Analyse mathématique et numérique des modèles Pn pour la simulation de problèmes de transport de photons

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Analyse mathématique et numérique des modèles Pn

pour la simulation de problèmes de transport de photons

Xavier Valentin

To cite this version:

Xavier Valentin. Analyse mathématique et numérique des modèles Pn pour la simulation de

prob-lèmes de transport de photons. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris-Saclay, 2015.

Français. �NNT : 2015SACLC024�. �tel-01288229�

É oledo toralede mathématiquesHadamard (EDMH, ED 574)

Établissement d'ins ription : Centrale-Supéle

Établissement d'a ueil : CEA, DAM,DIF, F-91297Arpajon,Fran e

THÈSE DE DOCTORAT ÈS MATHÉMATIQUES

Spé ialité : Mathématiques appliquées

Xavier VALENTIN

Analyse mathématique et numérique de modèles

P

N

pour la simulation de problèmes de transport de photons

Datede soutenan e: 17dé embre2015

Après avisdesrapporteurs:

Christophe BERTHON(Université deNantes) Xavier BLANC (UniversitéParis Diderot)

Jurydesoutenan e:

Christophe BERTHON (Université de Nantes)Rapporteur Xavier BLANC (Université Paris Diderot)Rapporteur François BOUCHUT (Université Paris-Est) Examinateur Bruno DESPRÉS (Université Paris 6)Présidentdujury Cédri ENAUX (CEA, DAM,DIF)Co-en adrantdethèse Pauline LAFITTE (É ole CentraleSupéle ) Dire teurdethèse Mohammed LEMOU (Université de Rennes)Examinateur

HARMONICS MODELS FOR PHOTON TRANSPORT

Resume

Computational osts for dire t numeri al simulations of photon transport problems are very high in terms of CPU time and memory. One way to ta kle this issue is to develop redu ed models that a heaper to solve numeri ally. There exists number of thesemodels :moments models, dis reteordinates models (

S

N

),diusion-like models... Inthis thesis, we fo uson

P

N

modelsinwhi h thetransportoperator isapproa hed by mean of a trun ated development on the spheri al harmoni s basis. These models are arbitrarya urate intheangular dimension andarerotationnaly invariants(inmultiple spa edimensions). The latterpoint isfundamental whenone wants to simulate inertial onnment fusion(ICF) experiments where thespheri al symmetry plays animportant part in the a ura y of the numeri al solutions. We study the mathemati al stru ture of the

P

N

models and onstru t a new numeri al method in the spe ial ase of a one dimensionnalspa e dimension withspheri al symmetryphoton transportproblems.

We rstfo usonalineartransportproblemintheva uum. Eveninthissimple ase, itappearsinthe

P

N

equationsgeometri alsour etermsthatarestiintheneighborhood

of

r = 0

and thus hard to dis retise. Existing numeri al methods are not satisfa tory

for multiple reasons : (1) una ura y in the neighborhood of

r = 0

(ux-dip), (2) do not apturesteadystates(well-balan eds heme),(3)nostabilityproof.Followingre ent works, we develop a new well-balan ed s heme for whi h we show the

L

2

stability. We then extend the s heme for photon transport problems within a no moving media, the linear Boltzmann equation, and interest ourselves on its behaviorin the diusion limit (asymptoti -preservingproperty).

Inase ond part,we onsiderradiationhydrodynami s problems.Sin emodelisation oftheseproblemsisstill underdis ussioninthelitterature,we ompare asetofexisting modelsbymeanof mathemati al analysisandestablisha hierar hy. For ea hmodel,we fo uson the following mathemati al properties :(1)energy and impulsion onservation, (2) a ura y of the omobile ee ts, (3) existen e of a mathemati al entropy and (4) behavior inthe diusion limit. Ourstudy redu es to laboratoryframe models and we arestillinterestedinthe

P

N

approximationofthetransportoperator.Weidentifydefe ts inentropystru ture of existingmodels andpropose anentroy orre tion whi hleads to

ANALYSE MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE DE MODÈLES

P

N

POUR LA SIMULATION DE PROBLÈMES DE TRANSPORT DE

PHOTONS

Résumé

La résolution numérique dire te des problèmes de transport de photons en intera -tion ave un milieu matériel est très oûteuse en mémoire et temps CPU. Pour pallier e problème, une appro he onsiste à onstruire des modèles réduits dont larésolution est moins oûteuse. La littérature abonde de e genre de modèles : modèles aux mo-ments (

M

1

,

P

N

), modèles aux ordonnées dis rètes (

S

N

), modèles de diusion... Dans ettethèse,nousnousintéressonsauxmodèles

P

N

danslesquelsl'opérateur detransport est appro hé par proje tions surune base tronquée d'harmoniques sphériques. Ces mo-dèles, arbitrairement pré is sur ladimension angulaire, ont l'avantage d'être invariants par rotation (enplusieurs dimensionsd'espa e). Cedernierpoint estprimordial pour la simulation d'expérien es de fusion par onnement inertiel (FCI) où la symétrie sphé-rique joue un rle important dans la pré ision des résultats. Nous étudions don dans ette thèselastru ture mathématiquedesmodèles

P

N

ainsiqueleurdis rétisationdans le as d'unegéométrie

1D

sphérique.

Nous ommençons par le as du transport linéaire dans le vide. Même dans e as simple,leséquationsdumodèle

P

N

ontiennentdestermessour esd'originegéométrique dont la dis rétisation s'avère déli ate. Jusqu'à présent, les diérents s hémas utilisés étaientinsatisfaisantspourlesraisonssuivantes:(1)mauvais omportement auvoisinage der=0(phénomènede"ux-dip"),(2)nonpréservationdeséquilibresstationnaires,(3) pasde preuve formellede stabilité. Àlalumière deré entstravaux, nousproposons une nouvelle dis rétisationqui apture exa tementles étatsd'équilibre.Nousdémontrons en parti ulier la stabilité en norme

L

2

du s héma. Nous étendons par la suite e s héma au asdutransportde photonsdansun milieumatérielgé etnousnousintéressonsau omportement dus héma enlimite diusion(propriété "asymptoti -preserving").

Dans un se ond temps,nous nousintéressonsau ouplage entrerayonnement et hy-drodynamique.Devant l'absen ede on ensussurlesmodèles "transport" d'hydrodyna-miqueradiativeissusdelalittérature,nousétablissonsuneétude omparativede eux- i basée sur leurs propriétés mathématiques. Nous nous intéressons parti ulièrement aux propriétés suivantes : (1) onservation de l'énergie et de l'impulsion, (2) pré ision des eets omobiles, (3) existen e d'une entropie mathématique ompatible et (4) restitu-tion delalimite diusion.Notre étudeseréduit auxmodèles dits "mixed-frame"etune attention parti ulière est toujours portée sur l'approximation "

P

N

" de l'opérateur de transport. Nousidentions desdéfauts ( onservation ou entropie) surdes modèles exis-tants et proposons une orre tion entropique onduisant à un modèle

P

N

satisfaisant toutes les propriétés mathématiqueslistées i-dessus.

Je tiens tout d'abord àremer ier madire tri ede thèse,Pauline Latte, etmon en- adrant au CEA, Cédri Enaux, pour l'investissement dont ils ont fait preuve pendant es troisans de thèse. Je les remer ie également pour leur ours respe tifsen troisième annéed'é ole qui m'ont ré on ilié ave l'enseignement des mathématiques en ursus in-génieur et qui m'ont en ouragé à poursuivre mes études dans la voie de la simulation numérique.Plusparti ulièrement,jeremer ieCédri poursonen adrementauquotidien, sapédagogieetpourm'avoirtoutappris on ernantlesaspe ts on retsdelasimulation numérique. Je remer ie Pauline pour sa disponibilité, pour m'avoir transmis sa ulture s ientique, voire philosophique, pour ses onseils toujours avisés et pour avoir pris en hargelesaspe tsadministratifsdemathèse.Je lesremer ieégalementpourleuré oute, leur patien e (et dieu sait qu'il en faut pour m'é outer) et leurs qualités humaines qui ont largement ontribué auplaisir quej'ai eu àtravailler àleur té.

Jeremer ie ensuitetouslesmembresdujurydemasoutenan e,ChristopheBerthon, Xavier Blan , François Bou hut, Bruno Després et Mohammed Lemou. En parti ulier, je remer ie Christophe Berthon et Xavier Blan pour avoir a epté de rapporter mon travailetBruno Despréspour avoir endossé lerle deprésident dujury.

