Adaptive wall treatment for a second order turbulence model in an industrial context

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model in an industrial context

Jean-François Wald

To cite this version:

Jean-François Wald. Adaptive wall treatment for a second order turbulence model in an industrial context. Fluids mechanics [physics.class-ph]. Université de Pau et des Pays de l’Adour, 2016. English. �tel-01474170�

ÉCOLE DOCTORALE SEA

T H È S E

pour obtenir le titre de

Docteur

de l’Université de Pau et des Pays de l’Adour

Mention : Mécanique des Fluides

Présentée et soutenue par

Jean-François Wald

Lois de paroi adaptatives pour un

modèle de fermeture du second ordre

dans un contexte industriel

Thèse dirigée par Rémi Manceau

soutenue le 10 mai 2016

Jury :

Rapporteurs : _{Pr. Lars Davidson} - Chalmers University of Technology

Pr. Yann Bartosiewicz - Université Catholique de Louvain

Directeur : _{Dr. Rémi Manceau} - Université de Pau et des Pays de l’Adour

Examinateurs : _{Pr. Azeddine Kourta} - Université d’Orléans

Dr. Sofiane Benhamadouche - EDF Lab

Pr. Dominique Laurence - The University of Manchester

Dr. Sylvain Lardeau - CD-Adapco

Remerciements

Je tiens à exprimer mes plus vifs remerciements au Dr. Rémi Manceau qui fut pour moi un directeur de thèse attentif qui a toujours su donner la bonne direction à tous les développements que j’ai mené. Nos nombreuses réunions ainsi que sa relecture méticuleuse de ce manuscrit m’ont aidé à réaliser un travail que je crois précis et rigoureux.

J’adresse également mes remerciements au Dr. David Monfort, chef du groupe I83 qui m’a ouvert les portes du groupe I83 d’ EDF et qui a toujours eu un oeil attentif sur mes travaux.

J’exprime ma plus profonde reconnaissance au Dr. Sofiane Benhamadouche dont le soutien à été sans faille et permanent durant ces trois années parfois difficiles. Sa façon de sentir la turbulence et l’écoulement d’un fluide nous ont bien des fois sortis de longues heures de blocage. Mais ses qualités humaines (dans et en dehors du travail !) m’ont également aidé à prendre du recul sur mes travaux. Sofiane, mille fois merci car ce travail n’aurait pas pu voir le jour sans toi.

Je remercie également tout le groupe I83 qui a rendu cette thèse très agréable et extrême-ment enrichissante. La bonne humeur du groupe ainsi que son enthousiasme ont sans aucun doute contribué aux résultats de cette thèse. Je remercie plus particulièrement l’équipe Saturne pour sa disponibilité et sa réactivité constante, Dominique Laurence pour son expertise dans la modélisation de la turbulence, Richard Howard qui m’a fait profiter de ses lumières pendant les deux années durant lesquelles nous avons partagé notre bureau, mais aussi Romain, Jérôme, Dominique, Dorothée, Isabelle, Christophe et tous ceux que j’oublie mais avec qui j’ai passé de très bon moments durant ces trois années.

Une place particulière va à mes compagnons de galère et amis thésards Cedric, Xavier, Benjamin et Pierre. Pas un pour rattraper l’autre quand il s’agit de décompresser en salle de pause mais dont le soutien a été indéfectible et permanent ! Nos nombreuses discussions autour du café me manquent déjà ! Un remerciement particulier pour Pierre, dont l’énergie a parfois été salvatrice et qui peut être sans s’en douter m’a toujours pousser à me dépasser (oui sans toi je n’aurais pas eu le courage de me mettre à TikZ !).

Mes pensées vont également à ma famille pour qui les fluides et la turbulence sonnent plus comme une science obscure mais qui m’ont soutenu et m’ont permis de ne jamais dévier de mon objectif final. J’adresse un remerciement particulier à ma mère, ma grand-mère, ma vieille tante Claire et mon oncle Joe qui ont relu ces 200 pages et à qui le monde paraissait bien plus turbulent après la lecture.

Je n’oublie évidemment pas mes amis de la FGC qui ont toujours été là pour moi dans les bons comme les mauvais moments. Je n’énumérerais pas toutes nos péripéties durant ces trois années mais Franck, Lucas, Sylvain je vous remercie car sans vous je n’en aurais pas vu le bout ! Enfin, les mots les plus simples étant les plus forts je remercie Aurore pour son soutien sans faille et son enthousiasme permanent à l’égard de mes travaux. Son intelligence, sa tendresse et son sens critique m’ont guidé chaque jour et m’ont aussi montré qu’il était parfois nécessaire de prendre un peu de recul sur les formules mathématiques.

1 Introduction générale 1

2 Bibliograhie - Modélisation RANS des écoulements 9

2.1 Modélisation statistique - Opérateur de Reynolds . . . 9

2.2 Modélisation statistique des équations de Navier-Stokes . . . 10

2.3 Modélisation du premier ordre . . . 11

2.3.1 Modèles algébriques . . . 11

2.3.2 Modèles à deux équations de transport . . . 12

2.4 Modélisation du second ordre . . . 16

2.4.1 Modélisations des corrélations inconnues dans l’équation de transport des tensions de Reynolds . . . 17

2.4.2 Physique de proche paroi et pondération elliptique . . . 19

2.5 Modèles de paroi . . . 21

2.5.1 Comportement « universel » en proche paroi. . . 21

2.5.2 Sortie de l’équilibre. . . 27

2.5.3 Lois « unifiées ». . . 30

2.5.4 Lois de paroi . . . 32

2.5.5 Lois de paroi adaptatives . . . 48

2.6 Conclusion du chapitre . . . 58

3 Stratégie et développement 61 3.1 Motivations et Objectifs . . . 61

3.2 Lois de paroi algébriques AAWF . . . 62

3.2.1 Loi de paroi pour la vitesse . . . 62

3.2.2 Loi de paroi pour le paramètre α . . . 77

3.2.3 Loi de paroi pour le taux de dissipation ε . . . 78

3.2.4 Loi de paroi pourk et détermination du frottement à la paroi . . . 78

3.2.5 Lois de paroi pour les tensions de Reynolds . . . 83

3.2.6 Méthode d’implémentation . . . 91

3.2.7 Une alternative au modèle algébrique. . . 93

3.3 Lois de paroi numériques ANWF . . . 94

3.3.1 Stratégie. . . 94

3.3.2 Équations de proche paroi . . . 96

3.3.3 Termes convectifs et vitesse normale . . . 97

3.3.4 Conditions aux limites de sous-mailles . . . 100

3.3.5 Limitations . . . 100

3.3.6 Résumé . . . 100

3.4 Validation élémentaire . . . 103

3.4.1 Canal pleinement développé . . . 103

3.5 Conclusion du chapitre . . . 119

4 Applications à des configurations académiques 121 4.1 Jet impactant axisymétrique. . . 121

4.1.1 Description du cas . . . 121

4.1.2 Résultats en Bas-Reynolds . . . 123

4.1.3 Résultats en Haut Reynolds . . . 127

4.1.4 Raffinement localisé . . . 137

4.1.5 Convergence en maillage . . . 139

4.1.6 Conclusion sur le cas du jet impactant . . . 143

4.2 Marche descendante . . . 144 4.2.1 Description du cas . . . 144 4.2.2 Résultats en Bas-Reynolds . . . 144 4.2.3 Résultats en Haut-Reynolds . . . 148 4.2.4 Raffinement localisé . . . 153 4.3 Conclusion du chapitre . . . 156

5 Cas industriel : débitmètre à diaphragme 157 5.1 Description du cas . . . 157

5.2 Résultats en Bas-Reynolds . . . 159

5.3 Résultats en Haut Reynolds . . . 162

5.4 Raffinement localisé . . . 171

5.5 Convergence . . . 173

5.6 Conclusion sur le cas du diaphragme . . . 174

6 Conclusions et perspectives 177 A Loi de paroi pour la température 179 B Formulation de l’EB-RSM 181 C Introduction de la contrainte de réalisabilité dans l’EB-RSM 183 D Présentation de Code_Saturne 187 E Publications 191 E.1 Adaptive Wall Treatment for the Elliptic Blending Reynolds Stress Model . . . . 191

E.2 Adaptive Wall Treatment for the Elliptic Blending Reynolds Stress Model . . . . 200

Introduction générale

Préambule

La turbulence au sein du mouvement d’un fluide est un phénomène physique très facile à observer par tout un chacun, et omniprésent au quotidien : l’écoulement torrentiel de l’eau sous un pont, la fumée s’échappant lentement d’une cigarette ou le simple fait de remuer son café pour le refroidir. C’est Léonard de Vinci qui, déjà au 16eme siècle, en fit les premières observations scientifiques et qui le premier utilisa le terme turbolenza (du latin turba, la foule) pour caractériser cet état désordonné d’un fluide en mouvement. A juste titre, car c’est bien le caractère turbulent, chaotique et imprévisible des écoulements des fluides qui rend en partie impossible la prédiction du temps qu’il fera dans un mois (voire dans quatre à cinq jours).

