Développement et comparaison de méthodes d'assimilation de données de rang réduit dans un modèle de circulation océanique : application à l'océan Pacifique Tropical

(1)

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d’assimilation de données de rang réduit dans un modèle

de circulation océanique : application à l’océan Pacifique

Tropical

Céline Robert

To cite this version:

Céline Robert. Développement et comparaison de méthodes d’assimilation de données de rang réduit

dans un modèle de circulation océanique : application à l’océan Pacifique Tropical. Mathématiques

[math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2004. Français. �tel-00008891�

(2)

Pour obtenirle titre de

Do teur de l'Université Joseph Fourier - Grenoble I

(arrêtés ministériels du 5juillet1984 et du 30 mars 1992)

Spé ialité :Mathématiques Appliquées

présentée par

Céline ROBERT

Développement et omparaison de méthodes

d'assimilation de données de rang réduit dans un modèle

de ir ulation o éanique : appli ation à l'o éan

Pa ique Tropi al

Date de soutenan e : 21Dé embre 2004

Compositiondu jury:

Fran ois-Xavier LeDimet LMC-Université Joseph Fourier Président

Ja ques Blum LJD-Université de Ni e Rapporteur

OlivierTalagrand LMD-ENS Rapporteur

Herlé Mer ier LPO-IFREMER Examinateur

Anthony Weaver CERFACS Examinateur

Eri Blayo LMC-Université Joseph Fourier Dire teur

Ja ques Verron LEGI-CNRS Co-dire teur

Thèsepréparée ausein du Laboratoirede ModélisationetCal ul (IMAG projet IDOPT)et

(3)

(4)

Bienvenue sur la page personnelle des remer iements ... Un travail de thèse est sans doute le

fruit de plusieurs ontributions. Celui-çi s'est onstruit petit à petit ave la parti ipation a tive

biensûrdesmembresdeséquipesdanslesquellesj'aitravaillémaisausside ertaines ollaborations

extérieuresetde equej'avaisdéjàa quisendébutant.Ilmesemblenalementque haqueélément,

même petit asans doutejoué unrle.

Alorsun grand mer ià mes parentsqui m'ont toujours en ouragée à fairedesétudes (j'ai bien

suivi leurs onseils n'est e pas?). Un grand mer i à mes enseignants de l'ESM2 pour l'avoir fait

dé ouvrirles joies delare her he ave unmer iparti ulier à GérardTavéra.

Mesexpérien espré édentesàAixetaulaboratoireID-IMAGontsansdouterenfor émongoût

pour lare her he et nalement pousséeà reprendre une thèse,alors jevoulaisremer ier i iClaude

Millotquim'a permisd'aller enmer goûterauxjoies de lamesuredanslegolfe duLion etpuis en

Tunisie. J'engarde en ore ungrand souvenir et ela m'apermisde dé ouvrir que jepréfère quand

même fairede l'o éanographie derrière unordinateur!

Mer iauxmembresduprojetIDOPTetdel'équipeEDPduLMCdem'avoirintégrée dansleur

rang.Ungrandmer iàmes ollègues debureauenparti uliermesjoyeux ollègues delasalle3(et

assimilés) : William, Mar , Cyril, Ehouarn, Florian, Morgan, Carine et les autres pour les pauses

afé, les pauses afé et les pauses thé, les dis ussions de foot, les dis ussions tout ourt, qui ont

ontribué à réer un environnement de travail très agréable. Mer i aussià mes ollègues de sport:

Cathy, Manu, William, ...,pourlamotivation, laforme et l'endomorphine.

Comme j'ai quandmême travaillé, je remer ie aussi les 4D-Varistes : Sophie et Arthur pour la

miseenroute, Anthonypour le odeet Maelle pour lesdi ussions!

De même, un petit lin d'÷il à l'équipe assimilation du LEGI, pour les réunions du jeudi. Un

grand mer i à Jean-Mi hel pour les onseils te hniques, la mise en ÷uvre du ltre SEEK et les

réponsesauxquestions!

Et puis un grand mer i à Eri Blayo pour ses qualités de dire teur de thèse. Il a su suivre e

travail deprèstoutenmelaissantune autonomietrèsimportante! Madémar he initialesortaitun

peu de l'ordinaire mais 'est sansinquiétude (apparente au moins:)) qu'il a a epté d'en adrer e

travail. Il a toujours su se rendre disponible y ompris pour la rele ture et pour tout ela je l'en

remer ietrès sin èrement! Mer i également àJa quesVerronqui m'adonné lesmoyensd'ee tuer

etravaildansle adred'une ollaboration ave leLEGI, dansunenvironnement dynamique.Tout

(5)

Olivier Talagrand, Herlé Mer ier et Anthony Weaver ainsi qu'à François-Xavier Le Dimet qui a

a eptéd'en êtrelePrésident.

Je nis par le pilier de l'équipe, elui qui est toujours là dans les bons moments omme dans

l'adversité: mer i Vin ent.

(6)

Remer iements iii

Introdu tion 1

1 L'assimilation de données : introdu tion théorique 5

1.1 L'assimilation dedonnées . . . 6

1.1.1 Introdu tion. . . 6

1.1.2 Composantes d'un systèmed'assimilation: des riptionet notations . . . 6

1.1.3 Les erreursdanslepro essus . . . 8

1.2 Méthodes d'assimilationséquentielle . . . 10

1.2.1 Filtre de Kalman . . . 10

1.2.2 Filtre de KalmanEtendu . . . 12

1.2.3 Contraintes liées àlamiseen ÷uvrepratique . . . 13

1.3 Assimilation variationnelle . . . 13

1.3.1 Formulation du problème . . . 14

1.3.2 Formulations di rètes. . . 16

1.3.3 Contrle del'erreur modèle . . . 18

1.3.4 Minimisation de lafon tion oûtpar méthode adjointe . . . 19

1.3.5 La matri e Benassimilation variationnelle . . . 22

1.4 Equivalen e formelle . . . 27

1.5 Rédu tion d'ordre en assimilation dedonnées . . . 27

1.5.1 Prin ipethéorique . . . 27

1.5.2 Appli ation aultre de Kalman: leltre Seek . . . 28

1.5.3 4DVarréduit . . . 31

1.5.4 Con lusions . . . 32

1.6 Analyse et diagnosti s . . . 32

1.6.1 Validation dessystèmes . . . 32

1.6.2 Diérentes normesutiliséesdans lepro essusd'assimilation . . . 33

2 L'assimilation de données dans l'o éan Pa ique tropi al 37 2.1 Dynamique de l'o éan Pa iqueTropi al . . . 38

(7)

2.1.3 La dynamiqueo éaniqueen période El Niño. . . 40

2.2 Le modèle OPA . . . 43

2.2.1 Hypothèseset équations . . . 43

2.2.2 Dis rétisation . . . 45

2.3 Conguration desexpérien es :le modèleTDH . . . 46

2.3.1 Cara téristiques du modèle . . . 46

2.3.2 Forçages utilisés . . . 47

2.3.3 Ebau he et état initial . . . 48

2.3.4 Données assimilées . . . 48

2.4 Modélisationnumérique delazone Pa iqueTropi alet validation dumodèle OPA . 49 2.5 Assimilation variationnelle dansl'o éan Pa iqueTropi al . . . 51

2.5.1 Assimilation de donnéesde température TAO . . . 51

2.6 Assimilation séquentielle dansl'o éan Pa ique Tropi al . . . 53

2.6.1 Assimilation séquentielle de hamps 2D . . . 53

2.6.2 Assimilation séquentielle de hamps 3D . . . 53

3 Expérien es préliminaires de validation et expérien es jumelles en assimilation variationnelle 55 3.1 Les omposantesdu4DVar omplet:lamatri eB,lesforçagesetlavariableassimilée 56 3.1.1 Contextegénéral desexpérien es . . . 56