Jevoudraisaussiremer ierHervéJourdrenpoursona ueilauseindesonlaboratoire au CEAetpour ses rapideshistoriques del'hydrodynamiqueradiativeentre autres. Je remer ie également Bruno Sheurer pour m'avoir a ueilli dansson unité et pour ses onseils.Enn,mer iàtouslesdeuxpourleurstravauxderele tures,pourl'intérêtqu'ils ont portéà mestravauxet pour la onan equ'il meportepour l'après-thèse.

Jeremer ie toutlepersonneladministratifduCEAetde l'é oleCentraleSupéle :au CEA, Isabelle Visotto, Éliane Ri hard, Stéphanie Perrot, Brigitte Sadoule, et à l'é ole CentraleSupéle Catherine Lhopital, Emmanuelle Coplo et Suzanne Thuron. Pour les aspe tslogistiquesàl'espa eTerate auCEA, jeremer ieaussiThaoLe etDenisLubin. Enn, je remer ie toute la ne équipe de do torants et de stagiaires o asionnels du Terate (pas la boîte de nuit mais le ampus d'entreprises) au CEA sans qui es trois années de thèse auraient été beau oup moins drle. Travailler à leurs tés a été unréel plaisir au quotidien etune sour e d'enri hissement s ientique et ulturel. Mais je tiens surtout à les remer ier pour la bonne ambian e et pour tous es moments un peu moinssérieux qui ont souvent égayé mes journées. C'est ave une grande nostalgie et une larmi hette au oin de l'÷il que je m'en vais vers d'autres horizons et que je èdele trne de l'open-spa e; maisattention, je ne seraijamais très loin... Mer i don ,

Emmanuelle (spé imen rare de hromosomes XX), Hugo T. et B., Consalf he, Julien, Daking, Hoby et Rémy Baby, Elyès, aux travailleurs de l'extrême Christelle (spé imen rarede hromosomesXX),TonyetGuillaumeetauxan iens Bertrand,Alexandre, Jean-Yves, Jean-Baptiste,Sébastien.

Mer i à Ni olasetGuillaume pourleur présen eà masoutenan e.

Laparfaiteraison fuittouteextrémité, Et veutque l'onsoit sageave sobriété. Molière, Le Misanthrope, I,1.

Quedites-vous?...C'est inutile?... Je lesais! Maison ne sebat pasdansl'espoird'unsu ès! Non!non, 'estbienplus beau lorsque 'estinutile! EdmondRostand,Cyranode Bergera , V,6.

Introdu tion 8

1 Généralités sur la modélisation des problèmes de transfert radiatif 13

1.1 Des ription du rayonnement . . . 13

1.2 Modélisationdesintera tions rayonnement / matière . . . 15

1.3 Équations du transfertradiatif . . . 17

1.4 Modèle

P

N

pour letransfert radiatifgris 1Dplan . . . 19

2 Analyse mathématique et numérique des modèles

P

N

pour l'équation de transport de photonsdans un milieu matériel gé en géométrie

1D

sphérique 23 2.1 Analyse mathématique de l'équationde transport . . . 24

2.2 Constru tion desmodèles

P

N

. . . 28

2.3 Analyse mathématique desmodèles

P

N

. . . 32

2.4 Analyse du problèmestationnaire . . . 38

2.5 Dis rétisation desmodèles

P

N

etanalysenumérique . . . 41

2.6 Approximationsdes étatsstationnaires . . . 49

2.7 Résultats numériques . . . 53

2.8 Modèle detransfert radiatifspe tral . . . 69

2.9 Modèle multigroupe . . . 69

2.10 Modèle

P

N

multigroupe . . . 70

2.11 Dis rétisation . . . 71

3 Analyse mathématiqueet hiérar hiede modèles d'hydrodynamique ra-diative 74 3.1 Transformations de Lorentz pourle rayonnement . . . 76

3.2 Modèles lassiques . . . 83

3.2.1 Équationsd'Euler lassiques. . . 83

3.2.2 Modèle detransportspe tral . . . 84

3.2.3 Modèle detransportgris . . . 88

3.2.4 Modèles VEFgris . . . 92

3.2.5 Modèle

P

N

gris . . . 96

3.3.2 Modèlede transport spe tral . . . 103

3.3.3 Modèlede transport gris . . . 105

3.3.4 Limitesde diusiongrise. . . 107

3.3.5 Modèle

P

1

gris . . . 109

3.3.6 Modèle

P

N

gris . . . 112

L'étudeee tuéedans ettethèse on erne l'analysemathématiqueetnumériquedes modèles

P

N

pour la simulation de problèmes de transport de photons et d'hydrodyna-miqueradiative.Pluspré isément,ons'intéressedans esproblèmesàl'évolution spatio-temporelle d'une population de photons en intera tion ave le milieu matériel traversé. Lamodélisationde esproblèmesdonnelieuàdessystèmesd'équationsauxdérivées par-tiellesextrêmement omplexesàrésoudreaussibienanalytiquementquenumériquement. Cette omplexitéestnotamment issuedunombre devariablesetdunombred'équations intervenant dansles systèmesainsique delastru ture mêmede eux- i ( ouplages, non linéarités,termesintégro-diérentiels).Lesinfrastru turesinformatiquesa tuellesne per-mettentpasd'obtenirdessolutions susammentpré ises viadesrésolutionsnumériques dire tes.Onaalorsre oursàdesmodèlesappro hésquieux,sontplussimplesàrésoudre. Lesmodèles

P

N

onstituentunefamille,parmid'autres,detelsmodèlesappro hés.Dans ette thèse,nousétudions esmodèles sousl'angle de l'analysemathématique et propo-sonsdesméthodesnumériquese a espour leur résolution.

Avantd'entrerdanslesdétailsmathématiques, nousnousintéressonstoutd'abordau ontextegénéralde ettethèse.Celle- is'ins ritdansle adredelasimulationnumérique d'expérien esde fusionpar onnement inertiel(FCI).Les expérien es deFCIont pour obje tif d'initier la fusion nu léaire au sein d'un mélange de deux isotopes de l'hydro-gène (deutérium et tritium, abrégé DT) au moyen de fais eaux lasers. Cette fusion est obtenue en hauant et en omprimant de manière extrême le ombustible emprisonné dans une mi ro apsule de forme sphérique appelée ible. On distingue deux modes de dépt d'énergie par les lasers :l'attaque dire te et indire te. Dans l'attaque dire te, la ibleestdire tementsoumiseauxfais eauxlasers.Dansl'attaqueindire te,lesfais eaux lasers hauent tout d'abord un onteneur ylindrique entourant la ible qui transmet alors sonénergieà ette dernière sousforme de rayonnements X.Quel quesoit lemode de dépt d'énergie hoisi,la ompression du DTau entrede la ible se faitpar onser-vation de l'impulsion(eet fusée). Siles onditions thermodynamiques sont susantes, une réa tionde fusionapparaît. Onappelle alors onditions d'ignition les onditions re-quises pour que ette première réa tion de fusion entraîne une fusion auto-entretenue. Undespoints apitaux àl'optimisation du rendement énergétiquedesexpérien esde la FCIestlarédu tiondesinstabilitéshydrodynamiquesapparaissantauseindudispositif. Ces instabilités sont notamment issues de lanon uniformité du dépt d'énergie ee tué parleslaserssurla ible.PlusieursdispositifsdeFCIexistentdanslemonde. Parmieux,

joule) en Fran e. Ces dispositifs permettent d'obtenir des résultats expérimentaux an d'éprouver les méthodesnumériques simulant laFCI. Ces méthodes numériques onsti-tuent un grand hallenge puisqu'elles doivent oupler plusieurs modèles physiques pour simuler orre tement tous les phénomènes intervenant dans l'expérien e : intera tions laser-plasma, hydrodynamique radiative, plasmas, modèles multiuide... Dans le adre de ettethèse,ons'intéresse àlasimulationnumérique deproblèmes d'hydrodynamique radiative. On s'intéresse également aux problèmes, plus simples, de transfert radiatif, où la matière est supposéegée. Un intérêt parti ulier est mis sur ledéveloppement de méthodes numériques robustes qui préservent la symétrie sphérique, qui, omme nous l'avonsvu, est apitale danslesexpérien esde FCI.

