }kjmo tr ~ª©ª ¨Atiu ` nAjmayA¦ `z« jFo ` ` jm{}kjmhio ~ j py }7` hrh h hjm} ` N` { %~ '& ()( +* |-,. 0/ ` s r«"jm~A{ j ~A j {A}kjmhio ~ )13254 'b b` cs r© ] ^ `"6ÓlA~A}7o u ~ lhr` {o u } u a'ylAor`"o ^ ` o u o³jm¦J` nJ` } lo u ~o a` hª N` ~ ~!o ^ ` ` nJy t `7hrh u ~Ah ¨ ` ¦ u © ¼ 8<: R6S6d h 36 7 m» 9 8:·A " ·A; u>= 6f? hp` nJ` }7lAor` @ { o a'` hÇ uzt `jm} ^ R S6d h}kjm¦¦¬© ] ^ ` t `j t A ` * BDC / R6S6d h}kj ¦¦h {l tr ~Ao ^ `Dj } o uNtr jmo u ~ Ë Nl t ` hbj ~A{F 7© ] ^ `` nJ` } lAo u ~4o a` u "j h ~Az¦E` = 6f }kjm¦¦ h ¦ ~A`j t ©
(46) . .. 2. .. C2. . & :. )* . >&. E.. 2. . E2. . E2. :. .1&. :. 2 . &. . .. 2. 6. >.. F 1GIHIJKHIL u R6f h . . 2. MOPN C-Q R ` VU 1 G HWJHIL .X 'Y* 7[1 Z / 2 s;\ 1GIHIJHWL. 1TS a ? h` nJ` } lAoi` {] o a` h uNt `kj } ^ R S6d h}kj ¦¦D©. ¦ ~A`j t ¨ lAo y tiu y uzt o u ~Xj ¦Qo u o ^ `~JlAa ¨ ` t u y tiu }7` hrh uzt h. ãªã Þ. ED
(47). ] ^ ` `7n¯`7} lAo u ~o a'` u |jh ~AN¦`. R f h . }kjm¦¦ h.
(48) o ^ " * z-,. / ? h` nJ` } lor` { µ o a'` hw uzt `kj } ^ R6S6d h}kj ¦¦D«£ o ^ j XnJ` {{Xjmo³jh ` m©¬o h t hiolhr` {o u } u yJqtr o ^ `] }7^ l trt ` ~Jopy u u o"hr`7 za'`7u ~¯o o u ¨Atiu jm{}kjmhio o«Ajm~A{ hr` } u ~At{A¦qo u } u yJq'o ^ ` t `kjm¦éy u o"hr` Na'` ~Jo ~¯o u ¦ u }kj ¦ a1jmo nQ© `` nJ` } lo ~4o a'` |j!h ~AN¦` }jm¦¦ h ¦ ~A`j © F G ! µ `<* BDC / `V ` U G ! 5 ~sY\ G !. R6S e h R6ST h ? h ` nJ` }7lAor` @ { o a'` hÇ uzt `kj } ^ R6S6d h!}kj ¦¦¬«J o ^ j XnJ` {F{Xjmo³jh ` © F H0G H & G * B C / `V `V" VU ( 2GIG ~s \ ( 2GIG ª o ^ "[ * z-,. / R6Se h R6S$T
(49) h ? h ` nJ` }7lAor` @ { po a'` hÇ uzt `kj } ^ R6S6d h!}kj ¦¦¬«J o ^ j XnJ` {F{Xjmo³jh ` m© F G)4IJHWL. u. * 6BDC / `V `V" VU ( 2GIG s]\ ( 2 GIG. . 3& :. '. 6. u. . . . . 6. :. u. a. . & :. . F ( 2G . * 6BDC / `V `V" V U ( 2 G G s;\ ( 2GIG. u e ?. h ` nJ` } lAoi` { o a` h" uzt `kjm} ^. M9PN C-Q 1 R 1S a ` VU G H .< C' * 7 Z / 2Fs \ G H. R6STK? hp` nJ` } lor` {@ o a'` h uzt `kj } ^ R6S6d. F G H . e . }kj ¦¦ h ¦ ~`kj t ©. . j h ~z¦`. u . !}kjm¦¦¬© ] ^ `` nJ` } lAo u ~Fo a'` u j h ~z¦`. R6S6d h. h}jm¦¦¬«A o ^ j{A` } t `kj h ~AF{Xjmo³jh `z© ] ^ ` ` nJ` } lo u ~4o a'` u }kj ¦¦ h J lXj { t j o }z©¬o hj¦` N` ¦ µ ´ ¡Q¢ ^A } ^ } u ayAlAoi` h l ` / & s § o ^ J 2. R6ST. $. G'40( : . - 2^ .XU G)40( : - s \ G)4W( : 2`\s .z G)40( : - s
(50) t G)40( : 2 9M PN C-Q BDC a F G)40( : R R .XU G)40( : .X ' * 7 1 Z / 2 s;\ G)4W( : 2b` s .z G)40( : .< ']* 7[1 Z / 2 s(t G'40( : 2. 1S a 9S a. $. . . 