L’enveloppe de Snell et la tari…cation de droits contingents de type américain

(1)

Introduction Tari…cation Problème de Snell Référence

L’enveloppe de Snell et la tari…cation de droits contingents de type américain

80-646-08 Calcul stochastique I

Geneviève Gauthier

HEC Montréal

(2)

Introduction Notation Problématique

Tari…cation Problème de Snell Référence

Le titre sans risque

Le modèle de marché

Le texte qui suit est fortement inspiré du mémoire de maîtrise d’Isabelle Cormier (UQAM)

(3)

La notation I

Établissons, dans un premier temps, la notation utilisée dans ce texte : le triplet (Ω,F^,^P)représente un espace probabilisé …ni (Card(_Ω)< _∞) sur lequel est construit la

…ltration F= fF^t ^:^t =0,1, ...,Tg^.

(4)

La notation II

Nous utiliserons le modèle de marché discret introduit dans l’article écrit en 1981 par J. Michael Harrison et Stanley R. Pliska : il y a donc sur le marché K+1 titres

…nanciers dont les prixà l’instantt sont donnés par un vecteur aléatoire

!_S

t = S_t⁰,S_t¹, ...,S_t^K ^>

dont chacune des composantes est une variable aléatoire prenant un nombre …ni de valeurs strictement positives.

Ainsi, ce processus stochastique S =ⁿ!_S

t :t =0,1, ...,To

modélise l’évolution des prix des titres sur le marché.

(5)

La notation III

Le premier titre a un statut plus particulier puisqu’il est un placement sans risque (moins risqué!), c’est-à-dire que

8^ω 2Ω,8^t =1, ...,T,S_t⁰(ω) S_t⁰ ₁(ω). Nous pouvons aussi supposer, sans perte de généralité, que

8^ω 2Ω,S₀⁰(ω) =1.

(6)

La notation IV

Puisque la valeur marchande d’un dollar n’est pas la même d’un instant à l’autre, les gains et les pertes des

investissements ne peuvent pas être directement comparés s’ils n’ont pas eu lieu au même moment.

C’est pour cette raison que nous devons étudier le processus de prix actualisés β!_S où le processus stochastique adapté et à valeurs strictement positives β=f^βt :t =0,1, ...,Tg, dé…ni par

β_t = ¹ S_t⁰,

représente notre facteur d’actualisation à chaque instant.

(7)

La notation V

Par le théorème 2.7 de Harrison et Pliska (1981, p. 228), nous savons que si notre modèle de marché n’admet pas l’arbitrage, alors il existe au moins une mesure de

probabilité neutre au risque Qselon laquelle les processus de prix actualisés des titres sont des martingales.

(8)

Problématique I

Mathématiquement parlant, un droit conditionnel européen est une variable aléatoire non négative et F^T mesurable puisque ledit droit conditionnel ne peut être exercé qu’à échéance, soit au temps T.

Par conséquent, le détenteur d’un tel droit conditionnel est passif dans le sens où il n’a aucune décision à prendre au cours de la vie du droit conditionnel.

(9)

Problématique II

Undroit conditionnel de type américain, lui, se représente par un processus stochastiqueF adapté X =f^X^t ^:^t =0,1, ...,Tg^où^X^t représente la valeur du droit conditionnel au temps t s’il est exercé à ce moment.

Le détenteur d’un droit conditionnel de type américain doit donc se demander, à chaque période de temps durant la vie dudit droit conditionnel, s’il doit exercer son droit ou s’il est préférable d’attendre.

(10)

Problématique III

Le temps aléatoire τ:Ω ! f^{0, ...,}^Tg^,représentant le moment où le détenteur du droit conditionnel exerce son droit, doit être tel que 8^t 2 f^{0, ...,}^Tg^,

f^ω 2Ωj^τ(ω) =tg 2 F^t puisque la décision d’exercer le droit au temps t ne peut être prise que sur la base de l’information disponible à ce moment. C’est donc un temps d’arrêt.

Dans ce qui suit, l’ensemble des temps aléatoires représentant le moment d’exercice est représenté par

Λ0 =f^τ^:^Ω ! f^{0, ...,}^Tg j^τ est un temps d’arrêtg^.

