Une estimation de la dimension de Krull des anneaux de déformations en ramification incomplète

par Christian Maire

Résumé. —Nous étudions la dimension de Krull des anneaux de déformations de représentations galoisiennes quand la ramification enppeut-être incomplète. Sous certaines conditions, nous donnons une minoration non triviale de cette dimension.

Abstract. —We study the Krull dimension of deformation rings associated to Galois representation, with ramification restricted to (not necessarily all) places abovep. Under some conditions we give a non trivial minoration of this dimension.

Table des matières

Introduction . . . 129

1. Sur l’importance du multiplicateur de Schur . . . 132

2. Quelques strucures galoisiennes . . . 133

3. Sur la dimension de Krull de l’anneauR^T_S . . . 137

4. Détail d’un exemple . . . 138

Références . . . 141

Introduction

SoientKun corps de nombres etSun ensemble fini de places finies deK. Pour simplifier, supposons queS ne contient que des places au-dessus dep.

Après s’être fixé une clôture algébriqueK deK, soit

ρ: Gal(KS/K)→Gl2(Fp)

une représentation continue du groupe de GaloisGS := Gal(KS/K) de la plus grande extension galoisienneKS de K pour laquelle les places finies en dehors deS y sont non-ramifiées. Notons parL l’extension galoisienne maximale deK fixée parker(ρ);Gal(L/K)'∆ = Im(ρ).

K•

•

•

•

L

M KS

∆ HM

GS

GM HS

Classification mathématique par sujets (2000). — Primary 11R37 ; Secondary 11R34 . Mots clefs. — ramification restreinte, anneaux de déformations galoisiennes.

Ce travail a été rédigé lors de mon séjour à l’École Polytechnique de Lausanne, durant l’été 2004. Je remercie Éva Bayer pour son invitation. Je remercie également Christophe Delaunay et Thong Nguyen Quang Do pour leurs remarques.

Pour une extension galoisienneMdeKcontenue dansKSet contenantL, posonsHM= Gal(M/L) et GM= Gal(M/K). La surjection canoniqueGS GM permet alors à la représentationρde se factoriser à travers GM.

SoitC la catégorie des anneaux locaux(R,mR)noetherien complet de corps résiduel F^p. SiR est un élément de C et ρ: GM →Gl2(R) une représentation continue de GM, on dit que celle-ci est un relèvement de la représentationρsi le diagramme suivant est commutatif

GM ρ //

ρHHHHH##

HH

HH Gl2(R)

modmR

Gl2(Fp)

Si ρ⁰ : GM → Gl2(R)est une autre représentation de GM, les représentations ρ et ρ⁰ sont dites strictement équivalentes si elles sont conjuguées par un élément deker

Gl2(R)^mod−→^mRGl2(F^p) . Une classe de conjuguaison d’une telle représentationρest appelée une déformation deρàR.

Comme S est fini, des travaux de Mazur [15] montrent l’existence d’un élément RM de C et d’une représentation verselle ρM: GM→Gl2(RM)relevant la représentation ρ. Tout relèvement ρ⁰: GM→Gl2(R)deρ, avecR∈ C, se factorise à traversρM, c’est à dire qu’il existe un morphisme d’anneau local ϕ: RM→R où la composée ϕ◦ρM produit un relèvement de ρ strictement équivalent à ρ⁰. L’anneauRMest unique, et est appelé anneau de déformation de la représentationρ (associée à l’extensionM/K). Lorsqueρest absolument irréductible (non triviale) la représentation ρMest de plus universelle, c’est à dire que la donnée deρMdétermineϕ.

Si l’on note par Adla représentation adjointe associée àρ, Mazur a montré que la dimension de Krull de l’anneauRM/pRMest minorée par la quantitédpH¹(GM,Ad)−dpH²(GM,Ad). En fait, l’anneau de déformationRMest de la formeZ^p[[T1,· · ·, Tr]]/I, oùr= dimFpH¹(GM,Ad). L’idéal I est trivial dès lors que le groupe de cohomologieH²(GM,Ad)l’est. Si tel est le cas (i.e.I= (0)), on dit que la déformationρMest sans obstruction.

Remarquons que comme le noyau de la restriction Gl2(R)→Gl2(F^p) est un pro-p-groupe (voir par exemple [1]), tout relèvement de ρ : GM → Gl2(F^p) se factorise à travers la plus grande pro-p-extensionM(p)deLcontenue dansM.

Fixons T un second ensemble fini de places finies deK. Assurons-nous queT et S sont disjoints.

Nous nous intéressons au cas où le corps M correspond à L^T_S(p), où L^T_S(p) est la plus grande extension de L contenue dans KS pour laquelle l’ensemble des places au-dessus des places deT y sont totalement décomposées. Nous noterons par R^T_S son anneau de déformation et par ρ^T_S : Gal(L^T_S(p)/K)→Gl2(R^T_S)une déformation verselle deρassociée à cette extension.