7 m» 98:·A " ·A¼;8<: R6S6d$T u = R6S e h = R6ST h ? h ` nJ` }7lAor` {#* 6B C / o a'`z«N o ^ j Wn¯`7{4{Xjmo³j h `$ > F : H0G H & 1 * 6BDC / `V" U ( 2G)1 s \ ( 2G)1 ª o ^ "[ * z-, . & /. . $. %8. A. ©. h` nJ` } lor` { * BDC / o a'`z« ¨ lo` nJ} ^ jm~AN` hA tiu h'jmo u ~A`Fo a`z© `4jmhihrlAa`Fo ^ j o'o ^ ` t ` h'j ~A` z¦` }7^ o¬ÓlA¦ ~Ju lAa u ¨ ` tp^ u |o a` h tr uuNt ^Auz t } ^ ^ o ^ `u y u o ^ hjmotio t ^ ` titi u ^ op yA¦°jmu }7`z© Al t t o ^ ` t a uzuNtt `N«Xo ^ `y ^ truN¨ j ¨At ¦ o¬q'u o u X¨ ~A{u o ` y o ~^o ` h±j a'¨ `"y tu } ` hih o ^ jmo t ~A^ ho tru ` } l t ` ~Jo h} ~Ah^A {A` u`7{'lA~ a uzt ©X¬~o ` ` nJy ` hih ^ ~ ` ¦ « h"o ` ~JlAa ` o a'` h ` `po ` h|j ` hij yAyX`7{' o ~ ¦ }kj ¦Aa'` a q¯«jm~A{ ` ~ o ^ ` tiu h2Jj ( t J `hij yAyX`7{ ¨ q5} u aalA~ }kjmo u ~Ah© ] ^ ` hr`yWj t j a'` oi` t h!}kjm~ ¨ `} u a'ylAor` { y t ` } hr` ¦q5 uzt J j N` ~ -[« «Aj ~A{ © F #" H ! J( J ` VU G $" H ! < &% M PN CZ(Q ' ns \ $" H ! s J ` µ `VU G !. s U ( 2GIG < &% M PN CZ(Q ' ns µ `V\ G ! s \ ( 2GIG u dTDe$f? h ` nJ` } lAoi` { * B C / bdo a` hk«N o ^ j!zj tr j ¨ ¦`|{Xj o±j!h `z«Jal¦o yA¦` u ©¬o alAhio ¨ `{A` } u a'y u hi` { ~o¬ u yWj t oih ÝmÜËÎ )+Jë *-,/.$0 1214365 ì Þ 87 ,/.$0 121+369 ë"ý mÎrÜËÎ Ïmì ÐÓì7à ÎrÔËÎrÐËÜXì ÐËÎ :Ñ Ð mÑ -Ý ;mïðÎÏmÐÓÎißrîðÜËîðÑ <Þ ;m Ý =JÎrÐQÜËÎrÞ Jë mÑ ÐîðÞkÔËÎrù ÎiÐÓÜiômÔ mÎ *-,/.$0 12> ÞmÑ ÔÓì7ÔÓîðÑ Þ îðÜ ?. u e! . 6. . B,. *. ),. -& :. ,. . .. '. 7. 2. ,. .. 2 .. '. 7. 2 /.. 2. 6. A. . $. . $. . . è âªãªè ê.
(51) bz© mti»Xt W¼ X7O8<:¨ ªu o ^ `Dj } o uNt ` t { } µ u ¦lAuNat ~ d}kjmT=~ ef ¨ ` u ¨Atru jm{A}kj hru o ~ u ~`'} ^ lA~ uzt ~ uztt {A ` R6t S6o f6u f { u hro ti¨ lAor`o u ^ ` } l uz` t ~Jo'¨A^ tiu ]_] ¦ } °hi` ` ^ Xzl ^Au` du u } ayAlAo³jmo ~ªuztr«ªJjm ~{ ¨ Ian]t ¦°jmoi` } a'yAlAo³jmo ~ª© ´ `³ ` jm{}kM9jmN hiC-o Q ~AX«Jo ` ¦`p} ¦la'~ h } y `7{ ~1j ~A l ` © F H-G H & G R P <" <U ( 2 G G s;U G ! < . ;* 1 Z / Fs <" <\ ( 2GIG s]\ G ! o ^ " * z-,. I/ 1S . µ © dT=ef? ] ^ a` ` nJ` } lAo u ~4o a` u |jh ~z¦` dTDef }kj ¦¦ hp} l ¨A }z© ¬o hj¦`7z` ¦"´ ¡Q¢ ^A } ^ } u ayAlAor`7h l ` ` o ^ J J+ jm~A{ J 2 . .. . 2. . .. :. $. G&:J. .. F B 6. 2. $. %8. <U G & : J. - ^ 2 . . M PN C-Q . \ G&: J. s. .. 2 .. %8. 2` -. '. A. s |. . 2. 7. G&:J. . .. 2. G&: J. \s>t. s5.. s5.|. G & : J ` .< C'. XU G & : J ` .< C' % &' ' 2 s]\ G & : J 2b`V . 1S a . G & : J ` .< C' % & ' ' 2 s]" G & : J 2. . G&:J. 2b` -. a. B2. .. &. " G&:J. s. %. ' &. '. 2. 2 s1t. G & : J 2b` ~s. `7n¯`7} lAor`7{ * BDC / bpo a`z«m o ^ jzj ti j ¨ ¦` {Xjmo³j h `z«Aal¦o yA¦` u ©¬o alhro ¨ `{A` } u a'y u hr`7{ ~ o¬ u yXj t orh bz© u m»XW¼ X7Ou 8<:ª o ^uNt`¦°¨Aj hrtiodu Djm}7o uzt ` { tru ^ °hi` ^` u d$TDtru ef d alAu hro ¨ ` ¨Atiu j {AuN}kjmtrJhio ~ ¨ uzt {A` tt o u jm} ^A ` N` R6S6f6f } a'yAlAo³jmo ~ª©Q´ `³ ` j {A}kjmhio ~AW«Ao ` ¦` h } y ` { ~4j! ~A l ` © M9PN C-Q a F H-G H & G R <" <U ( 2 GIG Fs U G ! < . *
