sommairebrevet

Nom :

_{EPREUVE DE MATHEMATIQUES}

Session Février 2012

Classe : Durée :

COMPETENCES DU SOCLE COMMUN :

SAVOIR UTILISER DES CONNAISSANCES ET DES

COMPETENCES MATHEMATIQUES :

• nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires. • mener à bien un calcul, à la main, à la calculatrice.

• connaître des objets de l'espace. Utiliser leurs propriétés. • exploiter des données statistiques.

• grandeurs et mesures : calculer des valeurs en utilisant différentes unités.

PRATIQUER UNE DEMARCHE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE, RESOUDRE

DES PROBLEMES :

• rechercher, extraire l'information utile. • calculer, appliquer des consignes. • raisonner, argumenter.

Exercice 1 (3points) : Écrire sur la copie le numéro de la question et la lettre de la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

A B C

1) Quelle est l'expression développée de (x + 5)2 ? x2_{+ 25 x}2 _{+ 5x x}2 _{+ 10x + 25} 2) Quelle est l'expression qui est égale à 28 si on

choisit la valeur x = 6 ? x(x + 1) (x + l)(x - 2) (x + l)2

3) Quelle est l'expression factorisée de

16x²−56x49 ? (4x + 7)² (4x + 7)(4x - 7) (4x - 7)²

Réponse : N° 1/ C N° 2/B N° 3/C

Exercice 2 (4points) :

Voici ci-contre l'histogramme des notes d'un contrôle noté sur 5 pour une classe de troisième :

1) Reproduire et remplir le tableau suivant.

note 0 1 2 3 4 5

effectif 1 2 4 3 7 8

effectif cumulé 1 3 7 10 17 25

2) Calculer la moyenne des notes de la classe ?

m=0×1+ 1×2+ 2×4+ 3×3+ 4×7+ 5×8 25

m=87

25 donc m = 3,48

3) Calculer la médiane des notes de la classe ?

Il y a 25 élèves donc deux groupes égaux de 12 élèves et un élève en plus.

La médiane est la note telle que 50 % (donc la moitié au moins de l'effectif total) des élèves ont une note inférieure ou égale à cette note (la médiane).

On regarde dans notre tableau la ligne qui correspond à l'effectif cumulé et on cherche à avoir au moins 12 élèves. Cela correspond donc à la case ou il y a 17 élèves (avant il n'y en a que 10!).

Donc la médiane est égale à 4.

4) Calculer le pourcentage d'élèves ayant une note inférieure ou égale à 4.

On a 17 élèves sur 25 qui ont une note inférieure ou égale à 4 donc en pourcentage :

17

25×100=68 on a donc 68 % d'élèves qui ont une note inférieure ou égale à 4.

Exercice 3 (4points) :

Mme Soprano doit effectuer le carrelage de sa salle de bain qui a pour largeur 411 cm et pour longueur 685 cm. Pour éviter de découper des dalles, elle veut seulement utiliser des dalles carrées de longeur un nombre entier et elle en veut le minimum.

1) Quelle doit être la dimension d'une dalle ?

On ne doit pas découper de dalle donc on doit avoir un nombre entier de dalles sur la longueur de la salle de bain. Alors la longueur de la dalle est un diviseur de la longueur de la salle de bain..

On ne doit pas découper de dalle donc on doit avoir un nombre entier de dalles sur la largeur de la salle de bain. Alors la longueur de la dalle est un diviseur de la largeur de la salle de bain.

On veut le minimum de dalles donc la longueur d'une dalle doit être la plus grande possible. Conséquence : on cherche donc le plus grand diviseur commun de la longueur et de la largeur. On utilise la méthode que l'on veut :

Soustractions successives 685 – 411 = 274 411 – 274 = 137 274 – 137 = 137 137 – 137 = 0 donc PGCD(685 ; 411) = 137 Algorithme d'Euclide 685÷411=… quotient = 1 reste = 274 411÷274=… quotient = 1 reste = 137 274÷137=... quotient = 2 reste = 0 donc PGCD(685 ; 411) = 137 Ainsi la dalle d'une dalle est 137 cm.

2) Combien de dalles Mme Soprano doit-elle commander ?

On commence par calculer le nombre de dalles sur la longueur : on découpe la longueur par la longueur d'une dalle donc 685÷137=5

On commence par calculer le nombre de dalles sur la largeur : on découpe la largeur par la longueur d'une dalle donc 411÷137=3

Ainsi on a 5 dalles sur la longueur et 3 dalles sur la largeur donc au total 15 dalles.

Exercice 4 (6 points) :

ABCD est un carré de côté 12 cm.

1. Faire une figure en vraie grandeur.(1,5points)

On a : AB = 12 et de par le codage on a découpé cette longueur en 3 parts égales donc

AI = IJ = JB = 4 cm

On peut alors tracer notre carré et placer tous les points.

2. Calculer la longueur JK.(justifier)(2,5points)

Le triangle JBK est un triangle rectangle en B on peut donc utiliser le théorème de Pythagore : JK2 _{= BJ}2 _{+ BK}2 JK2 _{= 3}2 _{+ 3}2 JK2 _{= 9 + 9} JK2 _{= 18} JK=





3. Calculer l'aire du carré ABCD.

Calculer l'aire du triangle JBK.(1points)

Aire ABCD = AB2

Aire_JBK=1 3×JB×JK donc Aire_JBK=1 3×3





4. En déduire l'aire du polygone IJKLMNOP. (1point)

Les triangles AIP, BJK, LCM et ODN sont de même nature et de même dimensions donc ils ont la même aire.

