Devoir commun de mathématiques n
◦1 : Seconde Générale et Technologique Le mardi 11 décembre 2018 – Sujet A
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Prénom : Classe :
Durée de l’épreuve : 1 heure 50 minutes.
Seules les calculatrices mode examen sont autorisées et le mode examen devra être activé pendant l’épreuve.
La qualité de la rédaction et de la présentation entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le sujet comporte 6 exercices indépendants.
LE SUJET SERA RENDU AVEC LA COPIE.
Exercice 1 : / 7
Exercice 2 : / 5
Exercice 3 : / 8
Exercice 4 : / 8
Exercice 5 : / 5
Exercice 6 : / 7
Total : / 40
Exercice 1. (7 points)
Partie A - Étude de la fonction f Soit la représentation graphique d’une fonction f donnée ci-dessous.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
Cf
b b b b b b b
1. Quel est l’ensemble de définition de f ?
2. Par lecture graphique, quelle est l’image de 1 par la fonction f ? 3. Le point A(1; 4) appartient-il à la courbe
Cf? Justifier.
4. Par lecture graphique, combien 0 admet-il d’antécédent(s) ? 5. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x) < 2.
6. Dresser le tableau de variation complet de la fonction.
7. (a) Déterminer le maximum et le minimum de la fonction f sur [
−3; 5]. Préciser en quelles valeurs ils sont atteints.
(b) Déterminer le maximum de la fonction f sur [
−3; 1]. Préciser en quelle valeur il est atteint.
Partie B - Étude de la fonction g
On considère la fonction g définie sur [
−3; 5] par g(x) =
−0, 5x
2+ x + 5.
1. Calculer l’image de 2 par la fonction g.
2. Calculer g
−
1 3
. Le résultat final doit être présenté sous la forme d’une fraction.
3. Compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant :
x
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5
g(x)
4. On note
Cgla courbe représentative de la fonction g. Tracer
Cgdans le repère donné page 1.
5. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = g(x).
Exercice 2. (5 points)
Cet exercice est proposé par vos professeurs de mathématiques de troisième !
Dans un jeu vidéo on a le choix entre trois personnages : un guerrier, un mage et un chasseur. La force d’un personnage se mesure en points.
Tous les personnages commencent au niveau 0 et le jeu s’arrête au niveau 25.
Cependant ils n’évoluent pas de la même façon :
•
Le guerrier commence avec 50 points et ne gagne pas d’autre point au cours du jeu.
•
Le mage n’a aucun point au début mais gagne 3 points par niveau
•
Le chasseur commence à 40 points et gagne 1 point par niveau.
1. Au début du jeu, quel est le personnage le plus fort ? Et quel est le moins fort ?
2. Compléter le tableau ci-contre :
Niveau 0 1 5 10 15 25
Points du guerrier Points du mage Points du chasseur
3. À quel niveau le chasseur aura-t-il autant de points que le guerrier ?
4. Dans cette question, x désigne le niveau de jeu d’un personnage. Associer chacune des expressions suivantes à l’un des trois personnages : chasseur, mage ou guerrier.
f (x) = 3x ; g(x) = 50 ; h(x) = 40 + x.
5. Dans le repère ci-dessous, les fonctions g et h sont représentées.
Tracer la représentation graphique de la fonction f .
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Points
Niveau
CgCh
6. Déterminer à l’aide du graphique, le niveau à partir duquel le mage devient le plus fort.
Laisser apparents les traits de construction sur le graphique.
Exercice 3. (8 points)
Un directeur d’un grand parc d’attractions décide d’étudier le temps d’attente aux caisses à l’entrée de son parc. Pour cela, il note les temps d’attente en minutes de 100 clients le lundi et le vendredi.
1. Étude de l’échantillon du lundi
Le Lundi, il obtient la répartition suivante :
Temps d’attente (en min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nombre de clients (effectifs) 14 13 23 9 14 8 12 4 1 2
Effectifs cumulés croissants (a) Compléter la dernière ligne du tableau.
(b) Déterminer la médiane de cette série statistique. Justifier la réponse.
(c) Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série statistique. Justifier les réponses.
(d) Le directeur décide d’ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 15% des clients attendent 7 minutes ou plus en caisse. Doit-il ouvrir une nouvelle caisse le lundi ?
2. Étude de l’échantillon du vendredi
Le directeur compare les temps d’attente en début et en fin de semaine. Il étudie donc la série des temps d’attente du vendredi.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Temps d’attente en minutes Effectifs
Calculer le temps d’attente moyen le vendredi pour l’échantillon étudié. On détaillera le calcul.
3. Comparaison des deux échantillons
Les clients qualifient d’acceptable un temps d’attente inférieur ou égal à 6 minutes.
Pour chacune des informations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse :
(a) « Le vendredi, au moins un quart des clients ont un temps d’attente inférieur ou égal à trois minutes en caisse. »
(b) « Il y a autant de clients qui trouvent le temps d’attente acceptable le lundi que le vendredi. »
Exercice 4. (8 points)
Soit (O; I, J ) un repère orthonormé.
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
bO
bI
bJ
1. Placer les points A(2; 0), B(4; 4) et C(1; 3) dans le repère ci-dessus.
2. En détaillant votre démarche, démontrer que le triangle ABC est isocèle en C.
3. On admet que AB =
√20. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
4. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point K, où K est le milieu de [AB]. Placer K dans le repère.
5. (a) Placer dans le repère le point D, symétrique du point C par rapport à K.
(b) Démontrer, par le calcul, que les coordonnées du point D sont (5; 1).
6. Justifier que le quadrilatère ACBD est un carré.
Exercice 5. (5 points)
Cet exercice est proposé par vos professeurs de mathématiques de troisième !
Pour illustrer l’exercice, la figure ci-dessous a été faite à main levée. Les longueurs sont données en centimètres.
A B
C
D
E F
G
8,13
6,8 4 5
5 6,25