On introduit à présent de manière su inte le adre mathématique des problèmes étudiésdans ettethèse.Lesproblèmesdetransportdephotonssontlargementétudiéset sontdé ritsendétailsdans[MWM99℄,[Cha60℄ouen ore[Cas04℄.L'évolutiontemporelle d'une population de photons se modélise ave une équation inétique dont la forme générales'é rit :

1

c

∂

t

u + ω · ∇u = S,

(1)

ave

u = u(t, x, ω, ν)

estlafon tion in onnue symbolisant l'intensitéradiative du

rayon-nement (une dénition rigoureuse sera donnée par la suite). Les quantités

t ∈ [0, +∞[

,

x ∈ R

3

,

ω ∈ S

2

et

ν ∈ [0, +∞[

désignent respe tivementlesvariablesde temps,d'espa e,

dedire tionetdefréquen e.Onnote

d

ladimensionspatiale et

S

2

lasphèreunitéde

R

3

. L'opérateur

S

représente les intera tions desphotonsave lemilieu traversé.L'intensité

u

est une fon tion de

7

variables :temps (

1

), espa e (

3

),dire tion (

2

) etfréquen e (

1

). En transfertradiatif, l'opérateur

S

prendlaforme généralesuivante:

S = −σ

t

u + σ

a

B(ν, T ) + σ

s

Z

S

2

u

dω

′

4π

,

(2)

où

σ

t

= σ

s

+ σ

a

,

σ

a

et

σ

s

désignent respe tivement les opa ités totale, d'absorption et de s attering dumilieu etsont desdonnées duproblème. La fon tion

B

orrespond àla fon tion de Plan k et dépend de la fréquen e

ν

et de la température de la matière

T

. L'opérateur de ollision

S

dépend des quantités thermodynamiques propres du milieu. En onséquen e, ondoitfermerlemodèle enajoutant uneou plusieurs équations modé-lisant l'évolutiondynamique etthermodynamique de lamatière. Lorsque lamatière est supposée aurepos( 'est-à-dire àvitesse nulle), ette équationsupplémentaire s'é rit :

∂

t

ǫ = −S

E

= −

Z

_+∞

0

Z

S

2

Sdωdν,

où

ǫ = ρc

v

T

ave

c

v

la apa itéthermiquemassiqueet

ρ

ladensitévolumique dumilieu.

En sommant ettedernière équationetlemoment angulaired'ordre

0

del'équation (1), on obtient alors une loi de onservation surl'énergietotaledu système:

ave

E = (1/c)

R

S

2

udω

et

F =

R

S

2

uωdω

.Enhydrodynamiqueradiative,lamatièren'est plus supposée au repos et l'équation (1) est ouplée aux équations d'hydrodynamique, par exemple leséquations d'Euler :











∂

t

ρ + ∇(ρv) = 0,

∂

t

(ρv) + ∇(ρv ⊗ v + p) = −S

P

,

∂

t

(ρe) + ∇(ρev + pv) = −S

E

,

où

ρ

est la masse volumique du uide,

v

sa vitesse,

p

sa pression et

e = ǫ + v

2

_/2

son énergie spé ique totale (interne plus inétique). Le terme sour e

S

P

orrespond aux é hangesd'impulsion entrelerayonnement etlamatière :

S

P

=

1

c

Z

_+∞

0

Z

S

2

Sωdωdν.

Ensommantl'équationsurl'énergiedusystèmed'Eulerave lemomentangulaired'ordre

0

de (1), onobtient une loide onservation surl'énergietotaledu système:

∂

t

(ρe + E) + ∇ · (ρev + pv + F ) = 0.

De même, en sommant l'équation sur l'impulsion du système d'Euler ave le moment angulaire d'ordre

1

de (1), on obtient une loi de onservation sur l'impulsion totale du système:

∂

t

(ρv + F/c

2

) + ∇ · (ρv ⊗ v + P ) = 0,

ave

P = (1/c)

R

S

2

uω ⊗ ωdω

.Laformedel'opérateur

S

estdetellesortequele ouplage

entre le rayonnement etlamatière est fortement non linéaire. La résolution du système omplet par des simulations numériques dire tes est don très di ile. Il est alors né- essaire de développer des modèles appro hés plus simples à résoudre. De nombreuses méthodes existent et une brève hiérar hie de elles- i a été établie dans [Bru02℄. On distingue deux familles de méthodes : les méthodes probabilistes (Monte-Carlo), et les méthodes déterministes. Les méthodes Monte-Carlo sont aujourd'hui très utilisées ar elles onstituent desméthodespré ises etfa ilement parallélisables. Leurdéfaut majeur résidedanslefaitqu'elles génèrent dubruitd'origine sto hastique e qui pertubela symétriesphérique desphénomènes physiquesapparaissant en FCI.Parmi lesméthodes déterministes, plusieurs appro hes sont possibles;les modèles basés sur des approxima-tions type diusion, laméthode desordonnées dis rètes (appelée aussiméthode

S

N

) et les modèles auxmoments font partie des méthodes les plus utilisées.Nous dé rivons i i esméthodesen quelquesmots.Le modèleditde diusion,valable uniquement dans un ertain régime, s'obtient en onsidérant le premier moment angulaire de l'équation (1) :

∂

t

E + ∇ · F = S

E

,

Dans le régime diusion, dans lequel les phénomènes de ollisions sont prépondérants devantlesphénomènesdetransport,laloideFi kestvériéeenpremièreapproximation

eton a:

F = −(c/3σ

t

)∇E

.Delasorte, onobtient l'équationsuivante:

∂

t

E − ∇ ·



c

3σ

t

∇E



= S

E

.

La densité d'énergie radiative vérie alors une équation parabolique dont la résolution numériqueestbeau oupplusabordable que ellede(1).Néanmoins,l'approximation ef-fe tuée i in'est valable quedansun régimebienparti ulier (régime diusion) ets'avère peu pré ise dansles autres régimes (régime transport par exemple). Pour pallier e dé-faut, des orre tions mineures ont été aportées à e modèle; par exemple les modèles basés surlathéoriedeladiusion àuxlimité.Néanmoins, es modèlesne garantissent pas une pré ision susante dans tous les régimes possibles. La méthode desordonnées dis rètes,elle,neprésupposepasdesepla erdansunrégimeparti ulier.Cetteméthode, initialement introduite dans[Cha60℄,reste laplusutiliséeet étudiée parmiles méthodes déterministes. L'idée générale onsiste à supposer laforme suivante pour l'intensité ra-diative

u

:

u(t, x, ω, ν) =

N

X

k=1

u

k

(t, x, ω

k

, ν)δ(ω − ω

k

),

(3) où

(ω

k

)

1≤k≤N

sont

N

dire tions parti ulières et ave

δ

la distribution de Dira . De la

sorte, l'équation(1) devient un systèmede

N

équations de laforme:

1

c

∂

t

u

k

+ ω

k

· ∇u

k

= S

k

.

Les termes intégrauxdans les termes sour essont alors appro héspar desquadratures. Cetteméthoderen ontreunlargesu èsdeparsasimpli itéd'implémentation et d'opti-misation.Ellesoure ependantd'undéfautmajeurbien onnu,leseetsderaies,qui apparaissentlorsquel'on sepla eendimension d'espa esupérieureà

1

.Dansle adrede lasimulationd'expérien edeFCIoùlasymétriesphérique joueunrle prépondérant, e défautnous ontraintàre her herdesméthodesplusadaptées.Lesmodèles

P

N

sont,eux, uneformeparti ulièredemodèlesauxmoments.Ceux- isebasentsurunedé omposition de l'intensité radiative

u

sur une base tronquée de fon tions d'harmoniques sphériques. L'avantagedes modèles

P

N

réside danslefait qu'ilssont arbitrairement pré isen angle etqu'ilsdonnent lieu àdessystèmes linéaires.Deplus, ilsn'introduissent pasde pertur-bationàlasymétriesphérique.C'estdon sur esmodèlesqueseportenotreétudedans le adre de ette thèse.

Dans ettethèse,onmetdon l'a entsurladis rétisationdesmodèles

P

N

en géomé-trie

1D

sphérique. La littérature à proposdesmodèles

P

N

estpeu fournie;lorsque l'on se pla e en géométrie

1D

sphérique les résultats sont rares ([Mar47℄, [RW67℄, [Deb67℄). Demanièregénérale, lemodèle

P

N

s'é ritsouslaformed'un systèmede loisde bilande taille de

N + 1

de laforme:

1

c

∂

t

U + A∂

r

U +

1

r

GU = −σ

t

U + σ

s

JU + Q.

On distingue dans e système un terme sour e formé de deux ontributions. Le terme

tiellement raides:le terme géométrique devient raide au voisinage de

r = 0

et leterme physique est raide lorsque

σ

devient grand, e qui est fréquent dansles appli ations. Il fautdon être apable de onstruire unedis rétisation defaçon àêtrepré ismême dans les régimes où es termes sour es deviennent raides. On parle alors de s héma asymp-toti preserving lorsque l'erreur de onsistan e de la dis rétisation est onsistante ave le développement asymptotique à l'ordre

1

de l'équation dans la limite onsidérée. La dis rétisationdessystèmes hyperboliques ave termesour e raideestun problèmequi a été très étudié ré emment ([JL96℄, [GT02℄). Ces s hémas sont appelés s hémas préser-vant l'asymptotique. De ré ents travaux ont montré que, dans ertains as, il sut de onstruireuns hémabienéquilibré(abrégéWBpourwell-balan ed),i.e.qui apture exa tement les solutions stationnaires, pour obtenir un s héma préservant l'asympto-tique (abrégé s héma AP pour asymptoti preserving). C'est l'appro he que nous avons retenue dans ette thèse: ontruire uns héma WBpour lesystèmeétudié.