Ces phénomènes sont très bien décrits par les célèbres équations différentielles de Navier-Stokes, qui traduisent le principe fondamental de la dynamique de Newton au travers de la juste identification des forces s’exerçant sur un fluide Newtonien au cours de son mouvement. Ces équations laissent encore aujourd’hui perplexes physiciens et mathématiciens (l’existence et l’unicité mathématique de solutions à ces équations font toujours partie des problèmes « à un million de dollars » non résolus du célèbre Institut Clay de mathématiques1), et ce malgré d’innombrables expériences et observations, qui en font un modèle fiable et reconnu. Malgré tout, des théories de la turbulence ont vu le jour, la plus reconnue étant celle de Kolmogorov (en 1941, soit plus de 400 ans après Léonard de Vinci) : un mouvement fluide au sein duquel coexistent, sur une très large gamme d’échelles, des tourbillons. Les plus grosses structures tourbillonnaires sont instables et celles-ci peuvent éventuellement se rompre et donner des tourbillons plus petits, transférant ainsi de l’énergie des grandes échelles vers les plus petites : c’est la cascade d’énergie de Kolmogorov.

Les écoulements turbulents interviennent très largement dans l’industrie. Dans certains cas, on cherche à exploiter la turbulence, comme par exemple pour améliorer des procédés de mélange ou de refroidissement. Dans d’autres cas, on cherche plutôt à la contrôler voire la réduire, comme par exemple pour diminuer les nuisances sonores qu’elle génère (décollage d’un avion). Dans la grande majorité des cas, on souhaite simplement comprendre la turbulence pour analyser et prendre en compte les sollicitations mécaniques qu’elle engendre. Mais dans tous les cas, il est extrêmement important pour l’industriel de se doter d’outils lui permettant de comprendre la turbulence des situations qu’il rencontre.

L’une des voies possibles est le recours à l’expérimentation : on reproduit, le plus souvent à échelle réduite et de manière simplifiée, les situations d’intérêt de manière à visualiser la

Figure 1.1 – Demi-cuve de réacteur à l’échelle 1/2 A gauche, a) Maquette expérimentale Hybiscus II. A droite, b) Calcul avec le code Neptune_CFD d’une injection de sécurité dans une branche partiellement dénoyée de la maquette Hybiscus II. Propriété de EDF. Extrait de la plaquette MFEE.2

topologie de l’écoulement et à effectuer des mesures. Au sein de la division Recherche et Déve-loppement d’EDF, cela se traduit par exemple par la simulation à échelle réduite de la rupture d’un barrage pour la sûreté des installations hydro-électriques, ou encore par la visualisation des écoulements dans la maquette expérimentale d’un Réacteur nucléaire à Eau Pressurisée (visible sur la figure (1.1a), maquette Hybiscus II, demi-cuve de réacteur à l’échelle 1/2 sur le site de Chatou).

Mais dès lors que l’on cherche à réaliser des études systématiques et paramétriques sur des configurations industrielles ou encore que l’on veuille reproduire des configurations acciden-telles pour la sûreté, il devient difficile de réaliser des expériences pour toutes les situations rencontrées. A ce titre, la simulation numérique des écoulements fait l’objet depuis l’avènement de calculateurs puissants d’un fort engouement (figure (1.1b), présentant une simulation de la même configuration que la maquette expérimentale). En effet, l’intégration numérique des équations de Navier-Stokes permet d’observer le comportement d’un fluide dans ses moindres détails, tant spatiaux que temporels. Cependant, dès lors que l’écoulement devient turbulent, le spectre d’échelles à résoudre se répartit continûment sur une gamme tellement large que les ressources informatiques nécessaires aux calculs sont encore aujourd’hui inaccessibles pour un calcul industriel. On parle dans ce cas de simulations numériques directes (DNS3). A titre d’exemple, si l’ensemble du super calculateur Tianhe-24 (numéro 1 du top 500 mondial en novembre 2015) était utilisé, seule une simulation directe d’une voiture roulant à 3 km/h serait possible : on est bien loin de la plage de fonctionnement industrielle. Malgré quelques extrapolations comme celles de Spalart [Spalart 2000] qui entrevoit une utilisation industrielle de la DNS d’ici 2080, il est impossible de dire aujourd’hui avec certitude si la simulation numérique directe des écoulements turbulents sera un jour en adéquation avec les besoins et les ressources industriels.

2. http://chercheurs.edf.com/organisation. 3. Direct Numerical Simulation.

Les ingénieurs doivent-ils alors attendre l’avènement de la DNS pour espérer réaliser des simulations numériques ? Il est évident que non. Deux axes de recherches sont développés dans ce sens au sein de la division Recherche et Développement d’EDF.

Le premier exploite les possibilités et la richesse infinie de la Simulation Numérique Di-recte pour élargir les connaissances de l’industriel sur la physique régissant la turbulence et les contraintes qu’elle fait naître proche des parois. On utilise alors des géométries simplifiées et on se place à des nombres de Reynolds bien plus faibles que ceux rencontrés en réalité. Ceci permet de mieux comprendre les enjeux liés à un phénomène bien précis. D’importants moyens informa-tiques sont ainsi disponibles au sein d’EDF et exploités dans ce sens : la machine Zumbrota (IBM BlueGene/Q) est par exemple équipée de 65536 cœurs et figurait en novembre 2015 à la121me

position du top 500 mondial5. Ainsi, les travaux de Cedric Flageul [Flageul 2015] s’inscrivent par exemple dans une logique de compréhension à l’aide de calculs DNS de phénomènes tels que celui du choc froid (injection d’eau froide dans une cuve de réacteur chaude en cas d’incident) où la cuve en métal est soumise à de fortes contraintes thermiques et mécaniques. Comprendre ces phénomènes, c’est pouvoir mieux les prédire, et mieux les prédire c’est, par exemple, étendre la durée de vie d’une tranche en centrale.

Le second axe de recherche exploite l’alternative bien plus ancienne de la modélisation de la turbulence et offre des possibilités très vastes. Cette approche consiste à ne résoudre numériquement qu’une « partie » du contenu spectral d’un écoulement turbulent. Concrètement, on va éviter de résoudre les structures trop petites (les très petits tourbillons) et ainsi rendre l’intégration numérique des équations de Navier-Stokes accessible aux impératifs industriels de temps et de coût. Le problème est que la partie non résolue du spectre impose à la partie résolue des contraintes turbulentes, s’ajoutant aux contraintes dynamiques, qu’il est impératif de prendre en compte pour espérer intégrer les équations. La modélisation de ces contraintes et leur expression en fonction de la partie résolue est l’objectif de la modélisation de la turbulence. Les travaux de Frédéric Dehoux [Dehoux 2012] s’attachent par exemple à développer une modélisation avancée de type RANS des flux thermiques turbulents pour une meilleure prédiction des contraintes turbulentes lors de simulations industrielles.

En réalité, simulation directe et modélisation sont deux approches qui sont, de facto, indis-sociables l’une de l’autre et évoluent en symbiose : des calculs DNS sont indispensables à la validation des modèles de turbulence, qui eux-mêmes sont indispensables à l’industriel qu’est EDF.

Contexte scientifique et industriel

Il existe aujourd’hui trois grandes stratégies de modélisation de la turbulence. Chacune de ces approches propose une résolution plus ou moins partielle du contenu spectral d’un écoulement.

Simulation des Grandes Echelles (LES6)

Cette approche vise à ne résoudre que les plus grandes structures tourbillonnaires de l’écou-lement : seule une partie du spectre d’énergie est résolue. Cette description de l’écoul’écou-lement turbulent est très riche car elle permet d’avoir accès à une vision instationnaire de l’écoulement. La partie non résolue de l’écoulement (les petits tourbillons) doit ainsi être modélisée. Ceci per-met d’utiliser des maillages plus grossiers pour les calculs et ainsi perper-met l’étude de géométries plus complexes. Cette conclusion est cependant à nuancer en proche paroi, où la résolution néces-saire à un calcul LES est très proche de celle nécesnéces-saire à un calcul DNS. Malgré une technologie maîtrisée, très bien documentée, et un contenu extrêmement riche, cette approche est encore aujourd’hui difficilement utilisée dans l’industrie pour des raisons de coût de calcul.

Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS)

Une autre approche est celle des modélisations statistiques de l’écoulement, appelées modèles RANS. Cette approche est fondée sur les travaux de Osborne Reynolds dans lesquels les variables de l’écoulement comme la vitesse et la pression sont considérées comme des variables aléatoires. L’approche RANS vise à modéliser le comportement statistique des variables : c’est-à-dire le comportement qu’on obtiendrait si l’on répétait un grand nombre de fois l’expérience d’un écoulement turbulent et qu’en tout point du temps et de l’espace on en faisait une moyenne d’ensemble. Dans ce cas, aucune partie du spectre d’énergie turbulente n’est résolue.

a) DNS b) LES c) Hybride d) RANS

Figure 1.2 – Représentation schématique du signal turbulent résolu par différentes méthodes et spectre résolu correspondant. Extrait de [Manceau 2015a].

