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Une introduction au codage de r´eseau al´eatoire La r´egion Γ∗ n

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Texte intégral

(1)

Une introduction au codage de r ´eseau al ´eatoire La r ´egion Γ

n

des vecteurs d’entropie

Christine Bachoc

Universit ´e Bordeaux I, IMB

Ecole de printemps Codage et Cryptographie´ 17 - 21 Mars 2014, Universit ´e Joseph Fourier, Grenoble

(2)

R ´eseaux multi-sources multi-destinataires

[X2X3] [X1X3] [X1X2]

X1 X2 X3

Network

(3)

R

C’estla r ´egionRdes taux de transmissionωr ´ealisables:

I G= (V,E)acyclique; capacit ´ecede chaque ar ˆete.

I ssources,tdestinataires.

I On demande quetirec¸oive l’information transmise par un certain sous-ensembleσide sources.

I X= (X1, . . . ,Xs),Xivariable al ´eatoire associ ´ee `a la sourcesi, de loi uniforme surAωi, ind ´ependantes.

ω= (ω1, . . . , ωs)est untaux de transmission r ´ealisables’il existe des fonctions d’encodagefe(X)pour chaque ar ˆete, d ´efinies localement, et de d ´ecodageDiaux destinataires, telles que,

Prob` Di

`fe(X))e∈In(ti)

´=` Xi

´

i∈σi

´7→1 (|A| →+∞) et chaque ar ˆete est utilis ´ee au pluscefois.

(4)

R

Siω= (ω1, . . . , ωs)est untaux de transmission r ´ealisable, il existe des v.a.

Ys, s∈S Ue, e∈E

v ´erifiant:

H(Ys)≥ωs(s∈S)

H(YS) =X

s∈S

H(Ys)

H(UOut(v)|UIn(v)) =0(v∈V) H(Ue)≤ce

H(Yβ(t)|UIn(t)) =0(t∈T).

Toutes ces conditions sontlin ´eaires en les entropies des v.a. jointes.

Probl `eme:d ´ecrire lelieu des vecteurs d’entropieassoci ´es `anv.a.

X1, . . . ,Xn:

h= (hα)α⊂[n], hα=H(Xα).

(5)

Plan

1. Entropie d’une variable al ´eatoire

2. Vecteur d’entropie associ ´e `anv.a. et r ´egionΓn

3. In ´egalit ´es informationnelles, in ´egalit ´es de base, in ´egalit ´es de Shannon.

Le c ˆoneΓn.

4. Vecteurs d’entropie et groupes finis.

5. Petites dimensions:n=2,3,4.

(6)

Entropie d’une variable al ´eatoire

I Quantit ´e d’information contenue dans un ´ev `enementA:

−log(P(A))

I Entropie d’une v.a. discr `eteX= quantit ´e d’information contenue dansX H(X) =−X

x

P(X =x)logP(X =x)

I Exemple:X variable binaire,P(X =0) =p,P(X =1) =1−p, H(X) =h(p) :=−plog(p)−(1−p)log(1−p)

I Exemple: loi deX uniforme surm ´el ´ements,H(X) =log(m).

(7)

Quantit ´es informationnelles associ ´ees `a deux v.a.

H(X|Y) I(X,Y) H(Y|X)

H(X) H(Y)

H(X,Y)

I Entropie conditionnelle

H(X|Y) =H(X,Y)−H(Y)≥0

I Information mutuelle

I(X,Y) =H(X) +H(Y)−H(X,Y)≥0

(8)

Γ

n

I X= (X1, . . . ,Xn)v.a. discr `etes. Pourα⊂[n],Xα:= (Xi)i∈α.

I Levecteur d’entropieassoci ´e `aX:

h=h(X) = (hα)α6=∅∈R2

n−1

hα=H(Xα) α⊂[n], (h=0).

I SoitΓnl’ensemble de tous les vecteursh. C’est lar ´egion d’entropie.

I Probl `eme: d ´ecrireΓn. Il n’est pas ferm ´e.