Le premier hapitre de ette thèse est dédié à quelques rappels de modélisation à proposdes problèmes de transport de photons. On ommen e par dénir les grandeurs dé rivant unepopulationde photonssedéplaçant dansl'espa e.Onintroduitensuiteles diérents types d'intera tions que peuvent avoir es photons ave le milieu traversé et ondénitdesnotationsadaptées.Onnitpardériverl'équationde transfertmodélisant l'évolutiontemporelled'unepopulationdephotonsenintera tionave lemilieutraversé. Dans le deuxième hapitre, on rappelle les propriétés satisfaites par les solutions de l'équationde transportlinéaire en géométrie

1D

sphérique. Puis,on onstruit lemodèle

P

N

asso iéetonpro èdeàsonanalysemathématique.En parti ulier,on s'intéresseaux propriétés onservées par passage de l'équation de transport au modèle

P

N

. On étu-die ensuite les états stationnaires du modèle

P

N

avant de onstruire un s héma bien équilibrépour lesystème étudié.Enn, on pro èdeà l'analysenumérique du s hémaen regardant lespropriétésde onservation,le ara tèreWB,le ara tèreAPetlastabilité. On omplètenotreétudepar quelquesrésultatsnumériques illustrant lespropriétés pré- édenteseton ompare lesrésultatsobtenus ave dessimulationsissuesdelalittérature. Ons'intéresseenn auxéquations dutransfert radiatif, 'est-à-direà laprise en ompte du ouplage non linéaire à la matière et de la dimension fréquentielle. Une extension multigroupeàtroistempératures(ions,éle trons,rayonnement)dus hémaestproposée. Le troisième hapitre est dédié à l'étude mathématique des modèles d'hydrodyna-mique radiative. Partant du onstat qu'il n'existe pas de onsensus dans la littérature surle hoix du modèle à dis rétiser, on fo alise notre étudeau asd'une géométrie

1D

plane.Ondresseensuiteune hiérar hienonexhaustive demodèlesdits mixed-frame. On ompare lesmodèles suivantles propriétés qu'ilssatisfont : onservationde l'énergie etdel'impulsion,ordredepré isionen

v/c

deseets omobiles,pré isionangulaire, om-portement en limite diusion et existen e d'une stru ture entropique. On identie des défauts sur des modèles existants ( hoix entre onservation et entropie) et on propose de nouveaux modèles basés sur l'approximation

P

N

. Ces nouveaux modèles possèdent toutes lespropriétés listéesplus haut.

Généralités sur la modélisation des

problèmes de transfert radiatif

Dans e hapitre, on rappelle quelques éléments de modélisation des problèmes de transfertradiatif. Onprésente toutd'abordleformalismemathématique utilisépour dé- rireunrayonnement lumineux.Ons'intéresseensuiteàlamodélisationdesintera tions entre un rayonnement et un milieu matériel au repos, i.e.à vitesse nulle. Puis, à l'aide d'un bilan d'énergie, on dérive les équations du transfert radiatif. Celles- i forment un systèmefermé dedeuxéquations régissant ladistributiondesphotonsetlatempérature de lamatière.Dansun assimplié, onprésenteensuiteunefamille demodèles,appelés modèles

P

N

,basés sur une dé omposition en harmoniques sphériques de ladistribution de photonsetappro hant les équations dutransfert radiatifdanslalimite

N → ∞

. En-n,ons'intéresseauxtransformationsdeLorentzpourlerayonnementandeprendreen ompteleseetsd'entraînementsapparaissantdanslesintera tionsrayonnement/matière lorsque lamatière n'est pasaurepos.

Dans tout e hapitre, la modélisation adoptée est limitée au adre suivant, déni dans [RSUR13℄ :(1) on suppose que la densité de photons est susamment grande de tellesorte qu'ilsoit possible de al uler desmoyennessansquel'erreur sto hastique soit trop élevée, (2) les eets d'interféren e sont négligés, i.e.les photons sont in ohérents, (3) onnéglige lesphénomènes de dira tionetde réexion desphotons, (4) onsuppose quelalumièren'estpaspolarisée,(5)lesphotonssedépla entàlavitesse

c

delalumière danslevide quel quesoit lemilieu matérieltraversé.

On adopte en outre les onventions mathématiques suivantes. La variable de temps est notée

t ∈ [0, +∞[

etlavariable d'espa e

x ∈ R

d

,où

d = 1, 2, 3

désigne la dimension

d'espa e. On note

S

2

la sphère unitéde

R

3

et

ω ∈ S

2

la variable angulaire. La variable de fréquen eest notée

ν ∈]0, +∞[

.

1.1 Des ription du rayonnement

Dans ettepartie,ondénitlesquantitésné essairespourdé rirelerayonnement.Le hapitre6 de[MWM99℄introduit esnotions demanièrepré ise.Onprésentedans ette

onstitué d'une population de parti ules, les photons, sedéplaçant en ligne droite à la vitessede lalumière

c

.

Dénition 1.1. Soit

δN

le nombre de photons ontenus à l'instant

t

dans un volume

dx

autourd'unpoint

x

,sedéplaçantà lavitesse

c

dansunanglesolide

dω

autourd'une dire tion

ω

etde fréquen e omprise dansun intervalle

[ν, ν + dν[

.Ondénit ladensité dephotons

ψ

par l'égalité:

δN = ψ(x, t, ω, ν)dωdνdx.

(1.1)

Dénition 1.2. Soit

δE

la quantité d'énergie transportée dans un intervalle de temps

[t, t + dt[

àtraversune surfa e

dS

autourd'unpoint

x

,par lesphotons sedéplaçant àla

vitesse

c

dansunanglesolide

dω

autourd'unedire tion

ω

etdefréquen e omprisedans unintervalle

[ν, ν + dν[

.Ona alors :

δE = chνψ(x, t, ω, ν)hω, dSidωdνdt,

(1.2)

où

h

désigne la onstantedePlan k.Ondénitalors l'intensitéradiative

I

parl'égalité:

I(x, t, ω, ν) = chνψ(x, t, ω, ν).

(1.3)

L'intensitéradiative fournit unedes ription inétique omplète durayonnement. Ses moments angulaires su essifs possèdent quant à eux une signi ation physique bien parti ulière ommelemontrent lesdénitions i-dessous.

Dénition1.3. Ondénit ladensitéd'énergie radiativemono hromatique

E

ν

telleque laquantité d'énergie ontenue à l'instant

t

dansun volume

dx

autourd'unpoint

x

,par lesphotons defréquen e omprise dansunintervalle

[ν, ν + dν[

soit égale à

E

ν

dxdν

.On aalors d'après(1.1) :

E

ν

(x, t, ν) =

Z

S

2

hνψ(x, t, ω, ν)dω =

1

c

Z

S

2

I(x, t, ω, ν)dω.

(1.4)

Demême,ondénitladensitéd'énergieradiativetotale

E

tellequelaquantité d'énergie ontenue à l'instant

t

dans volume

dx

autour d'un point

x

,par la totalité des photons soit égaleà

Edx

.Onaalors d'après(1.1) :

E(x, t) =

Z

_+∞

0

I

4π

hνψ(x, t, ω, ν)dωdν =

1

c

Z

_+∞

0

Z

S

2

I(x, t, ω, ν)dωdν.

(1.5)

Dénition 1.4. Ondénit leve teur ux d'énergie radiative mono hromatique

F

ν

tel quelaquantitéd'énergie transportée dansunintervalle detemps

[t, t + dt[

àtravers une surfa e

dS

autourd'unpoint

x

,parlesphotonsdefréquen e omprisedansunintervalle

[ν, ν + dν[

soit égale à

hF

ν

, dSidtdν

.Ona alors d'après(1.1) :

F

ν

(x, t, ν) =

Z

S

2

chνψ(x, t, ω, ν)ωdω =

Z

S

2

I(x, t, ω, ν)ωdω.

(1.6)

Demême,ondénitleve teuruxd'énergieradiativetotal

F

telquelaquantitéd'énergie transportée dans un intervalle de temps

[t, t + dt[

à travers une surfa e

dS

autour d'un point

x

,par latotalité desphotons soitégale à

hF, dSidt

. Onaalors d'après(1.1) :

F (x, t) =

Z

_+∞

0

Z

S

2

chνψ(x, t, ω, ν)ωdωdν =

Z

_+∞

0

Z

S

2

I(x, t, ω, ν)ωdωdν.