3.1.2 Sensibilité du systèmeen expérien es jumelles . . . 60

3.1.3 Sensibilité du systèmeen assimilationde données réelles . . . 65

3.2 Expérien es en 4DVar réduit : première omparaison ave le 4DVar en expé-rien es jumelles . . . 70

3.2.1 Conguration des expérien es . . . 70

3.2.2 Assimilation d'uneseule observation . . . 72

3.2.3 Expérien esjumelles . . . 73

3.2.4 Con lusion . . . 79

3.3 Le rle durappelen surfa e dansl'assimilation dedonnées . . . 79

3.3.1 Inuen e durappelen SSTsurlatraje toire deréféren e . . . 80

3.3.2 Eet du rappel en SSTsur lasolution d'un y led'assimilation en 4DVar réduit . . . 82

3.4 Con lusions . . . 85

4 Expérien es réalistes en 4DVar réduit 87 4.1 Gestion de l'erreur modèle parle 4DVar réduit . . . 88

(8)

4.1.3 Con lusions . . . 90

4.2 Spé i ation dusous-espa ede orre tion . . . 91

4.2.1 Conguration . . . 91

4.2.2 Choix de labasede orre tion. . . 91

4.2.3 Con lusion surle hoix delabase de orre tion . . . 94

4.3 Cy lage ave re ouvrement . . . 94

4.3.1 Inuen e dure ouvrement . . . 95

4.3.2 Con lusions surle y lage ave re ouvrement . . . 98

4.4 Pré onditionnement du 4DVar par le4DVarréduit . . . 98

4.4.1 Une appro he mixte . . . 98

4.4.2 Corre tionpar le4DVar ompletde lasolution obtenueave le4D-varréduit 99 4.4.3 Con lusions surle4DVarmixte . . . 103

5 Expérien es préliminaires en assimilation séquentielle 105 5.1 Présentation desexpérien espréliminaires . . . 106

5.2 Sensibilité auxdiérentsparamètres du ltre . . . 107

5.2.1 Initialisation . . . 107

5.2.2 Rle dufa teur d'oubli. . . 107

5.2.3 Evolution dela basede orre tion . . . 113

6 Expérien es réalistes ave le ltre Seek 117 6.1 Assimilation de donnéesTAO seules . . . 118

6.1.1 Inuen e dufa teur d'oubliet intera tion ave l'évolution de labase . . . 118

6.1.2 Erreurs Rmspar rapportauxdonnées XBT . . . 124

6.1.3 Con lusions . . . 125

6.2 Assimilation onjointe dedonnées XBT et TAO . . . 126

6.2.1 Apportdesdonnées XBT . . . 126

6.2.2 Evolution dela solutionet de sapartie orthogonale . . . 129

6.2.3 Con lusions surl'assimilation de donnéesTAOet XBT . . . 130

7 Comparaison 4DVar réduit / Seek sur l'o éan Pa ique tropi al 133 7.1 Comparaison du4DVar réduitet du ltre Seeken expérien es jumelles . . . 135

7.1.1 Comparaison de laphased'analyse . . . 135

7.1.2 Comparaison de laphasede prévision . . . 137

7.1.3 Positionde l'état prédit par rapportausous-espa e de orre tion . . . 139

(9)

7.2.2 Positionde l'in rément prédit par rapport ausous-espa ede orre tion . . . . 145

7.3 Comparaison de haque expérien eave desdonnées issuesdu réseau TAO . . . 146

7.3.1 Comparaison ave lesdonnées detempérature : validation desalgorithmes . . 146

7.3.2 Comparaison ave lesdonnées indépendantes de ourantset salinité . . . 149

8 Hybridationdes systèmes 4DVar réduit et Seek 157 8.1 Equivalen e et hybridation desméthodesséquentielleset variationnelles . . . 158

8.1.1 Equivalen e formelle . . . 158

8.1.2 Hybridation du3D-Varet du ltre deKalman d'ensemble . . . 159

8.2 Hybridation du4D-Var in rémental et dultre SEEK . . . 159

8.2.1 Le 4DVarin rémental . . . 160

8.2.2 Filtre Seek . . . 160

8.2.3 Algorithme d'hybridation . . . 161

8.2.4 Con lusions . . . 161

8.3 Appli ation au asd'une équationd'adve tion-diusion . . . 161

8.3.1 Cas d'un modèle linéaire . . . 162

8.3.2 Cas d'un modèle non-linéaire . . . 162

8.3.3 Con lusions . . . 163

8.4 Appli ation au asdu modèleTDH du Pa ique Tropi al . . . 163

8.4.1 Algorithme d'hybridation . . . 163

8.4.2 Implémentation en expérien es jumelles . . . 166

8.4.3 Implémentation en donnéesréelles . . . 167

8.4.4 Con lusions . . . 170

Con lusions et perspe tives 173 Bibliographie i Annexes vii A Basesréduites:dé ompositionenbaseEofs(Empiri alOrthogonalFun tions) ix A.1 Cal ul desbased'Eofs . . . ix

A.1.1 Présentation. . . ix

(10)

B.1 Minimisation . . . xiii

B.1.1 Algorithme de Newton . . . xiii

B.1.2 Algorithme de Quasi-Newton . . . xiv

B.1.3 Estimation de W . . . xiv

B.1.4 Quasi-Newton àmémoire limitée . . . xv

B.2 Minimisation de J en pratique . . . xv

B.2.1 Détermination dupas . . . xv

B.2.2 Une itération interne en pratique . . . xvi

B.2.3 Les routines . . . xvi

C Assimilation variationnelle : le ode OPAVAR xvii C.1 Organisation du ode. . . xvii

C.2 Algorithme deminimisation . . . xviii

C.3 Cas parti ulier desexpérien es jumelles . . . xviii

D Assimilation séquentielle : SESAM et le ltre Seek xxi D.1 Organisation du odeSeek . . . xxi

D.2 Constru tion d'un hier restartpourOPA . . . xxii

(11)

(12)

Laprévisiondel'évolution delamétéorologie estune hosequinousestfamilière,de mêmeque

lamétéo marinepermet de onnaîtreà ourtterme l'évolution dutempssurles tes.Laprévision

del'évolution deso éans à ourt, moyenou long terme estune dis ipline un peu moins onnue du

grand publi . Elle est pourtant devenue opérationnelle. C'est un desobje tifs du projet

MERCA-TOR. Ce projetfournit en parti ulier, haque semaine, desprévisions à quelquesjours de l'o éan

atlantique et de la Méditerranée à haute résolution. La prévision opérationnelle de l'évolution de

l'état de l'o éan a plusieurs appli ations. Par exemple, la prévisionpeut être utile pour prévoir la

propagationdenappesdepolluantsàlasurfa edeso éans, ettepropagationétantliéeàl'évolution

des ourants de surfa e.La des riptionet laprévisionde la situation o éanique onstitue aussiun

outild'aide pour ertaines a tivitésdepê he,ouen ore, pour ellesliéesauxplate-formes oshore.

Enn, la donnée des artes de ourant peut servir de façon plus ane dotique aux marins engagés

dansdes oursespour optimiserleur traje toire. On voitdon queles appli ations sont diverseset

plusou moins ru iales!

Un aspe t fondamental est le rle que joue l'o éan dans le limat du fait de sa très grande

apa itéthermique.Ilpermet eneetderéguler,demodier, voired'amplier ertainsphénomènes

limatiques.Eneet, ertainsphénomènesdegrandeé helle, ommeElNiño,sontfortement ouplés

ave la ir ulation o éanique. L'étude de ette ir ulation permet d'établir le rle de l'intera tion

o éan-atmosphère de façon à être apable de l'identier et éventuellement de le prédire. Ce type

dephénomène limatique a unimpa t so io-é onomiquetrès important. Sonétude revêt don une

importan e parti ulière.

Pour étudier esphénomènes, des modèles mathématiques et numériques ont été développés.