Méthode hybrides

Une troisième approche vise alors à proposer une catégorie de modèle décrivant la turbulence tantôt de manière statistique (aucune échelle du spectre n’est résolue, seul le mouvement moyen est connu) tantôt avec une vision « grandes échelles ». Ces méthodes sont en plein essor mais

souffrent d’un certain manque de maturité de par le manque de formalisme sur lequel elles reposent.

Motivations

L’approche RANS est largement la plus utilisée et la plus mature pour une utilisation industrielle. Cette thèse CIFRE, réalisée dans le cadre d’un co-encadrement entre le Labora-toire de Mathématiques et leurs Applications (LMA) de l’Université de Pau et des Pays de l’Adour et de la division Recherche et Développement d’EDF, s’inscrit précisément dans l’axe de recherche visant à améliorer la prédiction des modèles de turbulence de type RANS et s’appuie sur le code de calcul Code_Saturne7 développé à EDF depuis 1998 [Archambeau 2004]. Idéalement, on voudrait un modèle RANS universel, valable pour n’importe quel type d’écou-lement, et permettant de décrire avec une précision parfaite l’écoulement moyen d’un phénomène turbulent. Malheureusement, un tel modèle n’existe pas et il existe un grand nombre de modèles différents dans la littérature, chacun possédant ses limites et ses forces. Un certain nombre de modèles seront détaillés dans le chapitre suivant.

Figure 1.3 – Maillages à l’aval de deux grilles différentes dans un assemblage 5× 5

Mais plus encore que les spécificités physiques liées à chaque modèle (un modèle k-ε aura tendance à surestimer l’énergie turbulente au niveau d’un point d’impact, le modèle de Spalart-Allmaras donne de très bons résultats en aérodynamique des écoulements attachés,...), les mo-dèles imposent de drastiques contraintes de maillage. Ainsi l’ingénieur précautionneux désirant exploiter les possibilités d’un certain modèle devra veiller à ce que le maillage qu’il utilise soit en adéquation avec les prérequis de ce modèle.

Il existe ainsi deux grandes classes de modèles, qui seront détaillées dans le chapitre suivant. La première classe de modèles dits Haut-Reynolds impose une taille de maille proche des parois suffisamment large de manière à ce que les premiers points de calcul soient situés dans une zone pleinement turbulente (diffusion visqueuse négligeable devant la diffusion turbulente) et

7. Code_Saturne est un code de calcul utilisant une méthode de type volumes finis colocalisés pour résoudre numériquement les équations de Navier-Stokes sur maillages non structurés. Le logiciel est disponible gratuitement sous forme open source (www.code-saturne.org). Un aperçu des méthodes employées par le code est donné en annexe.

s’affranchissent de l’influence de la paroi. La deuxième classe de modèles, dits Bas-Reynolds, nécessite au contraire un maillage très fin près des parois de manière à capter tous les phénomènes dus à la paroi.

Utiliser un maillage grossier avec un modèle Bas-Reynolds ou utiliser un maillage fin avec un modèle de type Haut-Reynolds fait courir le risque à l’ingénieur d’obtenir des résultats non physiques et donc totalement faux, pouvant mener à de mauvaises interprétations sur le compor-tement de l’écoulement turbulent qu’il observe. Il est donc primordial de respecter les contraintes imposées par le modèle.

Figure 1.4 – Distance adimensionnelle à la paroi autour du tube central à travers deux grilles (assemblage combustible5_{× 5).}

Malheureusement, les géométries très com-plexes auxquelles est confronté l’ingénieur l’em-pêchent souvent de maîtriser totalement le pro-cessus de maillage : malgré tout le soin apporté à la réalisation de ce dernier, il est possible que des contraintes géométriques imposent aussi bien des mailles très fines que des mailles très grossières au sein du même maillage. La fi-gure (1.3), représentant les maillages à l’aval de deux grilles successives (grille simple de main-tien à gauche, et grille de mélange à droite) pour un faisceau de tube 5x5, illustre parfai-tement ce problème. Le maillage du faisceau issu de la grille simple est plus fin que celui de la grille de mélange. Le modèle utilisé ici est un modèle Haut-Reynolds et au vu de la figure (1.4), présentant la répartition de la dis-tance adimensionnelle à la paroi8 le long du tube central, on ne se situe plus dans la zone de validité du modèle utilisé.

Beaucoup d’auteurs ont récemment tenté de répondre à cette problématique industrielle en introduisant le concept de lois de paroi adaptatives permettant à un modèle de turbulence de se comporter à souhait comme un modèle Haut-Reynolds ou comme un modèle Bas-Reynolds en fonction du maillage qu’il rencontre. Ces développements ont malheureusement tous été réalisés dans le cadre de modèles de fermetures dits « du premier ordre » et ne permettant pas de reproduire certaines physiques mises en jeu dans le domaine nucléaire.

Objectifs

Cette thèse propose d’explorer différentes possibilités de lois de paroi adaptatives pour un modèle du second ordre disponible au sein de Code_Saturne, et ayant prouvé à plusieurs

re-8. Distance calculée en fonction de la distance physique, adimensionnée par le frottement à la paroi et notée y+_{. On considère généralement que l’on se situe en zone pleinement turbulente si y}+_{> 30.}

prises sa capacité à reproduire des physiques complexes : le modèle EB-RSM (Elliptic Blending Reynolds Stress Model ).

L’objectif est de créer un modèle, du second ordre et basé sur l’EB-RSM, qui donne des résul-tats satisfaisants quel que soit le type de maillage utilisé, en particulier quand ce dernier contient à la fois des cellules dont le centre est à une distance Bas-Reynolds et Haut-Reynolds. L’utilisa-teur du modèle de turbulence aura ainsi moins de contraintes et moins de doutes concernant les régions qui ne respectent pas les critères très strictes normalement imposés par le modèle.

Organisation du manuscrit

Le manuscrit est divisé en quatre grandes parties.

La première partie établit un état de l’art des modèles de lois de paroi disponibles dans la littérature. Au préalable, on aura pris soin de faire un bref rappel du concept d’équations moyennées au sens de Reynolds ainsi que de certains modèles de turbulence largement utilisés dans l’industrie. On verra que le concept de loi de paroi est relativement ancien mais qu’il n’existe pas de littérature très riche concernant les modèles de fermeture du second ordre.

La seconde partie, cœur de ce manuscrit, s’attache à présenter les différentes approches développées dans le cadre de cette thèse. On détaillera la modélisation et les lois de paroi associées à chaque variable du modèle considéré, ainsi que les motivations ayant conduit à leurs élaborations. Chaque approche sera ensuite testée et validée sur le cas d’un canal turbulent pleinement développé pour différents nombres de Reynolds turbulents. Une première vérification de la robustesse de ces lois de paroi adaptatives sera par ailleurs proposée avec la simulation d’un canal pleinement développé sur maillage déformé (taille variable des mailles de proche paroi).

Dans une troisième partie, on s’intéressera aux résultats de différentes approches sur des cas mettant en jeu des phénomènes physiques plus complexes tels que ceux de recirculation ou d’impact. On évaluera chaque approche par rapport aux méthodes existantes avant d’en dégager les apports éventuels. On verra ainsi que la flexibilité permise par les méthodes décrites dans cette thèse donne des résultats très prometteurs pour une future utilisation à visée industrielle. Enfin, dans une dernière partie, on propose de mettre en avant la force des méthodes dé-ployées sur un cas récent directement issu de l’industrie : un dispositif de mesure de débit par diaphragme.

Bibliograhie - Modélisation RANS des

écoulements

Sommaire

2.1 Modélisation statistique - Opérateur de Reynolds . . . 9

2.2 Modélisation statistique des équations de Navier-Stokes . . . 10

2.3 Modélisation du premier ordre . . . 11

2.3.1 Modèles algébriques . . . 11

2.3.2 Modèles à deux équations de transport. . . 12

2.4 Modélisation du second ordre . . . 16

2.4.1 Modélisations des corrélations inconnues dans l’équation de transport des tensions de Reynolds . . . 17

2.4.2 Physique de proche paroi et pondération elliptique . . . 19

2.5 Modèles de paroi. . . 21

2.5.1 Comportement « universel » en proche paroi . . . 21

2.5.2 Sortie de l’équilibre. . . 27

2.5.3 Lois « unifiées » . . . 30

2.5.4 Lois de paroi . . . 32

2.5.5 Lois de paroi adaptatives . . . 48

2.6 Conclusion du chapitre . . . 58

Ce chapitre est dédié à la présentation de la modélisation statistique de la turbulence. Une présentation brève mais non exhaustive des modèles de turbulence ainsi que de leur construction est donnée. Une attention particulière est portée à l’Elliptic Blending Reynolds Stress Model car c’est ce modèle qui a fait l’objet des principaux développements dans la présente thèse. Enfin, la modélisation de la proche paroi via des lois de parois est abordée. Une synthèse des différentes approches présentes dans la littérature est présentée.