PosonsP^T_S = H_L^T

S(p)= Gal(L^T_S(p)/L)le groupe de Galois de l’extensionL^T_S(p)/L.

LorsqueS contient l’ensemble des places au-dessus dep, grâce à la dualité de Poitou-Tate (cf. par exemple [9], [17]), Mazur a montré comment obtenir une minoration de la dimension de Krull de l’anneauRS. Ce point de départ a ensuite été utilisé par de nombreux auteurs (Mazur [15], Boston [3], Boston et Mazur [4], Ramakrishna [18], Böckle [1] [2], Böckle et Mézard [16], Gouvêa [6],· · ·).

Dans ce cas (ici T = ∅), la différence dpH¹(GS,Ad)−dpH²(GS,Ad) est parfaitement connue.

Avant d’en donner une évaluation, donnons une définition.

Définition 0.1. — Une place infinievdeKest diteimpaire(relativement àρ) si le déterminant deρ(sv)est−1, oùsv est un générateur du sous-groupe de décomposition∆v dev dans∆.

La placev est ditepairesinon.

Notons parκ1 le nombre de places infiniesv deKen lesquelles la représentationρ_|∆v est impaire et parκ0 le nombre de places infinies deK en lesquelles la représentationρ_|∆v est paire. Il vient :

dpH¹(GS,Ad)−dpH²(GS,Ad) = dpH0(GS,Ad) + 4(r1+ 2r2)

−4κ0−2κ1

≥ 1 + 4(r1+ 2r2)−4κ0−2κ1

= 1 + 2κ1+ 4r2,

où(r1, r2)est la signature du corpsK (à noter que leGS-moduleAdcontient au moins un sous- espace non réduit à{0}avec action triviale, les matrices diagonales).

Malheureusement, une telle démarche n’est plus possible dès queS ne contient plus à priori toutes les places au-dessus de p(c’est ce que l’on appelle la situation p-ramification incomplète). Néan- moins, lorsque(#∆, p) = 1, nous donnons ici une minoration non triviale de la dimension de Krull de l’anneauR^T_S/pR^T_S dès lors que le poids δS deS est suffisamment grand.

Définition 0.2. — Nous définissons lepoidsδS deS comme étant la quantité δS=X

v∈S

[Kv:Q^p].

Définition 0.3. — Supposons∆ d’ordre premier à p. Soit v une place de K. Notons par ∆v le groupe de décomposition devdansL/K. Soitρv:=ρ_∆v la restriction deρà ∆v. Notons alors par τv le nombre de fois qu’apparaît la représentation triviale dans la décomposition du∆v-module Ad. Ou encore :τv=hAd,1i|∆v. Posonsκv= 4−τv,puis pourΣun ensemble de places deK,

κΣ=X

v∈Σ

κv.

Remarque 0.4. — Notons par P l_∞ l’ensemble des places archimédiennes deK. Alors κP l_∞ = 2κ1.

Démonstration. — En effet, une placev est impaire si et seulement siτv = 2. Sinonτv= 4. ♦

On en arrive à l’énoncé du résultat principal.

Théorème 0.5. — Supposons#∆ premier àpetδS≥r1+r2+|T|. Alors dimkrull(R^TS/pR^T_S)≥1 + 2κ1+κT+ 4(δS−(r1+r2+|T|)).

(SiIm(ρ)est un sous-groupe de Cartan l’inégalité est stricte.)

Corollaire 0.6. — Plaçons nous sous les conditions du théorème précédent. Supposons de plus que pour toute placev deT,∆v ={1}. Alors

dimkrull(R^T_S/pR^T_S)≥1 + 2 κ1+ 4(δS−(r1+r2+|T|)).

(SiIm(ρ)est un sous-groupe de Cartan l’inégalité est stricte.)

Notons que la condition δS ≥r1+r2+|T|implique l’existence d’uneZ^p-extension deL contenue dansL^T_S(p)/L.

Le théorème 0.5 se montre en utilisant l’action semi-simple de ∆ sur les groupes de cohomologie Hⁱ(P^T_S,Ad), i = 1,2. Nous explicitons cette action galoisienne dans le paragraphe 3. Dans la paragraphe 4, nous montrons le théorème principal. Enfin, le dernier paragraphe est consacré à l’étude d’un exemple se situant dans la lignée de l’exemple étudié par Mazur dans [15].

À noter qu’ici nous ne regardons l’anneau R^T_S que sous un angle purement arithmétique.

Notations.Pour unZ^p-module de type finiM, nous désignerons par Tor(M) ={m∈M,∃k∈Z^p, m^k= 1} le sous-module de torsion deM, et par

Torp(M) ={m∈M, m^p= 1}, le sous-module dep-torsion deM.