Les systèmes météorologiques et o éanographiques sont des systèmes fortement non-linéaires et

haotiques. La turbulen e dans e type d'é oulements est une omposante importante de la

dyna-mique, au niveau de l'é helle à laquelle elle se produit mais aussipar intera tions ave les autres

é helles. Larésolutionnumérique de etypedesystème,parunmodèledis ret,faitentrerenjeuun

ertainnombre d'approximations qui on ernent presquetous les omposantsde e modèle. Parmi

es erreurs et approximations, on peut iter en parti ulier les approximations dues à la

dis réti-sation du domaine physique étudié, à la paramétrisation des phénomènes d'é helle inférieure à la

taille de la maille (turbulen e sous-maille),ou en ore les erreurs sur la ondition initialequi n'est

qu'imparfaitement onnue. Le modèle est don une sour e insusante d'informations pour avoir

une onnaissan e exa te des phénomènes étudiés. Ces erreurs initiales, ou introduites au ours du

al ul,vontavoirunetraje toireliéeà elledumodèle.Latraje toireaprioridumodèleestdi ile

àévaluer et ilen estde même pour lapropagation deserreurs.

(13)

Onpeut iter diérenteste hniquesde mesures,ils'agitprin ipalement demesures satellitesou de

ampagnesàlamer.Enparti uliereno éanographie,lesmesureseneauprofondesonttrèsdi iles

àobtenir en nombre important. Ilen résulte unedistribution irrégulière en temps et en espa edes

donnéesdisponibles. Cetype d'information est apital pour la onnaissan e du systèmemais reste

insusant lui aussi.

Unesolutionestdon detirerpartide esdeuxsour esindépendantesd'informations pour

obte-nirune onnaissan eplusapprofondiedusystèmeétudié.C'estl'objetdesméthodesd'assimilation

dedonnées. Le butde esméthodesestde pré iserl'étatdu systèmeobtenu parun modèlegrâ e

à l'introdu tion au ours de la simulation de données mesurées. Il s'agit d'imposer au modèle des

ontraintes supplémentaires pour for er sa traje toire à se maintenir la plus pro he possible des

données.

L'intérêt de ombiner esdeuxsour es(modèleetdonnées)estd'obteniruneestimationdontla

varian e d'erreur estinférieure à haquevarian e initialeet don d'obtenir un résultatplus pro he

de la "réalité". Toutefois, en introduisant des mesures dans le modèle, on introduit de nouvelles

sour esd'erreurs liées auxdonnées observées: erreursd'observation, erreurs de représentation des

donnéessur une grille dis rète, erreurs de prise en ompte de es données dansun pro essus

d'as-similation (il ne s'agit pas for ément dire tement d'une variable du modèle), pour lesquelles on

manque également de onnaissan e.

Pour les systèmes étudiés, le nombre de points de grille né essaires à la modélisation de zones

aussiétendues quel'o éan Pa ique Tropi alesttrèsimportant. Lamiseen÷uvredesalgorithmes

omplets,qu'ilssoient séquentielsouvariationnels,poseen oreaujourd'hui desproblèmesde temps

de al ul et de sto kage enmémoire. C'estpourquoidesméthodesde rang réduit sontdéveloppées

pour permettre d'augmenterl'e a ité numérique de esalgorithmes et ainsiétudier desdomaines

plusvastesouen ore utiliserdesgrillesde maillage plus nes.

C'estdans e ontextequesesituenotretravail.Il vas'agird'unepartde développer et mettre

en ÷uvrediérentes méthodes séquentielles et variationnelles, de rang réduit, dansune

ongura-tionréaliste qui est elle de l'o éan Pa ique Tropi al. D'autre part, les solutions obtenues seront

omparées entre elles puis par rapport à des observations ee tuées dans la zone. Dans la zone

géographiqueétudiée, la ir ulationestde natureplus linéaireque dansd'autrespartiesde l'o éan

mondial. Cela fa ilite l'appli ation des algorithmes d'assimilation de données dans la mesure où

ertaines hypothèsessont plus fa ilement satisfaites. Cette zone a aussi l'avantage d'être observée

depuislongtemps par unréseau de mouillages (réseauTAO/TRITON).

Nous ommen ons par détailler les méthodes séquentielleset variationnelles d'un point de vue

théorique ( hapitre 1). Nous dé rivons ensuite les expérien es réalisées auparavant ave des

mé-thodes existantes, dans ette onguration réaliste ( hapitre 2). Nous présentons ensuite de

nou-vellesappro hes,basées surle4DVaretuneméthodederédu tiond'ordre,ainsiquelesrésultats

préliminairesobtenusave lesméthodesvariationnelles, enexpérien esjumelles( hapitre3)puisen

assimilant desdonnées réelles de prols de température ( hapitre 4). Ensuite, nous présentons les

expérien esee tuées,danslamême onguration,ave uneméthodeséquentiellederangréduit:le

(14)

algorithmessera réalisée ( hapitre 7) en expérien es jumelles puisen données réelles.Nous

présen-teronsaussi,au oursde e hapitre, la omparaison ee tuée ave desdonnéesindépendantes an

de valider su intement la pertinen e physique des résultats obtenus. Enn, au hapitre 8, nous

présentons la miseen ÷uvre d'uneméthode d'hybridation séquentielle/variationnelle et son

(15)

(16)

L'assimilation de données : introdu tion

théorique

❁

Sommaire

❁

1.1 L'assimilationde données . . . 6

1.1.1 Introdu tion . . . 6

1.1.2 Composantesd'unsystème d'assimilation: des riptionetnotations. . . 6

1.1.3 Leserreursdanslepro essus . . . 8

1.2 Méthodes d'assimilation séquentielle . . . 10

1.2.1 FiltredeKalman . . . 10

1.2.2 FiltredeKalmanEtendu . . . 12

1.2.3 Contraintesliéesàlamiseen÷uvrepratique . . . 13

1.3 Assimilationvariationnelle . . . 13

1.3.1 Formulationduproblème . . . 14

1.3.2 Formulationsdi rètes . . . 16

1.3.3 Contrledel'erreurmodèle . . . 18

1.3.4 Minimisationdelafon tion oûtparméthodeadjointe . . . 19

1.3.5 Lamatri eBenassimilationvariationnelle . . . 22

1.4 Equivalen eformelle. . . 27

1.5 Rédu tion d'ordreen assimilationde données . . . 27

1.5.1 Prin ipethéorique . . . 27

1.5.2 Appli ationaultredeKalman:leltreSeek . . . 28

1.5.3 4DVarréduit . . . 31

1.5.4 Con lusions . . . 32

1.6 Analyse etdiagnosti s . . . 32

1.6.1 Validationdessystèmes . . . 32

(17)

1.1 L'assimilation de données

1.1.1 Introdu tion

On peut distinguer prin ipalement deux lasses de méthodes d'assimilation de données, très

utiliséeseno éanographieetenmétéorologie :l'assimilation séquentielleetl'assimilation

variation-nelle.

Dans le adre de l'assimilation séquentielle, basée surla théorie de l'estimation statistique, on

ee tueuneassimilation(uneanalyse)à haquepasdetempsoùl'ondisposed'unenouvelledonnée;

laphasedesimulation quisuit ette assimilation estune phaseditede prévision.

L'assimilationvariationnelle,quant-à-elle,est uneméthode de ontrle, qui onsiste àassimiler

desdonnéesdisponiblessurunepériodexe(fenêtretemporelle)pourdéterminer,parexemple,l'état

initial qui permet au modèle de "suivre" le mieux possible es données sur l'intervalle onsidéré.

L'analyseestalors ee tuéesurtoutelafenêtre temporelleet onpeut ensuitefairede laprévision.

Une des di ultésren ontrées ave e genre de méthodes, est ladimension des ve teurs

mani-pulésdansl'étuded'un systèmeréaliste.Lessystèmesétudiés omportent ouramment de

10

6

à

10

7

degrés de liberté. L'étude du système omplet induit don une o upation en mémoire et un oût

de al ul très important. Une solution possible onsiste à ne orriger l'état que suivant ertaines

dire tionsseulement, réduisant de e faitles dimensions duproblème. Le problèmesous-ja ent est

alorsle hoixdesdire tionsde orre tionpertinentes( hoixd'unebaseparti ulière).Lades ription

de ette appro he,appeléeméthode de rang réduit,sera développée au 1.5.

