CALCUL DES SEUILS DE FATIGUE EN MODE I ET II ET MODE MIXTE I+II PAR LA THEORIE D’ADAPTATION

(1)

3^ème Conférence Internationale sur

le Soudage, le CND et l’Industrie des Matériaux et Alliages (IC-WNDT-MI’12) Oran du 26 au 28 Novembre 2012,

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CALCUL DES SEUILS DE FATIGUE EN MODE I ET II ET MODE MIXTE I+II PAR LA THEORIE D’ADAPTATION

M. Bouchedjra, M.A. Belouchrani

Laboratoire Génie des Matériaux, Ecole Militaire Polytechnique, BP 17C Bordj El Bahri, Alger.

Moussa.moas@gmail.com, belouchrani_ma@yahoo.fr.

Résumé :

Ce travail est une contribution au calcul de seuil de fatigue par une méthode numérique qui est, en général, expérimentalement à partir de la courbe de propagation de fissure. Le principe de cette méthode repose sur l’analyse d’adaptation appliquée à une structure bidimensionnelle (plaque) fissurée, dont la résolution se base sur la méthode des éléments finis et la programmation mathématique. Nous avons calculé des facteurs d'intensité des contraintes correspondants à l'état d'adaptation à partir de la charge d'adaptation et les expressions de facteur d’intensité des contraintes de la mécanique de la rupture, pour trois modes de sollicitations : mode I (ouverture), mode II (cisaillement) et mode mixte (I+II).

Mots clés : Seuil de fatigue, adaptation, facteur d’intensité de contraintes, éléments finis, optimisation.

1. INTRODUCTION

Dans la pratique, la fatigue s’effectue en deux étapes : dans un premier temps, il y a amorçage d’une ou plusieurs microfissures qui vont se propager de façon irrégulière, puis l’une d’entre elles dominera la propagation de façon stable jusqu’à la rupture brutale de la pièce. L’un des paramètres caractérisant la propagation des fissures de fatigue est le seuil de fissuration en fatigue ( ), ce paramètre nous permet de savoir si une fissure est capable de se propager sous ce type de chargement.

La première tentative de coupler la théorie d'adaptation avec la propagation stable de la fissure est due à WIECHERT [1]. Bien plus tard, HUANG & STEIN [2] utilisent une méthode analytique d'adaptation de ces mêmes auteurs, afin de tirer un facteur d'intensité de contraintes à l'adaptation pour une plaque sollicitée en tension, la fissure est assimilée à une entaille aigüe suivant le concept du bloc de matériau de NEUBER [3].Dans le travail de BELOUCHRANI et al.[4], une extension du théorème statique d'adaptation aux structures fissurées est proposée, utilisant une analyse de la rupture développée par NGUYEN QUOC SON [5]. Les auteurs ont bien montré que les structures fissurées peuvent s’adapter, et il n’est pas constaté de rupture par plasticité ou propagation brutale de fissure.

En se basant sur cette extension du théorème de MELAN [4], nous présentons dans ce travail une technique indépendante de la courbe de fissuration pour la détermination du seuil de fatigue, et ceci pour différents modes de chargement (mode I, mode II et mode mixte I+II).

2. FORMULATION DU PROBLEME D’ADAPTATION POUR UN CORPS FISSURE

Il a été proposé [6], qu’un corps fissuré s’adapte sous un chargement donné, si on peut trouver un champ de contraintes résiduelles indépendant du temps et qui satisfait les conditions suivantes :

(2)

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⁾ ) ) )

(1) Avec une condition supplémentaire sur la longueur limite de la fissure :

(2)

où est donnée par l’expression suivante :

[

∫ ] (3)

Où la longueur initiale de la fissure ;

m et V : constantes caractéristiques du matériau représentant les paramètres de la courbe R ; longueur limite correspondant à l’état d’adaptation de la structure.

Pour contourner le problème de la singularité du champ de contraintes élastiques, on assimile la fissure à une entaille de rayon fini, idée similaire au concept du bloc de matériau introduit par NEUBER

[3] pour les entailles aigües. Ce concept consiste à considérer l’avant continu d’une entaille aigüe comme un bloc de matériau de dimension finie , à travers lequel, les contraintes restent inchangées.