(11)

Introduction Tari…cation

Inégalités Démonstration Exemple Problème de Snell Référence

Tari…cation d’un droit conditionnel de type américain I

Tout comme pour le droit conditionnel de type européen, le prix d’un droit conditionnel de type américain peut être étudié sous deux angles : celui du vendeur et celui de l’acheteur du droit conditionnel.

(12)

Tari…cation d’un droit conditionnel de type américain II

Dans ce qui suit, Φ dénote l’ensemble des stratégies d’investissement admissibles (Harrison et Pliska, 1981, p. 226), une stratégie

!_ϕ =ⁿ!_ϕ_t = ϕ⁰_t,ϕ¹_t, ...,ϕ^K_t :t =1, ...To étant un processus stochastique prévisible indiquant, à chaque instant et pour chaque titre, le nombre de parts détenues.

Rappel. Une stratégie d’investissement est dite admissible si elle est auto…nancée et si sa valeur au marché n’est jamais négative.

Une stratégie admissible fait donc en sorte que l’investisseur n’est jamais en situation de dette.

Cela ne signi…e pas pour autant que les ventes à découvert sont interdites.

(13)

Tari…cation d’un droit conditionnel de type américain III

Point de vue du vendeur. Le but premier du vendeur est d’être assuré que s’il investit le montantx obtenu lors de la vente du droit conditionnelX d’une façon adéquate, alors, à l’instantτ où l’acheteur exerce son droit, il est en mesure de respecter son obligation, soit le montantX_τ. Le prix minimal acceptable pour le vendeur du droit conditionnelX est donc xsup =inf x 0 9!^ϕ 2 Φtelle que

V0 !_ϕ =x etV_τ !_ϕ _X

τ,8^τ2 Λ0 .

(14)

Tari…cation d’un droit conditionnel de type américain IV

Point de vue de l’acheteur. Si l’acheteur s’endette d’un montantx à l’instantt =0 a…n d’acheter le droit conditionnel X alors au moment τ où il exercera son droit, il désire pouvoir s’acquitter de sa dette, c’est-à-dire qu’il doit exister une stratégie d’investissementφ telle queV₀ !

φ = x et V_τ !

φ +X_τ 0. Ainsi le prix maximal que l’acheteur du droit conditionnelX est prêt à débourser est

x_inf =sup 8<

:x 0 9!

φ 2Φ telle queV0 !

φ = x et V_τ !

φ +X_τ 0 pour un certain τ2^Λ⁰ 9=

;

(15)

Inégalités

Tari…cation d’un droit conditionnel de type américain

Theorem

Si le modèle de marché n’admet pas d’opportunité d’arbitrage, alors, pour toute mesure martingaleQ,

X₀ x_inf sup

τ2Λ0

E^Q[β_τX_τ] x_sup.

Remarque. Lors de la résolution du problème de Snell, nous obtenons un temps d’arrêt τ satisfaisant

E^Q[β_τ X_τ ] =sup_τ₂_Λ₀E^Q[β_τX_τ],ce qui nous permet de déterminer cette dernière quantité sans avoir à connaître tous les temps d’arrêt de l’ensemble Λ0

(16)

Preuve - Première inégalité

La première inégalité provient de l’appartenance deX₀ à l’ensemble

8<

:x 0 9!

φ 2Φ telle queV0 !

φ = x etV_τ !

φ +X_τ 0, pour un certain τ2^Λ⁰ 9=

;. En e¤et, choisissons la stratégie !

φ qui consiste, tout au long de l’intervalle de temps[0,T], à détenir le portefeuille

( X₀,0, ...,0)(une dette de X₀ parts du titre non risqué) et prenonsτ=0. Alors

V₀ !

φ = ( X₀,0, ...,0) !_S

0 = X₀ et

V_τ !

φ +X_τ =V₀ !

φ +X₀ =0.

(17)

Preuve - Troisième inégalité I

Choisissons arbitrairement

x₀ 2 ^x ⁰ 9!^ϕ 2^Φ^{telle que} V₀ !_ϕ =x etV_τ !_ϕ _X

τ,8^τ2 Λ0

.