(52) 1 / Fs X" X\ ( 2 G G s;\ G ! ª o ^ "[ * z-, . / 1TS a µ © R6S f6f? ] ^ ` ` nJ` } lAo u ~4o a` u |jh ~z¦` R6S6f6f }kj ¦¦ hp} l ¨A }z© ¬o hj¦`7z` ¦"´ ¡Q¢ ^A } ^ } u ayAlAor`7h l ` \` s;^` o ^ J - « 2 jm~A{ J 2. u R6S6f f?. 6. A. .. . .. :. 2. $. $. G)4W( JJ F. . 66. .. M PN C-Q . 2 .. %8. - ~ . a. 2. '. XU G)4W( JJ V` . .. 2. s. \ G)40( JJ 2.X. 1S a .| G)40( JJ `V s1t G)4W( JJ 2.X .T, G)4W( JJ `V Ks G)40( JJ 2. '. %. 2. \ G)40( JJ " G)4W( JJ. - s> - @ s ,. G'40( JJ G)40( JJ. '. ' E2 ` .< '. & :. A. - ` s - ` \s. .. .. .. %8. XU )G 40( JJ . G)4W( JJ . 2. 7. 8. 2. . '. & :. '. %. & :. 2 s . ' F. G'40( JJ V` . %. '. \s>t;2b` s s 2. s. &. ' 2Fs " G)40( JJ 2.X . '. %. '. ' &. 2Fs. ¬~ uNt {A` t o u } u ayAlAor` o ^ ` u yo a1j ¦ ¨ ¦ u } h `z«Aj ¦¦o ^ `dy t ` }7` {A` ~Jo ` JlXj o u ~Ah ^ jN` ¨ ` `7~'{A` ti zjmor`7{ u z` t m© ] ^ ` o u o±j ¦ª } u a' yA¦` n ¨ o¬q u^ yAo t alAu a h u uz¨ u o³j ~F ^A^t ` ~4o ^ ` t hilAa u "o ^ u ` {A` ti zj o u z`7hp` JlXj ¦h ^ ` tiu ^A©t d` ti~Au¯} u `z«£o ^ uz` t u yA o aFt jm¦ ¨ ¦ u tr} hh ``7hh jm~A { z` a1~ j o tiq4 no h ` ` h` © h ¦lA~Ao ¦q ~ u ~`wjh u o¦lAo u{~4{A` j h` `y u `h J olX jmzo ``k~ªj © } ^ o ` a'} `z© a'ewyAlA` hroilA` {¦oih2o j `t `o N` `` ~ ~ or] hj ¨ ¦` h{ b` jm~A` {~Jo A ©!¬{ o N` h"ti o ^ ` u yu o a1¨ j ¦ ¨ t ¦ u } hu `j h|j2ÓlA~A} o u ~ u Q{ ` t ` ~Jo tr {h ` h jm~{a1jmo tr n h ` h ibkNzh N~ X` h|j.bkzN 'bkNz a1j o n ~'{ l ¦`y `7} h ~ 7© . . 2. ãªã Þ. ED
(53). .. . '.
(54) WD8¬¼ -8 z·
(55)
(56) b b . ' /' /'. µ zN NzN © µ
(57) © m
(58) ©
(59)
(60) ©ðz
(61) A©ð
(62) ©ð
(63) yAo a1jm¦ ¨ ¦ u } . AD8 08 z·. bzN
(64) A©ðb A©ðµ
(65) A© ] j ¨ ¦`b. . ¯zN A ©
(66) z A©ðz
(67) A© Ab h ` u ~. BA. . . . zNz zNz Nzz A©ðm bkAµ ©ð bk©b A©bk A© A©ð
(68) A©ðz
(69) A©
(70)
(71)
(72) A©ð j s j t jm u ~'hiq¯hior` a © . B B. NzN bk©b A© Wb A©ðN
(73). AD8 08 z· ¸ Ç· bzN µ zN zNz ¯Nz ` nJ^yX` uNtrt a'` ~Jo³jm¦
(74)
(75) µ
(76) b o ` ` o }kjm¦
(77) ©ðAb A©
(78) A© m A©
(79) z ] j ¨ ¦` µ "¤ u a yXj ti h u ~ ¨ ` o¬ ` ` ~4o ^ ` uzt ` o }kj ¦"jm~A{` nJyX` ti a'` ~Jo±j ¦ ¨ ¦ u } h ` h u 4~ j s j t j u ~hrqJhroi` a®© . . . . A. .·A Ë d» : [: I:ª· dAm W»:. . ] ^ `d¬~¯oi` ¦ s j t jm u ~ h|j { hio ti¨ lAor` {a'` a uzt qaFjm} ^A ~A` ¨ j hr` { u ~
(80) Ny tiu }7` hrh uzt hd} u ~~A` } oi` {F j j µ tr {ª© Çjm} ^ y tiu }7` hrh uzt t `kj uN} t ^ ` hj ¨Xu uzlA o z^ x u yAuhp¨ jmo yWu `kj yW` t uNt aFjm~A} `N© N` ay o³jm~Jo"y ~Jorh jN`o ` ~ o } ` { u ] ^ ` uzt ` o }kj ¦ u yAo aFjm¦ ¨ ¦ u } h ` hj t ` } ¦ u hi`o u o ^ ` ` nJyW` tr a'`7~¯o³jm¦ u ~` hk© ] ^ ` q t j ~Az` ¨ ` o¬|`7` ~ © µ jm~A{ bA©b jm~A{Fjm} oilXjm¦éor` hiorhp z` jm~ u yAo aFjm¦ ¨ ¦ u } h ` u