Pour obtenir les contraintes solutions, l'entaille originale doit être remplacée par une entaille fictive de rayon ( : rayon de l'entaille originale), (figure 2).

En se basant sur l'expression de la distribution des contraintes au voisinage de la racine de l'entaille donnée par CREAGER [7], l'expression de est :

(4)

Avec : le rayon de l'entaille fictive,

la longueur de bloc du matériau de NEUBER (constante du matériau),

un facteur dépendant du type de chargement, il est égal à 2 en mode I et 0.5 en mode III [3].

RADAJ et ZHANG [8] donnent des valeurs de n pour le mode II et le mode mixte (I+II) : n = 0.074 pour le mode II,

)

) pour le mode mixte (I+II) avec étant le facteur d’intensité de contraintes Donc le rayon de l'entaille fictive est égal au rayon de l'entaille originale augmenté de n fois la dimension du bloc de matériau de NEUBER.

a) entaille modifiée b) fissure modifiée

Figure 2 Concept de bloc du matériau de NEUBER.

(3)

http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 16 Dans le cas d'une fissure, le rayon du front de fissure fictive, noté peut être obtenu en mettant dans l'équation (4) :

(5)

L'équation (5) indique implicitement que la fissure peut être traitée comme une entaille de rayon (figure 2).

En effet, les expériences avec différents matériaux faites par FROST[9], JACK& PRISE[10], et SWANSON et al. [11], montrent qu'une structure fissurée, sous des chargements cycliques, se comporte de la même manière qu'une structure entaillée de même géométrie et de rayon très petit devant la longueur de l'entaille.

Dans un travail de HUANG& STEIN[3], est établi égal à dix fois la taille du grain ):

(6)

Pour la suite de notre travail, l'équation (5) semble la plus appropriée pour établir le rayon au fond de fissure fictive.

On combine les équations (5) et (6), on aura les dimensions du bloc de matériel de NEUBER pour différent mode de chargement :

pour mode I,

pour mode II, pour mode III,

)

) pour mode mixte (I+II).

3. FACTEUR D’INTENSITE DE CONTRAINTES A L’ADAPTATION

On considère une plaque rectangulaire constituée d’un matériau élastique parfaitement plastique contenant une fissure aigüe, soumise à un chargement ). Les valeurs de )varie arbitrairement avec le temps, mais dans des limites donnée

s

et

.

Le facteur de charge à l’adaptation est une solution de problème d’optimisation suivant

:

)

(7)

où satisfait

:

{

(8)

⁾ ) ) ) (9) avec une contrainte sur la longueur de la fissure :

( )) (10)

où ⁾ )représente la solution de problème élastique de référence

Le facteur d’intensité de contrainte à l’adaptation se calcule par les expressions suivantes :

(4)

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( ) √ Mode I

( ) √ , Mode I

) (( ) ( ) ) Mode mixte selon le modèle de TANAKA

) (( ) ( ) ) Mode mixte selon le modèle de RICHARD

où

( )facteur de correction géométrique

4. FACTEUR D’INTENSITE DES CONTRAINTES A L’ADAPTATION EN MODE I

4.1. Comparaison des valeurs de

au seuil de fissuration par fatigue

de certains matériaux.

Nous comparons entre les valeurs de facteur

)et seuil de fatigue pour certain

matériaux, pour une plaque rectangulaire (324 X 164) contenant une fissure centrale sollicité en mode I.

Tableau 1-Facteurs d’intensité de contraintes à l'adaptation

), ( ) de HUANG &

STEIN et seuil de fissuration par fatigue(

)

Matériaux ^{√ )} (HUANG et STEIN) ^{√ )}

√ ) Expérimentale

Docol 350[2 ] 8,71 8 ,9 5,40

SS 141147[2 ] 7,90 7 ,6 6,00

Acier doux A[2 ] 8,51 9,2 6,20

Acier doux B [2 ] 7,53 8,1 6,70

Acier doux C [2 ] 6,72 7,8 8,20

AL 2024–T3 [13] 4,01 - 2,80

D’après les résultats obtenus (Tableau 1), nous constatons que les valeurs du sont en bonne corrélation avec les valeurs du donnés par HUANG & STEIN [3]. Et on remarque une disparité entre et seuil de fatigue ( ) pour les matériaux Docol 350 et Acier doux C. Cette dernière peut s’expliquer par l’aspect hétérogénéité de ces matériaux.