Dans ette première partie, nous ommençons par introduire assez brièvement les diérentes

omposantes d'un système d'assimilation, ainsiqueles notations que nousutiliserons toutau long

dudo ument.Nousdétaillonsensuitelesméthodesd'assimilationdedonnéeslesplusutilisées(1.2

et 1.3), en essayant de pré iser e que peut être une validation du système et/ou des résultats

(1.6).Nousterminons par une présentation desméthodes d'assimilationen baseréduite (1.5).

1.1.2 Composantes d'un système d'assimilation : des ription et notations

Dans ette partie, nousintroduisons brièvement les diérentes omposantes d'un système

d'as-similation ensuivant pour elales notationsprésentées et utilisées par Ideet al.,[30 ℄.

Lesystème étudié

Dans le ontexte o éanographique (qui est elui dans lequel nous nous plaçons par la suite),

le système étudié est un système omplexe, gouverné par un système d'équations non-linéaires

tridimensionnelles, omportant une évolution temporelle. On est don en présen e d'un système

dynamiquenon-linéaire( ouplédansle asgénéralave lesystèmeatmosphériqueetéventuellement

ave d'autres systèmes omme le systèmehydrologique ou en orelavégétation).

Onpeut dénir unétat réeldusystème, quireprésente laréalitéà uninstant donné.Cet état

ontientlatotalité del'information représentative dusystèmeà etinstant (au uneerreurne vient

perturber sa valeur). On le note x

t

. La onnaissan e que nous avons de et état est partielle au

regardde lataille dusystèmeréel, et danstousles as,perturbée par un ensembled'erreurs.

Lemodèle utilisé

En o éanographie, de nombreux modèles existent et ont déjà été largement testés et validés.

Dansnotre as, lemodèle tri-dimensionnel OPA (Made et al.,[40 ℄)est onstitué deséquations de

(18)

systèmed'EquationsPrimitivesquiseradétailléauparagraphe2.2)dis rétiséessurunegrille3D.A

eséquations,onajoute ertainstermes(ou équations)ande ompenser lesapproximationsfaites

lors de la onstru tion du modèle (modélisation de laturbulen e sous-maille, prise en ompte des

ux),appeléesparamétrisations.

Dans e type de modèle, les variables prognostiques (obtenues par évolution temporelle)

gé-néralement al ulées sont la vitesse (une omposante suivant les 2 dire tions horizontales), notée

U

h

= (u, v)

, latempératurepotentielleTetlasalinitéS.Suivantlesversions,onpeutaussitrouver

omme variable d'état l'élévation de la surfa e notée

η

h

. A es variables s'ajoutent des variables

ditesdiagnostiques,obtenuespar al ulà partirdespré édentes(onne al ulepasl'évolution

tem-porelle de e type de variable). Parmi elles- i on peut trouver par exemple la vitesse verti ale

w

oulafon tion de ourant barotrope

Ψ

.

Ces variables représentent un état du système à un instant donné. Un ve teur d'état peut

don être onstruit à partir de es variables, omme par exemple le ve teur x

= (

U

h

, T, S) ou

éventuellement x

= (

U

h

, T, S,

η

h

)

.

Si l'onnoteXl'état réeldusystème, et

M

lemodèle ontinu exa t deséquationsquirégisssent

lesystème,l'évolution temporelle de Xs'é rit formellement :

∂X(t)

∂t

= M(X, t)

(1.1)

Cetétatréeln'estpasportéànotre onnaissan e,demêmequelemodèle ontinuexa t.Ondispose

seulement d'uneestimation de l'étatdu systèmeet d'un modèle numérique qui omporte ertaines

approximations.Leve teur x,quiestunétatdu systèmeà uninstant donné,obtenu paritérations

su essivesdumodèlenumérique non-linéaire

M

,estpropagéen tempsparlaformulation ontinue

suivante :

∂

x

(t)

∂t

= M (

x

, t) + η

(1.2)

Onen déduitlaformulation dis rète entemps et enespa e qui s'é rit formellement :

x

t

i+1

= M

(t

i

,t

i+1

)

(

x

t

i

) + η

i

(1.3)

où

η

i

représente l'erreur modèle (généralement onsidérée non biaisée). L'indi e

i

représente la

dis rétisationtemporelle:

t

i

∈ {t

1 , ..., t

p

}

. Les ara téristiquesplus pré ises du modèleutilisé dans

notreétudeseront détailléesdansle hapitre 2.

Les données observées

Lesystèmeétudiéestpartiellement observépar unréseaud'instrumentsdemesure: ampagne à

lamer,donnéessatellites.Ilfautsoulignerqu'auregarddunombredepointsspatiauxdumaillagedu

modèledis ret, lesmesuresdisponiblessontrelativement peunombreuses. Le hampd'observations

obtenu peut être représenté par un ve teur des observations, noté y

o

, dont les omposantes

y

o

i

sontdistribuées surune fenêtre temporelle.

Dufaitdurelativement petitnombredemesures,ilexistemoinsdepointsd'observationsquede

points de grille de la dis rétisation du domaine étudié. Pour mesurer l'é art entre les observations

et les résultats du modèle, on hoisit de se pla er dans l'espa e des observations. On dénit don

unopérateur d'observation, notéH,qui permet de passer de l'espa e du modèleà l'espa e des

observations : l'inverse impliquerait untraitement tropentâ hé d'erreurpour ramenerlesdonnées,

observéessurune grilletrèsirrégulière,surlagrilledenseetrégulière dumodèle(on limiteainsiles

(19)

De la même façon que pour la formulation du modèle, si l'on pouvait observer le système de

façonexa te onaurait :

Y

o

_{= H(X),}

ave

Y

o

le ve teur d'observations exa t et

H

l'opérateur d'observation exa t (1.4)

Or,on ne onnait tout e i quedefaçon appro hée. Onaalors :

Y

o

=

y

o

_{+ ǫ,}

_ǫ

l'erreur d'observation (1.5)

Par suite laformulation dis rètea pourexpression :

y

o

i

= H

i

[

x

t

_(t

i

)] + ǫ

i

, t

i

∈ {t

1 , ..., t

p

}

(1.6)

où

ǫ

représente l'erreur asso iée aupro essusde prise en ompte desdonnées

1 .

Il faut noter que l'assimilation ne porte pasné essairement sur l'état omplet du système. On

peutassimilerseulementunepartiedesobservationsportantsurleve teurd'état.Onpeutassimiler

aussiune donnée qui n'est pas dire tement une variable du modèle. Dans e as, on introduit un

terme d'erreur supplémentaire dans l'opérateur d'observation, dû à la tradu tion de e terme en

fon tiondesvariablesd'état(parexemple,lorsdel'assimilationdedonnéesdehauteurde merdans

unmodèle d'o éan àtoit rigide, lahauteurdynamique estune variable diagnostique).

Analyse et prévision

Lepro essusd'assimilationdedonnéesdébute àpartird'un étatleplussouventissu d'une

simu-lation antérieure, appelé ébau he (ou en ore ba kground) et noté x

b

. Lors d'une séquen e

d'assi-milation de données, on her he un état analysé, noté x

a

, qui est un état du système, orrigé par

l'information issue des observations, introduite dans le système. Ces deux états sont al ulés au

tempsinitial du y led'assimilation.

La phase qui suit ette période d'analyse est elle dite de prévision, qui est l'appli ation du

modèle non linéaire

M

à l'état analysé x

a

, dont on her he l'évolution temporelle. Cet état prévu

estnotéx

f

, pour "fore ast".

1.1.3 Les erreurs dans le pro essus

Comme nousl'avons vuen introdu tion, dans un tel pro essus, les sour esd'erreurs sont

mul-tiples et onstituent une part importante des in onnues. Une façon d'obtenir une approximation

de leur valeur est une estimation statistique. Une approximation onsiste à supposer qu'elles sont

gaussiennesnon biaisées, e qui onduit àl'existen e d'unesolution optimale.