Pour obtenir l'aire du polygone IJKLMNOP, il suffit de soustarire à l'aire du carré ABCD les quatre aires des quatres triangles :

Aire_IJKLMNOP=Aire_ABCD– 4×Aire_Triangle Aire_IJKLMNOP=144 – 4×6

Aire_IJKLMNOP=144 – 24=120

AireIJKLMNOP=120 cm2

Exercice 2 (6 points) :

Un réservoir est constituée :

• d'une pyramide régulière à base carrée ; • d'un parallélépipède rectangle.

On donne :

• AB = BC = 2 m ; • AE = 5 m.

• OI = 1,5 m (OI est la hauteur de la pyramide).

1) Montrer que le volume de la pyramide EFGHI est de 2 m3 _{.(1,5 points)} On connaît la formule donnant le volume d'une pyramide :

V=1

3×aire de la base×hauteur donc V= 1

3×2×2×1,5 ainsi V= 1

3×2×3 alors V = 2 m3

2) Montrer que le volume du parallélépipède (prisme droit) ABCDHEFG est de 20 m3_{. (1,5 points)} On connaît la formule donnant le volume d'un parallélépipède :

V=aire de la base×hauteur donc V=2×2×5 donc V = 20 m3 3) En déduire le volume du réservoir en m3_{.(1 point)}

Conséquence : Vréservoir = Vpyramide + Vparallélépipède alors V réservoir = 2 + 20 = 22 m3

4) Convertir la capacité de ce réservoir en litre.(1 point)

On sait que 1 dm3 _{= 1 litre}

or 1 m3 _{= 1 000 dm}3 _{= 1 000 litres} donc 1 m3 _{= 10}3 _litres

conséquence : V_réservoir=22 m3

=22×103litres

5) Une pompe a un débit de 1 000 litres par seconde. En combien de temps cette pompe remplit le réservoir ? (1 point)

On peut utiliser un tableau de proportionnalité !

Temps en seconde 1 22×10 3

103 =22

Débit en litre 103 _22×106 Il faudra donc 22 secondes pour remplir le réservoir.

Problèmes Problème 1 (5points) :

Compléter le tableau de répartition garçons/filles des élèves du collège Booba sachant qu’il y a en tout quatre-vingt treize élèves en 3ème répartis dans quatre classes.

On sait aussi que les 3B et les 3C ont le même nombre d’élèves.

Nombre de filles Nombre de garçons Nombre d'élèves

3A 13 11 24

Au nombre total d'élèves on soustrait

le nombre d'élèves des classes 3A et 3D.

Puis on divise par deux car les deux classes on le même effectif : 93 -24 – 25 puis 44÷2 3B 9 au total d'élèves de la classe on soustrait le nombre de garçons : 22 – 13 13 22 3C 11 11 au total d'élèves de la classe on soustrait le nombre de filles : 22 - 11 22 3D 2 au total du nombre de filles on soustrait le nombre de filles des classes 3A, 3C et 3D : 45 – 13 – 9 - 11 23 au total d'élèves de la classe on soustrait le nombre de filles : 25 - 2 25 Total 45 48 on effectue la somme de la colonne : 11 + 13 + 11 +23 93

c'est une donnée de l'énoncé

Expliquer votre démarche par un texte court.

Écrire en ligne tous les calculs effectués (même mentalement). Problème 2 (4points) :

Cette pyramide de 3 étages est composée de 14 cubes.

De combien de cubes une telle pyramide de 10 étages est-elle composée ?

On va partir du haut vers le bas pour compter nos cubes : étage 1 : 1 cube sur la ligne donc 12 _{= 1 cube à l'étage 1} étage 2 : 2 cubes sur la ligne donc 22 _{= 4 cubes à l'étage 2} étage 3 : 3 cubes sur la ligne donc 32 _{= 9 cubes à l'étage 3} (déjà on remarque que 1 + 4 + 9 donne les 14 cubes!) étage 4 : 4 cubes sur la ligne donc 42 _{= 16 cubes à l'étage 4}

et ainsi de suite jusqu'à l'étage 10. Pour avoir le total il suffit de faire la somme des carrés de 1 jusqu'à 10 :

12 _{+ 2}2 _{+ 3}2 _{+ 4}2 _{+ 5}2 ₊₆2 _{+ 7}2 _{+ 8}2 _{+ 9}2 _{+ 10}2 _{= total} 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = total 385 = total

Expliquer votre démarche par un texte court.

Écrire en ligne tous les calculs effectués (même mentalement).

Problème 3 (3points) :

L'aquarium de Monsieur Kool Shen a une forme sphérique de rayon 1 dm. Il est presque vide et son poisson risque de mourir.

Il décide de rajouter 5 litres d'eau dans celui-ci.

Va t-il faire déborder son aquarium et ainsi tuer son pauvre petit poisson Joey ? JUSTIFIER la réponse.

Commençons par connaître la capacité de notre aquarium :

V

=

4

3

×π×1

3

donc

V

₌

4

3

×π

V

≈

4,22 dm

V

≈

4,22 litres

ainsi l'aquarium a une capacité maximale de 4,22 litres environ, ce qui veut dire qu'avec 5 litres Kool Shen va tuer Joey.

rappel :

V

=

4

3

×π×

r