(1.7) En outre, laquantité

(1/c

2

_)F

représentela densité d'impulsion radiative portée par les photons.

Dénition 1.5. Ondénitletenseurdepressionradiative mono hromatique

P

ν

telque la quantité d'impulsion transportée dans un intervalle de temps

[t, t + dt[

à travers une surfa e

dS

autourd'unpoint

x

,par lesphotonsdefréquen e omprise dansunintervalle

[ν, ν + dν[

soit égaleà

P

ν

: dSdtdν

.On aalors d'après(1.1) :

P

ν

(x, t, ν) =

Z

S

2

hνψ(x, t, ω, ν)ω ⊗ ωdω =

1

c

Z

S

2

I(x, t, ω, ν)ω ⊗ ωdω.

(1.8)

Ondénit letenseur depression radiativetotal

P

tel quelaquantité d'impulsion trans-portéedansun intervalle detemps

[t, t + dt[

àtravers une surfa e

dS

autourd'unpoint

x

, parla totalitédesphotons soit égale à

P : dSdt

.On aalors d'après(1.1) :

P (x, t) =

Z

_+∞

0

Z

S

2

hνψ(x, t, ω, ν)ω ⊗ ωdωdν =

1

c

Z

_+∞

0

Z

S

2

I(x, t, ω, ν)ω ⊗ ωdωdν.

(1.9)

1.2 Modélisation des intera tions rayonnement / matière

Dans ette se tion, on étudie omment le rayonnement interagit ave la matière. En ore une fois, on propose un brefrésumé du hapitre 6 de [MWM99℄ où es notions sont introduites ave pré ision. On dénit tout d'abord les quantités né essaires pour dé rire esintera tions dansle adregénéral.Puis,onétudieplusparti ulièrement le as où la matière est au repos, i.e. à vitesse nulle. Le as où la matière est en mouvement sera étudié pré isement danslase tion3.1.

Dénition 1.6. Soit

δE

la quantité d'énergie absorbée dans un intervalle de temps

[t, t + dt[

,parunvolumedematièredelongueur

dℓ

,dese tion

dS

situéautourd'unpoint

x

,orientéperpendi ulairement àunrayonnement sepropageant dansunanglesolide

dω

autourd'unedire tion

ω

,dansunebandedefréquen e

[ν, ν + dν[

.Ondénitle oe ient d'extin tion

χ = χ(x, t, ω, ν)

par l'égalité :

δE = χ(x, t, ω, ν)I(x, t, ω, ν)dℓdSdωdνdt.

(1.10)

Dénition1.7. Soit

δE

laquantitéd'énergieémisedansunintervalledetemps

[t, t+dt[

, par unvolume de matière delongueur

dℓ

,de se tion

dS

situé autourd'unpoint

x

,dans unanglesolide

dω

autourd'unedire tion

ω

,dansunebandedefréquen e

[ν, ν + dν[

.On dénit le oe ient d'émission

η = η(x, t, ω, ν)

par l'égalité :

etlerayonnement :l'émission/absorptionetles attering. Dansle premier as, l'énergie durayonnement est absorbée par lamatière au protde sonénergie interne; 'est l'ab-sorption. L'émission estle pro essus inverse :l'énergieinterne de lamatière estextraite et onvertie en énergieradiative. Le s attering est le phénomène danslequel un photon in ident de dire tion

ω

et de fréquen e

ν

est absorbé et réémis instantanément par la matièreave unedire tion

ω

′

etunefréquen e

ν

′

diérentes.Le hangementdedire tion etle dé alage en fréquen e sont déterminés par un noyau de s attering. Contrairement à l'émission/absorption, au un transfert d'énergie n'a lieu entre le rayonnement et la matièrelors du s attering d'unphoton.

Dénition 1.8. On dénit, et on note

χ

a

= χ

a

(x, t, ω, ν)

et

η

a

= η

a

(x, t, ω, ν)

, les oe ients d'extin tion et d'émission asso iés au pro essus d'émission/absorption. De même, on dénit, et on note

χ

s

= χ

s

(x, t, ω, ν)

et

η

s

= η

s

(x, t, ω, ν)

, les oe ients d'extin tion etd'émissionasso iés aupro essus des attering. Ona alors leségalités :

χ(x, t, ω, ν) = χ

a

(x, t, ω, ν) + χ

s

(x, t, ω, ν),

(1.12)

et

η(x, t, ω, ν) = η

a

(x, t, ω, ν) + η

s

(x, t, ω, ν).

(1.13)

On s'intéresse à présent aux expressions des oe ients d'extin tion et d'émission dansle asparti ulier oùlamatière estaurepos(i.e.vitessenulle)àl'équilibre thermo-dynamiquelo al(ÉTL).

Propriété 1.1. Lorsquelamatière estau reposàl'ÉTL, les oe ientsmatériels d'ex-tin tion

χ

,

χ

a

et

χ

s

sont isotropes (i.e. indépendants de la dire tion

ω

) ets'identient auxopa itésdu matériau:

χ

a

= σ

a

,

χ

s

= σ

s

,

χ = σ

t

= σ

a

+ σ

s

,

(1.14)

ave

σ

t

= σ

t

(x, t, ν)

,

σ

a

= σ

a

(x, t, ν)

et

σ

s

= σ

s

(x, t, ν)

respe tivement lesopa itéstotale, d'absorptionetdes attering delamatière.Lesvaleursde esdernièressontdonnéessoit par des formules analytiques, soit par des tables d'opa ités empiriques ou fournies par des odesde physique atomique.

Propriété 1.2. Lorsque la matière est au repos à l'ÉTL, les oe ients d'émission

η

a

et

η

s

sont isotropesetdonnés par lesexpressions suivantes :

η

a

= σ

a

B,

η

s

= σ

s

hIi,

(1.15)

où on a noté

h.i

l'opérateur moyenne sur

S

2

,

B = B(ν, T )

la fon tion de Plan k (ou

plan kienne) et

T = T (x, t)

la température de la matière. La fon tion de Plan k re-présente l'intensité radiative durayonnement émisspontanément par un orps noirà la température

T

etestdéniepar :

B(ν, T ) =

2hν

3

c

2

(e

hν

où

h

et

k

sont les onstantes de Plan k et de Boltzmann. On note, en outre, qu'on a ee tué l'hypothèse d'un s attering isotrope et ohérent, 'est-à-dire que le photon in ident ne subit pas de hangement de fréquen e et quesa dire tion de réémission est distribuée uniformément surla sphère

S

2

.

Remarque 1.1. Les hypothèses d'équilibre thermodynamique lo al et du s attering iso-trope ohérent sontimpli itement supposées dans toute la suite dudo ument.

Propriété 1.3. Le rayonnement émis par un orps noir à latempérature

T

,dont l'in-tensitéestdonnéepar lafon tionde Plan k, vérielaloide Stefan:ladensitéd'énergie rayonnéeest proportionnelleà

T

4

etvaut

1

c

Z

_+∞

0

I

4π

B(ν, T )dωdν = aT

4

,

a =

8π

5

_k

4

15c

3

_h

3

.

(1.17) La onstante

a

estappelée onstante radiative.

1.3 Équations du transfert radiatif

L'équation de transfert est l'équation qui régit l'évolution de l'intensité radiative

I

. La méthode de dérivation de ette équation est présentée dans [MWM99℄, Ÿ76. L'idée généraleestd'ee tuer unbiland'énergieradiativedansunintervalledetemps

[t, t + dt[

, dans un volume de longueur

dℓ

, de se tion droite

dS

autour d'un point

x

, transportée dans un angle solide

dω

autour d'une dire tion

ω

normale à

dS

, dans une bande de fréquen e

[ν, ν + dν[

.Par onservation de l'énergie totale, ladiéren e entrelaquantité d'énergie sortant duvolume en

x + dx

à

t + dt

etlaquantité d'énergie rentranteen

x

à

t

est égale à la diéren e entre quantité d'énergie émise et quantité d'énergie absorbée parlamatièredanslevolumependantl'intervalle detemps

[t, t + dt[

.Formellement, ela s'é rit à l'aidede (1.2),(1.10) et(1.11) :

(I(x + dx, t + dt, ω, ν) − I(x, t, ω, ν))dSdωdνdt

= (η(x, t, ω, ν) − χ(x, t, ω, ν)I(x, t, ω, ν))dℓdSdωdνdt.

(1.18)

En divisant les deuxmembrespar

dℓdSdωdνdt

, ilvient ave l'égalité

dℓ = cdt

:

1

c

∂

t

I + ω · ∇I = η − χI.