2.1

Modélisation statistique - Opérateur de Reynolds

La modélisation statistique de la turbulence - ou modélisation RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) - traite la turbulence comme un phénomène chaotique déterministe. Les variables étant considérées comme des variables aléatoires, cette modélisation est conçue pour produire des solutions numériques du mouvement moyen d’un fluide, au sens de la moyenne d’ensemble.

Chaque variable (vitesse, pression, température...) est ainsi décomposée en la somme d’une partie moyenne et d’une partie fluctuante :

A∗= A + a (2.1)

La moyenne de Reynolds est définie comme la moyenne d’ensemble :

A = A∗_{= lim} N→∞ 1 N N X n=1 An ! . (2.2)

En d’autres termes, cet opérateur sert à déterminer la moyenne d’une expérience donnée, sur un grand nombre de réalisations. Les équations de Navier-Stokes sont certes déterministes mais leur caractère fortement non linéaire leur confère une forte sensibilité aux conditions initiales (comportement chaotique). En pratique, l’hypothèse d’ergodicité permet de dire que, pour un écoulement statistiquement stationnaire, la moyenne d’ensemble est égale à la moyenne tempo-relle :

A(x, y, z, t) = A(x, y, z) = lim

T→∞  1 T Z T 0 A(x, y, z, t)dt  . (2.3)

2.2

Modélisation statistique des équations de Navier-Stokes

Le mouvement instantané d’un fluide newtonien incompressible et n’étant soumis à aucune force volumique extérieure, est régit, pour la i-ème composante du vecteur vitesseU∗(x, y, z, t), par l’équation de quantité de mouvement :

∂U_i∗ ∂t + U ∗ j ∂U_i∗ ∂xj =−1 ρ ∂P∗ ∂xi + ν ∂ 2_U∗ i ∂xj∂xj (2.4)

Cette équation est associée à celle de la conservation de la masse, aussi appelée équation de continuité, qui assure l’incompressibilité :

∇ · U∗ = ∂U

∗ i

∂xi

= 0 (2.5)

L’application de l’opérateur de Reynolds à l’équation (2.4) permet d’obtenir les équations du champs moyen : ∂Ui ∂t + Uj ∂Ui ∂xj =₋1 ρ ∂P ∂xi + ν ∂ 2_U i ∂xj∂xj − ∂Rij ∂xj (2.6)

oùRij = uiuj définit le tenseur de Reynolds. L’équation (2.6) diffère des équations instantanées

par la seule introduction de la divergence de ce tenseur. Il est donc très important car c’est lui qui porte toutes les informations sur la turbulence de l’écoulement. L’objectif de tous les modèles RANS est de déterminer les composantes du tenseur de Reynolds, ou tensions de Reynolds pour déterminer la pression et la vitesse moyenne.

En outre, la propriété d’incompressibilité des équations locales instantanées s’applique aussi en moyenne :

∇ · U = ∂U_∂xi

i

En pratique, la modélisation RANS des écoulements turbulents comprend deux niveaux de modélisation. Soit on utilise des relations algébriques pour modéliser directement le tenseur de Reynolds(Rij) présent dans l’équation (2.6) (modèle à loi de comportement, ou Eddy Viscosity

Models), soit on résout des équations de transport sur les tensions de Reynolds et on modélise les termes inconnus apparaissant dans ces équations (voir paragraphe 2.4, modèles du second ordre, ou Reynolds Stress Models).

2.3

Modélisation du premier ordre

La paternité des modèles à loi de comportement revient à Boussinesq, dont l’idée fondamen-tale fut d’affirmer que turbulence et déformation du champ de vitesse moyen sont directement liées. De la même façon qu’une loi de comportement lie contrainte et déformation en méca-nique, Boussinesq proposa ainsi une loi de comportement linéaire faisant intervenir une viscosité turbulente et reliant contraintes de Reynolds et déformations du champs moyen :

Rij =−2νtSij + 2 3kδij (2.8) avec Sij = 1 2  ∂Ui ∂xj +∂Uj ∂xi  et k = 1 2Rii (2.9)

Une généralisation de l’hypothèse de Boussinesq a été apportée avec la théorie des bases d’in-tégrités [Pope 1975]. Elle permet de relier les tensions de Reynolds aux puissances successives du tenseur de taux de déformation et de rotation (respectivement S et W ). La loi de Boussi-nesq n’est autre que la troncature linéaire de cette loi générale. Certains modèles utilisent des termes non linéaires supplémentaires issus de la théorie de Pope, mais n’apparaissant pas dans ces travaux, ils ne seront pas détaillés ici.

Il convient de souligner les hypothèses fortes sur lesquelles la loi de comportement de Bous-sinesq est fondée :

— instantanéité : pas d’effet mémoire de la turbulence, la réponse de la turbulence à une variation du champ moyen est instantanée.

— localité : la turbulence n’est influencée que par son très proche voisinage

Tout l’objectif des modèles à loi de comportement est donc le calcul de la viscosité turbulente ainsi que la modélisation de l’énergie turbulente k.

2.3.1 Modèles algébriques

Ces modèles, aussi appelés modèles à 0 équations, ne requièrent aucune résolution d’équations de transports supplémentaires. Dans le modèle de Prandtl, on prescrit la viscosité turbulente avec la relation suivante :

νt= l2     ∂U ∂y     (2.10)

oùl est la longueur de mélange, donnée par exemple dans un canal plan de demi-hauteur h par :

Ce modèle a été amélioré par Van Driest [Driest 1956], puis Cebeci et al. [Cebeci 1974] et enfin Baldwin et Lomax [Baldwin 1978]. Ces modèles ne satisfont cependant pas au principe de com-plétude (aucune connaissance a priori de l’écoulement ne doit être nécessaire au calcul, voir par exemple [Chassaing 2000]), requis pour une modélisation satisfaisante de la turbulence et sont donc en pratique très peu utilisés lors de la simulation de géométries très complexes.

2.3.2 Modèles à deux équations de transport

La viscosité turbulente étant homogène à une longueur au carré sur un temps (νt≡ L2·T−1),

on considère généralement que celle-ci peut s’écrire comme le quotient d’une échelle de longueur l au carré et d’une échelle de temps τ (νt = l2/τ ). On identifie ainsi facilement les valeurs

de l et τ dans la section précédente. Mais d’autres choix sont possibles, dans la mesure où ceux-ci fournissent une viscosité turbulente homogène àL2_T−1_{. Dans le cas des modèles à deux}

équations, deux équations de transport supplémentaires sont résolues de manière à déterminer ces échelles de longueur et de temps.

Le modèle k-ε

Initialement proposé par Launder et Spalding [Launder 1974], ce modèle fait intervenir l’éner-gie cinétique turbulentek ainsi que le taux de dissipation turbulente ε. On peut ainsi construire deux échelles l = k3/2/ε et τ = k/ε (qui sont les échelles de longueur et de temps des gros tourbillons), permettant d’établir :

νt= Cµ

k2

ε (2.12)

L’équation modèle de transport dek est : ∂k ∂t + Uk ∂k ∂xk = P − ε + ∂ ∂xk  ν + νt σk  ∂k ∂xk  (2.13)

Avec pour terme de production :

P = 2νtSijSij (2.14)

L’équation de transport exacte de ε étant trop complexe pour faire l’objet d’une modélisation terme à terme simple, une résolution inspirée de la résolution dek est adoptée : convection,terme source, terme puit, diffusion visqueuse et diffusion turbulente :

∂ε ∂t+ Uk ∂ε ∂xk = Pε− εε+ ∂ ∂xk  ν + νt σε  ∂ε ∂xk  (2.15)

Les termes de production de dissipation et ceux de destruction de dissipation sont supposés reliés àε et k par les relations simples :

Pε= Cε1

ε

kP ; εε= Cε2 ε

kε (2.16)

Les constantes utilisées dans le modèle sont déterminées expérimentalement : Cµ Cε1 Cε2 σk σε

Le système est donc fermé et toutes les contraintes s’obtiennent, pour mémoire, avec la relation de Boussinesq :

Rij =−2νtSij +2

3kδij (2.17)

Le modèle k-ω

C’est Wilcox [Wilcox 1988] qui revint en premier à la vieille idée de Kolmogorov et proposa d’utiliser la fréquence caractéristique des tourbillonsω = ε/k comme seconde échelle. Dans cette approche, on peut alors écrire :

νt=

k

ω (2.18)

Les équations de transports s’écrivent alors : ∂k ∂t + Uk ∂k ∂xk = P_{− β}0kω + ∂ ∂xk  ν + νt σk  ∂k ∂xk  (2.19) ∂ω ∂t + Uk ∂ω ∂xk = αS2_{− βω}2+ ∂ ∂xk  ν + νt σω  ∂ω ∂xk  (2.20) où S est défini par la relation :

S =p2SijSij, (2.21)

et les constantes sont données dans le tableau suivant :

