Contribution au calcul des fonctions de base symétrisées et des fonctions d'onde du graphite type hexagonal : application au calcul des coefficients de structure dans la méthode K.K.R.

(1)

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Contribution au calcul des fonctions de base symétrisées

et des fonctions d’onde du graphite type hexagonal :

application au calcul des coeﬀicients de structure dans la

méthode K.K.R.

Driss Hnikich

To cite this version:

Driss Hnikich. Contribution au calcul des fonctions de base symétrisées et des fonctions d’onde du graphite type hexagonal : application au calcul des coeﬀicients de structure dans la méthode K.K.R.. Autre [cond-mat.other]. Université Paul Verlaine - Metz, 1987. Français. �NNT : 1987METZ002S�. �tel-01775718�

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(3)

THÈSE

D E _{D O C T O R A T} U A I T \ . Z E R S _{T T E} D E

f1

D E t . , E I V _{G E N} _{T E}

de base

_{symétrisées et des}

graphite type hexagonal.

coeff icients de structure

METZ

* j o u t e n u , = i i r t J.j P r é s i c j s : l - l i , : L - ; < ; r r n i n a _{L e r l r s :} : ; e p t e m b r e I g.li'/ ,jev,,rrrl. i . _PRtrTÀri 't' E . KARTHFjI.TsUJ< R . K I , E ; I M . , i . i i { . r U i , M i i N t J i l . r - ' : i A k L f tiR l a c o r n m _{j s s i o n c l ,e x a m e n} : P r o l e s s e u r _{t l l n i v e r s i t é} c i e l . I a y l a , u P r : o f e s s e u r ( U n i v e r _ s i _{L É , l e j - , r è q e )} F r o i t , s s É ? t l r . ( t l n i v e r s i b é c l e M e L z t M a i ' L r. n d e f l o n f é r e n c e . s { U n i v e r s i c é , l e iJauLe _{A l s a c e )} P r , : ; f _{e s s e u r ( U n i v e r : s i b é} d e M e t z )

s/t e+lz

PHYS _{T QUE} ET _T.tECAÀIT QUE p r é s e r a t é e p a r

D r i s s

_{H N f K t C H}

Contribut ion au caf cuf

_{des fonctions}

fonctions d bnde dl

A ppf ication au

_{calcul des}

dans la me.thode k. k. r. .

L A B O R A T O I R E

(4)

2 -REMERC]FJ'IF]NTS L e p r é s e n L t r a v a i l _{a é t é r é a l i s é} _{a u l a b o r a . L o i r e} _{r i e} p h y s i q u e d u s o l i c i e d e I , U n i v e r s i L é d e M e t z J e t i e n s à e x p r i m e r m a p r o f o n d e r e c o n n a l s s a n c e à l 4 o n s i e u r _{l e P r o f e s s e u r A l p h o n s e C I - { A R L I E R , sogs la cl j i-,,rcc}_{j o n de} q u i c e L r a v a i l _{a é t é é r a r i o r é .} _{r l m ' a a c c e u i l i i ,} _{i n i b i é} _{. i u} t r a v a i l d e r e c h e r c h e t h é o r i q u e _{e b g u i d é i n l - a s s a b l e m e n t} _{o a n s m e s} d é m a r c h e s e t r e f l e x i o n s . J e r e n e r c i e M o n s i e u r r e p r o f e s s e u r J . P R 0 T A S , $c+es @ . n * e c t e u r d u l a b o r a t o i r e _{d e c r i s t a l l o q r a p h i e ,} _{d , a v o i r a c c e p t é d . e p n é s i , L e r 1 e} j u r y m a l g r é s e s m u l t i p l e s o b l i g a t i o n s . M e s r e m e r c i e m e n t s s ' a d r e s s e n t é g a l e m e n L à M o n s j . e u r l e P r o f e s s e u r E . K A R T H E U S E R _{d e 1 ' u ' i v e r s i t , é} _{d e L i è g e , M o n s i e u r l e} P r o f e s s e u r R . K L E r N d - e 1 ' u n i v e r s i t é _{d . e M e t z e t a u D o c t e u r è s} s c i e n c e s l " l o n s i e u n J . J . K O U L M A N N d e I ' u n i v e r s i b é d e H a u t e A r . s a c e d ' a v o i r _{b i e n v o u r u e x a m i n e r c e t r a v a i l} _{e t p a r t i c i p e r} q u l u r y , Q u e M a d a m e M a r i e - F r a n c e C H À R L I E R tr o u v e ici l ' e x p r e s s i o n _{d e m a r e c o n n a i s s a n c e p o u r s o n a m a b i r i t é e t ,} d i s c u s s i o n s f r u c t u e u s e s e t q u e M o n s i e u r J . O U B I H À s o i t remercié p o u r s a c o l l a b o r a t i o n . J e s e r a i i n c o m p l e t s i j e n , e x p r i m e p a s m a r e c o n n a i s s a n c e e n c o r e u n e f o i s à M o n s i e u r r e p r o f e s s e u r R . K - L E r M _{e t a u D o c L e u r è s s c i e n c e s M o n s i e u r J . G . G A s s F - - R}_{p o u r} a v a i r m i s à m a d i s p o s . i t i o n l e s m o v e n s m a t é r i e l s a u l a b o r a . L o i r e t f e p h y s i q u e d e s r i q u i d e s m é t a l l i q u e s / p o u r l a n i s e en ord.re et 1 a f r a p p e d r - r m a n u s c r i t ; f r a p p e q u i a é t , é e f f e c b u é e p a r M a d e m o i s e l l e F a t i m a T E R K i q u e j e r e m e r . c i e s i n c è r e m e n t .

(5)

CHAPITRE A

s . A . 1

$ . A . 2

$ . A . 3

s . A . 4

s . A . s

INTRODUCTION FORMALISME GEÀIERAL

CHOIX D'UN POTENTIEL POUR UNE PRATIQUE EVALUATION DES ELEMEIUIS DU DETERMINANT

UTILISATION DES HARMONIQUES _{DU RESEAU}

3

-SOMMÀIRE

FONDE:I4ENTS _{DE LA METHODE}_K.K.R

APPLICATION ATIX CRISTAUX COMPLD<ES

REPRESENTAÏIONS IRREDUCTIBLES

-à

DES

cRoupES

_gt&;)

DU CALCUL SECULAIRE

CHAPIÎRE B _{SYI4ETRIE IRIDTI\,IENSIONNELLE DU GRAPHITE}

s . 8 . 1 R E S E À U D I R E C T

s.8.2 SYI,IHrRIE LoCALE ET GLOBALE

s . 8 . 3 " C L A S S E I 4 E M | D E S P R O C H E S V O I S I N S s . B. 4 oPE'RATIONS DE SYI,IETRIE s . B . 5 R E S E A U R E C T P R o Q U E

8 . 5 . r

8 . 5 . 2 8 . 5 . 3

s . c . 1

s . c . 2

s . c . 3

s . c . 4

s.c.s

s . c . 5

CHÀPITRE

S.D.1 _{F0RMULATIoN DE r.À F0NCTI0N D'oNDE D'EsSAr CRISTÀLLINE}

s.D.2 PROCEDURE _{D'OBTENTToN DES FONCTIONS}_D'ONDE

i l l

cHAprrRE E

LES TABLES DES COEFFTCTENTS

_{DE SIRUCTURB Dfi}

. . 1

S.8.1 METHoDE

D'oBTEMrroN

DEs coErF,rcrFrrrq î{d'

, r y r ù lLn . . t

s.E.z

EvALUATToN

NuMERTQuE

_{DES coEFprcrEurs DE srRucruRr J44'È,}

*LU..., E)

PREMTERE ZONE DE BRILLOUIN.à

GROUPE DU VECTEUR _{D'ONDE T.}

S.8.6 FONCTIONS DE BASE SYI.{ETRISEES _{DU GRAPHITE TYPE HD(AGONAL}

. . 1

cHAprrRE

c

coerrrcrENls DE srRUcruRE pfg.

rNrRoDUcrroN

_{DEs comFrcrEurs DE srRUcruRE..,oJj't}

_{[r r)}

MEEHoDoLocrE

_{DU cALCUL DEs coEFFrcrENTS Dfl}

brvl

PROPRIETES D'INVARIÀNCE DE LA FONCTION DE GREEIV

DEFrNrrroN

DE

Nouv'Arrx

coerFrcrEr\rrs

o" ;ïffi"

_ajlr'ri,r)

EQUATIoN DE RmUCTTON TECHNIQUE DE REDUCTION

(6)