Pour un corpsF,µp(F)désignera le groupe des racinesp-èmes de l’unité contenues dansFet pour un groupe abélien localement compactG, son dual de Pontryagin sera notéG^∗.

1. Sur l’importance du multiplicateur de Schur

Nous allons montrer le rôle crucial que joue le multiplicateur de Schur dans le calcul de la dimension de Krull de l’anneauRM. Commençons par un premier lemme :

Lemme 1.1. — La suite exacte 1 −→ HM −→ GM −→ ∆ −→ 1 fournit l’isomorphisme de

∆-modules suivant :

Hⁱ(HM,Ad)'Hⁱ(HM,F^p)⊗Ad.

Démonstration. — Il suffit de noter queHM agit trivialement sur Ad, Fp-espace vectoriel de di- mension 4, puis que l’isomorphisme souhaité est obtenu via la composition des isomorphismes suivants :

Hⁱ(HM,F^p)⊗Ad−→^∼ M4 j=1

Hⁿ(HM,F^p)ej ∼

−→Hⁿ(HM,Ad)

et que ceux-ci sont bien des isomorphismes de∆-modules (où(e1,· · ·, e4)est uneFp-base deAd).

♦

Lemme 1.2. — SoitGun pro-p-groupe de type fini. Alors

dpH¹(G,F^p)−dpH²(G,F^p) =dpFr_ZpG−dpH2(G,Z^p),

où Fr_ZpG désigne la partie Z^p-libre de G^ab. Si de plus H2(G,Z^p) est trivial alors, H²(G,F^p) ' Torp(G^ab).

Démonstration. — C’est bien connu, cela résulte de la suite exacte courte : 1−→F^p −→Q^p/Z^p−→^p Q^p/Z^p−→1.

♦

Lemme 1.3. — Supposons#∆premier àp. (i) On a, pour touti≥1,Hⁱ(GM,Ad)'

Hⁱ(HM,Fp)⊗Ad^∆. (ii) H¹(GM,Ad)'

(H^ab_M)^∗⊗Ad∆

, oùH^ab_M:= HM/[HM,HM].

(iii) Si le groupe H²(HM,Q^p/Z^p)est trivial, il vient alors : H²(GM,Ad)'

(Torp(H^ab_M))^∗⊗Ad^∆ .

Démonstration. — (i) Comme #∆ est premier àp, la suite spectrale au niveau supérieur donne l’isomorphisme entreHⁱ(GM, A)etHⁱ(HM, A)^∆et ce pour toutGM-module discretp-primaire de torsionA. Il suffit ensuite d’utiliser le lemme 1.1.

(ii) C’est un cas particulier du point précédent.

(iii) Sous l’hypothèseH²(HM,Q^p/Z^p) = 0, on aTorp(H^ab_M)'H2(HM,F^p). Il suffit ensuite d’utiliser le point (i).♦

Ainsi, ces trois lemmes montrent que pour avoir une minoration non triviale de la dimension de Krull deRM, il est souhaitable que d’une part le corps Lait au moins uneZp-extension contenue dans M/L (ou encore que Fr_ZpHM soit non trivial) et que d’autre part l’on puisse contrôler le multiplicateur de SchurH2(HM,Z^p)du groupeHM.

Quand S contient l’ensemble des places au-dessus de pet pour M = LS(p), ces deux quantités sont intimement liées. En fait, la conjecture de Leopoldt pour le couple(L, p), donne exactement le rang deFr_ZpHS, et cette conjecture équivaut à la trivialité du multiplicateur de Schur du groupe Gal(LS(p)/L).

Maintenant, lorsqueSne contient pas toutes les places au-dessus dep, il est quand même possible d’obtenir des informations sur ce multiplicateur de Schur. Comme pour le cas oùS contient l’en- semble des places au-dessus dep, nous verrons (cf. corollaire 2.4) que le multiplicateur de Schur de ce groupeGal(LS(p)/L)est aussi dans ce cas lié à un problème d’indépendancep-adique.

2. Quelques strucures galoisiennes

Pour toute la suite, nous supposons que l’ensemble S est non vide et qu’il ne contient que des places finiesv au-dessus dep.

2.1. Les notations. — Pour une placevdeK, notons par∆v = ∆w le groupe de décomposition dans L/K d’une place quelconquew de L au-dessus de v. Pour un ensemble E de places de K, nous notons parE(L)l’ensemble des placesL au-dessus des places deE.

Soit

X^TS(L) ={x∈L^×,vw(x)≡ 0 modp, ∀w∈/ T(L); x∈L^p_w, ∀w ∈S(L)}/L^×p le groupe de Shafarevich du corpsLassocié aux ensemblesS etT.