β0 α β σk σω

0.09 5/9 3/40 2 2

Le modèle k-ω SST

Menter [Menter 1994] proposa par la suite un modèle passant d’une formulation de typek-ω en proche paroi, évitant ainsi les écueils liés à l’utilisation d’un modèle de type k-ε dans cette zone, à une formulation de type k-ε en zone pleinement turbulente. En effet, le modèle k-ω montre une grande sensibilité aux conditions aux limites mais permet une bonne résolution des couches limites turbulentes. La viscosité turbulente s’obtient dans ce modèle par :

νt=

a1k

max(a1ω, SF2)

(2.22)

avec la fonction F2 définie par la relation :

F2 = tanhΦ22  , Φ2 = max 2√k β∗_ωy, 500ν y2_ω ! (2.23)

Les équations de transport pourk et ε s’écrivent : ∂k ∂t + Uk ∂k ∂xk = Pk− β∗kω + ∂ ∂xk  (ν + σkνt) ∂k ∂xk  (2.24) ∂ω ∂t + Uk ∂ω ∂xk = αS2_{− βω}2+ ∂ ∂xk  (ν + σωνt) ∂ω ∂xk  + 2(1_{− F}1)σω2 1 ω ∂k ∂xk ∂ω ∂xk (2.25)

La production est donnée par l’expression :

Pk= min (P, 10β∗kω) (2.26)

Les constantes de fermeture sont d’une part :

α1 β1 σk1 σω1

5/9 3/40 0.85 0.5 d’autre part

α2 β2 σk2 σω2

0.44 0.0828 1 0.856

Pour chacune de ces constantes, la valeur finale utilisée dans le modèle est calculée de la façon suivante : φ = φ1F1+ φ2(1− F1) (2.27) où l’on a F1= tanh  Φ4₁ , Φ1= min " max √ k β∗_ωy, 500ν y2_ω ! , 4σω2k CDkωy2 # (2.28) CDkω = max  2ρσω2 1 ω ∂k ∂xi ∂ω ∂xi , 10−10  (2.29) Enfin, les constantes propres au modèle SST sont :

β∗ a1

0.09 0.31

Le modèle ζ-f

Ce modèle, proposé par Hanjalic et al. [Hanjalic 2004] (on pourra également se reporter aux travaux de Laurence et al. [Laurence 2005]), est issu de la famille des modèles à relaxation elliptique (voir section suivante, sur la modélisation du second ordre). Une troisième équation de transport est résolue pour une variable ζ. La principale force de ces approches est qu’elle vient corriger le mauvais comportement de proche paroi du modèle k-ε sans aucune utilisation de fonction d’amortissement ad hoc.

νt= CµζkT (2.30)

Les 3 équations de transport résolues en plus des vitesses sont les suivantes : ∂k ∂t + Uj ∂k ∂xj = P − ε + ∂ ∂xj  ν + νt σk  ∂k ∂xj  (2.31) ∂ε ∂t + Uj ∂ε ∂xj = Cε1Pk− Cε2ε T + ∂ ∂xj  ν + νt σε  ∂ε ∂xj  (2.32) ∂ζ ∂t + Uj ∂ζ ∂xj = f −ζ kPk+ ∂ ∂xj  ν + νt σζ  ∂ζ ∂xj  (2.33)

Une équation elliptique est résolue pour la variable f : L2_∇2f_{− f =} 1 T  C1− 1 + C20 Pk ε   ζ₋2 3  (2.34)

Celle-ci sert en réalité à mimer le comportement de la corrélation vitesse gradient de pression (voir la section2.4.2.1) pour plus de détails). Les échelles de longueur et de temps sont données par les relations :

T = max " min k ε, 0.6 √ 6Cµ|S|ζ ! , CTν ε 1/2# (2.35) L = CL max " min k 3/2 ε , k1/2 √ 6Cµ|S|ζ ! , Cη  ν3 ε 1/4# (2.36)

Enfin, les constantes de fermeture sont :

Cµ σk σε σζ Cε1 Cε2 C1 C20 CT CL Cη

0.22 1 1.3 1.2 1.4(1 + 0.012/ζ) 1.9 1.4 0.65 6 0.36 85

Le modèle Bl-v2_-k

Conceptuellement proche du modèle ζ-f , le modèle Bl-v2_{-k a été développé par Billard et}

al. [Billard 2012]. En lieu et place d’une équation sur la variableζ, une équation sur une variable φ est résolue. L’équation déterminant la viscosité turbulente est alors :

νt= CµφkT (2.37)

Les 3 équations de transport résolues en plus des vitesses sont les suivantes : ∂k ∂t + Uj ∂k ∂xj = P− ε − E + ∂ ∂xj  ν 2 + νt σk  ∂k ∂xj  (2.38) ∂ε ∂t + Uj ∂ε ∂xj = Cε1P − Cε2∗ ε T + ∂ ∂xj  ν 2 + νt σε  ∂ε ∂xj  (2.39) ∂φ ∂t + Uj ∂φ ∂xj = f −φ kP + 2 k νt σk ∂φ ∂xj ∂k ∂xj + ∂ ∂xj  ν 2 + νt σφ  ∂φ ∂xj  (2.40) Le termeE, originellement introduit par Jones et Launder [Jones 1972] dans l’équation du taux de dissipationε, est défini par :

E = Cε3(1− α3) k ε2ννt ∂Ui ∂xk∂xj ∂Ui ∂xk∂xj (2.41)

L’originalité du modèle vient de la pondération elliptique permettant le calcul de f :

f = (1_{− α}3)fw+ α3fh (2.42)

où α est solution de l’équation elliptique :

et par ailleurs : fw =− ε 2 φ k et fh=− 1 T  C1− 1 + C2 P ε   φ₋2 3  (2.44) Le lecteur trouvera de plus amples détails sur la pondération elliptique à la section 2.4.2.1. Le coefficientC_ε2∗ est donné par la relation :

C_ε2∗ = Cε2+ α3(Cε4− Cε2) tanh   ∂j(νt/σ_εk∂jk)     3/2! (2.45)

Les échelles de longueur et de temps sont elles données par les relations :

T = r k2 ε2 + CT2 ν ε (2.46) L = CL s k3 ε2 + Cη2 ν3/2 ε1/2 (2.47)

Enfin, les coefficients de fermeture utilisés dans le modèle Bl-v2_{-k sont donnés dans le tableau}

suivant :

Cµ σk σε σφ Cε1 Cε2 Cε3 Cε4 C1 C2 CT CL Cη

0.22 1 1.5 1 1.83 1.9 2.3 0.4 1.4 0.65 4 0.164 75

2.4

Modélisation du second ordre

Un moyen de diminuer le niveau d’approximation par rapport aux modèles du premier ordre est de directement résoudre une équation de transport sur les tensions de Reynolds Rij = uiuj.

Par soustraction des équations de Navier-Stokes instantanées (2.4) et moyennées (2.6), on aboutit à une équation de transport sur les vitesses fluctuantes :

∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj + uj ∂Ui ∂xj + Uj ∂ui ∂xj − ∂uiuj ∂xj =₋1 ρ ∂p ∂xi + ν ∂ 2_u i ∂xj∂xj (2.48)

En remarquant alors que :

∂uiuj ∂t = ∂Rij ∂t = ui ∂uj ∂t + uj ∂ui ∂t (2.49)

on peut déduire de (2.48) les équations de transport du tenseur de Reynolds : ∂Rij

∂t + Uk ∂Rij

∂xk

= Pij + φ∗ij− εij + Dij (2.50)

où Pij, φ∗ij, εij et Dij représentent respectivement les termes de production, de corrélation

vitesse-gradient de pression, de dissipation et de diffusion. Les expressions mathématiques de ces différents termes sont données ci-dessous :

Pij =−  uiuk ∂Uj xk + ujuk ∂Ui xk  (2.51)

φ∗_ij =₋1 ρ  ui ∂p xj + uj ∂p xi  (2.52) εij = 2ν ∂ui ∂xk ∂uj ∂xk (2.53) Finalement, la diffusion se décompose en une diffusion visqueuse et une diffusion turbulente :

Dij = ν ∂2_u iuj ∂xk∂xk | {z } Dν ij −∂uiujuk ∂xk | {z } DT ij (2.54)

On remarque que l’équation (2.50) fait intervenir des corrélations inconnues d’ordre supé-rieur (corrélation triple dansDT

ij par exemple). Ceci met en évidence un phénomène de cascade

d’équations : le terme convectif non linéaire dans l’équation des corrélations d’ordre n génère des corrélations d’ordren + 1. Ainsi, quel que soit l’ordre des équations obtenues, une fermeture est nécessaire via, a minima, une modélisation des corrélations d’ordre supérieure.

La différence fondamentale entre les modèles du second ordre et ceux du premier ordre se situe, en particulier, au niveau du terme de production Pij. En effet, ce terme est suffisant

pour expliquer de nombreux phénomènes et ne requiert ici aucune modélisation. Par ailleurs, la résolution d’équations de transport permet de s’affranchir de l’hypothèse d’instantanéité : le modèle est capable de reproduire l’effet mémoire de la turbulence.