(81) uzt bk u ~1j F tr { . © u ] ^ `|o ^ ` uNt ` o }jm¦ u yAo aFjm¦ ¨ ¦ u } h ` hj ËlA~A} o u ~ u Xo ^ ` a1jmo tr nph `z«Jjm~A{ o t j hr` h"lyo u jdo u yzjm¦lA`|j tru l~A{ bkA©é´ lAopo ^A h h ` hpj t `kj ¦D©¢ i uJu { ¨ ¦ u } h ` h|o ^ ` ~A`kj t ` hio ~Jor` N` t zj ¦lA` tiu ao ^ `o ^ ` uzt `7o }kjm¦ u ~A`z© u ] ^ ` u yo a1j ¦ ¨ ¦ u } h ` ^ j t {A¦q'{A`7yX` ~{Ah u ~Fo ^ `!~¯la ¨ ` t u "y tru } ` hih uNt hk©d¢phiqJa'yAo u o }dzjm¦lA` hj t ` 6 uztpµ y tru } ` hih uNt h jm~A{b uNt b A©¢d¯j ~ª«J`7n¯yW` ti a` ~Jo±j ¦ t ` hilA¦orhp} u ~ t ao ^A h y uN ~¯o© u ¢p} } uNt { ~Ao u ` nJyX` tr a'` ~Jo³jm¦ t ` hrl¦oihk« o ^ `4 tr { h ^ jmyW` ^ j h~ ut `kj ¦ ~ Xl` ~A} ` u ~ o ^ ` u yAo aFjm¦ ¨ ¦ u } h `z« o ^AuNu trlA ^ o t t `kj ^ or¦q ~ XlA` ~t } ` htio ^ `'` ] nJ^ ` } t lo u t ~ o a'` u ð r©F¢ t ` } o³jmu ~ANlA¦°j t tr { u o ^ Ë ` tr^Au h u py truzu t } ` u hih uzt h u h Djmhior` ouzt jm~4jh JlXj ` {é© ` `6j ` ¦` hihp} a'alA~ }jmo ~Ah"h ~A}7` y o ~A hpj } ` z` {5a ` Óoi` ~ ~¦ }jm¦Qa'`7a q¯© u e ` hilA¦orh"j t ` {A` ~Jo }jm¦ u ~A¦qo ^ ` hrl ¨tru lo ~A` h R6ST « dT=ef «kj ~A{ R6S6f f j t ` lAhr` {! uNtª¨ ¦ u } h ` } u ayAlAo³jmo u ~ °o ^ ` q t ` y t `7hr` ~Jo u "o u o±j ¦Q} u ayAlAo±j o u ~o a'` 7© .·A Ë d» : [ : 7 6 ] ^ `d¬´x s"µ! h jm¦h u j{ hro tr¨ lAoi` {'a` a uNt q aFjm} ^A ~A` ¨ jmhi` { u ~1ed zNzdy tru } `7hrh uNt hd} u ~A~` } or`7{4 jj!alA¦o hro³jmN` ~A` o¬ ] uz^Atit © " jm} ^ uzty tru } `7hrh uzuN tt `kj ^ } ^ ` h µ u¨ x u u yA hpjmo yW`kj yW` t uNt aFjm~A} `N© `7` a'y o³jm~Jo"y ~Jorh jN`o `~ o } `7{ u ] ^ `p` nJyW` tr a` ~Jo±jm¦ ¨ ¦ u } h ` hpj t ` Jl or`d{ '} lA¦o"o u!uz¨ o³j ~ ¨ `7}kjmlAhi`o ^ `` nJ` } lo u ~o a'` }kj ~zj t q ¨ ` o¬ ` ` ~ o¬ u ` nJ` } lAo u ~Ah© ] ^ ` t ` hrl¦oih ~ ] j ¨ ¦`p'j t `o ^ `jN` t j z` u yo a1j ¦ ¨ ¦ u } h ` hp z` ~ ¨ qo ^ `!` nJ` } lAo u ~Ahk© u u a`"` nJyX` tr a'` ~Jo³jm¦Azj ¦l` h"j t ` Jl oi` Dj t tiu a o ^ ` o ^ ` uzt ` o }kj ¦ u yAo alAa4©´|lAo ~a u hioª}kj hr` h«Jo ^A h u yAo alAa z` h jyW` t uNt aFjm~A} `z` t q } ¦ u hr` tru a$o ^ ` ¨ ` hro` nJyX` tr a'` ~Jo³jm¦ t ` hilA¦ok© ] ^A h hyXj t o }7lA¦°j t ¦q4o t lA` uzt ti {h ÜËçkÜËÔÓÎiê1àë¯ÜËî ãérÎéÎrÜËÑ Ým:XïðÔÓÿ Ü mWÎrì ÏNÜ ÎrÞ:Ñ Ýmù Þ ÐË Îrì7Ñ ÔÓÞ ïðç"ÏmÐËÑ7ÎrÞpíîðÔ Ñ mÝmÎÜAà ÔËÎrì7ÜËß ÔÓmÜiîðë¯Þmè ÎQÔ ì mÞ ì pÜ ;zîðÔËÎiÜQÎrÜÓÞ çmÜËÔÓÑ ÎiÞmàΪë Ñ7Þ Ô mÎQÜËì à Ϊà ì7ß mîðÞmÎ ;mÝmÔ QîðÔ ì7Þ Ñ ï mÎrÐAí7ÎrÐËÜÓîðÑ Þ Ñ :JÔ mÎéÑ ÏzÎiÐÓì ÔËîðÞmù è âªãªè ê . . B. C. . A. '. B. . ;. ;. ;. .. . . . 2.
(82). . B. . A. . . . . $. $. . +. ,. $. . +. . . .
(83) WD8D¼ -8 N· µ µ 4 F . ' /' '. µ µ © µ W©b µ © ] j ¨ ¦` . AD8 08 z·. Ab µ
(84) bk µ µ A©
(85) µ ©
(86) © µ A© µ © AbN© µ A© µ
(87) © µ µ ©ð yo a1j ¦ ¨ ¦ u } h `. . . B. B . . . A. . . b µ
(88) z b z bkz µ NA©ð JA© µ µ ©ð NA©ð Aµ ©ð A© bz©ð ©ð NA© u ~1j ~1¬´ x* s"µ © . . . AD 8 - 8 N· 7 ¸ "· µ Ab µ
(89) b µ b µ
(90) N b N 1` ^ nJyªu © µ µ µ z µ z o ` © µ W©b µ A© µ A©ð µ bz© zµ A©ð µ A©ð b 1` nJyª© b o ^ ` u © µ ©ð µ bz©ð µNµ ©ð µ A©ð µ X© µ A© ] j ¨ ¦`d "¤ u ayXj ti h u ~ ¨ ` o¬ ` ` ~4o ^ ` uNt ` o }jm¦"jm~A{` nJyX` tr a'` ~Jo³jm¦ ¨ ¦ u } . . B. . B. /'. B. /'. B. . . . . '. . . '. . . . A. bkN µ