Pour w une place finie deL, notons Uw le sous-groupe des unités principales du complétéLw de Lenw. SoitUS = Y

w∈S(L)

Uw et soit

Ψ^T_S =Z^p⊗E^T_L→US

le plongement des T(L)-unités E^T_L de L dans le produit des complétés des places de S(L) (qui rappelons-le sont toutes au-dessus dep).

Fixons C^p le complété d’une clôture algébrique de Q^p. Lorsque w est une place deS(L), notons parlog_w le logarithmep-adique associé à la placew. Pourx= (x1,· · · , xs)∈US, nous posons

Log(x) = (log_w1(x1),· · · ,log_ws(xs)) ∈ C^sp.

2.2. Les principales estimations. — Supposons#∆premier àp.

Pour un Z^p[∆]-module M et un caractère C^p[∆]-irréductible ϕ, Mϕ désignera laϕ-partie de ce module et rϕ(M) le ϕ-rang de M. Rappelons que Mϕ est vu comme module sur l’anneau local Z^p[ϕ]. Si ψ et ψ⁰ sont deux caractères de Z^p[∆], nous noterons par < ψ, ψ⁰ >le produit scalaire entre ceux-ci. SiM est unZ^p[∆]-module, on identifieraM avec son caractère. Ainsi, par exemple, siϕestC^p-irréductible,rϕ(M) =< M, ϕ >.

Pour un sous-groupe Hde ∆et un H-moduleM,Ind^∆_H(M)désignera le ∆-module induit deH à

∆ obtenu à partir deM. On rappelle la formule de réciprocité :

< M,Ind^∆_HN >=< M, N >_|H.

Siχest le caractère du∆-moduleM, le caractère du dualM^∗ deM sera notéχ^∗. On rappelle que pour toutσde∆, on a χ^∗(σ) =χ(σ⁻¹).

Nous noterons par 1 le caractère de la représentation triviale (ou unité) : 1(σ) = 1, pour tout σ∈∆.

Soit doncP^T_S = Gal(L^T_S(p)/L). La structure du ∆-moduleP^T,ab_S := P^T_S/[P^T_S,P^T_S]est parfaitement connue :

Proposition 2.1 (Gras [7]). — Soitϕ un caractèreC-irréductible de∆. Alors rϕ(P^T,ab_S ) =rϕ(X^T_S(L))−rϕ(E^T_L) +X

v∈S

δv rϕInd^∆_∆vµp(Lv) +ϕ(1)(δS+δ2,pr1(L)),

oùδS =X

v∈S

[Kv:Q^p], où δv=δw = 1 si Lw contient les racinesp-èmes de l’unité,0 sinon, où r1(L)est le nombre de places réelles de Let où δ2,p est le symbole de Kronecker.

En ce qui concerne leϕ-rang du∆-moduleH2(P^T_S,F^p), il est possible d’en donner une majoration :

Proposition 2.2. — Soitϕun caractèreC-irréductible de∆. Alors rϕ(H2(P^T_S,F^p))≤rϕ(X^TS(L))−rϕµp(L) +X

v∈S

δv rϕInd^∆_∆vµp(Lv) +δ2,pϕ(1)r1(L).

Démonstration. — On reprend la preuve classique permettant de donner une majoration dup-rang deH²(P^T_S,Fp)tout en faisant ressortir l’action de∆ (voir [12], [11], [7], [13] ...)

Pour commencer un lemme (cf. [12], [17]) :

Lemme 2.3. — Soit GL(p) (respectivement Gw(p)) le plus grand pro-p-quotient du groupe de Galois absoluGL (resp. Gw) de L(resp.Lw). On a la suite de ∆-modules :

1−→H²(GL(p),F^p)−→ ⊕^{Loc w}H²(Gw(p),F^p)−→

(µp)^GL(p)∗

−→1.

Ensuite, on sait qu’il existe un∆-morphisme ker

H²(P^T_S,F^p)^Inf→H²(GL(p),F^p)

,→(X^T_S(L))^∗ obtenu à partir du symbole de réciprocité local (cf. [12]). Ainsi,

ker(Loc◦Inf),→(X^TS(L))^∗,

où Inf :H²(P^T_S,F^p) → H²(GL(p),F^p). Comme les places en dehors de S et de l’infini sont non ramifiées dansL^T_S(p)/L,

Loc◦Inf(H²(P^T_S,F^p)) = LocS⁰◦Inf(H²(P^T_S,F^p)),

oùLocS⁰ est la projection deLocsur les composantes enS(L)et en les places réelles deL.