(1.19)

Cettedernière équationestlaforme généralede l'équationde transfert.C'estune équa-tionde transportave termesour e quidé rit, danssonmembre degau he,letransport d'énergieradiative auseindudomaineet,danssonmembrededroite,lesé hanges éner-gétiques ave lamatière. Telle qu'on l'a é rite, (1.19) est valable que lamatière soit au repos ou non, puisqu'on n'a pas pré isé les expressions des termes sour es. Dans le as où lamatière estau repos,leterme sour e général

η − χI

de(1.19) seréé rità l'aidede

η(x, t, ω, ν) − χ(x, t, ω, ν)I(x, t, ω, ν) = σ

a

(x, t, ν)[B(ν, T (x, t)) − I(x, t, ω, ν)]

+ σ

s

(x, t, ν)

I

S

2

I(x, t, ω

′

, ν)

dω

′

4π

− I(x, t, ω, ν)



.

(1.20) Onvoitquel'équationdetransfertest oupléeàlamatièreparl'intermédiairedesopa ités

σ

a

,

σ

s

et de la température

T

.Les opa ités sont données par des formules analytiques, ou destables de valeurs, qui dépendent de la massevolumique et de latempérature de la matière. La seule équation (1.19) ave (1.20) ne dénit pas un système fermé. Il est né essaired'ajouter uneéquation supplémentaire régissantlatempérature delamatière dans le milieu. D'après le premier prin ipe de la thermodynamique, on a l'équation suivante :

∂

t

ε = q,

q(x, t) = −

Z

_+∞

0

I

4π

σ

a

(x, t, ν)[B(ν, T (x, t)) − I(x, t, ω, ν)]dωdν,

(1.21)

où

ε = ε(x, t) = ρc

v

T

est la densité d'énergie interne de la matière et

q

la quantité

de haleur (d'énergie) transmise par unité de temps du rayonnement à la matière. En outre,

ρ

et

c

v

sont onnuesetdésignentrespe tivementlamassevolumiqueetla apa ité thermique spé ique de la matière. Les équations (1.19) (ave terme sour e (1.20)) et (1.21)sont appeléeséquations dutransfertradiatifetforment lesystèmefermé suivant:







1

c

∂

t

I + ω · ∇I = η − χI,

∂

t

(ρc

v

T ) = q,

(1.22)

où

η − χI

et

q

sont respe tivement donnés par (1.20) et (1.21). En intégrant l'équation

detransfertenfréquen esetenappro hant lesopa itésspe trales,i.e.dépendantesdela fréquen e,parleurmoyennesurtoutlespe tre,onobtient lesystèmesuivantmodélisant letransfertradiatif gris,i.e.moyenné en fréquen e:







1

c

∂

t

I + ω · ∇I = σ

a

 ac

4π

T

4

− I



+ σ

s

(hIi − I),

∂

t

(ρc

v

T ) = −σ

a

c(aT

4

− 4πhIi),

(1.23)

où

I = I(x, t, ω)

désigne i i l'intensité radiative intégrée en fréquen es et où on a noté

h·i

l'opérateur moyenne sur

S

2

de sorte qu'i i

hIi

désigne lamoyenne de

I

surtoutes les dire tions

ω

. Deplus,

σ

a

et

σ

s

représentent respe tivement les moyennes en fréquen es desopa itésspe trales

σ

a

et

σ

s

.

Onavupré édemment quelesmomentsangulairesdel'intensité radiativepossèdent uneinterprétationphysiqueparti ulière.Ilenestdemêmepourlesmomentsangulairesde l'équationdetransfertquel'onprésente i-dessous.Lesdeuxpremiersmoments,l'énergie etl'impulsion,intégrés enfréquen e de(1.19) s'é rivent :

∂

t

E + ∇ · F =

Z

_+∞

0

Z

S

2

[η(ω, ν) − χ(ω, ν)I(ω, ν)]dωdν,

(1.24)

1

c

2

∂

t

F + ∇ · P =

1

c

Z

_+∞

0

Z

S

2

[η(ω, ν) − χ(ω, ν)I(ω, ν)]ωdωdν.

(1.25)

Ces deux équations sont respe tivement des lois de bilan pour la densité d'énergie et la quantité de mouvement radiatives. En parti ulier, les termes sour esreprésentent les é hanges de es grandeurs physiques entre la matière et le rayonnement. On introduit alors, identiquement à[Cas04℄, hapitre 6,lesquantitéssuivantes.

Dénition 1.9. On dénit, et on note

G

0

et

g

, les quantités d'énergie et d'impulsion transmises delamatière aurayonnement par unitéde volume etde temps (à unfa teur

1/c

près).D'après (1.24) et(1.25), elles- i s'expriment :

G

0

(x, t) =

1

c

Z

_+∞

0

Z

S

2

[η(x, t, ω, ν) − χ(x, t, ω, ν)I(x, t, ω, ν)]dωdν,

(1.26)

g(x, t) =

1

c

Z

_+∞

0

Z

S

2

[η(x, t, ω, ν) − χ(x, t, ω, ν)I(x, t, ω, ν)]ωdωdν.

(1.27)

Propriété 1.4. Dansle asparti ulier où la matière estau repos, les expressions pour

G

0

et

g

seréé rivent ave (1.14) et(1.15) :

G

0

(x, t) =

1

c

Z

_+∞

0

σ

a

(x, t, ν)[4πB(ν, T (x, t)) − cE

ν

(x, t, ν)]dν,

(1.28)

g(x, t) = −

1

_c

Z

_+∞

0

σ

t

(x, t, ν)F

ν

(x, t, ν)dν.

(1.29)

Ces expressions se simplient dans l'approximation grise, i.e moyennée en fréquen e, pour devenir:

G

0

(x, t) = ¯

σ

a

(x, t)[aT (x, t)

4

− E(x, t)],

(1.30)

g(x, t) = −

1

_c

σ

¯

t

(x, t)F (x, t),

(1.31)

où

σ

¯

a

et

σ

¯

t

désignent les moyennesd'opa ités sur toutlespe tre defréquen e.

1.4 Modèle

P

N

pour le transfert radiatif gris 1D plan

La méthode

P

N

estune méthode d'approximation del'opérateur de transportbasée surla proje tion de elui- isurune basetronquée d'harmoniques sphériques. Cette mé-thode peut don s'appliquer dès que le problème ren ontré fait intervenir l'équation de transport(photonique,neutronique,transportdeparti ulesetbiend'autres);autrement dit, ellen'est paspropreau problèmede transfertradiatif. Uneprésentation généralede la méthode est exposée dans [Bru00℄ et [Bru02℄. L'appli ation de la méthode

P

N

pour le transfertradiatif faitl'objet d'unprojet prospe tif mené au CEAdepuis 2009, qui se dé linesous laforme d'unesu essionde travauxde stagessurles sujetssuivants:

 s hémas

P

N

expli ites et impli ites Asymptoti Preserving  pour le transfert radiatifen

1D

plan,

 extensions de laméthode

P

N

aux as

1D

sphérique et

2D

axisymétrique,  adaptation dela méthode

P

N

à desar hite tures hybrides (CPU/GPU),  extension de laméthode

P

N

aumultigroupe,

 étude dess hémas

P

N

d'ordresélevés.

Dans ette se tion, on rappelle brièvement la théoriemathématique etla dérivation du modèle

P

N

1Dplanpour les équationsdu transfert radiatifgris. Comme onse pla een géométrie1Dplane,onnote,dans ettese tion,

x ∈ R

lavariabled'espa eet

µ ∈ [−1, 1]

lavariable de dire tion telleque

µ = n · e

x

, où

e

x

est le ve teur unitaire orthogonal au planinvariant. Lesystème étudié,dont onveuté rire lemodèle

P

N

asso ié, s'é rit :



































1

c

∂

t

I + µ∂

x

I = σ

a

(x, t)

h ac

4π

T

4

(x, t) − I(x, t, µ)

i

+ σ

s

(x, t)

Z

1

−1

I(x, t, µ

′

)

dµ

′

2

− I(x, t, µ)



,

∂

t

(ρc

v

T ) = −4π

Z

1

−1

σ

a

(x, t)

h ac

4π

T

4

(x, t) − I(x, t, µ)

i dµ

₂

.

(1.32)

Le modèle

P

N

1D planestobtenu par proje tion del'équation de transfertdes photons surlabase orthonormée despolynmesde Legendre,notés

P

n

.La proje tion surunde eséléments donne :

1

c

∂

t

I

n

+ 4π

Z

1

−1

µP

n

(µ)∂

x

I

dµ

2

= σ

a

[acT

4

_δ

n,0

− I

n

] + σ

s



4π

Z

1

−1

I(x, t, µ

′

)

dµ

′

2

δ

n,0

− I

n



(1.33) où

I

n

estle

n

-ième oe ient de

I

danslabaseorthonormée despolynmesdeLegendre normés,aussiappelé

n

-ième moment :

I(x, t, µ) =

+∞

X

n=0

I

n

(x, t)P

n

(µ),

I

n

(x, t) = 4π

Z

1

−1

I(x, t, µ)P

n

(µ)

dµ

2

.