Ce choix fait en sorte qu’il existe une stratégie !_ϕ 2Φ telle queV0 !_ϕ =x0 et V_τ !_ϕ _X

τ pour tout temps d’arrêt τ2^Λ⁰. Ainsi, en nous basant sur cette dernière inégalité, nous a¢ rmons que

8^τ2^Λ⁰^,^E^Q[β_τX_τ] E^Q β_τV_τ !_ϕ _. ₍₁₎

(18)

Preuve - Troisième inégalité II

Le marché n’admettant pas l’arbitrage, le processus

stochastiqueβV !_ϕ _{est une} (Q,F) martingale (Harrison et Pliska, 1981, proposition 2.8, p. 230). Le ”Optional Stopping Theorem” (Revuz et Yor, théorème 3.2, p. 65) implique que pour tout temps d’arrêtτborné,

E^Q β_τV_τ !_ϕ =E^Q β₀V₀ !_ϕ ce qui entraîne que

8^τ2Λ0,E^Q β_τV_τ !_ϕ = E^Q β₀V₀ !_ϕ

= β₀x₀

= x₀.

(19)

Preuve - Troisième inégalité III

Par substitution dans l’inégalité (1)

E^Q[β_τX_τ] E^Q β_τV_τ !_ϕ , nous obtenons 8^τ2 ^Λ⁰^,^E^Q[β_τX_τ] x₀ d’où

sup

τ2Λ⁰E^Q[β_τX_τ] x0. Puisque le choix dex0 était arbitraire, alors

sup

τ2Λ0

E^Q[β_τX_τ]

inf x0 0 9!^ϕ 2 Φtelle que V0 !_ϕ =x0

et V_τ !_ϕ _X

τ,8^τ2^Λ⁰

= x_sup.

(20)

Preuve - Deuxième inégalité I

Choisissons arbitrairement x₀ 2

8<

:x 0 9!

φ 2Φtelle que V0 !

φ = x et V_τ !

φ +X_τ 0 pour un certainτ2 ^Λ⁰ 9=

; établissant ainsi l’existence d’une stratégie admissible !

φ 2Φ satisfaisantV₀ !

φ = x₀ et V_τ_x

0

!φ +X_τ_x

0 0,pour un certainτx0 2 ^Λ⁰^.

Ainsi, étant donné queβ_τ

x0 >0,

0 E^Qh

β_τ_x

0 V_τ_x

0

!φ +X_τ_x

0

i

= E^Qh β_τ

x0V_τ_x

0

!φ i

+E^Qh β_τ

x0X_τ_x

0

i .

(21)

Preuve - Deuxième inégalité II

Par ailleurs, puisqueβV !_ϕ _{est une} (Q,F) martingale et queτx0 est un temps d’arrêt borné, nous pouvons utiliser le

”Optional Stopping Theorem” a…n d’obtenir E^Qh

β_τ_x

0V_τ_x

0

!φ i

= E^Qh

β₀V₀ ! φ

i

= β₀x₀

= x₀.

(22)

Preuve - Deuxième inégalité III

Par conséquent,

0 E^Qh

β_τ

x0V_τ_x

0

!φ

i+E^Qh β_τ

x0X_τ_x

0

i

= x₀+E^Qh β_τ_x

0X_τ_x

0

i x0+ sup

τ2Λ⁰E^Q[β_τX_τ] d’où

sup

τ2Λ0

E^Q[β_τX_τ] x0.

(23)

Preuve - Deuxième inégalité IV

Puisque le choix dex0 était arbitraire, sup

τ2Λ⁰E^Q[β_τX_τ]

sup 8>

><

>>

: x₀ 0

9!

φ 2Φtelle que V₀ !

φ = x₀ et V_τ !

φ +X_τ 0, pour un certain τ2Λ0

9>

>=

>>

;

= x_inf.

(24)

Exemple I

Considérons le modèle binomial à trois périodes suivant

ω S₀⁰(ω) S₀¹(ω)

S₁⁰(ω) S₁¹(ω)

S₂⁰(ω) S₂¹(ω)

S₃⁰(ω)

S₃¹(ω) ^Q(ω)

ω1 1

80

1,115 100

1,115² 125

1,115³

156,25 0,343

ω2

1 80

1,115 100

1,115² 125

1,115³

100 0,147

ω3 1

80

1,115 100

1,115² 80

1,115³

100 0,147

ω4 1

80

1,115 100

1,115² 80

1,115³

64 0,063

(25)

Exemple II

ω S₀⁰(ω) S₀¹(ω)

S₁⁰(ω) S₁¹(ω)

S₂⁰(ω) S₂¹(ω)

S₃⁰(ω)

S₃¹(ω) ^Q(ω)