4 -ÏMTRODUCTION L e s p r o d u i t s d ' i n s e r t i o n _{d e s c o n p o s é s I a m e l l a i r e s I} c ' e s t - à - d i r e c e u x q u i p r é s e n t e n t u n e s t , r u c t u r e d ' a c c e u i l à d e u x d i m e n s i o n s ( 2 D ) s o n t a c t u e l l e m e n t i n t e n s é m e n t é t u d i é s d e s d e u x p o i n t s d e v u e e x p é r i m e n t a l e t t h é o r i q u e e t i I s ' a v è r e e n g é n é r a l q u e c e s m a t é r i a u x o f f r e n t u n g r a n d c h o i x d e c a r a c t é r i s t i q u e s p h y s i q u e s l n t é r e s s a n t e s a u s s i b i e n p o u r d e s a p p l i c a t i o n s p r a t i q u e s q u e p o u r d e s i n v e s t i g a t i o n s t h é o r i q u e s . L e g r a p h i t e s t r u c t u r e t y p e t r e x a g o n a l p r é s e n t e , c o m m e n o u s a l l o n s l e v o i r a u c o u r s d e c e t r a v a i l , u n e s t r u c t u r e d ' a c c e u i l 2 D e L s e s p r o d u i t s d ' i n s e r t i o n ( " G I C " ) t e l s q u e l e g r a p h i t e i n s é r é d ' a l c a l i n s l o u r d s r d e F l u o r e t a u t r e s é I é m e n t s , o f f r e n t u n e l a r g e g i a r n m € d e p r o p r i é t é s p h y s i q u e s e t p h y s i c o - c h i m i q u e s E 1 l . N o u s s o m m e s i n t é r e s s é s p a r u n c a l c u l d e s b r u c t u r e d e s b a n d e s d ' é n e r g i e é l e c t r o n i g u e s d a n s 1 e c r i s b a l e t p l u s p a r t i c u l i è r e m e n t I ' é t u d e d e s b a n d e s d ' é n e r q i e d e s c o m p o s é s " G I C " . U n c r i s t a l e s t c o n s t i t u é d ' u n q r r a n d n o m b r e d e p a r t i c u l e s e n i n t é r a c t i o n d o n t l e t r a i t e m e n t t h é o r i q u e p o u r c a l c u l e r l e s n i v e a u x d ' é n e r g i i e e t l e s f ' o n c t i o n s d ' o n d e n e p e u t ê t r e m e n é à t e r m e s a n s f i n t r o d u c t i o n d ' u n c e r t a i n n o n b r e d ' a p p r o x i m a t i o n s s i m p l i f i c a t r i c e s . L e c r i s t a l e s t t o u t d ' a b o r d c o n s i d é r é c o m m e u n e s t r u c t u r e r é g u 1 i è r e d a n s l e s t r o i s d i r e c t i o n s _{d e 1 ' e s p a c e ( g r o u p e s s y m m o r - â} p h i q u e s ) o u q u a s i r é g u l i è r e ( g r o u p e s non synmorphiques). E n s u i t e r o r t a c l o p t e l e s t r o i s a p p r o x i n a t i o n s f o n d a m e n t a l e s : 1 ' a p p r o -x i m a t i o n a d i a b a t i q u e q u i c o n s i s t e à f i x e r l e s p a r a m è t r e s q u i d é c r i v e n t l e s n o y a u x d a n s l e c r i s t a l , 1 ' a p p r o x i n a t i o n à u n ê l e c t r o n o u a p p r o x i -m a t i o n d e H À R T R E E - F O C K , e t e n d e r n i e r l i e u 1 ' a p p r o x i m a t i o n d e l a s t r u c È u r e d e s b a n d e s . P l u s i e u r s m é t h o d e s n o u s s o n t a c c e s s i b l e s : I a m é t h o d e d e s c o m b i n a i s o n s l i n é a i r e s d e s o r b i t , a l e s a t o m i q u e s ( " L . C . 4 . O " ) , c e I I e

d e s l i a i s o n s f o r t e s ( "1.8" ) , la méthode des ondes planes

orthogona-l i s é e s ( " 0 . P . û ù " ) , I a m é t h o d e d e s o n d e s p l a n e s a u g r m e n t é e s ( " 4 . P . û i l " ) e t

(7)

5

-L e c h o i x d e È e l l e o u t e l l e m é t h o d e d . e c a l c u l d . e s t r u c t u r e

d e s b a n d e s e s t g u i d é e n g r é n é r a l p a r les données gu'offrent I e c r i s È a l

s o u m i s à 1 ' é t u d e , e t n o t r e c t r o i x s ' e s t p o r t é s u r I a m é t h o d e K . K . R m a l g r r é l a c o m p l e x i t é d e s o n f o r m a l i s m e , F o u r d e u x c r i t è r e s

p r i . n c i p a u x :

- L e p r e m i e r e s t u n c r i t è r e de convergence ; ra K.K.R offre une

r a p i d e c o n v e r g e n c e d e s c a l c u l s q u ' e I I e _{i m p l i q u e ; 1 , a r r ê t à l a}

D o

v a l e u r { r n a - ( { } = Ù d a n s I e d é v e l o p p e m e n t d . e s f o n c t i o n s d . ' o n d . e e s L

l a r g e m e n t s u f f l s a n t E z J i

- E t 1 e s e c o n d e s t q u e l e s matériaux à structure 2D insérés 5rrésenbent

e n g é n é r a I u n e i m p o r t a n t e i o n i c i t é e n t r e p l a n s , c e t t e p r o p r i é t é

c o n f è r e à c e s c o n p o s é s u n t a u x d e r e m p l i s s a g e êlevé. ce qui permet

d e m e n e r p r o p r e m e n È l a c o n s t r u c t i o n e t I e c a l c u l d . u p o t e n t i e l , é v i t a n È a i n s i d e d é v e l o p p e r l a f o n c t i o n d ' o n d e d a n s 1 e s r é g i o n s i n t e r s t i c i e l l e s _{e n t e r m e d ' o n d e s p l a n e s d o n t l a c o n v e r g ' e n c e n ' e s t} p a s é v i d e n t e . A p r è s c e c h o i x , n o u s n o u s s o m m e s p o s é s l a q u e s t i o n s u i -v a n t e : d a n s q u e l L e m e s u r e e t j u s q u ' à q u e l d e g r ê l a t h é o r i e d e I a s y m é t r i e p e r m e t d ' i n t e r v e n i r , _{d e r e n d r e c o m p t e e t d e s i m p l i f i e r} _{l e s} q u e s t i o n s q u i s e p o s e n t l o r s d ' u n c a r c u r d e s t r g c t u r e d e s b a n d . e s d . ' é n e r g r i e _{e t n o u s a v o n s a d . o p t é r a s t u c t u r e} _{D h d . u} _{g r a p h i t e} _{t y p e} h e x a g o n a l d o n t I a s y m é t r i e e s t l o i n d ' ê t r e a i s é e r - e s t i m a n t a u d . é p a r È q u ' u n c e r t a i n _{n o m b r e d e q u e s b i o n s s o n t r e s t ê e s e n s u s p e n d .} N o u s p r é s e n t o n s c e t r a v a i l e n c i n q c h a p i t r e s :

- Dans le chapitre A7 nous présent,ons Ie formalisme de la méthod.e

K . K . R i n o u s d o n n o n s 1 ' a p p r o x i n a t i o n d u p o t e n t i e l " m u f f i n - t i n " e t à

p a r t i r _{d e I à , n o u s d é v e l o p p o n s I e c a l c u l d e l a f o n c t i o n n e l l e} _{d e}

KOHN et RosrOKER pour arriver au déterminant séculaire par

a p p l i c a t i o n d u p r i n c i p e v a r i a t i o n n e l .

- Le chapitre B donne les informations nécéssaires sur la structure

(8)

6

-- L e s c h a p i t r e s C e t E d o n n e n b l a méthodoloqifr,s cal"cul analytique et n u m é r i q u e d e s c o e f f i c i e n t s d . e s t r u c t u r e ] f l 1 ( & r g l - L H . l . p o u r l e s c r i s t a u x

c o m p l e x e s ; l e s p r o p r i é t é s d ' i n v a r i a n c e e b I a t e c h n i q u e d e r é d u c t i o n a t l a p t é e s a u g r r a p h i t e .

- N o u s d o n n o n s e n c h a p i t r e D J e s critères généraux pour la

c o n s t r u c t i o n d e s f o n c t i o n s d ' o n d e e t c a l c u l o n s l e u r f o r m e f i n a l e

(9)

7

-CHAPITRE A

FONDEI4E}ITS DE LA MHTHODE K.K.R

APPLICATION AUX CRISTÀUX COMPLD<ES

s . A . 1

I M T R o D U C T I o N

D a n s c e c h a p i t r e , i I s ' a g t i r a a s p e c t s e t c a r a c t é r i s t i q u e s d ' u n c a l c u l d ' é n e r g i e é l e c È r o n i q u e s , u t i l i s a n t l e s t r a i t e m e n t v a r i a t i o n n e l . d ' e x a m i n e r l e s d i f f é r e n t s d e s t r u c t , u r e d e s b a n d e s f o n c t i o n s d e G r e e n e t u n L a l i a i s o n e n t r e c e s f o n c t i o n s e t 1 ' é q u a t i o n d . e S c h r ô d . i n g e r a u x é t a t s s t a t i o n n a i r e s _{e t à u n é r e c t r o n , a é t é é t a b r i e p a r l e s} t r a v a u x d e J . K O R R I N G A t 3 l . Û Ù . K O H N e t N . R O S T 0 K E R t 4 l o n t r e p r i s c e s t r a v a u x a f i n d e p r o P o s e r u n t r a i t e m e n t v a r i a t i o n n e l p o u r 1 ' é q u a t i o n i n t é g r a l e q u i é t a b l i t l a l i a i s o n _{e n t r e l a f o n c t i o n d ' o n d e m o n o é l e c t r o n i q u e e t l a} f o n c t i o n _{d e G r e e n q u i l u i e s t a s s o c i é e .} C e s d e r n i e r s _{t 4 l o n t a l o r s m o n t r ê q u e c e t t e é q u a t i o n intégrale} _{p e u t} ê t r e o b t e n u e à p a r t i r d ' u n e f o n c t i o n n e r l e d e l a f o n c t i o n d , o n d . e . L ' a d o p t , i o n d ' u n e b a s e d ' e s s a i e t 1 ' a p p l i c a t i o n d . u p r i n c i p e v a r i a t i o n n e l c o n d u i s e n t à u n $ é t e r m i n a n t s é c u l a i r e q u i r e p r é s e n t e I a r e l a t l o n _{d . e d . i s p e r s i o n t = E ( S ; ! e f o n l e s d i f f é r e n t s p o i n t s et}

d.irect,ions d.e symétrie lc1a. Ia première zone de BRrLLourN.