Lessour esd'erreurs sont prin ipalement :

Erreur sur la ondition initiale du modèle (mauvaise onnaissan e de l'état initial) e

b

: et

état ontient deserreursqui peuvent s'amplierau oursde l'évolution temporelle.

Erreur modèle

η

: le modèle numérique est onstruit en ee tuant ertaines approximations

(paramétrisations, estimation des é hanges à la surfa e...). Ces approximations introduisent

des erreurssur les états obtenus à l'issuede l'intégration temporelle dumodèle. Pour le

mo-dèledis rétisé,onajouteleserreursdetron ature, duesàl'utilisationdes hémas numériques

d'ordre plus oumoinsélevé.

1

Remarque:enpratique etteéquationestinutilisable, aronne onnaîtpasdutoutx

(20)

Erreurd'observation

ǫ

:enplusdeserreursliéesauxinstruments, ertainesobservations

repré-sentent des phénomèneslo aux non-résoluspar lesystème d'assimilation. Cetteinformation

est don perdue alors qu'elle peut avoir une grande inuen e sur le système. Enn, la prise

en omptede esdonnéesdanslapro édured'assimilationné essitequelquestransformations

préalables (interpolation, opérateur d'observation, ...)quipeuventintroduire deserreurs

sup-plémentaires.

Erreur de représentativité

ǫ

: 'estl'erreur qui seproduit lors du passage de l'espa e modèle

à l'espa e desobservations etque l'onquantiepar : y

− H(

x

)

.

Ces erreurs sont prises en ompte dans le pro essus d'assimilation par leurs matri es de ov

a-rian e. Rappelons que la ovarian e d'un ve teur aléatoire X est la matri e C

= E(XX

t

₎

, où E

estl'espéran e mathématique. En pratique nous verrons par lasuite que es matri es sont le plus

souvent estiméesou paramétrisées, leur onnaissan e exa teétant en général impossibleà obtenir.

En résumé, les matri es de ovarian es d'erreurs utilisées dans les deux prin ipales méthodes

d'assimilationsont don :

B : lamatri e de ovarian e d'erreur d'ébau he,

Q : lamatri ede ovarian e d'erreurmodèle,

P

a

: lamatri e de ovarian e d'erreurd'analyse,

P

f

:la matri ede ovarian e d'erreurde prévision,

R = E +F : la matri e de ovarian e d'erreur d'observations, omposée des erreurs liées

auxinstruments et de elles liéesà lareprésentativité.

Cesnotions étant introduites,nousallonsprésenterplusendétaillesdiérentesméthodes

(21)

1.2 Méthodes d'assimilation séquentielle

Dans ette partie, nous allons détailler le prin ipe de l'assimilation séquentielle ainsi que les

prin ipauxalgorithmesdéveloppés.L'assimilationséquentielle onsisteàee tuerune orre tionde

latraje toiredumodèleà haquenouvelledonnée disponible,suivantlaséquen edé riteàlagure

1.1.

Observation 1

Observation 2

T1

T2

T3

T0

Spin−up

Trajectoire

1 sans assimilation

1 Trajectoire du modèle

après analyse

X

_a2

X

_b2

X

₀₁

_{= Xb1}

X

_a1

Fig. 1.1 Pro essusglobal d'assimilationséquentielle

Lapro édure onsisteenunepremièrephasede orre tiondel'étaten ours,grâ eàl'information

issue des données observées, à l'instant où la donnée est observée. Elle est suivie d'une phase

de prévision à l'aide du modèle numérique, initialisée ave l'état analysé au temps pré édent. Ce

prin ipeest àlabase dultre de Kalman, quenousallonsdétailler.

1.2.1 Filtre de Kalman

Le ltre de Kalman est un ltre d'assimilation séquentielle de données, adapté aux modèles

dynamiques et aux opérateurs d'observation linéaires développé par Kalman en 1960 [32℄. Il est

basésur lathéorie de l'estimation dont le BLUE dé rit i-dessous est une illustration. Le ltre de

Kalmangénéralise l'estimation optimale aux systèmes dynamiques pour lesquels on disposed'une

équation d'évolution. Nous allons présenter l'algorithme mis en ÷uvre dans le ltre de Kalman,

ainsiqueles modi ations né essaires à l'extension aux modèles et opérateurs d'observations

non-linéaires: leltre de Kalmanétendu(EKF).

LeBLUE (Best Linear Unbiased Estimator)

Considéronsdeuxestimationsy

1

ety

2

d'unmêmeétatquel onquex(xestunevariablealéatoire).

On note

σ

1

et

σ

2

les é art-types asso iés à es deux estimations. Une hypothèse supplémentaire

(22)

e

1

ete

2

. La meilleureestimation, x

a

, de x onnaissant y

1

, y

2

,

σ

1

et

σ

2

, est donnée par :

x

a

=

σ

2 ₂

σ

2 ₁

+ σ

2

y

1 +

σ

2 ₁

σ

2 ₁

+ σ

2

y

2

(1.7)

Cet estimateur (non biaisé) est appelé le meilleur estimateur linéaire non-biaisé (estimateur de

varian e minimale. Cette équationpeutêtre réé rite souslaforme :

x

a

=

y

1 +

K

(

y

2 −

y

1 )

Kest appelé legainet vaut

:

K

=

σ

2 ₁

σ

2 ₁

+ σ

2 ₂

Cetteméthode duBLUE(BestLinear Unbiased Estimator)està l'originedelathéoriedultre de

Kalman.

1.2.1.1 Des ription du ltre de Kalman

Leltre deKalman onsiste, omme indiquépré édemment,enl'appli ation su essivededeux

typesd'étape:uneétaped'analysesuivied'uneétapedeprévision,durantlaquellel'étatanalyséest

propagédansletemps.Laparti ularitédultre deKalman,par rapportnotamment auxméthodes

variationnelles qui seront présentées ensuite, est qu'à haque étape, il fournit une estimation des

erreursfaiteslors del'analyse et de laprévision.

Etape d'analyse

Ondisposeàuninstantdonné durésultatde laprévisionpré édente x

f

etduve teur

d'observa-tiony. L'équation prin ipale de l'étape d'analysese metsous laforme:

x

a

₌

x

f

₊

K

(

y

− H(

x

f

₎₎

K est appelée matri e de gain du ltre. On rappelle que

H

est l'opérateur d'observation. L'état

analysé,x

a

,estune ombinaisonlinéairedex

f

,laprévisionfournieparlemodèleetd'une orre tion

qui dépend de l'é art entre les observations et leurs équivalents modèle. Cette équation d'analyse

fournitaussiune expressiondel'erreurd'analyse, quel'on notee

a

, dematri e de ovarian e P

a

, en

fon tiondel'erreur deprévisione

f

(de matri ede ovarian e P

f

)et del'erreur d'observation

ǫ

(de

matri ede ovarian e R):

e

a

₌

e

f

₊

K

(ǫ −

H e

f

₎

Onremarque quel'estimationdel'erreur faitintervenirl'opérateur linéariséHde l'opérateur

d'ob-servations. Cetteexpressionde e

a

permet d'obtenir uneexpression de lamatri eP

a

: P

a

_{= E[}

e

a

e

aT

_{] = [}

I - KH

]

P

f

_[

I - KH

]

T

₊

KR K

T

(1.8)

Si on her he la matri e de gain optimale K qui minimise la varian e de l'erreur d'analyse, on

obtient l'expression: K

=

P

f

H

T

_[

HP

f

H

T

₊

R

]

−1

Ensubstituant Kdansl'équation(1.8) , l'expressionde P

a

sesimplie pour donner:

P

a

_{= [}

I -KH

]

P

(23)

Etape de prévision

Onprend en omptel'erreur modèledans etteétapedeprévision.Cetteerreur estgénéralement

onsidérée omme non-biasée et dé orrelée dans le temps. Considérons M un modèle dynamique

linéaireet Q lamatri e de ovarian e de l'erreur modèle. L'évolution del'état vraidusystème par

lemodèledynamiques'é rit :

x

t

_k+1

= M

k,k+1

x

t

k

+ η

k

Apartird'unétatanalyséobtenuàlaséquen epré édente,onee tueuneprévisionsurunintervalle

detempsxé

[t

k

, t

k+1

]

. Leséquations del'étapedeprévision,àpartir de etétatanalysé,s'é rivent

delafaçon suivante :

x

f

_k+1

= M

k,k+1

x

a

k

L'erreurmodèleest prise en ompte dansl'erreur deprévision. L'équation quigouvernel'évolution

de ette erreur devient :

e

f

_k+1

= M

k,k+1

e

a

k

+ η

k

de matri ede ovarian e d'erreur:

P

f

_k+1

= E[

e

f

k+1

e

f T

k+1

] = M

k,k+1

P

a

k

M

T

k,k+1

+ Q

k

Ala nd'une étape d'analyse-prévisionde l'algorithme, on obtient l'état x

f

k+1

, à partir duquel on

peut réaliserune nouvelle étape d'analyseave lesnouvellesdonnées disponibles.