ω5 1

80

1,115 64

1,115² 80

1,115³

100 0,147

ω6 1

80

1,115 64

1,115² 80

1,115³

64 0,063

ω7 1

80

1,115 64

1,115² 51,20

1,115³

64 0,063

ω8 1

80

1,115 64

1,115² 51,20

1,115³

40,96 0,027

(26)

Exemple III

La …ltration est donc F⁰ = f?^,^Ωg

F¹ = σff^ω¹^,^ω²^,^ω³^,^ω⁴g^,f^ω⁵^,^ω⁶^,^ω⁷^,^ω⁸gg F² = σff^ω¹^,^ω²g^,f^ω³^,^ω⁴g^,f^ω⁵^,^ω⁶g^,f^ω⁷^,^ω⁸gg F³ = tous les événements de Ω

(27)

Exemple IV

Exercice. Il s’ensuit que Card(Λ0) =26. (Véri…ez... si vous avez le temps!)

Réponse partielle. Si nous représentons un temps d’arrêtτ par un point dansR^Card⁽^Ω⁾,

(τ(ω1), τ(ω2), τ(ω3), τ(ω4), τ(ω5), τ(ω6), τ(ω7),τ(ω8)), alors les 26 temps d’arrêt deΛ0 sont

(0,0,0,0,0,0,0,0) (1,1,1,1,1,1,1,1) (2,2,2,2,2,2,2,2) (3,3,3,3,3,3,3,3) (1,1,1,1,2,2,2,2) (1,1,1,1,2,2,3,3) (1,1,1,1,3,3,2,2) (1,1,1,1,3,3,3,3) (2,2,2,2,1,1,1,1) (2,2,3,3,1,1,1,1) (3,3,2,2,1,1,1,1) (3,3,3,3,1,1,1,1) (2,2,2,2,2,2,3,3) (2,2,2,2,3,3,2,2) (2,2,3,3,2,2,2,2) (3,3,2,2,2,2,2,2) (2,2,2,2,3,3,3,3) (2,2,3,3,2,2,3,3) (2,2,3,3,3,3,2,2) (3,3,2,2,2,2,3,3) (3,3,2,2,3,3,2,2) (3,3,3,3,2,2,2,2)

(3,3,3,3,3,3,2,2) (3,3,3,3,2,2,3,3) (3,3,2,2,3,3,3,3) (2,2,3,3,3,3,3,3)

(28)

Exemple V

Exercice. Véri…ez que la mesure de probabilitéQ donnée dans le tableau est la seule mesure qui fait en sorte que le prix actualisé du titre risqué est une martingale.

Exercice. Justi…ez pourquoiQest aussi appelée la mesure neutre au risque.

(29)

Exemple VI

Le droit conditionnel de type américain considéré est une option de vente ayant un prix d’exercice de 80 dollars.

Donc la valeur de l’option de vente au temps t, si elle est exercée, est

Xt =max 80 S_t¹,0

et sa valeur actualisée au temps t, si elle est exercée, est Yt = β_tXt =1,115 ^tmax 80 S_t¹,0

(30)

Exemple VII

Yt = β_tXt =1,115 ^tmax 80 S_t¹,0

ω Y₀ Y₁ Y₂ Y₃

ω₁ 0 0 0 0

ω₂ 0 0 0 0

ω3 0 0 0 0

ω4 0 0 0 _1,115¹⁶3 =11,5424

ω5 0 _1,115¹⁶ =14,3498 0 0

ω6 0 _1,115¹⁶ =14,3498 0 _1,115¹⁶3 =11,5424

ω₇ 0 _1,115¹⁶ =14,3498 _1,115^28,802 =23,1656 _1,115¹⁶3 =11,5424 ω8 0 _1,115¹⁶ =14,3498 _1,115^28,802 =23,1656 _1,115^39,043 =28,1634

(31)

Exemple VIII

Remarquons qu’un des temps aléatoires représentant, pour chaque ω, le moment où la valeur de l’option est la plus grande est

(τ(ω1), τ(ω2), τ(ω3), τ(ω4), τ(ω5), τ(ω6), τ(ω7),τ(ω8))

= (3,3,3,3,1,1,2,3).