(91) µ A© µ A©ð h `7h B . µ
(92) NX©
(93) A©ð X©ð µ
(94)
(95)
(96) © µ µ ©b u ~Fjm~F¬´ x s"µ ©. hra1j ¦¦^` t o ^ j ~ trµ X©" uz t ` µ nAjma] yA^ ¦`z« u ~Ft j uzt µ µ ti {'t t o ^ j aF jmo ti n µh ` u bk µ µ X«No ^ `u o ^ ` uNt ^` o }^jmt¦ªzj t ¦lA` h jm~A{o `` nJyW` a'`7~¯o³jm¦ h A© `yW` a1jm~} ` h j ` ` hryW` } o N` ¦q
(97) zjm~{ Nx yAh } ` y ` hr`7~¯oih j ¯jmy u "A©ð F© ^ s"µ ^ u ¨ u t tru ^ ti ^ tr ] ^A v lA~hro o X` `1h o ^ ` «é ~¯o oi` ` t `7hroyAo u a1o jm^ ¦ ` } ¦ u a'} yA¦h ` n ` o¬q6h j z~X` jm¦qqJh {A h` © yW` ~A{A`7~¯o a o ` {h `'jm~A{o `'aFjmo nFh `z© h '. '. . . u. . . . " ! ! ) " ! '*,. . . ] ^ ` J}kjN¡Q¢ s ¢p¤ ¥ N` t h u ~ u ^ jmh ¨ ` ` ~ ayA¦` a'` ~Joi` { ~ uNt {A` t o up¨ `|hi}kjm¦°j ¨ ¦` Q`kjm} ^ hrl ¨tru lo ~A` }kjm¦¦ hj ´ ¡Q¢ uzt ´ ¡Q¢p¤ }jm¦¦¬© ] ^ `7hr`o¬ u ¦ ¨At j ti `7hj t `j ¦ t `kj {Aq ËlA¦¦q u yo a ` {! uNt j {A` t j ~Az` u ª} . u a'yAlAoi` t h. ©"Al t o ^ ` t a uzt `N« o ^ `1a ~ a'jm¦ª~JlAa ¨ ` t u u yX` t jmo u ~Aho u jm} ^A ` z`Fj®Dj } o uNtr jmo u ~ h ` ¦¦ ~ u ~ s µ © ] ^ lAh« u ~A¦q } u a'alAu~ u }kj to u ~y u ^ j hr` h }jm ~ ¨ u ` u yAo a ^ ` u {4h ~} `ou^ `} u a'ylAo±j o u ~4o a'` h XnJ` {ª©¢phiq¯~} ^tru ~ u lAh a` hrh³jmN` hj t ` lAhi` {4o N` ¦°j y'} a'alA~ }kj o ~Ah" o } a'yAlAo³jmo ~Ahk© 6 !m»WX¼mX7 X·J Ë ´ uNq't ¦ uJuzJ ~Ati }7¦ u hr^ ` ¦qF¨ jmu o o ^ `u jm¦ uNtr o ^ a®u «m `u }kjm ~Fu hr`7`u o ^ jmo y tiu tr} u ` hrh uztuzh2t j tu ` u Óor`7~1 j uz o ti ¯~ t ` hilA¦orhdu tiu a u u o ^ ` t truy tru } `7uNh t htru h dl uztiJ~ o ` tr ¦ } ^ } ¦lAtra ~{A` } t a'uy h o ] ~ª^A« ~A¨A¦tiq' j y } ` uhih ^ } ¦t lAau~ h| ~Au W©ª¢du ~A{ u ~A¦q ~A`dy } `7hrh h| ~{Al ~Ao `o jm~zlA¦°j h ¦z`z© h ~Azh lAh o o ` hro yAo a jmo ~h ¦lAo ~ I:" ·JX¼§» 'm»XW¼ X7O 8<: Ë ]_] ³ an] :· Ç· r»Wm· · kD 8Ë[ : °® » X· dTDef ¼é# » 8Ó4® · 7 ·49 8 · ] ^A ha`kjm~h o ^ j oz` ~` t j ¦ hrqJ~A} ^Atru ~ u lh´¡£¢p¤ ¨Atiu jm{}kjmhio tru lo ~A` h R S e h j ~A{ R S T h !j t `lAhr`7{ u ~ y dtiTDu e}7f` hrhu uz~Ft h y tro u^ } jm`7oÇhr{h uNu t h~ u o o"^ jm} uo a} u yAa'lAoiyA` lAoid$` TD eok©f «mjm~A{'j hrqJ~A} ^Atru ~ u lh"} u aalA~ }kj o u ~Ahªj t `dlAhr` {o u hr`7~A{ Ë ]_] ± ai] {Al ti ~ ] ^ ` t `³ uzt `z«Ao ^ `h ~AN¦` ¨ ¦ u } ^]_] alhro ¨ ` ¨Atru jm{A}kj hro u ~o ^ `} l tit ` ~Jo y tiu } ` hrh uztdtru o u yX` t uNt a d$TDef ©z´ lAo o o±j ` h ¦` hihpo a` o ^ j ~ ¨Atru jm{A}kj hro ~ Ó^ ]_]±I an] 7© ] ^A u u t ^ u uNtr u ^ ¨Atiu u ¨ ¦ u } h«ªh} h u a'¦lAyWo j t ~ `7{4hi` o ` u a'o h ^ ` ~Joiuz` ti ` hi ~Xo jm~A¦ézh ` t~Ah }7` u ~é|©` ´|Jjlok~«éjmlAo~J`k uNj t} orlhi~Xorjm` oiy ` ¦' q¯«QXo D^ j jm} oo Jj ~ j o t ` y~ t o ` hr` ` ~Joih ujm~A{¦}kqjmhibo"oo u4a'µ ` yW ` t } `7~¯oi' h 1u b ãªã Þ A. . . . 5. . . 2. . .
(98) . . . .. . 2. A. . . . -.. 2. >.. -.. 2. 2. &. ED
(99).