Algorithme du ltre de Kalman :

•

Analyse K

k

=

P

f

k

H

T

k

[

H

k

P

f

k

H

T

k

+

R

]

−1

k

x

a

k

=

x

f

k

+

K

k

(

y

k

−

H

k

x

f

k

)

P

a

k

= [

I

−

K

k

H

k

]

P

f

k

(1.9)

•

Prévision x

f

k+1

=

M

k,k+1

(

x

a

k

)

P

f

k+1

=

M

k,k+1

P

a

k

M

T

k,k+1

+

Q

k

(1.10)

1.2.2 Filtre de Kalman Etendu

Onavuqu'unehypothèsefortedultredeKalmanestlalinéaritédumodèle

M

.Or,lapratique

eno éanographiemetenjeu omme nousl'avonsvudesmodèlesnon-linéaires. Ilfaut don utiliser

une version généralisée du ltre de Kalman, dite ltre de Kalman Etendu (EKF), qui permet

laprise en ompte de modèles faiblement non-linéaires (notés alors M). Cela né essite la mise en

÷uvred'un modèle linéaire tangent, dérivé du modèle dire t. La solution obtenue n'est alors plus

unesolutionoptimalemaisappro hée.Lavaliditédumodèle linéairetangent,linéariséautourd'un

(24)

pro essus sont quant-à-elles toujours al ulées ave les opérateurs linéaires tangents M et H. On

rempla ealors Met H parM et Hdanslesopérations asso iéesauxerreurs.

L'algorithme s'é rit dans e as:

Algorithme du ltre de Kalman Etendu :

•

Analyse

x

a

_k

= x

f

_k

+ K

k

(y

k

− H

k

x

f

_k

)

P

a

_k

_{= [I − K}

k

H

k

]P

f

_k

(1.11)

•

Prévision

x

f

_k+1

_{= M}

_k,k+1

(x

a

_k

)

P

f

_k+1

= M

k,k+1

P

a

k

M

T

k,k+1

+ Q

k

K

k+1

= P

f

_k+1

H

T

k+1

[H

k+1

P

f

_k+1

H

T

k+1

+ R

k+1

]

−1

(1.12)

1.2.3 Contraintes liées à la mise en ÷uvre pratique

La mé onnaissan e des erreurs intervenant lors de la miseen ÷uvre des algorithmes

d'assimi-lation de données (observation, ébau he, analyse, modèle, ...) rend l'estimation des matri es de

ovarian es d'erreur P, R et Q très di ile, e qui rend leltre sous-optimal. De plus, la matri e

de ovarian e d'erreur d'analyse, de dimension

n × n

(

n

est la dimension spatiale du problème),

n'estpas sto kable dire tement pour desdomaines d'étude étendus.Demême, le oûtde al ul lié

àl'évolution temporellede ette matri ede ovarian e deserreursd'analyseestprohibitif.Ennla

linéarisationdesopérateursqui onduit ànégliger ertains termesd'ordresupérieur,faitapparaître

desproblèmesde fermeture dansles équations d'évolution des ovarian es d'erreur.

Pour rendrele al ulréalisable, Evensen([23 ℄)adéveloppéunltre deKalman d'ensemble.

L'estimation des ovarian es d'erreurs est basée sur une méthode de Monte-Carlo, qui permet de

s'aran hir d'une partie des problèmes ités i-dessus. Il estime de ette façon, à partir d'un

en-sembled'états, une densitéde probabilité deserreurs.

Unautretypedeméthodesdéveloppéesdefaçonàdiminuer les oûtsde al ul liésàlatailledes

problèmesréalistesren ontrés sont lesméthodesderang réduit,mieuxadaptées aux ongurations

degrande taille.Ces méthodesfont l'objetde lase tion1.5.

1.3 Assimilation variationnelle

Les méthodes variationnelles, basées sur la théorie de l'optimisation (ou du ontrle optimal),

ont une appro he diérente. Il s'agit de prendre en ompte globalement, dans la phase d'analyse,

une série temporelle d'observations distribuées sur un intervalle [0,T℄. Ce type de méthodes est

ouramment utilisé depuis quelques années de façon opérationnelle dans les entres de prévisions

météorologiques(CEPMMTpourEuropeanCentreforMedium-RangeWeatherFore asts,National

(25)

permettent de ontrler que l'état analysé, en ee tuant des orre tions lo ales en temps (x

a

est

lo alisé en temps au même instant que la donnée observée) et induisent une traje toire globale

temporellepeu régulière,lesméthodesvariationnellessedénissentdavantage omme uneméthode

delissage,parajustementde lasolution entemps eten espa e.Defaçon générale,ellespermettent

de ontrlerdiérentesvariables ommela onditioninitialebiensûrmaisaussi ertainsparamètres

dumodèle y ompris ertaines erreurs. En général, 'est plutt la ondition initiale qui est hoisie

ommevariablede ontrle,maisplusieurs travauxré ents, ommeàgrenoble lestravauxd'Arthur

Vidard [63℄ ou en ore eux de Sophie Durbiano [22℄ montrent qu'il est tout à fait envisageable

de her her à ontrler l'erreur modèle. Par ontre, es méthodes ne fournissent pasexpli itement

d'estimation des erreurs d'analyse et de prévision faites au ours des y les omme le font les

méthodesbaséessurleltrede Kalman(l'estimationdeserreursd'analyseengendrerait un oûtde

al ul supplémentaire).

1.3.1 Formulation du problème

Dans leformalisme variationnel, onévalue unefon tion oût,

J(

x

) = J

o

(

x

) + J

b

(

x

)

, onstituée

leplus souvent d'un premier terme

J

o

qui quantie l'é art entre la solution fournie par le modèle

etles observations etd'un se ond terme quiquantiel'é art àl'ébau he. On onsidèreen eetque

l'ébau heestunétatpertinentdusystèmeetqu'ilnefautpastrops'enéloigner.Cedeuxièmeterme

joueun rlerégularisant pour lasolution obtenue.

L'obje tif est de trouver l'état initial x

0

qui minimise ette fon tion oût. Ce paragraphe est

onsa ré à la des ription des prin ipales méthodes d'assimilation variationnelle, dont nous allons

exposerbrièvementlesalgorithmes.Laminimisationdelafon tionde oûtsefaitsurdesintervalles

(26)

T1

T2

T3

T0

Spin−up

Analyse

Prevision

Assimilation

Periode 1

Assimilation

Periode 2

1 sans assimilation

de controle

Variables

Temps

1 Obs

Obs

Prévision

2 après analyse

après analyse

Trajectoire du modèle

après analyse

X

_b2

X

₀₁

_{= Xb1}

X

_a2

X

_a1

Fig. 1.2 Pro essusglobal d'assimilationvariationnelle

Lagure1.3dé rit plusen détaillapro édure surunepériode d'assimilation,ave ledétaildes

diérentstermes.

