Feuille d’exercices n°1 Exercice n°1 (introduction aux égalités remarquables)

(1)

A. a

²

–b

²

B. 16x²-40x+25

C. 21x²-39x-6 D. 2x+16x²-3

F. 19x+10x²-15

E. 25x-21x²+4 G. 27x+30x²-27

H. a

²

+b

²

+2ab

I. 21x-35

J. 19-14x K. 27x-14

L. 18x+24x²-39

N. 42x+24x²+21

O. 21x²-45x+6

P. 14x+3

Q. a

²

+b

²

–2ab R. 14x+16x²+3

S. 4-21x²-3x

T. 27x-15

U. 51x-27 a. (2x+5)(5x-3)

b. (a+b)

²

c. 5(2x+3)-4(6x-1)

d. 6x-7(2-3x) e. 4-3x(7x+1)

f. (3x-6)(7x-1) g. (6x+9)(4x-1)+6(2x+5)

h. (a–b)

²

i. (6x+9)(5x-3)

j. (8x-3)(2x+1) l. 8x+3(2x+1) m. (3x-6)(7x+1)

n. (a+b)(a–b)

o. 2x+5(5x-3) p. (8x+3)(2x+1)

q. (6x+9)(4x-1)-6(2x+5) r. (4x-5)²

t. -7(5-3x) u. (4-3x)(7x+1) v. 6x+9(5x-3)

G a

b A

C

B D

F E

I H

Le carré de

la somme

de deux nombres

est égal

à la somme

des carrés de

ces deux nombres

et du double du produit de

ces deux nombres

Feuille d’exercices n°1

Exercice n°1 (introduction aux égalités remarquables)

Rassembler par paire les expressions littérales qui sont égales pour n’importe quelle valeur de

x

.

Exercice n°2 (introduction aux égalités remarquables)

Dans la figure ci-contre, tous les angles sont droits et

AFCB

,

FEGH

et

BDGI

sont des carrés. Les dimensions n’ont en revanche aucune importance.

1. Calculez l’aire de

BDGI

en fonction de

a

et

b

de deux manières différentes.

2. Calculez l’aire de

HFEG

en fonction de

a

et

c

de deux manières différentes.

3.

Fmkj

est un carré identique à

BCFA

. Calculez de deux manières différentes l’aire de l’hexagone

HjkmEG

.

Exercice n°3 (conclusion)

En utilisant les conclusions trouvées à l’exercice n°1 ou à l’exercice n°2 : 1. Remettre en ordre la phrase suivante :

j k

m

(2)

2. Remettre en ordre la phrase suivante :

3. R e m e ttre en ordre la phrase suivante :

Exercice n°4 (introduction aux égalités remarquables)

Voici deux programmes de calcul :

1.

1. Choisir deux nombres et comparer

les résultats obtenus. Recommencez avec deux autres nombres. Que semble-t-il se passer ? 2. En utilisant les techniques de développement vues en 4^ème, démontrez la conclusion qui semble

convenir pour ces deux programmes de calcul.

Exercice n°5 (introduction aux égalités remarquables)

Parmi les programmes de calcul suivants, certains donnent la même chose (c'est-à-dire, donnent le même résultat, quelque soit le programme choisi). Trouvez ceux qui semblent être équivalents, puis, en utilisant les technique de développement de quatrième, démontrez qu’ils sont effectivement équivalents.

Exercice n°6 (rappel : développement de 4

^ème

sans simplification)

Dans chacun des cas suivants, développer l’expression.

Le carré de

la différence de

deux nombres est égal

à la somme

des carrés de

ces deux nombres à laquelle on soustrait

le double

du produit ces deux nombres de

Le produit de la somme

de

deux nombres

par la différence de

ces deux nombres est égal

à la différence

des carrés de

ces deux nombres

Programme n°1

1. Prendre deux nombres 2. Les additionner.

3. Elever le résultat au carré.

Programme n°2

1. Prendre deux nombres

2. Multiplier les deux nombres entre eux, puis multiplier le résultat par deux.

3. Elever le premier nombre au carré.

4. Elever le deuxième nombre au carré.

5. Additionner les trois résultats obtenus.

Programme n°1

1. Prendre deux nombres 2. Les soustraire.

3. Elever le résultat au carré.

Programme n°2

2. Multiplier les deux nombres entre eux, puis multiplier le résultat par deux.

3. Elever le premier nombre au carré.

4. Elever le deuxième nombre au carré.

5. Additionner les deux derniers résultats obtenus, et soustraire le produit obtenu à l’étape 2.

Programme n°4

1. Prendre deux nombres 2. Multiplier la différence

de ces deux nombres par la somme de ces deux nombres.