Les auteurj précéd.emment cit,és ont traité un f ormalisme ne

s ' a d a p t a n t q u ' a u x c r i s È a u x s i m p l e s , c ' e s t - à - d i r e c e u x n e c o n È e n a n t

q u ' u n a t o m e p a r c e l l u l e u n i t a i r e d u c r i s t a l .

F . S . F L A M e Ë B . S E G A L L 8 5 , 6 , 7 J o n t r e p r i s c e f o r m a l i s n e a f i n

d e g é n é r a l i s e r s e s r é s u l t a t s _{a u x c r i s È a u x c o m p l e x e s E 8 l ( p l u s i e u r s}

a t o m e s p a r c e l l u l e u n i t a i r e ) . i l s u t i l i s è r e n t , _{l a m é t h o d e d . e p . H I I A L D}

E9l pour explicit,er Ie calcul d.es coefficients de structure

ryj'

intervenant d.ans res constanÈes d.e structure alXrU;

; ces d.eràières

(10)

8

-D a n s I e b u t d ' a l L é g e r I e f o r m a l i s m e , o n a d o p t e r a I e s y s t è n e

d e s u n i t é s a t o m i q u e s f 1 0 1 , o n p r e n d r a a l o r s c o n m e u n i t é d e m e s u r e d e s

longueurs Ie rayon fl.o ae Ia première orbite de B0FIR de l'atome

d'hydrogrène et Ie RYDBERG comme unité de mesure des énergies î

1 ' a p p e n d i c e t A . 1 l d o n n e r a l e s c a r a c t é r i s t i q u e s d e c e t t e é c h e l I e .

N o t o n s e n f i n q u ' é t a n t d o n n é q u e l e f o r m a l i s m e d e c e t t e

m é t h o d e d e c a l c u l d e s t r u c t u r e d e b a n d e s a v a i t é t é é b a b l i p a r

K O R R ï N G A , K 0 R N e t R O S T 0 K E R , Ia m é t h o d e e s t c o n n u e s o u s l a d é n o m i n a t i o n K . K . R .

s.A. 2 F0RMALISI4E GENERAL

.>

P o u r d é f i n i r n o t r e c r i s t a l c o m p l e x e , n o u s d é s i g n e r o n s p a r à ^ t o u t v e c t e u r d e t r a n s l a t i o n d j l r ê s e a u j i r e c t . I I s ' é c r i t à l ' a i d e d e s t r a n s l a t i o n s p r i m i t i v e s _{i ^ , Ç " t} _{G 3} d . é f in i s s a n t l a c e l l u l e é l é m e n t a i r e d u c r i s t a l s o u s I a f o r m e : N o u s s o n m e s é v i d e n m e n t i n t é r e s s é s p a r 1 a r é s o l u t i o n d e I ' é q u a t i o n d e S c h r i i d i n g e r a u x é t , a t , s s t a È i o n n a i r e s e t à u n é I e c t r o n d a n s l e c r i s t a l :

r A . 2 . 2 f

{-

o"* w(È)

} Til È;= Et n/*tÈ

- à - > + - t

Drrr = uLtT^ + ulr,Tf, + ^ZTl

a v e c ,

r v r i = oi !Â) tL;...

N o u s n o t e r o n s e n s u i t e p a r

v e c t e u r l o c a l i - s a n t u n a t o m e i a o n n g

{ é I é m e n t a i r e d u c r i s t a l , € E c e c i p a r m o m e n t a r b i t r a i r e . a v e c u n e é n e r g i e p o t e n t i e l l e p é r i o d i q u e , I a s y m é t r i e p a r r a p p o r t a u x t r a n s l a t i o n s , 1 ' é q u a t i o n :

i;

_{t i=}

t,L,3.., rour rayon

ct à l ' i n t é r i e u r d e I a c e l l u l e

rapport à une origrine pour le

8 A . 2 . 1 l

c ' e s t - à - d i r e s a t i s f a i s a n t

c o n d i t i o n t r a d u i t e p a r

(11)

9 -f n t r o d u i s o n s l e s f o n c t i o n s d e G r e e n d é f i n i e s p a r I ' é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e :

e t d a n s c e s c o n d . i t i o n s l e s f o n c t i o n s d ' o n d e T h ( D

s o n t d ' u t y p e d e

B L O C H

e t s a t i s f o n t à !

T*(â-i^)=

i;È'%(i)

t A . 2 . 4 1 t A . 2 . 5 l / I a f o n c t i o n _{à r e p r é s e n t e I a d i s t r i b u t i o n} d e D I R A C e t l e s f o n c t i o n s G g t T r î ) s a t i s f o n t a u x m ê m e s c o n d . i t , i o n s v i s à v i s d . e s t r a n s l a t i o n s , à s a v o i r i t A . 2 . 6 l e n p l u s d e l a c o n d i t i o n d ' t r e r m i t i c i t é :

{ot* EiJ Ga(ùi) --â(i-È')

Gi,i,i,) = Gg

(?,i)

- à +

Ç. Ci = â,-Tr.

p

a v e c '

p e z ,

_{t L i = ) r L r 3 ,}

htT,i')

Çtùi,-È^)

= i*'='È^

Si maintenanÈ nous définissons les noeuds du réseat1;:éciproque par des

p o i n t s é q u i v a l e n t s d é t e r n i n é s p a r l e s t r a n s l a t i o n s l d - t e t l e s q u e 3

r . A . . 2 . 7 )

E A . 2 . B ]

les fonctions de Green peuvent alors être développées selon une base

d ' o n d e s p l a n e s d a n s I a c e l l u l e é l é m e n t a i r e d u c r i s t a l s e l o n :

si(i*È^)(i-r)

Gnrùi')=

_+-à

d*Ëdt- Ei

E A . 2 . 9 l

Ie paramètreJL représenÈe le volune de Ia cellu1e étênentaire du

c r i s t a l .

(12)

1 0

-D'autre part res fonctlons î{ttÈ)

"t

&ltÙit)

aoirr"r,t sarisfaire

a u x m ê m e s c o n d i t i o n s d e c o n t i n u i t é a u x l i m i t e s I i m i t e s de 1 a c e l 1 u 1 ed e 1 a r - c ' l l r r l e é l é n e n È a i r e , c ' e s t - à - d i r e :

.>

. E

È

Gg

_{cx,i,) = i.'ù'è}

i

= 2 -

I

1E(i)

e t ,

G; tÈ, i,)

. È - >

t*h

t"J

(

.Jît

8 4 . 2 . 1 1 1

Cte

q J

tÈ,i'ù

é 1 é n e n t a i r e r d . u cristal

_{e t , I ' o p é r a t , " , r r çL_ la}

- - è l v

s u r f a c e , ( r p étant un vecteur de translation

e t à ( c f . f i g u r e E A . t l ) .

- > . >

t l a e t À représentent d e u x p o i n t s _{c o n j u g u é s d e l a s u r f a c e d e l a c e l l u l e}

d é r i v é e n o r m a l e à c

p r i n i t i v e j o i g n a n t

P o u r r e m p l a c e r 1 e p r o b l è m e aux linites

g u e r e p r é s e n t e n t les

ê q u a t i o n s E A . z . 2 f e t f A . Z . t O l , m u l t i p l i o n s E A . Z . Z J p a r Étilri,)

" a

l e c o n i u g u é c o m p r e x e d.e t'équation EA.z.5l n"r

_{$ E t È )}

, â L , r " - o b ' t " n o n "

a p r è s i n t é g r a t i o n

_{s u r r e v o r u m e 5 l d . e r a celrule élémentaire :}

TZ(È)

=

[..",

G(4)h,(i,)

yh(i,)

E A . 2

. L 2 )

l ' é q u a t i o n i n t é g r a l e p o u r l a f o n c t i o n . E l l e m e t e n é v i d e n c e l a l i a i s o n e n t r e l e s f o n c t i o n s d e G r e e n . È e

tÈ)

e E K O H N e t R O S T 0 K R E 4 l o n t m o n t r é q u e 1 ' ê q u a t i o n E A . 2 . L Z J e s t é q u i v a l e n È e a u p r i n c i p e v a r i a t i o n n e l :

6ru

e t t e

-it

àE

c e d e r n i e r r é s u l t a t r e p r ê s e n d' onde monoélectronique _- n+fû lra 1 e s é q u a t i o n s d e S c h r ô d i n g e r (

5|.'{

.\? (rt} = - rtÈ ?:{[

_{nu ( ù]'EA}

z lol

JC

d",t

r-a r . ? / l \

'

ïE t

'es;l

5r=

d r1i.l2

â d,a)= o

E A .

2 . r 3 l

(13)

I I -F I G U R E E A . 1 ] l i n i t , e s d e l a c e l l u l e / \ \ \ Problème aux ê 1 é m e n t a i r e .

(14)

o ù r e

" y n n o r . 5

d é f i n i e p a r !