2.4.1 Modélisations des corrélations inconnues dans l’équation de transport des tensions de Reynolds

2.4.1.1 Dissipation

Le tenseur du taux de dissipation εij représente la dissipation des contraintes de Reynolds

par la viscosité. On le modélise grâce à sa demi-trace, le taux de dissipation d’énergie ciné-tique turbulente, pour laquelle on résout une équation de transport calquée sur celle de k (voir paragraphe 2.3). Les composantes du tenseur s’obtiennent ensuite par une relation algébrique isotrope :

εij =

2

3εδij (2.55)

2.4.1.2 Terme de pression

Le terme de pression, ou encore de corrélation vitesse-gradient de pression a une fonction à la fois diffusive et redistributive. On peut en effet le décomposer ainsi :

φ∗_ij =₋1 ρ ∂ ∂xk (uipδjk+ ujpδik) | {z } D_ijp +1 ρp  ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi  | {z } Φij (2.56)

Dp_ij est appelé terme de diffusion par la pression. Il est souvent directement associé à la mo-délisation des corrélations triples du fait de son caractère diffusif. Φij constitue, lui, le terme

de corrélation pression-déformation ou terme de redistribution. Chou [Chou 1945] montra que le terme de redistribution peut se décomposer en la somme d’un terme « lent » noté Φ1_{, non}

directement lié au champ de vitesse moyen, et d’un terme « rapide » noté Φ2 dépendant expli-citement du gradient de vitesse moyen et répondant donc instantanément à tout changement de ce dernier. De nombreux modèles ont été proposés pour ces termes, loin de toute paroi, et suivant les hypothèses suivantes :

— quasi-homogénéité : les gradients de vitesse moyens varient faiblement — localité : le terme de redistribution ne dépend que de grandeurs locales

Modélisation du terme lent

Rotta [Rotta 1951] proposa le modèle suivant pour le terme lent :

Φ1=_−C1εb (2.57)

où b est le tenseur d’anisotropie défini par

bij =

Rij

2k − 1

3δij (2.58)

Le coefficientC1 est calibré de manière à reproduire correctement le retour à l’isotropie, et vaut

3.4.

Modélisation du terme rapide

Speziale et al. [Speziale 1991] ont proposé le modèle suivant pour la modélisation du terme rapide, appelé modèle SSG :

Φ2 = _−C1∗P b +C3− C3∗ p {b2_}_kS + C4k  bS + Sb−2 3{bS}I  + C5k (Wb− bW) (2.59)

où P n’est plus la production modélisée mais la demi-trace du tenseur définie par l’équa-tion (2.51). Les constantes pour le modèle sont les suivantes :

C₁∗ C3 C3∗ C4 C5

1.8 0.8 1.3 1.25 0.4

Le modèle SSG est souvent associé à une composante supplémentaire non linéaire dans le terme lent mais on ne le considère pas dans cette thèse.

2.4.1.3 Corrélations triples Le terme DT

ij de l’équation (2.54) représente la divergence des corrélations triples de vitesse

elle-même, on le modélise donc à l’aide d’une diffusion. La plus célèbre d’entre ces modélisations est celle proposée par Daly et Harlow [Daly 1970] :

D_ijT =₋ ∂ ∂xk  Cs k εukul ∂uiuj ∂xl  (2.60)

La valeur de la constante CS est classiquement fixée à 0.22.

2.4.2 Physique de proche paroi et pondération elliptique

De nombreux phénomènes ont lieu en proche paroi tels que le phénomène d’écho de paroi ou l’effet de blocage. Ces effets perturbent fortement l’écoulement et les hypothèses faites lors de l’expression du terme de redistribution (localité, quasi-homogénéité) ne sont plus vraies. Il n’est ainsi pas possible d’appliquer tel quel le modèle SSG en proche paroi. Certains modèles proposent ainsi d’intégrer des fonctions d’amortissement au sein du modèle de manière à prendre en compte les effets de paroi. Mais ces modèles ne rencontrent pas un franc succès et diverses approches se sont succédées pour permettre l’intégration jusqu’à la paroi des modèles du second ordre.

2.4.2.1 La pondération elliptique et l’EB-RSM

Développé par Manceau et Hanjalić [Manceau 2002], le modèle EB-RSM (Elliptic Blending-Reynolds Stress Model ) s’affranchit des hypothèses restrictives ayant abouti au modèle de type SSG tout en simplifiant l’approche « relaxation elliptique » originellement proposée par Dur-bin [Durbin 1993].

Principe

L’idée de l’EB-RSM est d’introduire un coefficient scalaire de pondération α ∈ [0, 1] per-mettant de pondérer, en étant élevé à une certaine puissance p, une grandeur A entre sa valeur pariétale Aw _{et sa valeur homogèneA}h _:

A = (1_{− α}p)Aw+ αpAh (2.61)

α doit ainsi être nul à la paroi et valoir 1 loin de toutes parois. La grandeur A peut représenter le terme de redistribution φij ou encore le terme de dissipation εij. En pratique, de manière à

satisfaire le comportement asymptotique deφij− εij, il a été montré que la puissancep doit être

prise égale à 3 [Manceau 2015b].1 Equation pour α

A partir de la théorie de la relaxation elliptique introduite par Durbin [Durbin 1993], Man-ceau et Hanjalić proposent d’obtenir le coefficientα (unique pour toutes les tensions de Reynolds) en résolvant une équation elliptique :

α_{− L}2_∇2α = 1 (2.62)

1. Une extension de ce modèle aux équations de transport des flux thermiques turbulents montre que pour les termes de redistribution et de dissipation de ces équations, il faut prendre p = 1 [Dehoux 2012].

L’échelle de longueurL apparaissant dans l’équation ci-dessus est une échelle caractéristique de la turbulence représentative des effets de non localité de la pression. Cette échelle de longueur est proportionnelle à l’échelle intégrale de la turbulencek3/2/ε loin des parois mais se comporte comme l’échelle de longueur de Kolmogorov en proche paroi :

L = CLmax k3/2 ε ; Cη ν3/4 ε1/4 ! (2.63) avec CL= 0.161 et Cη = 80.

Terme de redistribution pariétale

De manière à rester consistant avec la théorie de Durbin et à satisfaire les comportements asymptotiques des différentes variables, Manceau et Hanjalić proposent la forme générale sui-vante pour le terme de redistribution pariétal :

φw_ij =−5k ε  uiuknjnk+ ujuknink− 1 2ukulnknl(ninj+ δij)  (2.64)

où nk représente la k-ième composante du vecteur normal à la paroi. Celui-ci peut être défini à

l’aide du coefficient α. En effet, α valant 0 au niveau de la paroi, celle-ci décrit un isocontour pour α. Son gradient est ainsi en chaque point de la paroi orthogonal à celle-ci. On peut donc définir :

n = ∇α

||∇α|| (2.65)

Pour le terme homogène n’importe quel modèle peut convenir mais c’est le modèle SSG qui est adopté par les auteurs (équation (2.59)) :

φh_ij = φSSG_ij (2.66)

C’est également ce choix qui est adopté dans cette thèse.

Dissipation

Le terme de dissipation homogène correspond au modèle isotrope défini par l’équation (2.55) : εh_ij = 2

3εδij (2.67)

Pour le terme de dissipation pariétale, les auteurs font le choix du modèle suivant, initialement proposé par Rotta [Rotta 1951] :

εw_ij = uiuj

k ε (2.68)

L’équation de transport scalaire de la dissipation turbulente ε est modélisée par l’équation de transport suivante : ∂ε ∂t + Uj ∂ε ∂xj = Cε10 P − Cε2ε T + ∂ ∂xk  Cs σε ukulT ∂ε ∂xl  + ν ∂ 2_ε ∂xk∂xk (2.69)

où T est une échelle de temps, similaire dans sa construction à l’échelle de longueur L, définie par : T = max  k ε; CT r ν ε  (2.70) avec CT = 6. Le coefficient Cε10 est défini de la manière suivante :

C_ε10 = Cε1  1 + AP₁(1− α3)P ε  (2.71) et constitue une modification classique du termeCε1visant à augmenter la création de dissipation

en proche paroi2. Les autres coefficients de l’équation (2.69) sont donnés dans le tableau suivant : Cε1 AP1 Cε2 σε Cs

1.44 0.1 1.83 1.15 0.22

Corrélation triple

Le modèle classique de Daly et Harlow est utilisé dans le modèle EB-RSM [Daly 1970], à la différence qu’on introduit l’échelle de temps définie par l’équation (2.70) :

DT_ij =₋ ∂ ∂xk  CsT ukul ∂uiuj ∂xl  (2.72) L’ensemble du modèle EB-RSM utilisé dans le cadre de cette thèse pourra être trouvé en Annexe.

2.5

Modèles de paroi

Les modèles EB-RSM, k-ω-SST ou Bl-v2_{-k décrits dans la section précédente utilisent des}

conditions aux limites naturelles au niveau des parois pour chaque grandeur (vitesse nulle si paroi immobile, énergie cinétique turbulente nulle,...). Pour des raisons physiques ou pour des raisons de coût de calcul, l’ingénieur ne souhaite parfois pas utiliser ces conditions aux limites et souhaite s’affranchir de la résolution de la proche paroi. Un important axe de recherche en modélisation de la turbulence consiste alors à proposer des modèles permettant d’éviter cette résolution.