D’autre part le morphisme

M

w∈S(L)∪P l∞

H²(Gw(p),Fp)^Σ→^S0 µp(L)^∗ est surjectif (se rappeler que par hypothèse,S est non vide) etP

S⁰◦Loc◦Inf = 0. En résumé : rϕH²(P^T_S,F^p) = rϕker(Loc◦Inf) +rϕIm(Loc◦Inf)

≤ rϕ(X^T_S(L))^∗+rϕLoc(Inf(H²(P^T_S,F^p)))

= rϕ(X^T_S(L))^∗+rϕLocS⁰(Inf(H²(P^T_S,F^p)))

≤ rϕ(X^TS(L))^∗+rϕkerP

S⁰

= rϕ(X^T_S(L))^∗+rϕ



 M

w∈S(L)∪P l_∞

H²(Gw(p),Fp)



−rϕµp(L)^∗. Notons ensuite

M

w∈S(L)∪P l_∞

H²(Gw(p),F^p) = M

v∈S∪P l∞

Ind^∆_∆vH²(Gv(p),F^p)

où, dans la seconde somme, on a privilégié le choix d’une place w de L au-dessus de v et posé Gv(p) =Gw(p).

Pour les placesw deLen lesquelles le groupeµp(Lw)est trivial, on sait que le pro-p-groupeGw(p) est libre c’est à dire que H²(Gw(p),F^p) = 0. Pour les autres placesw,Gw(p)agit trivialement sur µp(Lw), et ainsi (à l’aide de la suite exacte de Kummer)

H²(Gw(p),F^p)⊗µp(Lw) ' H²(Gw(p), µp(Lw) ' H²(Gw, µp(Lw)) ' Torp(Br(Lw))'Z/pZ,

oùTorp(Br(Lw))est lap-torsion du groupe de BrauerBr(Lw)deLw. Tout ceci étant des isomor- phismes de∆w-modules.

Au total, on obtient :

rϕH²(P^T_S(p),Fp)≤rϕ(X^T_S(L))^∗+X

v∈S

δvrϕInd^∆_∆vµp(Lv)^∗+ϕ(1)r1(L)δ2,p−rϕµp(L)^∗

ou encore

rϕH2(P^T_S,F^p)≤rϕX^T_S(L) +X

v∈S

rϕInd^∆_∆vµp(Lv) +ϕ(1)r1(L)δ2,p−rϕµp(L).

♦

Ces propositions permettent d’en déduire le corollaire suivant :

Corollaire 2.4. — (i)rϕ H2(P^T_S,Z^p)

≤rϕ ker(Ψ^T_S) .

En particulier, le groupe H²(P^T_S,Qp/Zp)est trivial dès lors que Ψ^T_S est injectif.

(ii) rϕ(Torp(P^T,ab_S ))≤rϕ(H2(P^T_S,F^p))≤rϕ(Torp(P^T,ab_S )) +rϕ(ker(Ψ^T_S)).

Ainsi, lorsqueΨ^T_S est injectif,Torp(P^T,ab_S )'H2(P^T_S,F^p), isomorphisme de ∆-modules.

Démonstration. — La suite exacte

1−→Z^p−→Z^p−→Z^p/pZ^p−→1 fournit immédiatement l’égalité

rϕ(H2(P^T_S,Z^p)/p) =rϕ(H2(P^T_S,F^p))−rϕ(Torp(P^T,ab_S )).

(Noter qu’ici tous lesZ^p-modules sont de type fini.) La torsion deP^T,ab_S étant finie, il vient

rϕ(Torp(P^T,ab_S )) = rϕ

Tor(P^T,ab_S )/

Tor(P^T,ab_S )p

= rϕ(Tor(P^T,ab_S ))

= rϕ(P^T,ab_S )−δSϕ(1) +rϕ(Im(Ψ^T_S))

= rϕ(X^T_S(L))−rϕ(E^T_L) +P

v∈SδvrϕInd^∆_∆vµp(Lv) +ϕ(1)δ2,pr1(L) +rϕ(Im(Ψ^T_S)).

Par conséquent

rϕ H2(P^T_S,Z^p)

≤rϕ(Im(Ψ^T_S)) +rϕ(E^T_L)−rϕµp(L) =rϕ(ker(Ψ^T_S)) d’où (i). Le second point s’en déduit immédiatement.♦

2.3. Les premières conséquences. — Reprenons les notations introduites précédemment.

Proposition 2.5. — Supposons#∆premier àp. Lorsque le groupeH²(GM,Q^p/Z^p)est trivial, la représentationρMest sans obstruction dès lors que le∆-moduleTor(H^ab_M)est premier au∆-module Ad.

En particulier, si le morphisme Ψ^T_S est injectif et si le ∆-module Tor(P^T,ab_S ) est premier au ∆- module Ad, la représentationρ^T_S est sans obstruction (c’est ce que l’on peut appeler la situation

“prime-to-adjoint”).

Démonstration. — C’est le lemme 1.3 associé au corollaire 2.4.

♦

Comme nous l’avons vu, quand le groupe H²(HM,Q^p/Z^p) est trivial, le groupe de cohomologie H²(GM,Ad) s’interprète à partir de la torsion deH^ab_M. LorsqueM=L^T_S(p), ce groupe de torsion a déja beaucoup été étudié.