(100) o uu o±j ¦QDj } o uNtr jmo u ~4o a` uNut ~Fu o ^ t` s ^Aj t jm u ~4hr qJhior` a t © ] ^A h hp{¨ lA`o t u o ^ `~JlA¨ a ¨ ` ^ t u |u o a'`7h o ^A h ¨tru j {A }kj hro] ^ hp{ u ~A` u ~A¨A¦trq u jm{A } jmhrob ~Ao ao ` ha'7©|`wx uzt jm` ¦¦QNhi` or` «WyAohd~Ah ` N{A` ` t } ` ` nJ } `7~A` {Ah ` µhrlyW¦od` t }k} jm` ~ ~Jorh ` u yo ` u { o±j } ¦Qoi` ` nJ{ ` } lAqo ou ~4`!o} aa`zyA© ¦` n o¬q'j ~Xjm¦qJh h© ` hilAa .. &. 2. .»Aº 8 W»X98X: W·J Ó ¬o ^ jmyA yW`kj t h] o ^ ^ j o2j u¯u { hrt yW` ` {¬lAy u}kujm~A~ t u o ¨ ` ^ uN¨ o±j u~A` { lA~A ¦` hrhj' } u a' a l~ }kjmo u ~'y ^ uNjmt hr` h ^Fu trzu ` t ¦°ujmyAyW^ ` { a u hrtro u o `o a'`z© lAh« o h ~Jor` ` hro ~Ao z` ¦°jmyo `y o ~o a'` h ~A}7` o h"` nJ` } lAoi` {F `jm} o `da1jmo n I:" ·JX¼ » m»WX¼mW 98X: 8 W»X 8<: r»X . O8Ë»:[:"¼ · : · ª [:8<:m»Aº6. r·¯ · ]3] ai] ¼é·Am» "» -8ËO8Ë»: R6S6d h ¼ª»%8ËA ·4 ·F98 · 636. . . . . . )A.
(101) . . . . . . . . . .$. . . $. 2. ] ^A h a'`jm~Ahdo ^ j o |`}jm~ lAhr`o ^ ` e o a` u o ^ `'y tiu }7` hrh uzt h} u ¦la'~4 ^A } ^ {A` } u a'y u hi` ]_] ai] 7«ªo u ` nJ} ^ jm~z`} ^l trtrut ` ~Ju o6j ~A{ ^t `kjm¦" y u u o truuN t hlAh u ~AFjmhiu q¯~^ } ^tru ~ u lAh tr} u u a'auNlt~ }kjmo ^ u ~hk©tru ] ^ ` ~ uNt |`tru lAhr`o] ^ ^ ` R6ST o uJ a'u `o u hr`7^~A { jmtihiu q¯~} uzt~ t lAhi¦q5o ` y u o uz~Jt a1j u o ~h| o o `~A` ^ nJoy } ^ ` hih tru ~4ouzt `y u } `7hrh h © ^ lAh«ª jmhuzt h ~ u j h o u h^ y } ` hrh tru ` }7` zuz` th y ^ o tr~Lu a1jmo ~Au1h« u op}kj ~®`7 n¯} ^ j ~Az`o tr` u hduzt u y ^ o ~A'j ~Au { tihr ` ~A{ t o ` ~L a1jmo ~ odl otr ~A`~o ` ^nJ oh yhior` yé} «X` hio h^ ` ¨ ¦~4u } o ` } u ¦lA a©~¢p{A~` {®} u h a'y u ~ªh «W o lAu ~J~o ¦} u o ~¯o ` ~¯¦°lj hr` oph yu ~'o} ^ ` hi` h y tru } ~5`7hroh uNt`} yAu hi¦` lAlAa{ ~ª © ~A ` } ` N` h orh{Xj o±j© Nl t ` t ` y t ` hr` ~Joiho ^ `{ ` t ` ~Jo hroi` yAh u |o ^ `7hr` u yW` t jmo u ~Ah uNt jm~ ma1jmo tr n'{ hio ti¨ lAor` { u ~ j' F ti {'lAh ~'j
(102)
(103) ¨ ¦ u } h `z©``7n¯y¦ j ~'o ^ h `7nLj a'yA¦` ~Fo ^ `d u ¦¦ u ~A u · b ] ^A h ho ^ ` & or` t jmo u ~ u R6S6d hX© ] ^ ` t `kjm¦ y u o tiu ^ jmh ¨ `7` ~ u lA~{ u ~y tru } ` hih uzt bzbN© ] ^ ` ~ª«Jy tiu } ` hrh uzt b A«Jo ^ jmo u ~Ah o ^ & `p } l trt `7~¯ody u o tiu «J{ {A` h o ^ `} l tit ` ~Jody u o ¨ qo ^ ` t `kj ¦ªy u o|j ~A{ jmuzhrtqJ~A^} ^Atiu u ~ u lAhr¦qhiu ` ~A{Fu o ^ ^ `d ^Au ¦` ^A tru tiu u o u y tru } `7hrh uNt t bN bz©é¢ Óoi^ ` t « t o y tru } ` u `7{Atih u o ^ e j ~A{1j Óor` t «z j oih o `!} ayA¦` o ~ o `jmhiqJ~A} ~ lAh hi` ~A{®j ~A{ ` }7` z` hdo ` `kjm¦éy o © ¬{A` ~Jo }kj ¦¦qJ«Jy tru } `7hrh uNt bzb jmhiqJ~A} ^Atru ~ u lAhi¦q1hi` ~A{Aho ^ ` ^Au ¦`y u o tru §o u y tru } `7hrh uNt b jm~{4} u ayAlAoi` h o ^ ` e jmo o ^ `!h±jma`po a`z©é¢ Óoi` t } u ayA¦` o u ~ª« o t ` }7` z` ho ^ `}7l trt ` ~Joy u o tru © ¬ ~o ^ t ` ¨ `7hro u }kjmthi`z«z^y tru } ` ehih uzt h b jm~{1bNb|{ u ~ u o~A` ` {o u j oQ uNtt hr` ~A {^ } u ayAt ¦` o u t ~h ~A} ` o tr^ ` } u ^aalA^~ }kt jmo u ~ t h"`kj j } ¦ ^ `k` jmh{a'q ` a N` uzt q h ` ~`"¦ a orh©A`7¬~A~ {Ao hk^A© hª¬~}kj ¬hrjm`z} «moo «z^ j` je oªhi o±jmo oi a'`j `yA{ yXu `` j hé~ hÇu oé} o u ajdyAz¦`` orq`7¦q¦°j u