Modélisation de bancs de poissons

Modélisation de bancs de poissons

Théophile Cailliau

Sommaire

1 Différentes approches Modèles Eulériens (PM) Modèles Lagrangiens (IBM)

Description et implémentation Perspectives d’optimisation

Modèle Eulérien

On modélise un paramètre de la population complète (orientation du groupe, position du barycentre, . . . ).

Problème : Équations différentielles partielles souvent très difficile à résoudre, même numériquement.

IBM (Individual Based Model)

Modèle Lagrangien

On modélise chaque individu séparément, il agit en fonction des autres individus.

Modèle Lagrangien de Iain Couzin et al., 2002

~ v

Figure – Modèle d’un individu

Vitesse unitaire~v Champ de visionV

Effets des autres individus

~ v

Figure –Trois zones d’effet

Zone de répulsionV_r Zone d’orientation V_o Zone d’attraction V_a

Calcul des effets

Discrétisation du temps en pasτ

On note lei−ème poisson f_i, et r_ij le vecteur f_j −f_i dr(t+τ) =− X

j6=i fj∈V_r(fi)

rij(t)

|r_ij(t)|

d_o(t+τ) = X

j6=i fj∈V_o(fi)

vj(t)

|v_j(t)|

d_a(t+τ) = X

j6=i fj∈V_a(fi)

rij(t)

|r_ij(t)|

Calcul des effets

Direction du poisson i à l’instantt+τ : v_i(t+τ) =

(v_i(t) si s=0

s sinon

Avec

3s =d_r(t+τ) +d_o(t+τ) +d_a(t+τ)

Résultats

−→ −→

Figure –Exemple d’exécution

Découpage de l’espace

Complexité temporelle actuelle : O(n²) Idée de réduction : découpage de l’espace

Quadrillage

Diagrammes de Voronoi

Découpage — Quadrillage

Figure – Découpage de l’espace

Découpage — Diagrames de Voronoi

Figure – Découpage de l’espace en cellules de Voronoi

Complexité

Si mest le nombre maximal de poisson par cellule, et m≤√³

n, alors le calcul se fait en O(_mⁿ²₂)

Autre modèle — Espace discrétisé

Automate cellulaire

Ensemble de cellules avec un état parmis un ensemble fini, mis à jour à chaque itération

L’état contient

Le nombre d’individus dans la cellule

La présence (ou non) d’un prédateur dans la cellule Si la cellule contient un seul individu, est-il isolé ?

Règles de mise à jour des états

À chaque étape, chaque individu se déplace dans une des 9 cellules voisines, ou il reste dans sa cellule.

Méthode pour choisir les déplacements pour les poissons : Distance de panique

Position des autres individus dans le champs de vision Densité maximale

Pour les prédateurs : Distance de perception Pondération des proies (1/d⁴)