' 1 2

-r e p -r é s e n t e d e s v a -r i a t i o n s

e t : z l l a f o n c t i o n n e l l e

tL =F" vËtD w(r)

_{{ n,Ê) -!.Gsrr,i)wrï,1*}

r Çe,4i2

wri) n{*rf2

_$à,

}

I l e s t a l o r s é v i d . e n t d ' a p r è s t 4 . 2 . 1 4 1 q u e s i I a f o n c t i o n d ' o n d e _{T * f i )} v é r i f i e 1 ' é q u a t i o n d e l i a i s o n f A . z . L Z f a l o r s o n a u r a i

rtIn1r3tÈ),tr,e]=

_o

p r e n o n s donc

ï r * . b a s e { 4 r à Û " " r

} a q u e t r e o n p u i s s e d ^ é v e l o p p e r l t * t i )

n o u s p o u v o n s é c r i r e q u e :

YncÈ;=

_{+ &,È frr}

t

q u e l ' o n s u b s i t u e d a n s 1 ' é g u a t i o n E A . 2 . L 4 f

i)

e t

JL=

_{Lr,1 cpr8}

Ê

.4,,

_{{,*1. wrt).fr,È)J3à}

r Gnrùftwci,)

_{*e(i2Ja_}

_{J3z, .}

Reprenons mainÈenant I a f o r m e ; I e p r i n c i p e v a r i a t i o n n e l q u e

ârt

â f*n

t A . 2 . 1 4 1 t A . 2 . I 5 l avec :

{rtfr

P"rg

= [ t A . 2 . 1 5 1 a r r i v o n s à

I ' é c r i t u r e

:

r A . 2 . L 7 f

E A . 2 . 1 8 1 1 ' o n r é e c r i t s o u s

- {L*iti)wcË)"

6tt =

6*irfr = o

_{E A . 2 . 1 9 1}

(15)

1 3 -n o u s o b t e -n o -n s à I ' a i d e d e 1 ' é q u a t i o n E A . 2 . L 7 f z E À . 2 . 2 0 3

'Er'û=o

a v e c :

Pt1€. -ùf

c e t t e d e r n i è r e é g a l i t é r e p r é s e n t e u n e n s e m b l e d ' é q u a t i o n s l i n é a i r e s e n É p ; E . a s a r é s o l u t i o n n e s e r a p o s s i b l e g u ' a v e c I ' a d j o n c t i o n d . e l a c o n d i t i o n s u p p l é m e n t a i r e :

déberrninanrJ

"I

I :

L

/LF;'

.|

=e

L*.z.zrr

L ' é q u a t i o n _{ç i S . 2 . 2 f f r e p r ê s e n t e l e d é t e r m i n a n t s é c u l a i r e} c t r e r c t r é . C e s é 1 é r n e n t s tirrcontiennent i n r p l i c i t e m e n t 1 ' é n e r g r i e E e n f o n c t i o n d u v e c t e u r a ' o n à é ' Ï " t c e c i p a r f i n b e r m é d i a i r e d e s f o n c t '

ions Èt . È,i)

/ \ + ' l c e l a a p p a r a i t d a n s I a f o r m u L a t i o n f A . 2 , I B l . L e d é t e r m i n a n t ç À ' . 2 . . 2 I 1 r e p r é s e n t e p a r c o n s é q u e n t I a

r e l a t i o n _{d . e d . i s p e r s i o n -8,= É(&Felon les d.if f êrents points et}

d i r e c t i o n s _{d e s y m é t r i e ) 4 " ,} I a p r e m i è r e z o n e d . e B R I L L O U I N . T o u t e f o i s l a m ê t , h o d e K . K . R e s t u t i l i s é e p o u r r é s o u d r e d e s p r o b l è m e s o ù I ' o n p e u t c o n s i d é r e r q u e l e p o t e n t i e l a u n e f o r m e s p h é r i q u e , e t q u i d a n s s a c o n s t r u c t i o n e x c l u t t o u t r e c o u v r e m e n t .

f,,,

z

P

s.A.3 CHoIX D'.UN PoTEIUTTEL POUR UNE PRAlrgIrE DU CALCUL

S i 1 ' é q u a t i o n E A . 2 . ? L J r e p r é s e n t e I a r e l a t i o n d e d i s p e r s i o n r e c h e r c h é e , e l l e e s t q u a s i m e n t i n u È i l i s a b l e s o u s c e t t e f o r m e t i l s ' a g r i r a i t e n e f f e t d . ' é v a l u e r l e s _{J Ë ; q d o n n é s p a r I ' é g a l i t é} E 4 . 2 . 1 8 1 c e q u i n é c e s s i t e r a i t l e c a l c u l d S I a f o n c t i o n d e G r e e n p o u r l e s d . i f f é r e n È e s v a l e u r s d . e E e t d e - & - e t l u r t o u t l ' é v a l u a t , i o n d . ' i n t é -g r a l e s à s i x d i n r e n s i o n s . C e d e r n i e r c a l c u l s e r a i t r e n d u e n c o r e p l u s . d . i f f i c i l e p a r I e f a i t q u e l a f o n c t i o n d e G r e e n a d m e È d e s s i n g u l a r i t é s e n i=1,'et q u e I a r é g i o n d . ' i n t é g r a t i o n e s t u n t r y p e r c u b e c o m p l e x e .

(16)

1 4

-E n 1 9 3 7 ' S L À T -E R -E I I , I 2 l _{p r o p o s a l a m é t h o d e d e s o n d e s p l a n e s}

augmentées ( "APW" ) basée sur Ie schéma suivant : d.ans le cristal

1 ' é n e r g i e p o t e n t i e l r e _{d ' u n é I e c t r o n q u i s e r a p p r o c h e d . , u n n o y a u} a t o m i q u e d e v i e n t g r a n d e r p é g a È i v e e t à s y m é t r i e s p h é r i q u e ( situation d o n c s i n i l a i r e a u c a s d ' u n a t o m e i s o l é ) , _{p a r c o n t r e d . a n s l e s r é g i o n s} i n t e r s t i c i e l l e s _{1 ' , é n e r g i e p o t e n t i e l l e} _{d . e s é l e c t r o n s v a r i e I e n t e m e n t e t} j o i n t _{d e f a ç o n c o n t i n u e 1 a r é g i o n p r è s des noyaux.}

Pour développer une approximation et donc une pratique d.u

c a l c u 1 ' S L A Î E R c o n s i d è r e q u e 1 ' é n e r g i e p o t e n t i e l l e _{e s t à s y m é t r i e}

sphérique autour d.e chaque atome j d.e Ia cellule étérnentaire d.u

c r i s t a r , à f i n t é r i e u r _{d ' u n e s p r r e l e a e r a y o n}

f q c e n t r é e s u r l , a t o m e ₄

( c f . f i g u r e E A . 2 l ) e t à I ' e x t é r i e u r _{d e l a s p h è r e e n q u e s t i o n l e p o t e n}

-t i e l _{s e r a c o n s i d é r é c o m m e c o n s t a n t ; cebte forme d.e potentiel} _{e s t}

c o m m u n é m e n t d é n o m m é ' m u f f i n - t i n " _{e t o n p e u t l e f o r m u ] e r c o m m e s u i t} _:

-.t,

aÀ

.>

4i

I e r a y o n ?; sera considéré comme un paramètre et d.éterminê complète-_{r €}

m e n t p a r l e s c a r a c t é r i s t i q u e s d u c r i s t a l . S i d o n c n o u s c o n s i d é r o n s d a n s n o t r e construcbion q u e l e s d i f f é r e n t e s _{s p h è r e s n é s e r e c o u v r e n t p a s e t si on procèd.e à un} c h a n g e m e n t d ' o r i g i n e _{d . e s é n e r g i e s t , e r r e q u ' o n r é a l i s e Wp1=g ; arors} I ' é v a l u a t i o n d e s i n t é g r a l e s _{E 4 . 2 . 1 8 1 s e r a c o n s i d . é r a b l e m e n t s i m p l i f i é e} e t I a d o u b l e i n t é g r a t i o n s e r a l i m i t é e a u d o m a i n e i n t é r i e u r a u x s p h è r e s d u p o t e n t i e r _{d . a n s l a c e l l u r e} _{é r é m e n t a i r e d . u c r i s t a r .}

Le potentiel _{étant donc à synétrie} _{sphérigue autour de chague atone}

i

et à f intérieur _{de chaque sphère atomique, nous obtenons une équation}

d.e Schrôd.inger"solvabl""d."rr" ra base

_f

prtL)

YCrr.(er.f)] ,

êE i"

s o l u t i o n e x a c t e d . e n o t r e p r o b r è m e " . r " t d " l a f o r m e i

ao

nt= -t

) =

{=o

r't=-.L

( ,i(trt-Èd

n)

w(f,)={

L

t"= rf.

pour

ilÈ-Ir <

_rd

ll >fi

E A . 3 . 1 l E A . 3 . 2 l

->

+

Irg

Jftt

çt,:nlpr

_{)ln (â,d}

(17)

1 5 -n o t r e t r a i t e m e -n t variationnel une évidemnent, pour et nous t,enterons forme convergente

l:" ,â)

Tn(i;)=

_-

Z

2=o

ryrL

aj t'.ày

'/r* ( oj , ?à )

. --t)

n â'h

*lr-f A . 3 . 3 l s o l u t i o n d e

njr.if es

1 ' é q u a t i o n

J-t

Læ

t I a f o n c t i o n r a d i a l e f i n i e à 1 ' o r i g i n e ) u ; = g e b ( d i f f é r e n t i e l l e :

tt'S* ry1w;(a.)-Er.JÇât,,.1=

o LA

3 4l

l e s f o n c t i o n s

X [ " d

s o n t l e s t r a r m o n i q u e s s p h é r i q u e s d . é f i n i e s p a r

E 1 3 l :

( /r,*(

e,

ç)

=,-ri*{

_{H Hj,f ttcose)}

/*Y

I

\ w

r y n

+

L/*,-^te,ç)