Son adh ´erenceΓnest un c ˆone convexe.

(9)

Γ

n

est un c ˆone convexe

I Sih,h0∈Γn, alorsh+h0∈Γn: sihcorrespond `a(X1, . . . ,Xn)eth0 `a (X10, . . . ,Xn0), alorsh+h0est le vecteur d’entropie de(Y1, . . . ,Yn)pour Yi= (Xi,Xi0)(copies ind ´ependantes).

I En particulier,sih∈Γnetk∈Z≥0,kh∈Γn.

I Sih∈Γnet`∈Z≥0, alorsh/`∈Γn: soitm≥0 et

Uune variable binaire telle queP(U=1) =1/(`m) Yi=

(0 siU=0 XimsiU=1.

Alors:

H(Yα|U)≤H(Yα)≤H(Yα,U) =H(U) +H(Yα|U)

soit 1

`H(Xα)≤H(Yα)≤h(1/(`m)) +1

`H(Xα).

(10)

Le c ˆone Γ

n

I C’est le c ˆone d ´efini par lesin ´egalit ´es de base.

I Exemple:n=2. On a vu:

H(X1,X2)≥H(X1)≥0, H(X1) +H(X2)−H(X1,X2)≥0.

Donc

Γ2⊂Γ2:={(h1,h2,h12)∈R3 :h1≥0,h2≥0, h12≥h1, h12≥h2

h1+h2−h12≥0.}

I En g ´en ´eral, lesin ´egalit ´es de basesont (H(X) =0):

H(Xα)≥H(Xβ)≥0 siβ⊂α

H(Xα) +H(Xβ)−H(Xα∪β)−H(Xα∩β)≥0.

(11)

I Toute in ´egalit ´e lin ´eaire sur lesH(Xα)qui se d ´eduit des in ´egalit ´es de base s’appelle unein ´egalit ´e de Shannon. Ce sont donc les

combinaisons lin ´eaires `a coefs positifs des in ´egalit ´es de base.

I On d ´efinit lec ˆone des in ´egalit ´es de Shannon:

Γn:={h= (hα)∈R2

n−1

:hα≥0

hα−hβ≥0 (β⊂α) hα+hβ−hα∪β−hα∩β≥0.}

I On a vu que:

Γn ⊂Γn⊂Γn

I Un grand nombre de r ´esultats en th ´eorie de l’information peuvent se d ´emontrer parprogrammation lin ´eairesurΓn.

(12)

Exemple: le partage de secrets

On veut partager un secretSen trois morceauxX,Y,Z de sorte que:

1. Aucun des morceauxX,YouZ ne fournisse d’information surS 2. On peut retrouverS `a partir de deux parmi les trois.

On veut savoir comment r ´ealiser un tel sch ´ema de fac¸on la plus ´economique, c’est- `a-dire en minimisant les ’tailles’ deX,Y,Z relativement `aS.

Traduction des contraintes en termes de quantit ´es informationnelles:

1. I(S,X) =I(S,Y) =I(S,Z) =0

2. H(S|X,Y) =H(S|Y,Z) =H(S|X,Z) =0.

On cherche `a minimiser

(H(X) +H(Y) +H(Z))/H(S).

On va chercher s’il y a unelimite informationnelle.

(13)

Exemple: le partage de secrets

Rappel:

I(S,X) =H(S) +H(X)−H(S,X), H(S|X,Y) =H(S,X,Y)−H(X,Y).

On r ´esoud le programme lin ´eaire:

min{h1+h2+h3 :h∈Γ4

h4=1

h1+h4−h14=0, h2+h4−h24=0, h3+h4−h34=0, h124−h12=0,h234−h23=0, h134−h13=0}

On trouvemin=3(softwareITIPInformation Theoretic Inequality Prover, Yeung and Yan). Ensuite on se demande si cette valeur est atteinte surΓ4. C’est le cas avec:S,Nind ´ependantes uniform ´ement distribu ´ees sur{0,1,2}

et

X=N, Y =S+Nmod 3, Z =S+2Nmod 3.