2.5.1 Comportement « universel » en proche paroi

Dans le cas d’un écoulement entre deux plaques planes, dans la limite de nombres de Rey-nolds suffisamment grands, Von Kármán [Karman 1930] et Prandtl [Prandtl 1930] puis Milli-kan [Millikan 1938] montrent que les différentes grandeurs de l’écoulement suivent un comporte-ment « universel ». L’équilibre d’une tranche de fluide de hauteur2h impose la condition suivante sur la contrainte de frottement à la paroi (située en y = 0) :

τw= µ dU dy     y=0 = hdP dx (2.73)

2. Il existe plusieurs types de modélisations pour ce coefficient C0

ε1variable (voir [Manceau 2015b]). Celle-ci

Par ailleurs, les équations de quantité de mouvement selon x (direction de l’écoulement) et y (direction normale à la paroi) s’écrivent :

0 = ₋1 ρ dP dx − duv dy + ν d2_U dy2 (2.74) 0 = ₋1 ρ dP dy − dv2 dy (2.75)

avec µ et ν les viscosités dynamique et cinématique, respectivement. Intégrée entre 0 et y, l’équation de quantité de mouvement suivanty donne :

P

ρ + v2= P0

ρ (2.76)

où P0 est fonction dex uniquement. Les dérivées suivant x des grandeurs moyennes étant

sup-posées nulles (sauf pour la pression), on a dv_dx2 _{≈ 0. Il vient alors} dP_dx = dP0

dx. Intégrée entre 0 et

y, l’équation de quantité de mouvement suivant x donne alors :

0 =₋y ρ dP0 dx + uv + ν dU dy − ν dU dy     y=0 (2.77)

En posant τw = ρu2τ, uτ définissant la vitesse de frottement, il vient (en utilisant

l’équa-tion2.73) : − uv + νdU dy = u 2 τ  1₋y h  (2.78) 2.5.1.1 Équations adimensionnées

Prenant uτ eth comme échelles respectives de vitesse et de longueur, on obtient :

−uv u2 τ + 1 Reτ d(U/uτ) d(y/h) = 1− y h (2.79) où Reτ = uτh ν (2.80)

Lorsque le nombre de Reynolds est grand, le terme visqueux de l’équation (2.79) disparaît. Or, en région de proche paroi, les termes visqueux sont prépondérants. L’utilisation de l’échelle de longueur externe n’est donc visiblement pas pertinente en proche paroi. Il est alors naturel de choisir une nouvelle échelle de longueurδv telle que :

δvuτ

ν = 1⇒ δv= ν uτ

(2.81) Adimensionnant l’équation (2.78) et posanty+= y/δv = yuτ/ν il vient :

−uv_u2 τ | {z } τturb +dU/uτ dy+ | {z } τvisc = 1₋ y + Reτ (2.82)

Les équations (2.79) et (2.82) sont rigoureusement équivalentes tant que le nombre de Reynolds reste fini. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 η = y /h 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−2 10−1 100 101 102 η = y /h y + = y /δv τturb τvisc τturb+ τvisc

Figure 2.1 – Frottement en fonction de la distance à la paroi. Données DNS pour un canal à Reτ = 640, Iwamoto et al. [Iwamoto 2002]

2.5.1.2 Comportements asymptotiques

Par passage à la limite lorsque Reτ → ∞, mais η = y/h restant de l’ordre de 1, l’équation

(2.79) devient :

−uv u2 τ

= 1_{− η} (2.83)

La zone de validité de cette équation est appelée zone centrale. Lorsquey+ _{reste de l’ordre de}

1, le passage à la limite quandReτ → ∞ dans l’équation (2.82) donne :

−uv u2 τ

+dU/uτ

dy+ = 1 (2.84)

La zone de validité de cette équation, dans laquelle la contrainte de cisaillement totale est constante, est appelée zone de paroi. La zone validité de ces deux équations est illustrée dans la figure (2.1). On considère généralement la borne supérieure de cette zone autour de y+= 5.

Zone de paroi

L’équation (2.84) suggère qu’il existe une relation entre les variablesU , y, uτ etν (mais pas

h), de la forme :

F (U, y, uτ, ν) = 0 (2.85)

Adimensionnant cette relation paruτ etν il vient (théorème de Vaschy-Buckingham) :

F (U+, y+) = 0 (2.86)

Le théorème des fonctions implicites stipule l’existence d’une fonction f qui permet finalement d’écrire :

U+= f (y+) (2.87)

Soit en dérivant la relation : dU+ dy+ = df dy+ ⇒ dU dy = u2_τ ν df dy+ (2.88)

Par ailleurs, au sein de la sous-couche visqueuse le premier terme de l’équation (2.84) est négligeable, étant donné que ce sont les effets visqueux qui dominent. Ceci est corroboré par la figure (2.1) qui illustre bien qu’en très proche paroi, la contrainte est entièrement portée par la contrainte visqueuse. On peut donc intégrer l’équation (2.84) pour aboutir à l’expression :

U+= y+ (2.89)

Zone centrale

L’équation (2.83) suggère que l’écoulement dans cette zone est indépendant de la viscosité du fluide. Un raisonnement similaire au précédent permet alors de dire qu’il existe alors une relation entre les variables U , y, uτ eth (mais pas ν), de la forme :

H(U, y, uτ, h) = 0 (2.90)

Adimensionnant cette relation paruτ eth il vient (théorème de Vaschy-Buckingham) :

H(U+, η) = 0 (2.91)

Le théorème des fonctions implicites stipule l’existence d’une fonctionh qui permet finalement d’écrire :

U+= h(η) (2.92)

Soit en dérivant la relation :

dU+ dη = dh dη ⇒ dU dy = uτ h dh dη (2.93)

10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−2 10−1 100 101 102 a) Reτ= 180 η y+ τturb 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−2 10−1 100 101 102 b) Reτ = 640 η y+ τvisc 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10−1 100 101 102 103 c) Reτ = 5200 η y+ τturb+ τvisc Zone loga-rithmique

Figure 2.2 – Illustration du recouvrement progressif des zones centrales et de proche paroi à mesure que Reτ → ∞. Données DNS dans un canal à Reτ = 180 [Moser 1999], Reτ =

640 [Iwamoto 2002] etReτ = 5200 [Lee 2015].

Zone logarithmique

L’équation (2.88) est valable uniquement lorsque Reτ → ∞ et η → 0. De la même manière

l’équation (2.93) est valable uniquement lorsque Reτ → ∞ et y+ → ∞. On peut cependant

supposer qu’il existe une région dans laquelle les relations sont valables simultanément (donc poury+_{→ ∞ et η → 0 en même temps). D’où la condition :}

uτ h dh dη = u2 τ ν df dy+ (2.94)

La figure (2.2), représentant les contraintes turbulente, visqueuse et totale pour 3 calculs DNS de canal plan, illustre bien la présence de cette zone de recouvrement, qui conformément à l’hypothèse émise, n’apparaît qu’à très grand nombre de Reynolds turbulent. On a, dans cette figure, considéré que la zone centrale était définie par la relation (2.83) à plus ou moins5%. De même pour la zone de paroi définie par la relation (2.84), à plus ou moins 5%. Cette tolérance est arbitraire mais illustre bien le propos de cette section.

5 10 15 20 25 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 Zone centrale Zone de paroi

Sous-couche visqueuse Zone tampon Zone logarith. y+ η U+ U+_{= y}+ U+₌ 1 κlog(y +_{) + B} 0.2 0.4 0.6 0.8 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

Figure 2.3 – Illustration d’un profil de vitesse et des diverses zones mises en évidence. Données DNS dans un canal à Reτ = 5200, Lee et al.[Lee 2015]

En multipliant alors la relation (2.94) de deux cotés pary/uτ il vient :

ηdh dη = y

+ df

dy+ (2.95)

Dans cette égalité le membre de gauche est fonction de η seulement et le membre de droite de y+ _{seulement. Les deux membres de l’égalité sont par conséquent constants et égaux à une}

même constante notée1/κ, κ étant appelée constante de Von Kármán. L’expérience montre que κ = 0.41. On en déduit par conséquent la loi logarithmique :

U+= 1 κln(y

+_{) + B (2.96)}

avec B = 5.2.

La figure (2.3) illustre la très bonne adéquation de la loi analytique déduite par ces manipu-lations et les données DNS de Lee et al., pour des nombres de Reynolds turbulents suffisamment grands. Les profils de vitesse exhibent donc dans le cas d’un écoulement plan à l’équilibre un

comportement « universel » lorsqu’adimensionné en échelles internes. C’est sur cette universalité que se fonde la construction de lois de paroi décrites dans le paragraphe suivant.