-- ç)) ,

/il,*,",e)

rA.3.5l

a v e c ! = O , 1 , 2 1 3 . . . e t m = O r L 1 2 r . . . r L

B?*tf

représenÈe le polynone d.e LEcETIDRE

d'ordrel,,(Urn)

étant 1e

(18)

] 5 -F I G U R E E A . 2 l : s p h è r e s d u p o t e n t i e l

-+

t â

-t>

*T

od

_'\lj

ît

di\

lri'

F I G U R E E A . 3 l : r e p r é s e n t a t i o n s p h é r i q u e

(19)

L 7

-s.A.4 WALUATIoN DES EtEMETVTS DU DH|ERMTNANI SECULATRE

N o u s a u r o n s d o n c à e x p l i c i t e r I a f o n c t i o n n e l l e - f L d . o n n é e p a r

1 ' é q u a t i o n E À . 2 . L 4 f e t c e c i d a n s l e c a d r e d e l ' a p p r o x i m a t i o n d ' u n

p o t e n t i e l " m u f f i n - t i n " . P o u r e e f a i r e n o u s d e ' - ' o n s t e n i r c o m p t e d e l a

s i n g u l a r i t é d . e I a f o n c t i o n d e G r e e n a u p o i n t È = l ' ; n o u s r é g l o n s c e

p r o b l è m e e n p r e n a n t c o m m e d o m a i n e d ' i n t é g r a È i o n d e s s p h è r e s d e r a y o n s

fq-âer

f;-

LZ(ç{"t

on écrit que :

l a l <

r A . 4 . 1 l

J\- =

_lLz

a v e c , 4 . 4 . E A T A n t I a o n

F

no

Â. = 7

_{,:':r"f;

tï;;wg(oà)

_^{

^frtî;)-I \rftlei-

_L

-

i {,,i::!'

Ge(Ri'ià')'

%'(nl

) Tr'Ti')}

q oà'.

_{ril :}

u t i l i s e I a f o r m u l e d e G r e e n ,

LI vvi

- +v?]r*

={{r*t-

+s[r]

,,

r e p r é s e n t e I a s u r f a c e e n v e l o p p a n t I e v o l u m " S I ,

$ *

u t "

r m a l e à I a s u r f a " "

F

i c e q u i d o n n e :

3 l d é r i v é e

agu(

_ie

) - i {;t, Çrî;,ii1

{, rnl,)

^f-.r1,

= nrfr.re)_

ï Inl;tj

G*

t {', i;' )

_S

"i, - ç,"1,)

*,,

nif}

_ù

-

i{, ,1il Tâ(ilr(qï+e)

G*(ia.i'iù

(20)

avons 1 4 . 4 . 5 l nou

x

e

- t \

\l I

_{t l} ₎

I J I

t à

5

i

?à

à t

)r

p l | n o l -, à

=n

,3

de obtr

I

l c

oà'

tiâ

f

r

J

e p r u s tenons 1 l

-o t â '

i'=

lj'-l, ?1.,

n o u s r é u t i l i s o n s I e t h é o r è m e d e G r e e n i n t é g r a l e _{d e l a f o r m u l a t , i o n E A . 4 . S l e t}

,.z=

4ll:,{rËlrirà-4

î r,,ir

= ri _re)

Qtt,îà')dlE4:, - T*,i1,):[,qÊ(È,,rD]

,A

4 5l

p r e m i è r e

t A . 4 . 3 l p o u r l a

on about,it à :

J

* - r . 1

_i-

Yr(u) I

( - - q L ' r - r J

rdq'

_{rrl,f t,t,il,)}

*,1

t

-Or^94

\r

,

^4J

.ru,,f

^è =

7à {,ï;;f?{{^1ict'ù-erË'iiÛ'

e n c o o r d o n n é e s s p h ê r i q u e s I a d é r i v é e normale coincide avec l'opérateur

I

cl ' ce qui fournit dans re même systène de représentation :

da-E A . 4 . 7 l

J *à,

Fj,(nj,

₌

1 8 -c e -c i d ' a p r è s 1 ' é q u a t i o n E À . Z . Z f e t t A . 4 . 3 l

(q,t) C(iil,) = 6ci, -tr'a,

₎

et nous

A. = Z t 4 YË

dj) w;(È;

r*J

- >

- -t -

î

't.

_fi-g:

J' ={'=ai

^l -

_f

I q.,t,'"i,)

{:&(ïà,r-

_J"J

- ^/*ci;'ls|,q

- Ts,ilrù,br{,ti,}

(21)

1 9 -r l n o u s -r e s t e m a i n t e n a n t à e f f e c t u e -r r e c a l c u r e x p r i c i t e d . e l a f o n c t i o n n e l l e _{J L 2 | p o u r c e l a n o u s p r e n d r o n s p o u r f o n c t i o n}^ _{d , o n d . e} m o n o é l e c t r o n i q u e M ( E ) a u v o i s i n a g r e d ' u n a t o m e ) d e I a c e l r u l e<l é l é m e n t a i r e d u c r i s t a l , _{c e l l e d o n n é e p a r 1 ' é q u a t i à n E A . 3 . 3 l e t p o u r I a}

'|\ r?;.if,ô

I

foncÈion

b;|l.

_{f " {t /}

..-*- ra poserons comme s-omme

d.e d.eux solutions

l 4 l , u n e r é g u r i è r e eb une singulière en ù =T1r, et nous aurons en

tenant compte du d.éveloppement,,

o

<I

.

ik tÎ-;,1

_ 4 _ I

- r-

ffi

= -

fi+t{["'rrkr)-i{rr

rz')]

/t,,rn*)

.71,,.î".,:j-,

f ctrn à< h,f

I a s o l u t i o n s i n g : u 1 i è r e ,

= -/t

4-Ir

l ^ + - +

q(T,t,)

e-osrliâ-i'àrlt

l1 -ï';'rr

= k . 2 d("4)nrr(x,ul)

[^te;,fg) /*J "j,,

e t c e t t e r é g u l i è r e , . . 1

vl,)

E À . 4 . 9 l

r*(1 ià,) = FÀ/i:r r,;, {j-^i)drr,.{,

/*,rj ) )iJ'nâ,) EA.

4. I 0l

c e q u i f o u r n i t I a s o l u t i o n g ' é n é r a l e :

G*,1,î1,)

=

_{àË"[ &*,.r,,r}

_{{r(ot)fi,(rf;,)}

₊

d e r n i è r

+ k L,5^^

5u,

_4|nn;)

qr(

_k

"1,)J

Xr,id)

. f,',,ii, )

pour

T(

nl,

p,

Ai

T

' e [ '

+

Q i ] S à ' : e à c e â. ( l a r e s

:11

L

o n I f o r n u l a t i o n s r e s t e n t v a l a b l e s

- â g ' [ ' a v e c :

k= vE

,<=;t-e t E A . 4 . 1 1 1 E A . 4 . L 2 ) ( _àà

l,)(

Ê ) o

E1o

o n d i t i E 4 . 4 . l 2 l

e s t

i n t r o d u i t e p a r l a s o l u t i o n 8 4 . 4 . 9 1 .

(22)

. . r

2 0

-,e4

L e s c o e f f i c i e n t s ^ f " ! r f , r r . t q u ' o n v i e n t d ' i n t r o d u i r e s o n t c a r a c t é r i s t i q u e s d e l a s t r u c t u r e d r : c r i s t a l é t u d i é , I e u r é v a l u a t i o n e s t i n d é p e n d a n t e d u p o t e n t i e l c r i s t a l l i n e t l e u r m é t h o d e d ' o b t e n t i o n s e r a e x p o s é a u c h a p i t r e C .

Les fonctions

l"ir.)

et 'na(L) sont

N E U M A N s p h é r i q u e f f 1 4 l _{; e l l e s} s o n t standard -t par : r e s p e c t i v e m e n t c e l l e s d e B E S S E L e t r e l i é e s a u x f o n c t i o n s d e B E S S E L

{

dr,"t

=

_{(-=^f'J"**,n)}

L \2rL)

_{= ,_rl^L\f,J_+(L)}

f A , . 4 . r 3 l

l e s p r o p r i é t é s d ' o r t h o g : o n a l i t é d e s L r a r m o n i q u e s f a i s a n t t e n d . r e t + O o n t , r o u v e p o u r I a f o n c t i o n n e l l e A v e c c e s d o n n é e s , s p h é r i q u e s _{r e t , e n}

J L :

"f'^, "{t',,i,^

4'r4l

(rtrj)r

t\=

_{i i Ë'.}

_rT,,

_àI,*Êi^

a v e c I . . f

^d{

t

lrvr.rf"r,l

=

r [ {,, nà,),

+ k jr.,

&nitL,

.I

_ànj

["*x{).