4.2. Influence du rapport de charge

Le facteur calculé pour différentes valeurs du rapport est donné dans le tableau suivant : Tableau 2 Valeurs et (expérimentales [13]) pour différentes valeurs du rapport de charge

Rapport de charge √ ) √ )

-1,00 9,00 11,53

0,05 4,50 7,02

0,50 2,70 4,25

0,80 1,90 2,14

(5)

http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 18 D’après les résultats donnés dans le tableau ci-dessus, nous constatons que le facteur d’intensité de contrainte à l’adaptation diminue avec l’augmentation du rapport de charge comme le seuil de fissuration par fatigue.

4.3. Influence de la microstructure (diamètre du grain) sur les valeurs de

Trois catégories de matériaux seront utilisées : les aciers doux, acier à haute limite élastique et les alliages d’aluminium.

Figure 4 : Relation entre ⁄ et Figure 5 : Influence de la taille du grain sur le seuil de fissuration [14]

De la figure 4, nous constatons que le rapport ⁄ varie linéairement avec : ⁄

4.4. Influence du module de Young ( )

De la figure 6, qui représente le facteur pour certains matériaux en fonction du module de Young, nous constatons que ce facteur augmente avec l’augmentation du module de Young. Ce comportement est semblable au seuil de fissuration par fatigue [14] (figure 7).

Figure 6- Influence du module de Young sur le facteur

Figure 7- Seuil de fissuration en fonction du module de Young [13].

5. FACTEUR D’INTENSITE DE CONTRAINTES A L’ADAPTATION EN MODE II

(6)

http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 19 Les résultats obtenus (figure 8), montrent que est indépendant de la longueur de fissure, donc ce facteur peut être considéré comme un paramètre du matériau dans le cas des sollicitations en mode de cisaillement (mode II).

Figure 8- Variation de facteur en fonction du rapport

6. FACTEUR D’INTENSITE DE CONTRAINTES A L’ADAPTATION EN MODE MIXTE

Dans le tableau (3), nous présentons les valeurs ) et les valeurs expérimentales de seuil de fissuration par fatigue.

Tableau 3 Facteur d’intensité de contraintes à l’adaptation et seuil fatigue en mode mixte.

Matériau

Modèle de TANAKA Modèle DE RICHARD

) )

(expérimental) ) )

(expérimental)

7075-T6 7,6058 1,9794[15] 6,6148 1,8996[15]

7017-T3 5,3123 2,5297[15] 5,3123 2,1526[15]

2024 8,5655 9,6413[16] 6,6612 6,9016[16]

6061 4,4491 4,4741[16] 3,9011 4,4509[16]

La comparaison des valeurs de facteur d’intensité de contraintes à l’adaptation ) ) et le seuil de fatigue ) ) (Tableau 3) selon les deux modèles de Tanaka et de Richard, mène à la conclusion suivante :



bonne corrélation pour les alliages 2024 et 6061;



surestimation pour le 7075-T6 et le 2017-T3.

7. CONCLUSION

Dans ce travail, nous avons présenté une méthode pour le calcul de seuil de fissuration en fatigue par la théorie d’adaptation, pour trois mode de sollicitation : mode I, mode II et mode mixte I+II. La comparaison du facteur d’intensité des contraintes à l’adaptation avec le seuil de fatigue correspondants pour certain matériaux qui montre que ces deux facteur sont en bonne corrélation, cela implique que le facteur d’intensité des contraintes correspondant à l’état d’adaptation peut être considéré comme le seuil de fissuration par fatigue.

(7)

http://www.csc.dz/ic-wndt-mi12/index.php 20 L’influence des paramètres intrinsèques (module de Young et diamètre du grain) et extrinsèque (rapport du charge) sur le facteur d’intensité des contraintes à l’adaptation est semblable à celle constatée sur le seuil de fatigue. Cela renforce la proposition que le facteur d’intensité des contraintes à l’adaptation n’est que le seuil de fatigue.

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