(14)

Groupes finis

On va voir une construction qui permet essentiellement de r ´ealiser tout vecteur d’entropie `a l’aide de groupes finis et de leurs sous-groupes.

Construction:

I Gun groupe etG1, . . . ,Gndes sous-groupes deG.

I G/Gi ={gGi : g∈G}les classes `a gauche deGmoduloGi.

I Gest muni de la loi uniforme. On consid `ere les v.a.Xi: Xi:G→G/Gi

g7→gGi

I On noteGα:=∩i∈αGi. Alors

H(Xα) =log |G|

|Gα|.

(15)

H(Xα) =log |G|

|Gα|. Loi deXα: soitgiGi∈G/Gi.

P(Xα= (giGi)i∈α) =P(Xi=giGi, i∈α)

=P(gGi=giGi, i∈α)

=P(g∈giGi, i∈α)

=| ∩i∈αgiGi|

|G| .

Mais soit∩i∈αgiGi =∅, soit∩i∈αgiGicontient un ´el ´ementg∈G, auquel cas gGi =giGiet

| ∩i∈αgiGi|=| ∩i∈αgGi|=|g`

i∈αGi

´|=|gGα|=|Gα|.

(16)

On a montr ´e:

P(Xα= (giGi)i∈α) =

( 0 si ∩i∈αgiGi =∅

|Gα|

|G| sinon.

Donc la loi deXαest uniforme sur son support, donc H(Xα) =log |G|

|Gα|.

R ´esum ´e:`a tout groupeGet tout sous-groupes(G1, . . . ,Gn)on a associ ´e le vecteur d’entropieh= (hα)α⊂[n]∈Γn:

hα=log |G|

|Gα|, Gα=∩i∈αGi.

On noteΥnl’ensemble de tous les vecteurs d’entropie obtenus par cette construction. On a donc:

Υn⊂Γn⊂Γn⊂Γn.

(17)

R ´eciproque:Pour touth∈Γn, il existe(fk)k≥0,fk ∈Υntels que

k→+∞lim fk

k =h.

I Soith∈Γnassoci ´e `aX= (X1, . . . ,Xn), o `uXiprend ses valeurs dansAi. On noteAα=Q

i∈αAi.

I On suppose quekest tel quekP(X=a)∈Z≥0pour touta∈A[n].

I SoitT ∈Rn×kle tableau:

T =

a1 . . . a1

a2 . . . a2

... . . . ... an . . . an

| {z }

kP(X=a)

. . . . . . ... . . .

a01 . . . a01

a02 . . . a02

... . . . ... a0n . . . a0n

| {z }

kP(X=a0)

(18)

I SoitTαle tableau extrait form ´ee des lignes deT d’indicei∈α. Soit G=Sk, permutant les colonnes deT, Gi=Stab(Ti) (i∈[n]).

I On aGα=Stab(Tα)est le produit direct deSkP(Xα=aα). Donc 1

k log |G|

|Gα|=1

klog k!

Q

aα∈Aα(kP(Xα=aα))!

'k→+∞− X

aα∈Aα

P(Xα=aα)logP(Xα=aα)

'k→+∞H(Xα).

On a montr ´e que, pourfk =` log|G|G|

α|

´

α⊂[n], lim

k→+∞

fk

k =h.

(19)

Groupes finis et in ´egalit ´es informationnelles

Unein ´egalit ´e informationnelleest une relation X

α⊂[n]

bαhα≥0

v ´erifi ´ee par touth∈Γn. On peut l’ ´ecrire aussib·h≥0.

Interpr ´etation g ´eom ´etrique:le c ˆoneΓnest contenu dans le demi-plan Hb={h : b·h≥0}.

Γn

b

Hb

(20)

D’apr `es ce qui pr ´ec `ede,

Γn⊂Hb ⇐⇒ Υn⊂Hb. Autrement dit, pour montrer une in ´egalit ´e du type:

X

α⊂[n]

bαH(Xα)≥0,

il suffit de montrer que,pour tout groupe finiGet tout sous-groupes G1, . . . ,GndeG,

X

α⊂[n]

bαlog |G|

|Gα|≥0.