{'tjJ,

and 'oi=

rj

&{r.r)

-adrttt,

. f

1,,'il'

q'=

nl'

iP'u<"!')'R

-

,,,{rlx"i')

n{,,"irla!,

=

_ç1r

S,ql-)ob'

t-;

L {'t,*

$t,- dr,*s)r

,ko,"ill

i

ou

',1

Et

_J-

_{- àà*H}

-a

nll,t!,)

àal3t

{rr' Lr1,

*

8 4 . 4 . 1 5 1

(23)

2 L

-C e c i é t a n t ' _{p o u r r é e x a m i n e r notre procéd.ure variationnele,} _{r t o u 6}

c o n s i d é r o n s q u e I a f o n c t i o n n e l l e - Â - e s t u n e f o n c t i o n d . e s p a r a n è t r e s

Cl{ , soit :

A

-a-

!- -xA

-*tl

*i

^+e

-l

--J L = _{J - L i} _{O -} _{f , -} - ( . t - - t - i f À . 4 . i 6 j

l_ \oo I ,-ro i

- -.- , Ètr^r...i F4,.,*.G,i),

_f'c(ù

r e p r é s e n t e l e n o m b r e t o t a l _{d e s a t o m e s d e l a c e l l u l e} _{é l é m e n t a i r e} _{d . u} c r i s t a l _{e t 1 e p r i n c i p e v a r i a t i o n n e l} _{s ' é c r i r a} _:

eu^

c e q u i f o u r n i t d ' a p r è s 1 , é q u a t i o n l - i n é a i r e s e n _F.&.rtl,t'f , â ' :

5 ffl = o

rA'4'

171

E A . 4 . t 4 l l e s y s t è m e d ' é q u a t i o n s

{tt =

ârt

o f ,

lri

f d,"ir

_Ht-6,*ï)

o],

rï'I

a4lt

E

_r4

cl.e

^t']*=

bien ent,endu fixés colonne par :

E 4 . 4 . 2 1 1

,-t

à { r

)

,nl

,{,

,t

rrulr)

-l

_r

_,1,

l

à

'"i'' 'l ri - ^il,i'*' J = o .o.4.r'l

I ' é c r i t u r e _{t A . 4 . l 8 l é t a n t f a i t e p o u r r e t r i p t e t} _{f i x é} _{( j , 1 , m ) .} N o u s o b t e n o n s u n e s o r u t i o n c o m p a t i b l e d u s y s t è m e E À . 4 . 1 8 1 a v e c l ' a d . j o n c t i o n _{d e l a c o n d i t i o n} _: d é t e r m i n a n t é I é n e n t s d e m a t r i c e d u d é t e r n i n a n t a 1 g é b r i q u e s d e s d é t e r m i n a n t s i

ligne par 1a quanÈité :

j , I e t m é t a n t d i v i s o n s c h a q u e ,,

fi

xZ

_+'

A f i n d e f a c i l i t e r 1 ' é v a l u a t i o n d e s 8 A . 4 . 1 9 1 o n e x p l o i t e l e s p r o p r i é t é s

nous divisons parconsêquent chaque

pour chaque ligrne,

1 4 . 4 . 1 9 1 E 4 . 4 . 2 0 1 plus nous

{,ft'il;)"

, g{,{{

- >rIt=

74

(24)

f t l j , I e t m - é t a n t f i x é s d é t e r m i n a n t s i m p l i f i é

2 2

-pour chaque

c o l o n n e c e q u i n o u s o f f r e I e

I

l=.

I

Pi'

I

22J L e d é t e r m i n a n t t À . 4 . ? 4 J a s s u r e l a c o n n e c t i o n e n t r e I e s d . i f f é r e n t s

p o i n t s e t d . i r e c t { g n s Te1 ae symétrie par f interméd.iaire d.es constantes

d.e structure A1!

l f ^ r t ;

e t d e s é n e r g i e s é l e c t r o n i q u e s E p a r l , i n t e r m é

-d i a i r e d u p a r a m è t f e ^ b t t r e p r é s e n t e e n c o n s é q u g n c e I a s t r u c t u r e d e s

b a n d . e s d . ' é n e r g i i e E= f($)

_{s e l o n l e s d i f f e r " r , a " E;U"-f"}

p r e m i è r e zônt

d e B R I L L O U I N . 1 1 f a u d r a i t _{p o u r ê v a l u e r f A . 4 . Z Z J , c o n s t , r u i r e u n p o t e n t i e l} _{a u t o u r d . e} c h a q u e a t o m e j d e I a c e l l u l e d u c r i s t a l , _{r é s o u d r e . 1 ' é q u a t i o n r a d . i a l e} E A . 3 . 4 l a f - i n d . ' o b t e n i r l e s f o n c t i o n s r a d . i a l e s q l C l ) e t é v a l u e r l e s

d érivées losarithmiques r$&ltt.

ahi

P o u r c h a q u e v a l e u r d e 1 o n a u r a 211+1 valeurs de m et en limitant I e

déveroppement d.e la fonction d.'ond.e à Ia vareur l=luo.(à)

"" aura

n ' , , r f , l

_{+ @xt+tJ+,.- * (f.e,,,.r.(il+/)] triprets ( j,r,n) : c,esr l,ord.re}

d u d é t e r m i n a n È E A . 4 . 2 2 ) .

s.4.5

UTILISAUoN DES HARMONIQUES

DU RESEAU

i

L a d u r é e d u c a l c u l e s t é t r o i t e n e n t l i ê e à l , o r d r e d . u

d.éoterninant, tA.4 .22) : pour re group" Dâ 7 en Ee rimitant à

, L r . l a c , Q l = À , _{c e t o r d r e s e r a i t} _{d e L E , m a i s i I s e r a i t} _{d . e 3 6 p o u r}

ô

-- l ^ n Ci)=t, I e d é t e r m i n a n t é t a n t e n o u t r e à t e r m e s c o n p l e x e s .

La t'héorie des groupes permet d'abaisser considérablement

c e t o r d r e . E n e f f e t , à f i n t é r i e u r d e c h a q u e s p h è r e a t o m i q u e j r l e s f o n c È i o n s d ' o n d e p e u v e n t s e m e È t r e s o u s la forme t ;

Y{,x)=

_Èc\qc1)

_$rrt

l'.

dr{ 4l^,0,*

+ kJgrlL,,

I

E A . 5 . 1 l

(25)

les fonct,ion" 4lËsont, d.es

niques spneriqïâs d.e même

44rL

d1 =

2 3

-c o m b i n a i s o n s I i n é a i r e s s y m é t r i s é e s d , h a r n o

-I ; ce sont les lrarmoniques du réseau :

z

!1n

nt^r.*X^

f A . 5 . 2 l

l e u r o b t e n t i o n

f A . 5 . 3 l N o u s donnons e n c h a p i t r ei r r Ç r r c r p r L r e r J r a p r o c e o u r e I a p r o c é d u r e a s u l v r e s u ] ' v r e p o u r r e u r r o b t e n

a i n s i q u e l e u r fggme pour tous res grroupes de synétrie

_{9 ( l i ; ) a . =}

v e c t e u r s d . ' o n d e XtU" la première zône d.e BRILLOUIN

r

À v e c l e s r e l a t i o n s f A . 5 . 1 l e t E À . 5 . 2 1 I a f o r m u l a t i o n d e I a f o n c t i o n d ' o n d e a u t o u r d ' u n a t o m e j d e r a c e l l u l e s e m e t s o u s r a f o r m e :

Tt,l)=

_Lrt

z

_flnçirq).6

_\*yr^rii)

e t I e d é t e r m i n a n t t A . 4 . Z Z J d e v i e n t :

,àtL

ts{i'

I.lr1ir'r'

* u5aâ'L,6*

f i l

Br)r*,sont

reliés à ceux

par :

!xl,,u,

=

_è*

_{.î:i^I

^rur,

_di:I,

o ù l e s c o e f f i c i e n t s

dl,,*

8 4 . 5 . 5 l f A . 5 . 3 l . c o m m e c e l a a p p a r a i t d a n s l e s é q u a t i o n s E A . 4 . z J , E A . 4 . r 4 l e t t i o n i r d ' o n d e

L ' i n d i c e

_{f , a é t é i n t r o d , u i t p o u r s p é c i f i e r u n e . r e p r é s e n t a}

-uctible

donnée pour un groupe d.e synétrie

3(&;)

d.u vecteur

de Ia première zône de BRILLOUIN.

L ' o r d r e _{d u d é t e r r p i n a n t E A . 5 . 4 l s e r a p a r c o n s é q u e n t égal au} n o m b r e d . e s c o e f f i c i e n t s E j r j , " t t o d u i t s _atr d . a n s l a f o n c t i o n d , o n d e E A . S . 3 l e t l e p r i n c i p e v a r i a t i o n n e l E À . 4 . L 7 7 s ' a p p l i q u e r a b i e n e n t e n d . u p o u r c e s c o e f f i c i e n t , s . r ê d

a

(26)

2 4

-CHAPITRE B

SYMLTRIE TRIDIMEI{SIONNELLE

DU GRAPHIIE

$ . 8 . 1 R E S E A U D T R E C T L a s t r u c t u r e c r i s t a l l o g r a p h i q u e _{d u g r r a p h i t e t y p e h e x a g r o n a l} a é t ' é d é t e r m i n é e p a r J . D . BERNAL tr5l et f,tÀuGHrN t r 6 l . N o u s d é f i n i s s o n s l e s n o e u d s I e s t r a n s l a t i o n s p r i m i t i v e s

n o u s a v o n s l e

+

u n i t a i r e s 4 r ,

du

->

c,

da c o o r d o n n é e s

"t?5,

Æ L à

o[-t

rÈâ

a v e c e n u n i t é s a t o m i q u e s I

d f l = 4 . E 4 L L G 7

u . a

1 2 . 6 5 3 6 0 7 u . a ce qui donne le rapport,

2 . 7 2 6 3 8 4

Le paramèt,re d représente la distance carbone-carbone et C

l a d i s t a n c e _{e n È r e d e u x p l a n s d e m ê n e nature, c'est-à-d.ire} _{p a r r a l l è l e s} e t t e l s _{q u e I e s a t o n e s d e carbone se projettenÈ} _{l e s u n s s u r l e s a u t r e s} s e l o n 1 a d i r . " c i o n _{f ,} _{( p t a n s p I e t p 3 d . e I a f i g r u r e E B . I I ) .}

o

+ + - '

À 1 ' a i d . e d e s v e c t e u r s C a , C a , " t Ç o n c o n s t r u i t l a c e l l u l e é I é m e n t a i r e d u c r i s t a l d e I a f i g u r e E B . 3 J , s o n v o l u m e 5 l - e s t d . o n n é p a r l e p r o d u i t mixte : r é s e a u d i r e c t d e c e t t e s t r u c t u r e p a r .rl, _È , Ç r e L ç t d e s f i g u r e s t B . I l t B . Z l e t n s I e r e p è r e ( O X Y Z ) d e v e c t e u r s

u r s

+

or

*gaïl

-,J>

2-z

r+

C 4 =

+

cL--+

G s =

t B . 1 . 1 1

r B . 1 . 2 l

E B . 1 . 3 l c = a

sr= tZ.(e"àll

E B . 1 . 4 f

(27)

-25-s o i t , -à 0. dans la € d i c t é e p a r s i t u e à I a v o i s l n s .