Or, ce temps aléatoire n’est pas un temps d’arrêt, car

f^ω2^Ω^:^τ(ω) =2g=f^ω7g2 F^/ 2

c’est-à-dire que, pour être en mesure de maximiser nos gains, nous aurions besoin, au moment de la décision d’exercer, de connaître l’avenir. Par contre, il nous sera possible, à l’aide des temps d’arrêt, de maximiser notre espérance de gain conditionnellement à l’information disponible aux moments des prises de décision (l’exercice ou le non-exercice du droit conditionnel). Cette idée sera précisée par la suite.

(32)

Introduction Tari…cation Problème de Snell

Situation simpli…ée Situation générale

Exemple Lemme 1 Exemple Lemme 2 Lemme 3 Résumé Exemple Référence

Formulation du problème de Snell I

Soit Y =f^Y^t ^:^t =0,1, ...,Tgun processus stochastique F adapté.

Pour tout t 2 f^0,^{1, ...,}^Tg, nous pouvons dé…nir l’ensemble des temps d’arrêt à valeurs dans l’ensemble f^{t, ...,}^Tg^:

Λt =f^τ^:Ω ! f^{t, ...,}^Tg j^τ est un temps d’arrêtg^. Remarquons que ΛT ΛT 1 ... Λ0.

(33)

Formulation du problème de Snell II

Le problème de Snell est le suivant: peut-on déterminer un temps d’arrêt τ 2 Λ0 satisfaisant

E[Y_τ ] = sup

τ2Λ0

E[Y_τ] (2) En d’autres mots, nous cherchons à déterminer, pour chacun des ω 2Ω, le moment τ (ω)où nous devrions intervenir dans le processus stochastiqueY a…n de maximiser l’espérance de la variable aléatoire Y_τ.

(34)

Situation simpli…ée I

La …ltration ne contient aucune information

Supposons que 8^t 2 f^0,^{1, ...,}^Tg^,F^t =f?^,Ωg^.

Dans ces conditions, puisque Yt est F^t mesurable, alors Y_t est constante, c’est-à-dire qu’il existe un nombre réely_t pour lequel

8^ω2 Ω,Yt(ω) =yt.

(35)

Situation simpli…ée II

De plus, cette …ltration particulière fait en sorte que

Λ0 =f^τ⁰^,^τ¹^{, ...,}^τ^Tg ⁽³⁾

où 8^ω 2^Ω^,^τ^t(ω) =t.

En e¤et, siτ est un temps d’arrêt quelconque (par rapport à la …ltration F) alors 8^t2 f^0,^{1, ...,}^Tg^,

f^ω 2^Ω^:^τ(ω) =tg 2 F^t =f?^,^Ωg. Ainsi, s’il existe un k 2 f^0,^{1, ...,}^Tgpour lequel τ(ω) =k,alors

f^ω2^Ω^:^τ(ω) =tg= ^Ω ^si ^t =k

? ^sinon ^,

ce qui signi…e que tout temps d’arrêt existant dans cet espace probabilisé …ltré est constant. Si nous nous restreignons aux temps d’arrêt prenant leurs valeurs dans l’ensemble f^0,^{1, ...,}^Tgalors il y a T +1 valeurs dek possibles d’où l’équation (3).

(36)

Situation simpli…ée III

Si nous réécrivons l’équation (2) E[Y_τ ] =sup_τ₂_Λ₀E[Y_τ] en tenant seulement compte de la particularité de la situation, nous constatons que la résolution du problème de Snell, dans ce contexte, revient à déterminert tel que

y_t = max

t2f^0,1,...,Tgy_t. (4) C’est évidemment un problème élémentaire, mais il n’est pas inutile d’expliquer les étapes de la résolution, car elles auront une version analogue moins évidente dans le cas général.

(37)

Situation simpli…ée IV

L’idée de base est d’introduire une suite auxiliaire f^z^t ^:^t =0,1, ...,Tg^{dé…nie par}

zt = max

u2f^t,...,Tgyu.

Remarquons que cette suite est décroissante (c’est-à-dire que 8^t 2 f^{1, ...,}^Tg^,^z^t ^z^t ¹^{) et que}

zt =maxf^y^t^, ^z^t⁺¹g^. ⁽⁵⁾ Posons

t =minf^t 2 f^0,^{1, ...,}^Tg j ^z^t =y_tg ⁽⁶⁾ et montrons que t satisfait l’équation (4).