(21)

Exemple: les in ´egalit ´es de base

Rappel: ce sont celles qui d ´efinissentΓn: H(Xα)≥H(Xβ)≥0 siβ⊂α

H(Xα) +H(Xβ)−H(Xα∪β)−H(Xα∩β)≥0.

Pour les ´el ´ements deΥn, elle deviennent:

|Gα|

|Gβ| ≤1 siβ⊂α et |Gα||Gβ|

|Gα∪β||Gα∩β|≤1.

La premi `ere est imm ´ediate. La deuxi `eme se d ´eduit facilement du r ´esultat bien connu:siHetK sont deux sous-groupes d’un m ˆeme groupeΓet si HK:={hk :h∈H,k∈K}, alors

|HK|= |H||K|

|H∩K|.

(indication:H=Gα,K =Gβ,H∩K =Gα∪β, et prendreΓ =Gα∩β).

(22)

Γ

2

= Γ

2

, Γ

3

= Γ

3

,

Strat ´egie pour montrer queΓn = Γn: on cherche les sommets du polytope Γn∩ {h[n]=1}puis on cherche `a les r ´ealiser `a l’aide de groupes, `a un facteur multiplicatif pr `es.

Exemple:n=2:

Γ2={(h1,h2,h12)∈R3 :h1≥0, h2≥0,h12≥h1, h12≥h2, h1+h2−h12≥0.}

h1

h2

(1,0) (1,1) (0,1)

(23)

Notons qu’il suffit de consid ´erer un sommet dans chaque orbite sous l’action du groupeSn.

n=2:

sommet G G1 G2 G12

(1,0) Z2 Z2 {0} {0}

(1,1) Z2 {0} {0} {0}

n=3:

Γ3

(h1,h2,h3,h23,h13,h12,h123)∈R7 :h123≥h12≥h1≥0 h1+h2−h12≥0 h12+h3−h123≥0 h12+h13−h123−h1≥0

et permutations..¯

(24)

sommet G G1 G2 G3

10001011 Z2 {0} Z2 Z2

0111111 Z2 Z2 {0} {0}

1111111 Z2 {0} {0} {0}

1 2 1 2 1

21111 Z2×Z2 h(1,0)i h(0,1)i h(1,1)i

(25)

La dimension 4: Γ

4

6= Γ

4

I Zhang et Yeung (1998): une in ´egalit ´e entropique ’non Shannon’ (ie non impliqu ´ee par les in ´egalit ´es de base):

2I(X3,X4)≤I(X1,X2) +I(X1,(X3,X4)) +3I(X3,X4|X1) +I(X3,X4|X2).

Γ4

Γ4 [ZY98]

(26)

La dimension 4

I En termes de groupes (|Gα=∩i∈αGi):

|G13|3|G14|3|G34|3|G23||G24| ≤ |G1||G12||G3|2|G4|2|G134|4|G234|.

I Autres in ´egalit ´es ’non Shannon’: Makarychev et al. (2002), Zhang (2003), Mat ´us (2007), Dougherty et al. (2006).

I Mat ´us (2007) montre queΓ4 n’estpas polyhedralie ne peut ˆetre caract ´eris ´e pas un nombre fini d’in ´egalit ´es.

(27)

L’in ´egalit ´e d’Ingleton

L’in ´egalit ´e d’Ingleton, v ´erifi ´ee par le rang d’un matro¨ıde repr ´esentable, d ´efinit avecΓ4un sous-ensemble deΓ4:

h12+h13+h14+h23+h24≥h123+h124+h34+h1+h2.

Γ4

Γ4

Ingleton

R. W. Yeung,Information Theory and Network Coding, Springer, 2008 R. W. Yeung,Facets of entropy, 2012 (ISIT plenary talk 2009)

(28)

Algebra, Codes and Networks

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