Programme n°3

2. Elever chaque nombre au carré 3. Faire la différence des deux résultats

obtenus.

(3)

( )

( )( )

( )

( )(

³ ² ⁴

)

5

5 4

2 4

−

=

−

=

+

−

= +

=

x D

x C

x B

x

A

( )( )

( )

( )(

⁴² ⁷ ¹

)

6

3 3 5

1 2 2

+

−

=

−

=

−

=

+

−

=

x H

x G

x F

x

E

( )( )

(

¹²³³ ⁴

)(

⁵ ¹

)

3 4 1 2

3 2

−

=

−

=

− +

=

+

−

=

x x L

x x K

x x J

x x I

Exercice n°7 (rappel : signe « - » devant produit)

Dans chacun des cas suivants, développer l’expression (attention au signe − dans

C

et

D

!).

A=(x+1)(x+2)+(x+2) B=(x+1)(x+2)+3(x+2)

C=(x+1)(x+2)-- 3(x+2) D= -- (x+1)(x+2)-- 3(x+2)

(4)

Feuille d’exercices n°2

Exercice n°1 (pour ceux qui ont des difficultés avec les écritures littérales)

Le but de cet exercice est de développer

T=6(3x−2)−(8x−7)(5−2x).

Les détails sont là pour vous guider. Répondez à chaque question.

1. Y a−t−il une soustraction suivie par un produit ( × ) de parenthèses?

2. Recopier et compléter : « Pour

6(3x−2)

, la formule de distributivité utilisée est

k(a+b)=…

» 3. Recopier et compléter : « Ici,

k=…

,

a=…

et

b=…

» (chaque terme accompagné de son signe) 4. Recopier et compléter : « Donc 6(3x−2)=… »

5. Recopier et compléter : « Pour (8x−7)(5−2x), la formule de double distributivité utilisée est (a+b)(c+d)=… » 6. Recopier et compléter : « Ici, a=… , b=… , c=… et d=… »

7. Recopier et compléter : « Donc (8x−7)(5−2x)=… »

8. Recopier et compléter : « Donc T=………−[………] »

9. Recopier et compléter : « Donc T=……… » (règle du signe “−” devant des parenthèses)

10. Recopier et compléter : « Donc T=……… » (réduction)

Exercice n°2 (mise en application de l’exercice précédent)

Développer les expressions suivantes en:

A=3(2x+5)−5(6x−2) D=(7−2x)(4x+3)−(7x+2)(6−2x) B=(2x−3)(3−2x)−2(3−7x) E=(4+3x)(5−3x)−(5x−1)(6x+4)

C=(5−2x)(2+3x)−(5x−1)(3−2x) F=(5x−7)(6x−3)−(9−6x)(7−9x)−(5x−3)(−6x−2) Exercice n°3 (application simple des égalités remarquables)

a. Développer et simplifier les expressions suivantes en utilisant les égalités remarquables :

E=(2x+1)² I=(3+x)(3−x) K=(x+4)(x−4)+(2x−4)²

F=(3−5x)² J=(2x−3)(2x+3) L=(4−2x)²+(4+2x)²+(4−2x)(4+2x) G=(−2+2x)² M=5−3x−(3+2x)² P=(1+x)²−(2x−1)²

H=(5−3x)²+(3−2x)² N=(5−3x)(2+x)−(4−x)(4+x) b. Calculer les expressions ci−dessus pour x=0.