2 5L = a...6 =

2 3 6 . O 4 7 5 5 9 , U . q , L a t r a n s l a t i o n d e v a l e u r C / 4 e f f e c t , u é e c o n s t r u c t i o n _{d e 1 a c e l l u l e} _{é l é m e n t a i r e} I a n é c e s s i t é d e m a t é r i a l i s e r I e c e n t r e m o i t i é d e I a d i s t a n c e e n t r e d e u x p l a n s P a i s o n s l e d é c o m p t e d a n s l a mai_lle ,=I . - + Â - * ^ n o u s s a v o n s q u e I ' a n g 1 e e n È r e ₄ " t T O " " t ( T ^ r E " ) = L z o o , e t q u e chaque atome B et À compte pour un

a l o r s q u e s u r l e s a r ê t e s p a r a l l è l e s P o u r l e s a n g l e s à L Z } o : 4

F o u r l e s a n g r l e s à 5 0 o : 4

c e q u i r e p r é s e n t e u n t o t a l _{d e q u a t r e a t o m e s d . a n s I a c e I I u I e} _{é I é m e n}

-t a i r e d u c r i s -t a l d u g r a p h i t e .

U n c a l c u l _{é I é m e n t , a i r e d o n n e l e s c o o r d o n n é e s d.e ces quatre}

a t o m e s d a n s I a c e I I u I e d u c r i s t a l _{e t c e c i d a n s I e r e p è r e ( O X y Z ) :} E B . I . 5 ] s u i v a n t I a d i r e c t i o n d u c r i s t a l e s t d ' l n v e r s i o n _{q u i s e} g r a p h i t i q u e s , ' s o i b 2 x I on aura : = 2 a t o m e s , E B . I. 6 ] I a f i g u r e Pl aux d ' a t o m e s d ' a t o m e s

=g

6

=!

6

a t o m e

+

, ? -5 x 1 3 x I 6

+

1,;*%

z/,;q Èâ

+

È,, = ;i = t/,* ?â

â"=

t3 Ëie +î1+4

È= = ,i^ -- inù + a/26t2

ân = æ4= & *wA,lt

Si maintenant on pose T-A|nous voyons

t B . 3 l , _{g u ' o n p a s s e d e s a t o m e s A e t B d ,}

atomes Al et BI du plan graphitique p2

Ii^^

trÈ, = ôÈ*

t

manifestement sur un plan grraphitique e n f a i s a n t , E B . 1 . 7 l

(28)

2 6

-eu

,1'

I

l

---'-rQ

(29)

2 7

(30)

-28-e-{

Qx

(31)

2 9 -C e s r é s u l t a t s s o n È u t i l e s p o u r 1 ' é v a l u a t i o n - Li, . [ ) ; ; p o u r l e s d i v e r s a t o n e s j e t j ' = I , 2 , 3_-tn d o n n o n s d a n s l a t a b l e E B . ï l l e s d i f f é r e n c e s n u m é r i q u e d e s c o e f f i c i e n t s p a r s u i t e n o u s qul nous e t 4 , e t

Q-Èa'

p e r m e t t r o n t d e t r a i t e r d e l ' i n v a r i a n c e d e l a f o n c t i o n d e G r e e n ( c h a p i t r e _{C ) . N o u s d o n n o n s c e s d i f f ê r e n c e s} _{e n f o n c t i - o n d e s p a r a n è t r e s}

o C

e t p . a e r i n i e s p a r :

s(. =

gïf

.

il5'a

_{E B . I . B ]}

s.8.2 SYMETRTE LOCALE ET GLOBALE

l i q u e à

+qLF{, ^^tn 2

é t a n t d e s e n t i e r s q u e l c o n g u e s , o n n e c r é e q u e l a m o i t i é d e s a t o m e s d e c e p l a n g r a p h i t i q u e ( a t o n e s d e c a r b o n e d e t y p e A n a r q u é s e n n o i r ) . A f i n d e c g g p l é t e r c e p l a n , i l f a u d r a u t i l i s e r I a t r a n s l a t i o n n o n p r i m i t i " . A = À Ë = Ë - ? e . € È c e c i d a n s I e b u t d . e c r é e r u n s e c o n d a t o m e d e c a r b o n e d e È y p e B ( a È o m e s m a r q u é s e n b l a n c ) ; c e t a t o m e B s e r a u t i l i s é c o m m e n o u v e l l e o r i g i n e q u i p a r a p p l i c a t i o n d e s t r a n s l a -t i o n s p r i m i -t i v e s d ^ 4 * ; W e , f i L ) e t , . r , l t a e s e n t i e r s q u e l c o n g u e s r e s t i t u e r a I a s e c o n d e m o i t i é d e s a t o m e s d u p l a n P l . .

Nous voyons donc que pour créer intégralement un plan

g r a p h i t i g u € , n o u s a v o n s b e s o i n d e d e u x t y g " d ' a t o m e s d e c a r b o n e

A et B et d.es translations fondanentales E" et,Ç

L ' e n v i r o n n e m e n t d e c h a q u e a t o m e d e c a r b o n e q u ' i I s o i t d e

t y p e A o u d e t y p e B p o s s è d e c o m m e s y n é t , r i e l o c a l e c e l l e d ' u n p r i s m e

t r i g o n a l a y a n t p o u r b a s e u n È r i a n g l e é q u i l a t é r a } , I a s y m é t r i e d e c e t

environnement local étant décrite par le groupe poncÈuel Daçayant

p o u r é I é m e n t d e s y m é t r i e :

F=Ë

D a n s 1 e p l a n P 1 ( c f . f i g u r e E B . z l ) ' s i o n a p P I ' a t o m e d e c a r b o n e A , l e s t r a n s l a t i o n s p r i m i t i v e s r \ T a

Ds&=

{

E ) Lcs,3ce,q,,tÊrr3qt}

(32)

3 0

-TABLE E.B.

r I

DïFFERENCES

_,a

+>

?-

Aà,

*r={

o13'

".1,i'

4 ,

,^/,4'

->

od

4 , â ' =

+

o à ,

'lr9,r3 "I 4

cL

=,

,d: =-L

₄

Y5' oc

,lL

D L â = O

(

ù-Èrr= À,

É= ft.

É=-a

_€ 3 . d

d; = -TF

-Tr

( î . * - Ti-oL TT -

Ti-

V3''ot-= J L

3 . o c

= I

-2,F

- 2r7

{o*

1dl'

L "'!'

È', - È^+

(33)

3 1 -L e p r o b l è n e q u i s e p o s e à p r é s e n t e s t c e l u i d e l a c r é a t i o n à p a r t i r d u p l a n P I , d e s a t o m e s d e c a r b o n e d e s a u t r e s p l a n s P 2 e t P 3 t o u s c o n s i d é r é s c o m m e p a r a l l è I e s à P l . -i> L a t r a n s l a t i o n p r i n i t i v " _{G - c o n s t r u i t} J - e p l a n P 3 e t p l u s - > P g é n é r a l e m e n t l a t r a n s l a t i o n W S T E , / v ù g é t a n t u n e n t i e r q u e l c o n q u e f r e c o n s t i t u e r a t o u s l e s p l a n s d e m ê m e n a t u r e g u e P I e t P 3 . P a r c o n t r e p o u r I e p l a n P 2 , i I e s t n é c e s s a i t " g ' a p p l i q u e r a u x a È o m e s d e t y p e s A e t B I a t r a n s l a t i o n n o n p r i m i t i v e Z t e l l e q u e :

U = %i* * AruiZ +r/a.ïe

t 8 . 2 . 1 l

c r é a n t a i n s i l e s a t o m e s d e c a r b o n e s d e t y p e s A l e t 8 1 d a n s P 2 .

A c e s n o u v e l l g s o r i g i n e s A I e t B I , 1 ' a p p l i c a t i o n d e s t r a n s l a

-tions primitives

"t^Z^+^tle

, rri)et ^!4."

"r,rt.r"

quelconques,

p e r m e t t r a d e r e t r o u v e r 1 a t o t a l i t é d u p l a n P 2 . E n c o n c l u s i o n , i } n o u s f a u t d o n c p o u r d é f i n i r I a s t r u c t u r e t r i d i m e n -s i o n n e l l e d u g r a p h i t e : i ) I e s q u a t r e a t o m e s d e c a r b o n n e d e t y p e : A T B T A I e t B I . _{- f}

= + ' +

i i ) l e s t r o i s v e c t e u r s d e t r a n s l a t i o n s p r i n i t i v e s _{Q a , Ç 1 . È : 3 .} C e c i n o u s c o n d u i t à i n t r o d u i r e d e s o p é r a t i o n s d e s y m é t r i e s u p p l é m e n -t a i r e s à c e l l e s d u g r o u p e \ * ; c e s o n t l e s o p é r a t i o n s d e s y m é t r i e s u i v a n t e s :

{ran )

Crârrr âss t3szr.oÉ,J

L ' e n s e m b l e d e t o u t e s c e s o p é r a t i o n s d e s y n é t r i e c o n s t i t u e I a s y m é t r i e g l o b a l e p o n c t u e l l e d u g r a p h i t e ' s y n é t r i e d é c r i t e p a r l e

groupe ponctuel Ogf,.