Proposition 2.6 (Gras [8], Théorème 2.6 page 261). — Si lap-partieCl^T_L(p)du groupe des T-classes deL est triviale, alors l’application d’Artin permet d’obtenir l’isomorphisme suivant :

Tor(P^T,ab_S )'Tor US/Ψ^T_S(Z^p⊗E_L^T) .

Corollaire 2.7 (Gras [8]Théorème 2.6 page 261 et lemme 4.2.4 page 295) Le pro-p-groupeP^T,ab_S est sans torsion dès lors queCl^T_L est d’ordre premier àp, queP

v∈Sµv/µL= 0 et queTor Log(US)/Zp Log Ψ^T_S(E_L^T

= 0.

Pour être complet, citons la remarque suivante :

Remarque 2.8 (Wingberg, [19]). — Pour que le groupeH²(PS,F^p)^∆ soit trivial, il est néces- saire que l’extensionKS(p)/K soit pro-p-libre.

3. Sur la dimension de Krull de l’anneauR^T_S 3.1. Cas où#∆ est une puissance dep. —

Proposition 3.1. — Supposons que∆est unp-groupe et que pour toute placevdeT,∆v={1}.

Alors

dimkrull(R^TS/pR^T_S)≥1 + 4 (δS−(r1+r2+|T|)).

Démonstration. — Si pour un groupe profiniG, l’on dénote parχ2(G)sa caractéristique d’Euler- Poincaré tronquée à l’ordre2, il est bien connu que

χ2(G, A)≤#A·χ2(G,F^p), oùAest unG-module fini.

Ensuite (cf. [7], [14],· · · ou propositions 2.1 et 2.2)

χ2(G^T_S(p),F^p)≤r1+r2+|T| −δS, oùG^T_S(p) = Gal(K^T_S(p)/K). CommeL^T_S(p) =K^T_S(p), il vient

dimkrull(R^TS/pR^T_S)≥1 + 4 (δS−(r1+r2+|T|)), R^T_S étant l’anneau de déformation associé à l’extensionL^T_S(p)/K.♦

3.2. Situation modérée (preuve du théorème 0.5). — Les propositions 2.1 et 2.2 permettent de montrer l’inégalité suivante :

rϕ(H¹(P^T_S,F^p)^∗)−rϕ(H²(P^T_S,F^p)^∗)≥<1, ϕ >+δSϕ(1)− X

v∈T∪P l_∞

rϕ

Ind^∆_∆v1 . Notons ensuite l’identité suivante :

δSϕ(1)−P

v∈T∪∞<Ind^∆_∆v1, ϕ >

= (δS−(r1+r2+|T|))ϕ(1) +P

v∈T∪P l_∞ < ϕ,

Ind^∆_∆vInd^∆_{1}^v1−Ind^∆_∆v1

> . CommeInd^∆_{1}^v1contient la représentation triviale, la quantité

X

v∈T∪P l∞

< ϕ,

Ind^∆_∆vInd^∆_{1}^v1−Ind^∆_∆v1

>

est positive.

Ainsi sous la conditionδS ≥(r1+r2+|T|), il vient pour tout caractèreCp-irréductibleϕl’inégalité suivante :

rϕ(H¹(P^T_S,Fp)^∗)−rϕ(H²(P^T_S,Fp)^∗)≥0.

Regardons maintenant les termes locaux.

Pourv|∞décomposée dansL/K, il vient

Ind^∆_∆vInd^∆_{1^v_}1−Ind^∆_∆v1= 0.

Pourv|∞paire, non-décomposée dansL/K, il vient Ind^∆_{1^v_}1=1+χv,

oùχv est l’unique caractère irréductible non trivial de ∆v. Et ainsi, pour cette même place,

<Ind^∆_∆vχv,Ad>=< χv,Ad>_|∆v=< χv,4·1>_|∆v= 0.

Pourv|∞impaire :

<Ind^∆_∆vχv,Ad>=< χv,Ad>_|∆v=< χv,2·1+ 2·χv >_|∆v= 2.

Notons par P

ϕαϕϕ la décomposition de la représentation adjointe Ad en somme de caractères C^p[∆]-irréductibles. Pourv impaire, il vient finalement

X

ϕ

αϕ< ϕ, χv>_|∆v= 2.