zz` ` t a1¦°jmj yo o ^ nQ`Ç«} u a` a~lAo ~ ` }kjmo h u ~` o a'`z«Nh ~A}7` e { u aFj ~h ` {` } t `jmhr`7h`jm} ^ hror`7yª© o ^ ` t y tru } ` hih uNt h ~'o ^ ` y u o|y tiu } ` hrh uzt } u ¦la'~ v lAhio ` nJ` } lAoi`o ^ ` e tru lAo ~A`N© u · µ e j ~A{y u o ~ h{ u ~A`z© u « o ^ ` ¦ u }kjm¦hrl ¨ ¬a1j o ti nalAhio ¨ `plAyW{Xj or` { o ^ R6S$T © s tru } ` hih uzt h b tr'u j ~A{ ^ bNbtrlAu hr`o ^AuN hpt o trau `o u hi` ^~A{ o ^ `t y u o ~L uzt a1u jmo ti u ~'o u o ^ µ` ttr ^ o ~A` ^¯¨Wuztu^ ~®trj yA^ hi` lA{ u ^¯ti ¨W~Auz't aFu jm{A` aµ o `!y } ` hih h ©Ç¬~1o ` XNl `A«AjyAhi` lA{ ~ h rb bk b kb «zj ~A{Fo ` o ~A` b h b © stru } ` hih uNt hb µ jm~A{
(104) j t ` v lAhio j o ~A uzt y u o ~J uNt a1j o u ~lAh ~'j ¨ ¦ u } J ~ t ` } ` z`N© u · y tru } ` hih uzt hb µ j ~A{
(105) ^ jN` v lhro t `7} ` z` {Fo ^ ` y u o ~J uNt a1j o u ~é© ] ^ ` q'}kj ~F~ u ` nJ} ^ jm~z`o ^ ` & tru jm~A{o ^ `dy u o tru «Jjm~A{hi` ~A{Fo ^ `py u o ~J uNt a1j o u ~hªo u o ^ ` t tr ^ o"~` ^J¨XuNt ©"xF`jm~J ^A ¦`z«zy tru } ` hih uzt h ~5u o ^ `y u u optiu } u ¦la'~F} u ~Jo ~JlA`o ^ `{A`7} u ay u h o u ~é« X~A{ ~1o ^ `y u ojm~A{ oihy u h o u ~é« ¨tru j {A}kj hro ~Ao ^ ` ¦ }kj ¦Qy o «Q©k© © u · "j h ~1hior` ybN« e h u z` t ¦ j yAyW` { ¨ qFjm~FjmhrqJ~A} ^Atiu ~ u lAhp`7n¯} ^ j ~Az` u }7l trt ` ~Jojm~{ t `kjm¦éy u o tiu © ´| lAR6odS6~ du «Wuy tru } uz`7tihr h uNt h'b'j ~A{®j t ` uztiJ ~X«A`7n¯} ^ j ~A ~A tiu hk« ~Ahroi`kjm{ u " j o ~A uzt o ^ ` } u a'yA¦` o u ~ u h!o © u · "j h ~1hior` y µ « ¨ lAo o ^ o¬ u a uzt `py tiu } ` hrh uzt h uztiJ ~X© ] ^ u ^A u u t ^u u t ^ u u ^ t ^o jmopy tr` u } a'` hiyXh uzj t } h1o bjmo~A{ h j yAt o`a } u a'jmyAo ¦` ~oi` ¦q h} {A¦`k¦` j {A¦q l tih ~A' o ~^ ` ~ ~ u ~ u zyAl o ` a
(106) A © ` { ~ R6o S6`4d o hy `7n¯`7} lAo o u` ~ªX©z¢ l Ó`zoi` « t «£`1o ^ }` jmt `~ hrh` j` è âªãªè ê .$. . > )'- A. /'. . $. 2. '. BA. . . . . A. . . . %.. 32. A. . ;. . A. . A. .
(107) step 1 0. 1. 4. 5. 8. 9. 12. 13. 2. 3. 6. 7. 0. U. 14. 9. 10. 15. 15 0. 1. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 11. 1. 4. 10 11. L 8. step 2. 2. 5. 8. 9. 12. 13. 2. 3. 6. 7. 14. 15. 3. L 8. 9. 10. DSCAL. 11. 1. 4. 5. 8. 9. 12. 13. 2. 3. 6. 7. 8. 9. 0. U 15 0. 1. 4. 5. 1. 4. 15. L. 0. 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 2. 5. 8. 9. 12. 13. 2. 3. 6. 7. U. 10 11 14. 15. 3. 6. 7. 15 0. 1. 2. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 7 10. 11. 3. step 4. 10 11 14. 15. DGER. step 3 0. U. 10 11. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 8. 9. 10. 3. 7. 11. DSCAL. IDAMAX DGMAX2D DGEBx2D. step 5 0. 1. 4 asynchronous send of matrix row PDLASWP call. 5. 8. 9. 12. 13. 2. 3. 6. 7. 15. 14. asynchronous send of pivot information DGMAX2D call : find pivot and its position DGEBx2D call : broadcast local pivot row. zl t ` ~A` or` t jmo u ~ u u yAo a 7` { A. U. 10 11 15 2. 1. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 7 8. 9. 10. 11. 3. 0. 7. tiu lAo ~A`z© DGER. R S6d h. } u a'alA~ }kj o u ~y ^ j hr`o u ` nJ} ^ j ~Az`o ^ `y u o rt u © ~ o ^ ` X¨ u ro o u a u o ^ ` Xzl t `z«éy tru } `7hrh uNt hFbjm~A{Fj t `~ u ãªã Þ /. ED
(108).