A v e c 1 ' a d j o n c t i o n d e s t y p e s d ' a È o m e s d o n n é s p l u s h a u t r o n

d é f i n i t

I e g r o u p e O t * a e l a s t r u c t u r e t r i d i m e n s i o n n e l l e

d u r é s e a u

(34)

3 2

-s.8.3 CLASSEMENT DES PROCHES V0ïSINS ("L')

A p a r t i r _{d ' u n a t o m e d e c a r b o n e p r i s conrme origine,}

c o n s t r u i s o n s _{l e s s p h è r e s s u c c e s s i v e s d e rayon Di portant sur leur}

s u r f a c e l e s d i f f é r e n t s _{a t o m e s v o i s i r r s d e m ê m e r a y o n .}

P r e n o n s I ' o r i g i n e _{s u r I ' a t o m e A d . e l a c e l l u l e u n i t a i r e} _{d . u c r i s t a l .}

l ) L e s a t o m e s d u " t y p e A " entourant A seront atteints p a r d . e s

t r a n s l a t i o n s p r i m i t i v e s fl a.rres gue :

+,

_.5

AA^= X^ = ^rl, +

_".a,Zt

_{+ ^s è}

E B . 3 . 1 l

le point A^désignant _{un atome de "type A" entourang A. ,lrl , th4eL}

rvl3 des entiers quelconques _{; nous otenons :}

fi.= (^^-î").^.à *

_{I ^r?r +}

4s.Ê.E

EB.3.

zl

e t

l,r =*rû;r={t

(q^-.pl.id]"l * 4.æs

f

EB.3.3l

c e c i . d ' a p r è s l e s d é f i n i t i o n s _{d u S . 8 . 1} 2 ) P o u r a t t e i n d r e _{l e s a t o m e s d e " t y p e B , , e n t o u r a n t} _{l , a t o m e A , n o u s}

d e v o n s é c r i r e q u e

:à

->

+

'-r'"

ABa= f,-+ 6-n

i''

{

= ç"'- ?)n'È *(5^ ôù +

_{"" ){}

_{* ^. " ?ô}

Ie point B désignant _{un atome de "type B,' entourant} _{A, nous avons}

donc ,

Dz

-- rat,r

₌

t t,

*Lâ-?Ë

($.^"fr|]..

d,*1i

(35)

3 3 -P a r c e p r o c é d é , n o u s n ' a È t e i g n o n s p a s t o u s l e s a t o m e s v o i s i n s d e A , e n e f f e t : S i n o u s n o t o n s J F o l e p l a n g r a p h i t i q u e c o n t e n a n t I ' a t o m e o r i g i n e A e t s i n o u s n o t o n s T * 1 , ' 1 8 t , - l l + 7 . . . e t c l e s a u t r e s p l a n s d e p a r t e t d . ' a u t r e d . e fF o , n o t r e t r a i t e m e n t n ' a u r a a t t e i n t q u e l e s p l a n s ' - . - I f r * , T g , J t , T l g , T i ' A . . . . p a r c o n s é q u e n t l e s a t o m e s d . e s p l a n s . 7 f _ 3 , T l _ Â , \ , T Î 3 , . . . n e s e r o n t a t t e i n t s g u ' e n u t i l i s a n t l a p r o c é d u r e s u i v a n t e : 3 ) P o u r l e s a t o m e s

->

l r A Attr-d e " t y p e A l " e n t o u r a n t rS ">

rt*+ T

I ' a b o m e A o n é c r i r a q u e : t B . 3 . 6 l E B . 3 . l I l I e p o i n È A $ r e p r é s e n È e u n a t o m e d e " t y p e A l " a t t e i n t e t e n t o u r a n t 1 ' a t o m e A , s o i t :

->

{A^n--

(*"-

? **)'?,-,'(E \* rlul'{+(*s+â)"8

3'7r

ê t , + - - > (

-Dr=

_lAa,J=J

ft* -?t)'(g^"r U"flÈ

_EB.3.BI

['

+ (^,

.+fÈ]ut,

4 ) P o u r l e s a t o n e s d e " t y p e B l " e n t o u r a n t I ' a t o m e A o n é c r i r a q u e :

' à

?

- +

+

E B . 3 .

e l

ABrr'-= ë,-+Z + Z-d

R ? , . r e p r é s e n t e I ' a t o m e d e " t y p e B I " a t È e i n t , s o i t : - > 8 8 . 3 . 1 0 1

AB'"=

_{("^-p+).e. hr$E).{ * @al.*t)A,}

e f

={[t"--r\ '-)

Jtr = lf ABr,rX

(36)

A v e c c e q u i p r é c è d e n o u s aurons atteint _{t o u s } e s t y p e s d , a t o m e s d.e} c a r b o n e e n b o u r a n t l ' a t o m e A. N o u s r é s u m o n s c e s r é s u l t a t s d a n s l a f o r m u l a t i o n u n i f i é e s u i v a n È e :

D;={f ,=-â-ll*rf.

ilr.tlTd*1æez)L"l"'

3 rzr

l e s p a r a n è t r e s X r Y , e t z s o n t c e u x d . o n n é s d . a n s l _ a b a b r e fB.rrl. 1 1 e s t à n o t e r q u e l e s raisonnements que nous venons d.e tenir sont é g a l e m e n Ù v a l a b l e s p o u r les trois autres atomes d.e carbone de la c e r r u l e é 1 é m e n t a i r e d u c r i s b a r d u g r a p h i t e s t r u c t u r e type

hexagronal.

Un programme en FORTRÀN nommé voisins _{DAT' a été écrit} _et

n o u s f o u r n i t _{l e n o n b r e d ' a t o m e s s u r res d.if f érentes sphères d.e}

r a y o n s D i a i n s i q u e r e u r s distances respectives par rapport à un a t o m e d o n n é f i x é a u d é p a r t e t c e c i d . a n s I a t a b r e E B . r r r l .

3 4

-C e s r é s u l t a t s _{p e r m e t t r o n t d e c o n s t r u i r e} _{1 e}

c r i s t a r l i n _{d u g r a p h i t e f r B 1 p a r 1 a m é t h o d e d . i t e o C}

( m é t h o d e "{-Lô[,DIN") eb d.e traiter ] e s i n t é g r a l e s

r21,r+l

s.8.4 OPERATIoNS

DE SYI,IETRIE

p o t e n t i e l c i e L ô I r ù D I N f I 9 , 2 0 -de recouvrement E

r

9[,

L e s r a i s o n n e m e n t s g u e nous venons de tenir au S.B.z nous

ammènent aux opérations _{de syméÈrie du réseau du graphite} _type

hexagonal _{que nous énumérons comme suit} _:

r 1 ' o p é r a t i o n i d e n t i t é

: I ' i n v e r s i o n

: _{un plan de syurétrie de normal}

c y , c ' y , c " y r 3 axes d'ord.re 2 cont,enues dans le pran Ci'.h. ayant

p o u r normales respectives :

+

2â'

-Io

o

'a{=

_{(t '}

_i'î=lt)

_{d î!=(}

(37)

3 5

-T A B L E E B . I I I ]

"Êi,lii de: 5FriEâES,:: tittlliH5 pt NL-lfiFF:E iie,;li!lltil-;

i i, ir:iilii+E+iiii i r . 1 1 1 ? i [ + i ] i ir . Z4!9,:i+'L I | . :SlËlE+'l i i!.llltiiE+iii iJ.;:,5lilirii1 * , :Tq47Etir I ,.1.415]48+iri i: , 4?-ql4E+(r I 11. _4:*trÇl!+ii₁ i i . 4 ? i 6 i t E t i ; 1 it. iiiiit.i{+t': i i; , -r i 1Ê7Ei,.r 1 i r . = 4 i t 1 E + i ) l ir .l,l?niE+1:)l ':i.:lc'l788+ii I r . ' r È i i + i È f 1 - , 1 i!,nig:i{:+i}1 i; . .i5iL jjE+:.r I i),,i:çitjE+i1 ii, .iç!.iit!+'-r 1 rr , ..Ë4t7i+'.J i l f . . ' l - 1 . : i ! ' l + ' - i i.;. 7i;?!'(Efli ! i r . : i l l c E + { j l it. li7?lE+i: i i!. 7.1l4iE+iii ir. 1174t'E+rl I i:}. j5û?lE+(:r1 ij.767.58E+iil i,73458E+ill il . -Cn 1 4E+{.r l 0, i9I45E+'J! iJ.Efi9"qEE+il1 i ; . F 7 î l 9 E + i l l il. Ë-r,iiôEE+ii1 t1.94îilE+i]1 {. gSl4rqE+i) I i. E5E I 4E+il Le ravrn Êst eriDrimÉ er FEF;!:rE 1 T i i n _{T A B L E T B . I I ]} P a r a n è t r e s X , Y , Z e t d i s t a n c e s D i . ri ,t 1 1 La r a ' r a : i i: !A ! i '.' n l L\ ! - l Ê 1 1 I r 1 i 1 ' l 1 . . ! i,j' Ar,nct rnpm;