Exercice n°4 (notion d’expressions équivalentes)

Les égalités suivantes sont−elles vraies pour n’importe quelle valeur de x ? Justifiez vos réponses (en calculant chaque membre avec une valeur de x si l’égalité vous semble fausse, ou en développant un des membres de façon à obtenir l’autre membre si l’égalité vous semble juste):

a. (3x)²=3x² b. (3x)²=6x² c. (3x)²=9x² d. 4x²=(4x)² e. 8x²−2x²=(3x)² f. (2x+3)²=2x²+9+12x g. (3x+3)²=3(x+1)² h. (3x−1)²=9x²−6x+1

Exercice n°5 (la factorisation, à quoi ça sert ?)

1. Deux cercles C et C’ ont le même centre O. La différence des périmètres de ces deux cercles est de 2 mètres. Calculer la différence R−r de leurs rayons. (rappel : pour un cercle ,

P=2πR

⁾

2. Comment calculer sans calculatrice et astucieusement (détailler au mieux les explications):

A=9,1×33−9,1×23 B=8,32×17+8,32×15−8,32×2

Exercice n°6 (à mi-chemin entre la factorisation et le développement)

Recopier et compléter les égalités suivantes de façon à ce qu’elles soient vraies:

a) 16x²+……….+9=(4x+3)² b) 9x²−………..+4=(3x−2)² c) 16x²+……….+16=(4x+4)² d) 25x²−………+64=(5x−8)² e) 36x²+……….+25=(6x+5)² f) 49x²+………..+36=(7x+6)² g) 64x²+……….+49=(8x+7)² h) 4x²−………...+81=(2x−9)²

i) 4x²+……….+36=(2x+…..)² j) 25x²−………..+25=(…..−5)² k) 25x²−……….+………=(5x−7)² l) ………+……….+64=(2x+8)² m) ………−………+36=(x−…..)² n) 64x²+32x+……..=(…….+……)² o) 81x²−54x+……..=(…….−……)² p) 9x²+12x+4=(…….+2)²

q) 4x²−8x+4=(2x−……)² r) 25x²−30x+9=(….−….)² s) 9x²+24x+16=(…..+….)² t) 16x²−8x+1=(….−….)² u) 9x²−4=(3x+…)(3x−…) v) 16−25x²=(4+….)(4−….) w) 4x²−36=(….+….)(….− ….) x) 49x²−…=(….+3)(…−…)

(5)

Exercice n°7 (lien entre expression littérale et situation concrète)

Dans la figure ci−dessous, qui représente un terrain rectangulaire, on désigne par

x

la distance

OM

.

1. Exprimer l’aire A du terrain en fonction de

x

. 2. Développer A. Quelle expression permet de

calculer A le plus rapidement ?

3. La partie grisée représente une maison. Quelle est la forme de cette maison ? Justifier.

4. Calculer l’aire du jardin en fonction de

x

.

5. Si un côté de la maison mesure

9

m, quelle est l’aire du terrain ? Quelle est l’aire B du jardin ?

M

O 3

10

(6)

Correction

Exercice n°1:

v. -> U.

l. -> P.

m. -> C.

j. -> D.

p. -> R.

u. -> E.

r. -> B.

n. - > A.

q. - > L.

a. -> F.

i. -> G.

f. -> O.

h. -> Q.

b. -> H.

t. -> I.

o. -> T.

c. – J.

e. - > S.

d. - > K.

g. -> N.

Exercice n° 2 :

A=4(x+2)= 4x+8 E=(-2)(2x+1)=-4x-2 I=(x-2)(x+3)= x+x²-6 B=(-4)(x+5)= -4x-20 F=(-5)(3-3x)=15x-15 J=(2x+1)(4x-3)= 8x²-2x-3 C=5(x-2)= 5x-10 G=6(-2-7x)=-42x-12 K=(1-3x)(4-x)= 3x²-13x+4 D=(-3)(x-4)= 12-3x H=(-4)(-x+1)=4x-4 L=(-2-3x)(-5x-1)= 13x+15x²+2 Exercice n°3 :

A=(x+1)(x+2)+(x+2)= 4x+x²+4 B=(x+1)(x+2)+3(x+2)= 6x+x²+8 C=(x+1)(x+2)-3(x+2)= x²-4 D= -(x+1)(x+2)-3(x+2)= -6x-x²-8