(1.34) L'approximation

P

N

onsiste à onsidérer omme nuls les moments d'ordres supérieurs à

N

.Celaforme la onditionde fermeture :

∀n > N,

I

n

= 0,

(1.35)

quipermetde tronquerlasommeinnie en une sommede

N + 1

éléments :

I(x, t, µ) 7→

N

X

n=0

I

n

(x, t)P

n

(µ).

(1.36)

Enutilisant larelation de ré urren esurles polynmesdeLegendre normés

µP

n

(µ) =

nP

_n−1

(µ) + (n + 1)P

n+1

(µ)

p

(2n − 1)(2n + 1)

,

1

c

∂

t

I

n

+ ∂

x

"

nI

_n−1

+ (n + 1)I

n+1

p

(2n − 1)(2n + 1)

#

= σ

a

[acT

4

δ

n,0

− I

n

] + σ

s

[I

0

δ

n,0

− I

n

].

(1.38)

ou en ore,en notation ve torielle:

1

c

∂

t

u

+ A∂

x

u

= (σ

a

[acT

4

− I

0

], −σ

t

I

1

, . . . , −σ

t

I

N

)

t

,

(1.39) ave

u

= (I

0

, . . . , I

N

)

t

et

A

lamatri e onstante, réelle, symétrique, detaille

(N + 1) ×

(N + 1)

,déniepar :

A

i,j

=

j + 1

p

(2j + 1)(2j + 3)

δ

j,i−1

+

i + 1

p

(2i + 1)(2i + 3)

δ

j,i+1

= A

j,i

.

(1.40)

Le systèmetotal estobtenu par la ombinaison de (1.39) etde(1.21) :







1

c

∂

t

u

+ A∂

x

u

= (σ

a

[acT

4

− I

0

], −σ

t

I

1

, . . . , −σ

t

I

N

)

t

,

∂

t

(ρc

v

T ) = −σ

a

[acT

4

− I

0

].

(1.41)

Lemodèle

P

N

1Dplan(1.41)est onstituéd'unsystèmedetaille

N +1

oupléàl'équation de lamatière, e quiporteà

N + 2

latailledu systèmetotal. Lesystèmeestunsystème deloisde onservation(SLC)ave termessour es.Samatri eja obienne

A

est onstante, e qui onfèrelapropriété de linéaritéau SLChomogène (i.e.sanstermes sour es) :

1

c

∂

t

u

+ A∂

x

u

= 0.

(1.42)

L'étude delastru ture propredelamatri e

A

estee tuéedans[Bru00℄etonal'égalité suivante:

A









. . .

P

n

(µ)

. . .







 =











. . .

nP

n−1

(µ)

√

(2n−1)(2n+1)

+

(n+1)P

n+1

(µ)

√

(2n+1)(2n+3)

. . .











= µ









. . .

P

n

(µ)

. . .







 ,

(1.43)

∀µ ∈ [−1, 1],

P

N +1

(µ) = 0,

il vient :

 les valeurs propres de

A

sont les

N + 1

ra ines réelles distin tes

λ

q

du polynme

P

N +1

sur

[−1, 1]

,

 lesve teurspropres àdroite asso iés sont donnéspar

r

q

= (. . . , P

n

(λ

q

), . . . )

t

, 

A

étantsymétriqueréelle,lesve teurspropresàdroite etàgau hesont lesmêmes,  lamatri e

A

estdiagonalisable dans

R

,de valeurspropres simples,

d'ordre zéro. Eneet,les momentsd'ordre

k > 0

vérient l'équation:

1

c

∂

t

u

k

+ ∂

x

(Au)

k

= −σ

t

u

k

,

(1.44) qui se résout indépendamment de la température de lamatière

T

.Le système ara té-ristiquedu ouplage ave lamatière ne s'é rit qu'ave lesmomentsd'ordre zéro:







1

c

∂

t

u

0

+ ∂

x

(Au)

0

= σ

a

(acT

4

_{− u}

0

),

∂

t

(ρc

v

T ) = −σ

a

(acT

4

− u

0

),

(1.45)

Analyse mathématique et

numérique des modèles

P

N

pour

l'équation de transport de photons

dans un milieu matériel gé en

géométrie

1D

sphérique

On s'intéresse à l'équation de transport de photons dansun milieu matériel gé en géométrie

1D

sphérique :

1

c

∂

t

u + µ∂

r

u +

1 − µ

2

r

∂

µ

u = −σu + σ

s

hui + q,

t > 0,

r ∈ Ω,

−1 < µ < 1,

(2.1)

ave

Ω

estunouvertde

]0, +∞[

etoù

t

,

r

,

µ

représententrespe tivementlesvariablesde temps,d'espa eetd'angle.Lafon tionin onnue

u

représentel'intensitédurayonnement etest delaforme :

u : [0, +∞[×Ω×] − 1, 1[ → R

(t, r, µ) 7→ u(t, r, µ),

ave

Ω

l'adhéren ede

Ω

dans

]0, +∞[

.Onnote

c > 0

lavitesse( onstante)delalumière,

σ

et

σ

s

lesopa itésd'absorptionetdes atteringdelamatièreet

q

lasour espontanéede photonsdanslemilieu.Toutes esquantitéssontdonnées.Onsupposequelesopa ités

σ

s

,

σ

etlasour e

q

dépendentdelavariablespatiale

r

etsontpositivesave

0 ≤ σ

s

≤ σ

.On dénitenoutre

0 ≤ a = σ

s

/σ ≤ 1

.Lanotation

h·i

désigne l'opérateurmoyenneangulaire dénipar

hf i =

R

1

−1

f (µ)

dµ

2

.

La résolution numérique del'équation (2.1),etnotamment lesdi ultésde dis réti-sation deseetsgéométriques,afaitl'objetdeplusieursétudes parlepassé.Laméthode des ordonnées dis rètes est la méthode déterministe la plus ouramment utilisée pour larésolution de(2.1).Dans l'appli ation de ette méthode,l'un desprin ipaux éléments

sur la variable angulaire. Les arti les [RL70℄, [WM91℄, [Lat00℄, [Ma 07℄ proposent à e sujetplusieurs dis rétisations possiblesde eseetsgéométriques. Desrésultatsobtenus via ette méthode,il résultele onstat suivant :quelleque soit ladis rétisationutilisée, unefaiblepré isiondessolutionsnumériquesest onstatéeau entredelasphère(

r = 0

). Cephénomèneest ourammentappeléux-dip.Lapré isiondessolutionsnumériques auvoisinagede

r = 0

estessentielle pourlasimulation d'expérien edeFCI.On onstate de plusdesphénomènes os illatoires apparaissant au niveau desdis ontinuités de l'opa- ité.I i, notreobje tif est de onstruire une dis rétisationde l'équation (2.1),basée sur laméthode

P

N

,quine faitpasapparaître les défautsde ux-dipetd'os illations des pré édentes méthodes.

2.1 Analyse mathématique de l'équation de transport

On onsidère dans ette se tionle problèmeaux valeurs initiales (problème de Cau- hy)formé de (2.1) ave

Ω =]0, +∞[

etd'une onditioninitialede laforme :

u(0, r, µ) = u

0

(r, µ),

r > 0,

_{−1 < µ < 1,}

(2.2)

ave

u

0

_{:]0, +∞[×] − 1, 1[→ R}

une fon tion donnée. On étudie dans ette se tion les questions d'existen e, d'uni ité et de stabilité de solution pour le problème onsidéré. Dans toute ette se tion, on suppose que la sour e de photons au sein du milieu est nulle, i.e.

q = 0

. Certains résultats restent vrais, ou s'adaptent aisément, dans le as où

q

est non nul. La question de l'existen e etde l'uni ité setraite par laméthode des ara téristiques, méthode parti ulièrement adaptée aux problèmes de transport. Cette méthode onsiste à re her her les ourbes le long desquelles l'équation (2.1) se réé rit omme une équation diérentielle ordinaire. Dans le as du transporten géométrie

1D

sphérique,les ourbes ara téristiquessontdénies de lamanière suivante.

Propriété 2.1. Ondénit la ourbe ara téristique issuede

(r

0

, µ

0

) ∈]0, +∞[×] − 1, 1[

ommel'unique solutionmaximale sur

R

duproblème deCau hy:







r

′

= cµ,

µ

′

= c

1 − µ

2

r

,

(2.3)

ave la onditioninitiale

r(0) = r

0

,

µ(0) = µ

0

.Onaalors :

r(t) =

q

r

₀

2

+ 2cr

0

µ

0

t + c

2

t

2

,

r(t)µ(t) = r

0

µ

0

+ ct,

t ∈ R.