En regroupant tout ceci, on obtient alors

<P

ϕ rϕ(H¹(P^T_S,Fp)^∗)−rϕ(H²(P^T_S,Fp)^∗)

ϕ,Ad>

=<P

ϕ rϕ(H¹(P^T_S,F^p)^∗)−rϕ(H²(P^T_S,F^p)^∗) ϕ,P

ϕαϕϕ >

≥P

ϕαϕ(<1, ϕ >+(δS−r1+r2+|T|)ϕ(1)) P +

T∪P l_∞

P

ϕaϕ< ϕ,Ind^∆_∆vInd^∆₁^v1−Ind^∆_∆v1>

=P

ϕαϕ(<1, ϕ >+(δS−r1+r2+|T|)ϕ(1)) X +

v|∞,∆v6=1

X

ϕ

αϕ< χv, ϕ >_|∆v +X

v∈T

<Ad,Ind^∆_{1}1>−hAd,Ind^∆_∆v1i

=a1+ (δS−(r1+r2+|T|))P

ϕαϕϕ(1) + 2κ1+P

v∈Tκv

=a1+ 4(δS−(r1+r2+|T|)) + 2κ1+κT. Pour conclure, on a le lemme suivant :

Lemme 3.2. — Soient M et N deux Z^p[∆]-modules. Alors le p-rang de (M⊗N)^∆ est égal au produit scalaire < M^∗, N >.

En effet, lep-rang de(M ⊗N)^∆est égal exactement au nombre de fois qu’apparait le représentation triviale dansM ⊗N. Ainsi, siM =P

ψβψψet N =P

ϕβ_ϕ⁰ϕsont les décompositions de M etN en caractèresC^p-irréductibles, il vient :

<1, M⊗N > = P

ϕ,ψβψβ⁰_ϕ<1, ϕψ >

= P

ϕ,ψβψβ⁰_ϕ< ϕ⁻¹, ψ >

= < M^∗, N >

On obtient de tout ceci une minoration de la dimension de Krull deR^T_S/pR^T_S dès lors que l’on aura noté que celle-ci vaut au moins

X

ϕ

< rϕ(H¹(P^T_S,F^p)^∗)−rϕ(H²(P^T_S,F^p)^∗)

ϕ,Ad>

(car chaque terme est positif).

En remarque, notons que a1≥1 et que si Im(ρ) est un sous-groupe de Cartan, la représentation adjointe Adcontient au moins deux fois la représentation unité1(et donc quea1>1).♦

Corollaire 3.3. — Supposons que S contient l’ensemble des places au-dessus de p et prenons T =∅. Alors

dimkrull(RS)≥1 + 2κ1+ 4r2.

4. Détail d’un exemple

Comme indiqué dans l’introduction, l’exemple suivant s’inspire de l’exemple décortiqué par Mazur dans [15].

Fixons un plongementQ,→C.

Soit un entiera >0. Soit le polynôme irréductible P(x) =x³+ax+1 de discriminantd=−4a3−27 (que l’on souhaitesans facteur carré) et ayant pour groupe de Galois S3.

Considérons les corps suivants :K=Q(√

d);F=Q(θ), oùθest la racine réelle deP;L=Q(√ d, θ).

Soitθ⁰ une seconde racine deP.

L’extension L/K est non-ramifiée, en particulier L est contenue dans KS/K, et ce pour tout ensembleS.

Soit ρ : ∆,→ Gl2(F^p) une représentation injective de ∆ dans Gl2(F^p), pour un certain nombre premier p. L’image ρ(∆) est un sous-groupe de Cartan (qui est déployé si et seulement si, 3 divise p−1). Nous souhaitons caractériser des situations où l’anneau de déformation de ρ est sans obstruction.

Commençons par regarder les unités du corpsL.

Lemme 4.1. — (i) L’élémentθ (resp.θ⁰) est une unité fondamentale deF(resp. deQ(θ⁰)).

(ii) Pourp >3, la famille{θ, θ⁰} forme une Z^p-base deEL.

Démonstration. — (i) Soit a >1 (le casa= 1 se traite directement).

SoitReg(F)le régulateur du groupe des unitésEFdeF. Notons parReg(θ) =|log|θ||le régulateur du sous réseauθ^Z deEF.

D’après Cusick [5], on connait une minoration deReg(F): Reg(F)≥ 1

3log((4a3 + 27)/27) car4a3 + 27est sans facteur carré.

Ainsi

[EF:<±θ >] = Reg(θ)/Reg(F) = 3|log|θ||

log((4a3 + 27)/27).

On note ensuite que θ ∈ [−1/a;−1/a2] et est d’autant plus proche de −1/a que a est grand. Il vient alors facilement queReg(θ)/Reg(F)<2et donc queEF =<±θ >.

(ii) Remarquons tout d’abord, d’après (i), que siθest divisible alors nécessairementL=F(√

±θ).

CommeL=F(√

−4a3−27), par la théorie de Kummer,

±θ(−4a3−27)⁻¹∈F2,

ce qui est impossible (la contradiction est apportée par un premierl divisant4a3 + 27).