(38)

Situation simpli…ée V

De par la dé…nition de t , nous observons que

z₀ =z₁=...=z_t z_t ₊₁ ... z_T. (7) En e¤et, s’il existait t 2 f^0,^{1, ...,}^t ¹g ^{tel que}^z^t ^est strictement supérieur à z_t₊₁, alors, par l’équation (5), zt =maxf^y^t^, ^z^t⁺¹g>zt+1. Cela entraînerait donc que z_t =y_t, contredisant la dé…nition det .

Par conséquent, zt zt+1.

Mais comme la suite des zt est décroissante, alors z_t =z_t+1.

Par ailleurs, l’expression (7) montre que t est bien l’indice recherché puisque

yt =zt =z0= max

t2f^0,1,...,Tgyt.

(39)

Situation générale I

Le problème de Snell

Voyons maintenant comment adapter les idées de la section précédente à une …ltration quelconque.

La clé de la résolution du problème réside dans la construction d’une version appropriée de la suite décroissante satisfaisant l’équation (5)

z_t =maxf^y^t^, ^z^t⁺¹g^. Posons

Zt = 8<

:

Y_T si t=T

maxf^Y^t^,^E[Zt+1jF^t]g ^si ^t2 f^{0, ...,}^T ¹g^.

(40)

Situation générale II

Le processus stochastiqueZ =f^Z^t ^:^t =0,1, ...,Tg^est adapté à la …ltration F.

En e¤et, E[Zt+1jF^t]et Yt étant F^t mesurables, maxf^Y^t^,^E[Z_t+1jF^t]gl’est également.

Il est à noter qu’ainsi dé…nie la suite f^Z^t ^:^t =0,1, ...,Tg n’est pas nécessairement décroissante ω par ω,mais elle l’est au sens des espérances conditionnelles.

(41)

Exemple I

ω Y₀ Y₁ Y₂ Y₃ Q

ω1 0 0 0 0 0,343

ω2 0 0 0 0 0,147

ω3 0 0 0 0 0,147

ω4 0 0 0 =11,5424 0,063 ω5 0 =^14,³⁴⁹⁸ ⁰ ⁰ ^0,¹⁴⁷ ω6 0 =14,3498 0 =11,5424 0,063 ω7 0 =14,3498 =23,1656 =11,5424 0,063 ω8 0 =^14,³⁴⁹⁸ =^23,¹⁶⁵⁶ =^28,¹⁶³⁴ ^0,⁰²⁷

(42)

Exemple II

ω Z₀ Z₁ Z₂ Z₃

ω1 =5,0321 =1,0388 0 0 ω2 =5,0321 =1,0388 0 0 ω3 =^5,⁰³²¹ =^1,⁰³⁸⁸ =^3,⁴⁶²⁷ ⁰ ω4 =5,0321 =1,0388 =3,4627 =11,5424 ω5 =5,0321 =14,3498 =3,4627 0 ω6 =^5,⁰³²¹ =^14,³⁴⁹⁸ =^3,⁴⁶²⁷ =^11,⁵⁴²⁴ ω7 =5,0321 =14,3498 =23,1656 =11,5424 ω8 =5,0321 =14,3498 =23,1656 =28,1634

(43)

Exemple III

Calcul des entrées du tableau précédent: 8^ω 2 f^ω¹^,^ω²g^,

E[Z3jF²] (ω) = 0

Z₂(ω) = maxf^Y²(ω),E[Z₃jF²] (ω)g

= maxf^0;⁰g=0 8^ω 2 f^ω³^,^ω⁴g^, E[Z₃jF²] (ω) = ¹⁶

1,115³ 0,063

0,21 =3,4627 Z2(ω) = maxf^Y²(ω),E[Z3jF²] (ω)g

= maxf^0;^3,⁴⁶²⁷g=3,4627

(44)

Exemple IV

8^ω 2 f^ω⁵^,^ω⁶g^, E[Z3jF²] (ω) = ¹⁶

1,115³ 0,063

0,21 =3,4627 Z2(ω) = maxf^Y²(ω),E[Z3jF²] (ω)g

= ^maxf^0;^3,⁴⁶²⁷g=3,4627 8^ω 2 f^ω⁷^,^ω⁸g^,

E[Z₃jF²] (ω) = ¹⁶ 1,115³

0,063

0,09 + ^39,⁰⁴ 1,115³

0,027

0,09 =^16,⁵²⁸⁷ Z₂(ω) = maxf^Y²(ω),E[Z₃jF²] (ω)g

= maxf^23,^1656;^16,⁵²⁸⁷g=23,1656

(45)