T0

Tn

Obs

Prévision

corrigée

Prévision

Periode d’assimilation

issue de l’ébauche

J

₀

J

_b

J

₀

Fig. 1.3 Une période d'assimilationvariationnelle

L'information fourniepar lesdonnées disponiblesest priseen ompte globalement surun

inter-valle de temps, ontrairement à l'assimilation séquentielle pour laquelle la orre tion ne tient plus

(27)

1.3.1.1 Formulation ontinue

Formellement,onavuquelesystèmeinitialmodélisésousuneforme ontinueapourexpression:











∂X

∂t

= M(X, t),

t ∈ [0, T ]

X(0) = U

(1.13)

X estlavariabled'état du système ontinu et Ula ondition initiale.

La partie observations dusystèmedé rit peut semettre souslaforme :











Y

o

:

leve teur d'observations

H(X) = Y

: l'équivalent modèle desobservations

(1.14)

La fon tion oût

Onsepla e dansle asdu ontrle de la onditioninitialeU.Onpeut quantier l'é artentreles

valeurs des variables obtenues par intégration du modèle dire t, aux points d'observations, et les

valeursobservées, surlafenêtre temporelle onsidérée.Ave lanorme

k.k

o

dénie dansl'espa edes

observations,

J

o

a don pour expression :

J

o

(U ) =

1

2 Z

T

0 kH(X) − Y

o

_k

2 o

dt

(1.15)

Le terme

J

b

qui mesure l'é art à l'état initial (ou en ore ébau he et noté

X

b

), ave la norme

k.k

b

dansl'espa emodèle, seformulede lafaçon suivante :

J

b

(U ) =

1

2 kU − X

b

_k

2 b

(1.16)

Lafon tion oûttotale s'é rit omme lasommede es deuxtermes :

J(U ) = J

0 + J

b

=

1

2 Z

T

0 kH(X) − Y

o

_k

2 o

dt +

1

2 kU − X

b

_k

2 b

(1.17)

On her he, dansun problème lassique,à obtenir une orre tion apportée àl'état initial qui

four-nisse une traje toire de prévision qui minimise l'é art aux observations et l'é art à l'ébau he sur

un y lexé. On her he don

U

∗

, l'étatinitial quiminimise ette fon tion oût

J(U )

. Notonsque

ettefon tionnelleestleplussouventnon- onvexeetpeutdon omporterplusieursminimalo aux.

1.3.2 Formulations di rètes

Danslesappli ationsen météorologieou o éanographie, onne disposepasd'unmodèle ontinu

nid'un état ontinumaisd'unmodèled'évolution dis retainsiqued'unétatexprimé surune grille

dis rète.Il en est demême pour les observations qui sont surune grille spatio-temporelle dis rète.

De plus, spatialement, la ouverture des données est bien moindre que le nombre de points de

grillede al ul dumodèle.La formulation pré édente s'étendauxproblèmesdis rets enrempla ant

simplement les dérivéespar dess hémas dis rets et les intégrales par dessommes dis rètes omme

nous allons le onstater à travers la des ription de plusieurs algorithmes. Dans ette partie, on

(28)

1.3.2.1 Le 3D-Var

Le 3D-Varest uneméthode d'assimilationvariationnelle, ara térisée parl'absen e de

dimen-siontemporelle. Les observations prisesen ompte sont ramenées à l'instant où s'ee tue

l'assimi-lation (il existe ependant une version FGAT du 3D-Var (First Guess at Appropriate Time) qui

permet de s'aran hir de ette ontrainte). La fon tion de oût asso iée au3D-Var s'é ritalors :

J(

x

) =

1

2 (

x

−

x

b

₎

T

B

−1

₍

x

−

x

b

_{) +}

1

2 (

y

o

_{− H(}

x

))

T

R

−1

₍

y

o

_{− H(}

x

))

(1.18)

Laminimisationsefaitparuneméthodedegradient.Legradient de

J(

x

)

dans e asest al ulable

eta pourexpression :

∇

x

J =

H

T

R

−1

_[H(

x

) −

y

o

_{] +}

B

−1

_[

x

−

x

b

_]

(1.19)

Cette formulation a notamment étéutilisée dans les travaux d'Andersson et al. ([3℄) au entre

ECMWF.

1.3.2.2 Le 4DVar

Dans le as du 4DVar, la dimension temporelle apparaît expli itement, en parti ulier dans

l'expressiondelafon tion oûtquenousavonsvupré édemment.Laformulationdis rètes'é rit de

lafaçon suivante :

J(

x

0 ) =

1

2 (

x

0 −

x

b

)

T

B

−1

₍

x

0 −

x

b

) +

1

2 p

X

i=1

(

y

o

i

− H

i

(

x

i

))

T

R

−1

i

(

y

o

i

− H

i

(

x

i

))

(1.20)

Pour esdeuxméthodes,suivant latailledusystèmeétudié,latailledesmatri esutiliséespeut

largement dépasser les apa ités a tuelles de sto kage. De plus, laminimisation est une opération

oûteuse en temps de al ul. Pour pallier ette di ulté, Courtier et al. ([16 ℄) ont introduit une

formulation dite "in rémentale" qui porte sur un in rément de l'état initial et non plus sur la

onditioninitialeentière.

1.3.2.3 Le 4DVar in rémental

Il s'agitd'uneformulation quia pour but deréduire le oûtdu 4DVar enfournissantune

so-lutionappro hée. L'intégrationdumodèledire t non-linéaireétant oûteuse,lavariablede ontrle

estmisesousla forme:

δ

x

0 =

x

0 −

x

b

δ

x

0

estunepetiteperturbationautourdel'ébau he,pourlaquelleleshypothèseslinéairestangentes

appliquéesaumodèledire t et à l'opérateur d'observation sont valides. Lemodèlelinéaire tangent

est é rit ave une physique simpliée e qui garantit une intégration moins oûteuse et l'é riture

de son modèle adjoint en est fa ilitée. Il est, de plus, souvent mis en ÷uvre ave une résolution

inférieureà elledu modèledire t. Sous eshypothèses, lafon tion oûtdevient alors quadratique

parrapport àl'in rément d'analyse

δ

x

0

.

x

(t

i+1

) = M

0→i

(

x

(t

0 )) = M

0→i

(x

b

+ δ

x

0 )

≃ M

0→i

(

x

b

_{) +}

M

0→i

δ

x

0 ≃

x

b

_(t

i

) +

M

0→i

δ

x

0

(29)

Soit

G

l'opérateur déni par :

G

i

(

x

b

) = H

i

[

x

b

(t

i

)] = H

i

[M

0→i

(

x

b

)]

Lesopérateurslinéarisés autourde l'ébau he sont al ulés de lafaçon suivante :

M

=

∂M

∂

x

=

xb

,

H

i

=

∂H

i

∂

x

=

xb

,

G

i

=

∂G

i

∂

x

=

xb Ilvient :

H

i

[

x

(t

i

)] = H

i

[

x

b

_(t

i

)] +

H

i

δ

x

0 + kδ

x

0 k

2 _{+ ...}

(1.21)

G

i

[

x

] = G

i

[

x

b

_{] +}

G

i

δ

x

0 + kδ

x

0 k

2 _{+ ...}

(1.22)

Leve teurd'innovation

d

i

estdéni par :

d

i

=

y

o

i

− H

i

M

i

x

b

La fon tion oût s'é rit alors :

J(δ

x

0 ) =

1

2 (δ

x

0 )

T

_B

−1

_δ

x

0 +

1

2 N

X

i=1

(H

i

M

t

i

,t

0 δ

x

0 − d

i

)

t

R

−1

i

(H

i

M

t

i

,t

0δ

x

0 − d

i

)

(1.23)

L'état analysé est alors obtenu par addition de la solution du problème de minimisation de la

fon tion oût (in rément optimal) à l'ébau he.

x

a

₌

x

b

_{+ δ}

x

a

0

(1.24)

Cetteversiondu4DVarest ouramment utiliséeenmétéorologie ([47 ℄)et également en

o éa-nographie,dansdestravauxré ents([67℄, [62℄).