2.5.1.3 Critiques et autres developpements

Ces lois sont dites « universelles » mais il est important de ne pas perdre de vue qu’elles ne sont vraies que sous des conditions très particulières et très rarement atteintes en pratique :

— Écoulement sur plaque plane (canal ou couche limite) — Nombre de Reynolds très élevé (Reτ → ∞)

— Pas de gradient de pression adverse, ni d’autres phénomènes tels qu’accélération ou flot-tabilité pouvant perturber l’équilibre de l’écoulement de couche limite.

De manière générale, Reτ est loin d’être infini dans de nombreuses configurations industrielles

et cette loi est perturbée voire complètement faussée par des effets d’écoulement complexes tels que réattachement, séparation de couche limite ou impacts de jet par exemple. Certains auteurs remettent régulièrement en question la validité de ces lois, notamment la valeur des constantes telles que κ et B [Marusic 2013]. D’autres ont tenté d’y introduire diverses dépendances au nombre de Reynolds turbulent, notamment dans [Wosnik 2000]. Pour une littérature plus éten-due sur le sujet, on pourra se référer aux travaux de George [George 2007]. Ces approches n’ont jamais dans la pratique rencontré un franc succès, et encore aujourd’hui l’immense majorité des lois de paroi industrielles sont fondées sur les lois « universelles » de proche paroi.

2.5.2 Sortie de l’équilibre

Malgré l’utilisation toujours intensive de la loi logarithmique précédemment décrite, et ce même en dehors de son champ d’application théorique, de nombreux auteurs se sont penchés sur la prise en compte des phénomènes négligés dans l’approche précédente. En effet, lors d’écou-lement plus complexe, proche de la séparation, uτ → 0 entraîne l’apparition d’une singularité

dans l’équation (2.96) et celle-ci ne tient plus. Une belle illustration de ce phénomène est donnée par la LES d’un diaphragme [Benhamadouche 2015], figure (2.4), où il est clairement possible de voir qu’au voisinage d’écoulements particuliers (ici en amont d’un décollement et en aval d’un réattachement), la loi logarithmique est mise en défaut. Stratford en 1959 [Stratfort 1959] est le premier d’une longue série à introduire une échelle de vitesse basée sur la pression :

up =  ν ρ dPw dx 1/3 (2.97)

A l’aide d’une analyse basée sur cette échelle Stratford obtient un profil de type racine carrée pour la vitesse au niveau d’un point de décollement en faisant l’hypothèse d’un frottement rigoureusement nul : U up = 2 κ r yup ν + C (2.98)

Plus tard, Tennekes et Lumley [Tennekes 1972] affirmèrent que dans les mêmes conditions (point de décollement, frottement nul), c’est plutôt un profil logarithmique qui s’appliquait :

U up = α lnyup ν  + β (2.99)

0 20 40 60 80 100 120 140 0.1 1 10 100 1000 U + y+ ln(y+_{)/0.41 + 5.2} U+_{= y}+ x/R =−0.60 x/R =−0.65 x/R =−0.73 x/R =−0.82 x/R =−1.0 x/R =−5.0 0 5 10 15 20 25 30 0.1 1 10 100 1000 U + y+ ln(y+_{)/0.41 + 5.2} y+ x/R = 20 x/R = 13 x/R = 8.5 x/R = 6.5 x/R = 4.5

Figure 2.4 – a) Profils de vitesse adimensionnée en amont d’un décollement b) Profils de vitesse adimensionnée en aval d’un recollement (LES d’un diaphragme, Benhamadouche et al. [Benhamadouche 2015])

Townsend [Townsend 1961] affina la théorie de Stratford à l’aide d’un concept de longueur de mélange et l’étendit au cas d’un frottement non nul (mais positif) et obtint un profil hybride avec à la fois une racine carrée et un logarithme. Ces trois travaux fondateurs ouvrirent la voie à un grand nombre de travaux sur l’adimensionalisation de la vitesse en configuration « hors équilibre » et le lecteur pourra se référer à [Skote 2002] pour une littérature exhaustive sur le sujet. Il est cependant clair qu’il n’est pas possible de décrire de manière analytique, universelle et rigoureuse, avec une seule et unique échelle de vitesse basée sur le frottement à la paroi, tout profil de vitesse.

Shih et al. [Shih 1999] eurent l’idée originale de considérer l’échelle de vitesse suivante :

uc= uτ +  ν ρ dPw dx 1/3 (2.100)

Se fondant sur les travaux de Tennekes et Lumley, et appliquant un principe de superposition de solutions ils arrivèrent à établir la loi suivante :

U uc =  1 κ uτ uc lnyuc ν  + C1  +  αup uc lnyuc ν  + C2  (2.101) avec C1= uτ uc  1 κln  uτ uc  + B  et C2 = up uc  α ln  up uc  + β  (2.102) On notera les comportements asymptotiques de C1 et C2, discutables d’un point de vue

nu-mérique, qui tendent vers 0 respectivement lorsque uτ → 0 et up → 0. Cette loi a l’avantage

0 20 40 60 80 100 0.1 1 10 100 1000 U + y+ Stoke & Henningson

0 20 40 60 80 100 0.1 1 10 100 1000 y+ Shih et al. 0 20 40 60 80 100 0.1 1 10 100 1000 y+ Popovac et Hanjalic

Figure 2.5 – Profils de vitesse en amont d’une recirculation (LES d’un diaphragme, Benha-madouche et al. [Benhamadouche 2015]) et lois hors équilibre associées.

Skote et Henningson [Skote 2002] proposèrent :

U+= 1 κ " ln(y+)_{− 2 ln} p 1 + λy+_{+ 1} 2 ! + 2(p1 + λy+_{− 1)} # + B (2.103) avec λ =  up uτ 3 (2.104) Popovac & Hanjalic proposèrent la formulation suivante :

U+= 1

κΨln Ey

+
_{avec Ψ = 1−} λy+

U+_κ (2.105)

Dans leur publication originale, Popovac et Hanjalić autorisent leur loi à contenir non seulement des informations sur le gradient de pression mais aussi des informations sur la convection tan-gentielle et normale à travers le paramètre λ (voir chapitre 3, section 3.2.1.3). Nous réduirons, par soucis de cohérence et de clarté, cet état de l’art au terme de gradient de pression. Réécrivant alors la relation précédente, il vient :

U+= 1 κ 

ln Ey+
+ λy+ (2.106)

Les tentatives ont été nombreuses d’inclure des effets de pression au sein de la loi universelle. On remarquera par exemple également les travaux de Cruz et Freire [Cruz 1998][Cruz 2000], dont la loi de paroi a été appliquée avec succès au calcul d’une marche descendante.

Toutes ces tentatives ont été testées avec plus ou moins de succès et/ou de restriction comme en témoigne la figure (2.5), qui compare a priori quelques lois extraites de la littérature au profil

de vitesse en amont d’une bulle de recirculation sur un diaphragme [Benhamadouche 2015]. De manière générale, il peut être bon, voire souhaitable, lors de l’utilisation de ces lois de prendre en compte ces effets pour améliorer les prédictions des modèles. Il faut cependant garder en tête que toutes ces lois ont des domaines d’application ou de validité réduits et personne ne peut prétendre répliquer la solution complète des équations de Navier-Stokes par un profil analytique.

2.5.3 Lois « unifiées »

Il peut être très intéressant lors de la construction de lois de parois pour la vitesse d’avoir une loi qui évolue continûment et non pas définie par morceaux sur des intervalles. On trouve dans la littérature de nombreuses tentatives de raccordement continu entre les profils carac-téristiques de proche paroi et de zone logarithmique. Les philosophies de ces approches sont fondées sur différents principes. Cette section donne un bref aperçu des possibilités offertes dans la littérature.

• Loi de Reichardt [Reichardt 1951] : cette loi est représentée par une unique formule ana-lytique : U+= 1 κln(1 + κy +_{) + 7.8}  1_{− exp}  −y + 11  − y + 11 exp  −y + 3  (2.107)

On voit que lorsque y+ → 0 cette loi se comporte bien de manière linéaire comme le souligne l’analyse dimensionnelle menée dans la section 2.5.1.2. De la même manière lorsquey+_{→ ∞, la loi récupère le comportement de la loi logarithmique. Entre ces deux}

zones, la loi de Reichardt assure une transition continue.

• Loi de Van Driest [Driest 1956] : partant de la constatation que l’hypothèse l+

m = κy+

est fausse en proche paroi, Van Driest propose d’amortir la viscosité turbulente en proche paroi en considérant : ν_t+ = κy+
2  1_{− exp}  −y + 26  dU+ dy+ (2.108)

De ce fait, sous l’hypothèse de Boussinesq uv = νtdU_dy on peut mettre l’équation (2.82)

sous la forme : dU+ dy+ + κy +
2 1− exp  −y + 26   dU+ dy+ 2 = 1 (2.109)

qui permet d’obtenir la relation suivante : dU+ dy+ = 1 1 + r 1 + 4κ2_y+2h_{1− exp}₋y+ 26 i (2.110)

Finalement, par intégration on trouve le profil suivant pour U+ :

U+= Z y+ 0 dy∗ 1 +q1 + 4κ2_y∗2_{1− exp −}y∗ 26
 (2.111)