Exemple V

8^ω 2 f^ω¹^,^ω²^,^ω³^,^ω⁴g^, E[Z₂jF¹] (ω) = 3,46270,21

0,7 =^1,⁰³⁸⁸

Z₁(ω) = maxf^Y¹(ω),E[Z₂jF¹] (ω)g

= maxf^0;^1,⁰³⁸⁸g=1,0388 8^ω 2 f^ω⁵^,^ω⁶^,^ω⁷^,^ω⁸g^,

E[Z2jF¹] (ω) = 3,46270,21

0,3 +23,16560,09

0,3 =7,9885 Z1(ω) = maxf^Y¹(ω),E[Z2jF¹] (ω)g

= ^maxf^14,^3498;^7,⁹⁸⁸⁵g=14,3498

(46)

Exemple VI

8^ω 2 Ω

E[Z₁jF⁰] (ω) = 1,0388 0,7+14,3498 0,3=^5,⁰³²¹

(47)

Exemple VII

Interprétation. Zt représente, conditionnellement à l’information disponible au tempst, le maximum entre la valeur actualisée de l’option si elle est exercée à ce moment et sa valeur actualisée espérée si elle est exercée ultérieurement, à un moment judicieusement choisi.

Z_t est donc la valeur actualisée de l’option américaine au temps t.

(48)

Lemme 1 I

Theorem

Lemme 1. Pour tout t 2 f^{0, ...,}^Tg^,

8^τ2 Λt, Zt E[Y_τjF^t], (8) c’est-à-dire que

Zt sup

τ2Λt

E[Y_τjF^t] et, plus particulièrement,

Z0 sup

τ2Λ⁰E[Y_τjF⁰].

(49)

Lemme 1 II

Démonstration du lemme 1.

Nous procéderons par induction renversée sur t. Lorsque t =T,alors

ΛT =f^τ^:^Ω ! f^Tg j^τ est un temps d’arrêtg^, c’est-à-dire que ΛT ne contient qu’un seul temps d’arrêt, celui identiquement égal à T. Comme

Z_T =Y_T =E[Y_T jF^T], l’inégalité (8) 8^τ2^Λ^T^, Z_T E[Y_τjF^T]est clairement satisfaite.

Supposons maintenant que l’inégalité (8) 8^τ2Λt, Z_t E[Y_τjF^t] est véri…ée pour un certaint 2 f^{1, ...,}^Tg et montrons qu’elle l’est encore pour l’indice t 1.

(50)

Lemme 1 III

Choisissons arbitrairement un temps d’arrêt τ2^Λ^t ¹^. Nous évaluons l’espérance du membre de droite de l’inégalité (8) 8^τ2Λt,Zt E[Y_τjF^t]en la décomposant selon les valeurs prises par τ:

E[Y_τjF^t ¹]

= E Y_τI_fτ=t 1gjF^t ¹ +E Y_τI_fτ>t 1gjF^t ¹

= E Y_t ₁I_f_τ=t 1gjF^t ¹ +E Y_τ_{_}_tI_f_τ>t 1gjF^t ¹ ^.⁽⁹⁾ Nous allons nous attaquer, dans un premier temps, au deuxième terme de l’égalité énoncée ci-dessus.

(51)

Lemme 1 IV

Étant donné que le maximumτ_^t des deux temps d’arrêt t et τest, lui aussi, un temps d’arrêt appartenant, par ailleurs, à Λt puisque, par sa dé…nition, il est à valeurs dans l’ensemble f^t^{, ...,}^Tg, l’hypothèse d’induction nous permet alors d’a¢ rmer que

Zt E[Y_τ_{_}tjF^t]. (10)

(52)

Lemme 1 V

Dans un autre ordre d’idées,f^τ>t 1g 2 F^t ¹ ^car f^τ>t 1g^c 2 F^t ¹^{. En e¤et,}

f^τ ^t ¹g=

t[1

j=0

f^τ=jg

| {z }

2F^j F^t ¹

| {z }

2F^t ¹

2 F^t ¹ ⁽¹¹⁾

implique que I_f_τ>t 1g est F^t ¹ ^mesurable.