(2.4)

Deplus,l'appli ation

(r

0

, µ

0

) 7→ (r(t), µ(t))

estinversiblepourtout

t ∈ R

etl'appli ation inversible est obtenue par hangement de variable

t = −t

dans(2.4). La gure (2.1) re-présente,dansleplan

(r, µ)

,quelques ourbes ara téristiquespourdiérentes onditions initiales.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

µ

Figure 2.1 Quelques ourbes ara téristiques pour l'équation de transport

1D

sphé-rique.

Démonstration. Le système diérentiel (2.3) est de la forme

x

′

_{= f (x)}

où

f

est une fon tionlo alementlips hitziennesur

]0, +∞[×]−1, 1[

.LethéorèmedeCau hy-Lips hitz assuredon l'existen eetl'uni ité d'unesolutionmaximalepour leproblèmedeCau hy dé rit i-dessus. On note

(r, µ)

ette solution. En remarquant que

(rµ)

′

_{= c}

, il vient dire tement

r(t)µ(t) = r

0

µ

0

+ct

.Puis,enremarquantque

(r

2

₎

′

_{= 2crµ}

,onobtient

r

2

_{(t) =}

r

₀

2

+2cr

0

µ

0

t+c

2

t

2

.Commel'on hoisituniquementlessolutionsàvaleursdans

]0, +∞[×]−

1, 1[

,ilvientlesexpressions(2.4).Lapropriétéd'inversibilité estune onséquen edire te

du théorèmede Cau hy-Lips hitz.

Le long des ourbes ara téristiques, ona

du

dt

= ∂

t

u + cµ∂

r

u + c

1−µ

2

r

∂

µ

u

,sibienque (2.1) seréé rit ommeune équationdiérentielle ordinaire :

du

dt

= −cσ(u − ahui).

(2.5)

Le résultat d'inversibilité dans la propriété (2.1) permet d'armer le résultat suivant. S'il existe une unique solution pour tout

t

positif au problème formé de (2.5) et d'une

onditioninitiale

u(0) = u

0

_{∈ R}

,alors il en estde même pour leproblème original(2.1) +(2.2).Ona alors lerésultat suivant.

Propriété2.2. Dansle asoù

a

estnul,si

σ

estunefon tion ontinue,alorsleproblème dénipar(2.1)etla onditioninitiale(2.2)possèdeuneuniquesolutiondéniepourtout

t

positif. Dans le asdu transport dansle vide (

σ = 0

), ette solution vérie de plus le prin ipe dumaximum:

inf

r,µ

u

0

(r, µ) ≤ u(t, r, µ) ≤ sup

r,µ

u

0

_{(r, µ),}

t ≥ 0.

(2.6) Enparti ulier, si

u

0

_{≥ 0}

alors

u ≥ 0

.

Démonstration. Lorsque

a = 0

,l'équation(2.5)s'é rit

du

dt

= −σu

.Comme

σ

est ontinue

lelongdes ara téristiques(quisont ontinues),onpeutappliquerlethéorèmede Cau hy-Lips hitz (global) et armer l'existen e et l'uni ité d'une solution pour tout

t

positif pour leproblème forméde(2.5) etde la onditioninitiale

u(0) = u

0

_{∈ R}

.Dansle asdu transportdanslevide,lasolutionest onstante lelongdes ara téristiquesetonobtient dire tement leprin ipe dumaximum(2.6).

Cettedernièrepropriété estvalable uniquement dansle asoù

a

estnul. Dansle as général (

a

non nul), l'équation(2.1) devient intégro-diérentielle, e qui rendl'étudede l'existen e et de l'uni ité de solution pour le problème de Cau hy (2.1) + (2.2) moins aisée.On ne traitepas es questionsi i. Onmontre ependant que, dansle as général, on dispose d'un résultat de stabilité en norme

L

2

pour les solutions de l'équation de transport.

Propriété 2.3. Toutesolution

u

de (2.1)vérie l'équation suivante:

1

c

∂

t

hu

2

_{i +}

1

r

2

∂

r

(r

2

_hµu

2

_{i) = −2σ(hu}

2

_{i − ahui}

2

_).

(2.7)

Sil'onsupposede plus

u

à support ompa t sur

]0, +∞[×] − 1, 1[

pour tout

t ≥ 0

,alors lanorme

L

2

de

u

dé roitave letemps :

d

dt

Z

_+∞

0

r

2

_hu

2

_{idr ≤ 0.}

Démonstration. En multipliant (2.1) par

2u

, et en prenant la moyenne angulaire, on obtientdire tement(2.7).Lanégativitédumembrededroiteestune onséquen edire te del'inégalité deHölder etde

0 ≤ a ≤ 1

.Il vient lerésultatenmultipliant (2.7) par

r

2

et en intégrant pour

r

variant de

0

à

+∞

; le termede ux s'annulant par l'hypothèse de ompa ité dusupportde

u

.

On s'intéresse enn au asparti ulier où

a = 1

.Ce as orrespond àla propagation d'unrayonnementdansunmatériaupurementdiusif.Dans ette onguration,les solu-tions de(2.1) vérient la onservationde l'énergieradiativeetsatisfontune équationde typeparaboliquedanslalimitediusion, ommelemontrelesdeuxpropriétés i-dessous.

Propriété 2.4. Dans la as où

a = 1

,toute solution

u

de (2.1) vérie laloi de onser-vationsuivante :

∂

t

ρ +

1

r

2

∂

r

(r

2

_{j) = 0,}

(2.8)

ave

ρ = hui/c

et

j = hµui

respe tivement ladensitéd'énergieradiativeetleux

d'éner-gie. Sil'on suppose deplus

j

à support ompa t sur

]0, +∞[

,alors on a la onservation de l'énergieradiative :

d

dt

Z

_+∞

0

r

2

ρdr = 0.

Démonstration. On obtient (2.8) en prenant la moyenne angulaire de (2.1). En multi-pliant par

r

2

l'équation (2.8) puis en intégrant pour

r

variant de

0

à

+∞

;le terme de uxs'annulant sousl'hypothèse de ompa itédu supportde

j

.

On rappelle à présent e qu'on appelle limite diusion eton étudie le omporte-ment des solutions de (2.1) dans ette limite asymptotique. On appelle limite diusion la limite dans laquelle lesphénomènes d'intera tions entre les photons et lemilieu sont prépondérants devant les phénomènes de transport des photons. Formellement, ela re-vientà hoisirdesordresdegrandeurs spé iquespourlesparamètres intervenantsdans (2.1).

Dénition 2.1. Ondénit lesvariables sansdimension

t

ˆ

,

r

ˆ

et

σ

ˆ

par:

t = ˆ

tτ,

r = ˆ

rℓ,

σ = ˆ

σ/λ,

(2.9)

ave

τ

,

ℓ

respe tivementletempsetlalongueur ara téristiqueduproblèmeet

λ

lelibre par ours moyen desparti ules. Ilapparaît alors deux quantitéssansdimension :

cτ /ℓ

et

ℓ/λ

.En posant

cτ /ℓ = 1/ǫ

et

ℓ/λ = 1/ǫ

, on appelle limite diusion, la limitelorsque

ǫ

tendvers

0

.

En utilisant lamiseà l'é helle (2.9),l'équation (2.1) seréé rit:

∂

t

u

ǫ

+

1

ǫ

µ∂

r

u

ǫ

₊

1

ǫ

1 − µ

2

r

∂

µ

u

ǫ

_{= −}

σ

ǫ

2

(u

ǫ

_{− hu}

ǫ

_i),

(2.10)

oùlafon tionin onnue

u

ǫ

dépendàprésentduparamètre

ǫ

.Ilestalors onnu[BBGS12℄ que lorsquel'on fait tendre

ǫ

vers

0

,les solutions

u

ǫ

de(2.10) onverge, dansun ertain sens,vers

u

telleque

ρ = hui

vérie l'équationde diusion suivante:

∂

t

ρ −

1

r

2

∂

r



r

2

3σ

∂

r

ρ



= 0.

(2.11)

Le oe ient

1/3σ

est appelé oe ient de diusion. Une preuve purement formelle- onsiste à é rire

u

ǫ

omme un développement en puissan e de

ǫ

:

u

ǫ

_{= u}

0

_{+ ǫu}

1

_{+ . . .}

et à identier les termes du même ordre dans l'équation (2.10). En notant

ρ = hui

et

j = hµui

, l'identi ation destermesd'ordre

0

donnent :

∂

t

ρ

0

+

1

r

2

∂

r

(r