1.3.3 Contrle de l'erreur modèle

1.3.3.1 4D-Var

Dans laformulation omplète, on ajoute dansles équations régissant l'évolution temporelle du

système un terme orrespondant à la prise en ompte de l'erreur modèle de la forme

Bη

. Si on

revient àlaformulation ontinue de lafon tion oût,on a alors :

J(U, η) =

1

2 (δ

x

)

T

_B

−1

_δ

x

+

1

2 Z

T

0 kH(U) − Y

o

k

2 o

dt +

1

2 Z

T

0 kηk

2 Q

dt

(1.25)

Qest unterme depondérationquidénitune normepourle al uldu termed'erreur modèle. Une

foisdis rétisé,lemodèleadjointpermetégalementde al uler etermeetlaformulationdugradient

deJ in lut unterme supplémentaire quidépend del'étatadjoint.Cetteméthode anotamment été

implémentée ettestéesurdes ongurationsidéalisées etréalistesparArthurVidard[63℄.Ila aussi

testé ettepriseen omptedansle adredelarédu tiond'ordre.Le hoixdesve teurss'estee tué

enprenant lespremiers termesdudéveloppement ensériedeFourier. Cetravailaété omplété par

SophieDurbiano [22℄quiatesté etteprise en omptedel'erreur modèledansle adredu 4DVar

(30)

1.3.3.2 Les méthodes duales

Uneautreméthodepermetdeprendreen omptel'erreurmodèle:laméthodedesreprésenteurs

(4D-PSAS).Lafon tion oûts'é ritdelamêmefaçonquepré édemment.Lasolutionintroduitepar

Bennett[7℄etAmodei[2℄estdetravailler suruneformulationdualedu4D-Var: laminimisationse

faitalorsdansl'espa edesobservations.Lafon tion oût,dualede

J

dansl'espa edesobservations,

faitintervenir de lamême façon les matri esB,R et Q.Cette méthode a étéutilisée par exemple

par Louvel ([38 ℄), ave un modèle o éanique aux équations primitives (MICOM) à 4 ou hes. On

peut également iter les travaux de Auroux ([4℄), sur une méthode duale appliquée à un modèle

quasi-géostrophique.

1.3.4 Minimisation de la fon tion oût par méthode adjointe

La minimisation s'ee tue au moyen d'un algorithme de des ente de type gradient onjugué,

qui né essite l'évaluation de la quantité

∇J

à haque itération de minimisation. Etant donnée la

dimension de l'espa e de ontrle, il serait irréaliste d'estimer dire tement e gradient. On utilise

don une résolution par méthode adjointe (Le Dimet et Talagrand [34℄), basée sur la théorie du

ontrle optimal.

1.3.4.1 Méthode de l'adjoint pourun modèle ontinu

Le système onsidéré peut semodéliser souslaforme :











∂X

∂t

= M(X, t),

t ∈ [0, T ]

X(0) = U

Lesnotationsutiliséessont elles introduitespar leséquations(1.13) et (1.14).Lafon tion oût

estdonnée par l'équation(1.17).

Le al uldu terme

∇J

b

ne posepasde problèmepuisqu'ilest delaforme B

−1

_δ

x

0

.La méthode

adjointe sert uniquement à al uler

J

o

.

On her he

U

∗

tel que

J

o

(U

∗

_{) = min J}

o

(U )

. La variable de ontrle de laminimisation est i i

la ondition initiale

U

. Laminimisation aurait puporter surune autrevariablede ontrle omme

par exemple les onditions aux limites ou en ore ertains paramètres du modèle. L'expression du

gradient de lafon tion oût omporterait alors destermes supplémentaires.

Une onditionné essairedu premierordrepourque

U

∗

vérie eminimum estl'équation

d'Eu-ler:

∇J

o

(U

∗

) = 0

On onsidèreuneperturbation

δu

appliquéeàla onditioninitiale

U

.LadérivéedeGâteaux de

J

o

(U )

, notée

J

ˆ

o

, dansladire tion de

δu

estdonnée par :

ˆ

J

o

(U, δu) = lim

α→0

J

o

(U + αδu) − J

o

(U )

α

(1.26)

Onnote<, >leproduit s alaire asso ié àlanorme

k . k

o

ave

< a, b >=

R

T

0 (a, b)dt

.

(31)

ˆ

J

o

(U, δu) =< ∇J

o

, δu >

Soit

ˆ

X

la dérivée de Gâteaux de la variable d'état

X

. La dérivée du système ontinu (1.13),

pour une perturbation

δu

surla onditioninitiale, s'é rit :











∂ ˆ

X

∂t

=

∂M

∂X

X

ˆ

X(0) = δu

(1.27)

Par dénition de la fon tion oût liée aux observations

J

o

(U ) =

1

2 R

T

0 kH(X) − Y

o

k

2 o

dt

et en supposant que

H(X) = H.X

, ona :

ˆ

J

o

(U, δu) =< HX − Y

o

, H ˆ

X >=< ∇J

o

(U ), δu >

(1.28)

Dansun deuxième temps,on onsidère une variable arbitraire

P

,qui alamême dimension que

ˆ

X

. Onpeut alors é rireà partir dusystème (1.27):

<

∂ ˆ

X

∂t

, P >=

Z

T

0 (

∂ ˆ

X

∂t

, P )dt =<

∂M

∂X

X, P >

ˆ

(1.29)

Enintégrant lepremier membre de (1.29)par parties, on obtient lesystème:

( ˆ

_{X(T ), P (T )) − ( ˆ}

_{X(0), P (0))− < ˆ}

X,

∂P

∂t

>=<

∂M

∂X

X, P >=< ˆ

ˆ

X,

∂M

∂X

T

P >

(1.30)

Enutilisant

X(0) = δu

ˆ

, l'équation (1.30) devient:

( ˆ

_{X(T ), P (T )) − (δu, P (0)) =< ˆ}

X,

∂P

∂t

+

∂M

∂X

T

P >

(1.31)

Enutilisant ladénition del'adjoint de

H

, l'équation (1.28) peut seréé rire sous laforme:

< δu, ∇J

o

(U ) >=< ˆ

X, H

T

(HX − Y

o

) >

(1.32)

Si onidentieles équations (1.31) et (1.32),on dénit lesystèmeadjoint de lafaçon suivante :











∂P

∂t

+

∂M

∂X

T

.P = H

T

_{(HX − Y}

o

)

P (T ) = 0

(1.33) Et onobtient l'égalité :

∇J

o

(U ) = −P (0)

(1.34)

P

est solutiondu systèmeadjoint dumodèle linéaire tangent

∂M

∂X

, intégré de façon rétrograde

à partir de la ondition initiale

P (T ) = 0

. En pratique, pour obtenir

∇J

o

, il faut don intégrer

de façon rétrograde le modèle adjoint, obtenu à partir du modèle linéaire tangent, sur le même

intervalle de temps que pour le y le d'assimilation, e qui permet d'obtenir la valeur du gradient

(32)

Onremarque que

∂M

∂

X

T

ontient toute la traje toire de référen e du modèle dire t, e qui

in-duit unproblème desto kage.

Ondoitrajouterbiensûr ledeuxième terme

J

b

danslaformulation du gradient.

1.3.4.2 Méthodes adjointes pourun modèledis ret

On applique la méthode dé rite pour le modèle ontinu dans le as dis ret. Pour le modèle

dis ret( equi nousintéresse enpratique), l'évolution temporelleave unmodèle

M

s'é rit :

(

x

i+1

= M

(t

i

,t

i+1

)

(

x

i

),

t

i

∈ {t

1 , ..., t

p

}

x

0

(1.35)

x

0

estla onditioninitialedumodèledis ret.Lavariablede ontrleestenpratiquel'in rément

δ

x

0 =

x

0 −

x

b

.L'état initialesttrèssouventpriségalàl'ébau heet don l'in rémentinitial estnul.