(109) idle during PDGETF2. pivoting time of rows. pivoting during PDGETF2. zl t `
(110) "¤ u a'yXj tr h u ~ u o ^ ` v j ~Joro { jm t jma- uzt u yAo a ` {1j ~A{'~ u ~ u yAo a ` {z` t h u ~Ah© A. a Nu t ` {Au ¦` ] o ^ ^ `7q j ^ t ` t t ` }7t ` ~Au o uN^ t `1y u u o ~J uz t aFjmu o u ~4u jm~A{ ^ ` nJ} ^ jm] ~A^ ~ trt u u h{At l ti ~4o ^ ¨ ` u yA o R6 a S6d ` { R6S6d h ` nJ` } lo ~ª© lAhk«Jo ` `j `~ a `p} a'al~ }kj o ~y hro Dy jmhi`z© `7q1j ` z` ¦ j yAyW` { q hX© -A. . . . ! ' " )+ , *#" , . . . ¢p¦¦é` nJ] yX^ ` ti a'` u6~Jo±s j ¦ t t ` hru lA¦oih ^ jz` ¨ `7] ` ~®y tru {AlA} `7{ u ~4o¬ u's j u t jm u ~4t hiqJhror`7a'^ hj ~A{4u j' ^ sǵ hrqJhroi` u a®«Wt o ^ zj tiu lAh tr { h `N© `pt o¬ ^ j jm ~ e u ¡Ç « t ` ~A~` hrhi` ` ti J¢«Ajm~A{'t ¡£q ~髯] ^ j ~At } ` t jzu `d~ t oÇ o `t h±j a'` tr yW` j o ~AhrqJhroi` aj ~A{ o jmyAyW`kj ` { o jmo o!¦`jm{Ah o { ` ` ~Jo`7n¯yW` a` ~Jo±j ¦ ` hilA¦orh© ` `4j ` l { ` ` ~Jo {h ` h 5X« Ó¡£t q u ~ «
(111)
(112) A«"j ~A{ b b e ¡ 7© ] ^ `®b Fy tru } `7hrh uNt hF s"µ hrqJhroi` a h ¦ u }kj or` { jmoo ^ `F¡ªjm´ e °´ uzt {`kjmlAnQ« jm~} ` © ^ t ^ ¨ o u ~¢pyX¦¦Wj }o jm` z` ` hi ~lA¦uNorht {A` jt zo ` u oi` ` `7hr~'oÇo hr^ l` } } } ` uNhitrh¬t Ó` lA} ¦or¦q~` t hrlAh ~u Q o ^o ^ ` uo ^ yA`do ora ` hio|j { o tiu z~` hkt © ] ~A^A} ¦ lAh{A{ ` tr{ z ` ~t o } ^ u `a JyA}¦jz` or¡Q`7¢ hso ^ ¢p`p¤ ¥ Dj } o DuNj tr} o uNj tro u j ~ u ~4jaFjmo ti n j ~A{Fo ^ ` ~5h u ¦N` h o ^ `!hrqJhroi` a½ ©Ç¬opjm¦h u y tiu {A`7hp{ ` t ` ~Jody u hrh ¨A ¦ o ` h o u zj t q'o ^ `` nJ` } lAo u ti~yX j t jma` or` t h"hilA} ^ jmh ¨ ¦ u } h `z«J~JlAa ¨ ` tu ªy tiu }7` hrh uzt h«A~JlAa ¨ ` tu ª} u ¦lAa'~Ah u ªo ^ ` tr ^ o ^ j ~A{¬h {A` Ëe a1j o ] ^ n t «é© ©k© u s t u t ^Au u t µ ] ^ s"µt t ~1 zl ` t ` ` hhrlAb76¦oihj ~A{~ bkj © j ~Fhiq¯hior` ahpj ` h ~ ~® Nl `7hA«QbA«ébzb jm~{ b © ` ¬´ x ` hrlA¦oih2j ` N` ~ t ^Au u ti u ¨ u u u t uzt ti ] ^ u tz` h u N~ l ` tiu h hD j hrhor`jwt } a ~ yXxj h u yA~ h ` o o¬^ jm` ~ ` ~ o ^ yA`®o ~ a u ~ ` u { yAojm ~Aa {!~ ` {ª~ « ¨ y`Ûo uza t ` ` ¨ { ` } u ` ahrlA ¦~Aoihª jm¦a b u hrob yX j t jm¦{ª¦` © ¦¬©§¬` ~A{yA` o` {ªa «do ^` {` u yo a j o u ~F uztr h ¨ ` oior` t uNt hraFjm¦¦a1j o tr nFh `7h N o ^ «o ^ `~JlAa ¨ ` t u y tru } ` hih uzt } u ¦lAa'~h ¨ ` }kjmlhr`'o ^ `y u o ~A} u aalA~ }kj o u ~Ah j t `6j ¦¦`7n¯`7} lAor`7{{Al tr ~A R6S d hW©p¢wÓor` t o ^A hd¦ a o«Ao ^ `y u o ~o a'` ¨ ` } u a` ha uNt ` a'y uzt o³jm~Jopjm~{4} u aalA~ }kj o u ~Ah }kj ~A~ u o ¨ `} u a'y¦`7or` ¦q u N` t ¦°j yAyX`7{ ¨ qFo ^ ` R S6d h` nJ` }7lAo u ~ o a `z© uN] t ^A h h} u ~ trt a` { uz¨ t qo ^ ` ^ } u a'ytr¦ `7n o¬q jm~W^jm¦qJh t hk© ] ^ `p zl t ` bh ^Au ¨ hÇo ^ ` ^ y t ` { } oi` {1j ~Au {o ^ ^ ` `7n¯u yW` ti a ` ~Jo±uj ¦ ¯j R ~S6d j 1^ u {ª©" u `kj } aF jmo u nh `z«o uz`!t y ` {u }7 or` { ¯j ~ h z` ~ q'o ` a ~ alAa o `o o±jm¦éo a'` hj ~A{Fo `!o o³jm¦Q} a'alA~ }jmo ~o a'`w y o ~AW© .. -.. 2. '. 2. '. . . .. 2. . A. . '. )'. . .. 2. . $. %.. '. .. . 2. 2. .. B. '>&. &. 2. . '. è âªãªè ê.
(113) 8000. 30. 7000 25 6000 20. gain in %. Mflops. 5000. 4000. 15. 3000 10 2000 predicted gain experimental gain. 5 1000. ScaLAPACK LU on a 16x16 grid optimized LU on a 16x16 grid. 0. 0. s zl tt ` u n¯yW` ti a` ~Jo±j ¦ t ` hrlA¦oih u ~1jb 4b ! ti {ª« u ~ ti zl t u`pbk s s t t` { } u oi` {'jm~{`7n¯yW` ti a` ~Jo±j ¦z¯j ~ u ~ j " j j jm ~ª© {ª« ~4j j j ~é© Nl t `bzb h ^Au h o ^ `p¯j ~ ~yW` t } ` ~Jorh u z` t ~ u ~ u yAo a `7{N` t h u ~ uNt
(114)
Documents relatifs