Ainsiθn’est pas divisble. Soit alors{θ, ξ}uneZ-base deEL. AinsiNL/Fξ=±θ^ε+2n avecε= 0ou 1et n∈Z. Par conséquent,NL/F(ξθ⁻ⁿ) =±θ^ε. La famille{θ, ξθ⁻ⁿ}formant également une base deEL, on peut donc supposer queNL/Fξ=±θ^ε.

Écrivons ensuiteθ⁰ dans la base{θ, ξ}. Il existe α, β∈Z, tels queθ⁰ =±θ^αξ^β. Prenons la norme dansL/Fde cette égalité :

−θ⁻¹=NL/Fθ⁰ =±θ^2α+βε

ainsiε= 1et il vient l’équation−1 = 2α+β. Regardons la norme deθ⁰ dansL/Q(θ⁰): θ⁰2 =±θ^0−α+λβ

oùNL/Q(θ⁰)ξ=±θ^0λ. D’où l’équation2 =−α+λβ. De ces deux dernières équations, on en déduit 3 =β(1 + 2λ)

ainsiβ|3 et le second point du lemme s’en déduit.♦

Choisissons un nombre premier p > 3 totalement décomposé dansF/Q(ou de façon équivalente totalement décomposé dansL/K). Assurons-nous quepest premier à l’ordre du groupe des classes deLet quepne divise pasd.

Soit(x−u1)(x−u2)(x−u3), avecui6=uj, la factorisation deP dansFp[x].

PrenonsT =∅ etS={v}, oùv est l’une des deux places deKau-dessus dep.

Dans ce contexte, le morphisme ΨS : Z^p⊗EL → US(L) est injectif (cf. par exemple [10], [14]).

Ainsi le groupeH²(PS,Qp/Zp)est trivial (cf. corollaire 2.4).

Nous allons maintenant imposer des conditions afin que la torsionTor(P^ab_S)deP^ab_S soit également triviale.

Soient w(i) les trois places deLau-dessus dev.

Il est facile de noter que chaque premier deFau-dessus depdonne lieu à une place deS(L).

Assurons-nous queπi=θ−ui est une uniformisante deLw(i) (avecui∈]0, p−1[). Ceci se lit dans le corpsF.

Posonsei= log_wi(θ). AlorsLogUS =Z^p e1⊕Z^p e2⊕Z^p e3et Log(θ⁰) =P

iλiei, avecλi∈Z^p. Il est facile de voir que l’on peut s’arranger pour queθ⁰ vérifie :





θ⁰ = u3+π1

θ⁰ = u1+π2

θ⁰ = u2+π3

Soit donc y=P

iyiei un élément dep-torsion deLog(US)/Log(EL). Il existea, b∈Z^p tels que p(y1e1+y2e2+y3e3) =a(e1+e2+e3) +b(λ1e1+λ2e2+λ3e3),

d’où le système linéaire





py1 = a+bλ1

py2 = a+bλ2

py3 = a+bλ3

Ainsi, et c’est notre dernière condition sur p, s’il existe i, j tels que λi 6= λj (mod p), il vient immédiatementb≡a≡0 (modp), c’est à direy∈ΨS(EL)et de ce fait lap-torsion deUS/ΨS(EL) est triviale.

Interprétons un peu plus précisémment cette condition. On a λ1 = log_w1(θ⁰)/log_w1(θ)

= u1

u3

modπ1

λ2 = u2

u1

modπ2

λ3 = u3

u2

modπ3

De ce fait lap-torsion deUS/ΨS(EL)est triviale dès lors que pour un triplet(i, j, k),i, j, k deux à deux différents, on a

uiuj6=uk2

Si tel est le cas, le corollaire 2.7 s’applique. Le pro-p-groupeP^ab_S est sans torsion.

Comme H²(PS,Q^p/Z^p) = 0, on en déduit que PS est libre et par conséquent H²(PS,Ad) = 0.

L’anneauRS est sans obstruction.

Le nombre minimal de générateurs deRS est exactement égal à la dimension surF^pdeH¹(GS,Ad), et H¹(GS,Ad)'h

P^ab_S^∗⊗Adi∆

. Or ∆agit trivialement sur P^ab_S 'Zp etAdcontient deux fois le caractère trivial 1. Par conséquentRS =Z^p[[T1, T2]].

Le groupePS, isomorphe àZ^p, est engendré par un élément x. AlorsGal(LS(p)/K)'∆× hxiet ρS peut être définie par :

ρS(x) =

1 +T1 0 0 1 +T2

.

Ceci, par exemple, s’applique aux couples

(a, p) = (2,17),(2,71),· · · ,(4,71),(4,73),(4,83),· · · ,(5,19),(5,29),(5,73),· · ·

Références

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7 novembre 2006

Christian Maire, Institut de Mathématiques de Toulouse, Université Toulouse Le Mirail, 5 allées Machado, 31058 Toulouse•E-mail :[email protected]