Universit´e Abdelmalek Essaˆadi Ann´ee universitaire : 2018/2019
Facult´e des Sciences de T´etouan S.M.A. Semestre 6
T.D. de Probabilit´ es 2 S´ erie n˚ 3
Exercice 1 :
Soit X une v.a. discr`ete de loi donn´ee par : P(X = j) = pj;j = 0,1,2,· · · et on donne P(X > j) = qj;j = 0,1,2,· · ·. On consid`ere Q(s) =P∞
j=0qjsj; en tenant compte que la s´erie de somme Q(s) converge pour |s|<1.
1. Montrer que Q(s) = 1−G(s)1−s pour|s|<1 o`u G(s) est la fonction g´en´eratrice deX.
2. Trouver la moyenne et la variance de X en fonction de Qet ses d´eriv´ees.
Exercice 2 :
Trouver la fonction g´en´eratrice des moments sachant que les moments de la distribution sont donn´ees par mn= n+11 .
Exercice 3 :
Soient les fonctions de densit´e : 1. f(x) =
1
b−a si a < x < b 0 ailleurs 2. g(x) =
e−x si x >0 0 si x60
Trouver les fonctions caract´eristiques, les fonctions g´en´eratrices des moments et les moments puis calculer les quatre premiers moments centr´es
Exercice 4 :
D´emontrer que l’esp´erance math´ematique et la variance de la variable al´eatoireX suivant une loi hyperg´eom´etrique de param`etres n, aet b sont ´egales respectivement `a
E(X) = na a+b; V ar(X) = nab(a+b−n)
(a+b)2(a+b−1) Exercice 5 :
En utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tch´ebychev, majorer la probabilit´e pour que la variable al´eatoireX d’esp´erance math´ematiqueµ et d’´ecart-typeσ s’´ecarte de µ`a moins de 3σ.
Exercice 6 :
Trouver les lois correspondantes aux fonctions caract´eristiques suivantes : 1. ϕ1(t) = exp (eit−1)
2. ϕ2(t) = 12eit+124
1
