Mémoire présenté devant l’ENSAE ParisTech pour l’obtention du diplôme de la filière Actuariat
et l’admission à l’Institut des Actuaires le 07/11/2019
Par :
Florient Aubry
Titre :
Exploitation actuarielle des modèles catastrophes naturelles
pour éclairer et piloter dynamiquement la souscription de risques
Confidentialité : NON 2 OUI (Durée : 2 1 an 2 2 ans) Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
Membres présents du jury de la filière : Entreprise : AXA GIE
- Caroline Hillairet Nom : Emmanuel Delafosse
- Wissal Sabbagh Signature :
Membres présents du jury de l’Institut Directeur du mémoire en entreprise : des Actuaires :
- Romain Nobis Nom : Vincent Féraud & Emmanuel Delafosse
- Florence Picard Signature :
- Yi Rong - Adam Senio
- Alexandre You Autorisation de publication et de
mise en ligne sur un site de
diffusion de documents actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)
Signature du responsable entreprise Secrétariat :
Signature du candidat Bibliothèque :
Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique (ENSAE) 5, avenue Henry Le Chatelier - 91120 PALAISEAU, FRANCE
Abstract
Natural disasters are an increasingly important risk both in terms of death toll and economic losses. To insure such risks, insurers use risk pooling. However, the business is mainly ceded to reinsurers, which benefit from a larger scale of spatial and temporal diversification.
Traditional statistical tools are insufficient to accurately quantify an insurance portfolio’s ex- posure to these perils. That is why actuaries work closely with natural catastrophe modeling experts to define probable synthetic scenarios. The objective of this thesis is to present innovative actuarial developments. The purpose is to implement these functionalities on the AXA Group’s internal Internet platform Aegis, which is a reference to help underwriters select, price, track their accumulations and cover their natural catastrophe activity and more generallyproperty &
casualty.
More precisely, two functionalities are presented : on the one hand a tool for live evaluation of losses as soon as an event occurs, and on the other hand CAT models used to dynamically eval- uate the impact of the underwriting of new policies on the variation in risk appetite consecutive to the evolution of the insured portfolio. Then, taking into account strategic aspects, relevant information is calculated and presented on the extension of insurance retention, on risk transfer in facultative & treaty reinsurance, and on changes in treaty capacity .
The subject is divided into 3 steps. First of all, to be able to produce conservative loss estimates for a specific event occuring very recently, the blocks of traditional CAT models have been mod- ified. A strategy for building flood footprints from satellite images is proposed. A simplified vulnerability module is then calibrated using recent backtest events. A financial module devel- oped under R in an optimized way makes it possible to apply insurance and optional coverage at the risk and policy level and thus determine a gross of treaty loss for each of the buildings located in the footprint.
After these calibration steps, the juxtaposition of functionalities is deployed on two types of floods, a traditional flood (Seine 2016) and a flash flood (Aude 2018) and highlights the interests and limits of the model.
Finally, after the reader has read the content of the CAT models in the first parts, a significant operational development is presented. The AEP and OEP curves are calculated for an increased portfolio of new policies, without having to restart the models for the complete portfolio. This allows the impact of the new business to be dynamically priced in pure and commercial costs form a physical model view without using proxies pricing statistics. After theoretical justifi- cation and taking into account underwriting rules, these costs come from optional or treaty coverage and for the extension of reinsurance treaties.
Keywords : Property and Casualty, Reinsurance, Natural disasters, Floods, Live-Cat, Reinsur- ance costs, Underwriting, Destruction rates, Vulnerability, Financial Coverages,Risk Appetite, Machine Learning,Glm,GBM,Grouped LASSO,Return Period,AEP,OEP.
Résumé
Les catastrophes naturelles constituent un risque de plus en plus important tant en nombre de morts qu’en perte économique. Pour assurer de tels risques les assureurs exploitent la mutuali- sation des risques. Toutefois l’activité est majoritairement cédée aux réassureurs qui bénéficient d’une plus grande échelle de diversification spatiale et temporelle.
Les outils statistiques traditionnels s’avèrent insuffisants pour quantifier précisément l’exposition d’un portefeuille d’assurance à ces périls. C’est pourquoi les actuaires collaborent étroitement avec des experts modélisateurs en catastrophes naturelles pour définir des scénarios synthétiques probables. L’objectif de ce mémoire est de présenter des développements actuariels innovants. La finalité est d’implémenter ces fonctionnalités sur la plateforme Internet Aegis. Solution interne au niveau groupe AXA, Aegis fait référence pour aider les souscripteurs à sélectionner, tarifier, suivre leurs accumulations et couvrir leur activité catastrophe naturelle et plus généralement property & casualty.
Plus précisément deux fonctionnalités sont présentées, d’une part un outil d’évaluation live de pertes sitôt un évènement réalisé, d’autre part les modèles CAT sont exploités pour quantifier dynamiquement l’accroissement d’appétit au risque consécutive à l’évolution du portefeuille d’assurés suite à la souscription de nouvelles polices. Pour éclairer la stratégie de souscription, des informations pertinentes sur l’extension de la rétention assurantielle, sur le transfert de risque en réassurance facultative et traité, et sur l’évolution de la capacité des traités sont calculées.
La présentation s’articule en 3 temps. Tout d’abord, pour parvenir à produire des estimations de pertes prudentes pour un évènement précis mal documenté, puisque très récent, les blocs des modèles CAT traditionnels sont modifiés. Une stratégie de construction d’empreintes inondation à partir d’images satellites est proposée. Un module de vulnérabilité simplifié est ensuite calibré à l’aide d’évènements de backtest récents. Un module financier développé sous R de manière optimisée permet d’appliquer les couvertures d’assurance et de facultatives au niveau risque et police et donc déterminer une perte brute de traité pour chacun des bâtiments situés dans l’empreinte.
Après ces étapes de calibration, la juxtaposition des fonctionnalités est déployée sur deux types d’inondation, une crue traditionnelle (Seine 2016) et une crue rapide (Aude 2018) et met en avant les intérêts et limites de l’outil.
Enfin, après que le lecteur ait pris connaissance du contenu des modèles CAT dans les premières parties, un développement opérationnel d’importance est présenté. Les courbes AEP et OEP sont calculées pour un portefeuille augmenté de nouvelles polices, sans avoir à relancer les mo- dèles pour le portefeuille complet. Cela permet de tarifer de manière dynamique l’impact dunew business en coûts purs et commerciaux, en vision modèle, sans utiliser de proxies statistiques de tarification. Après justification théorique et compte tenu des règles de souscription, ces coûts proviennent de la couverture en facultative ou traité, et de l’extension des traités de réassurance.
Mots-clés : Non vie,Réassurance,Catastrophes naturelles,Inondations,Live-Cat, Coûts de ré- assurance,Souscription,Taux de destructions,Vulnérabilité,Couvertures financières,Appétit au risque,Machine Learning,Glm,GBM,Lasso groupé,Période de retour,AEP,OEP.
Remerciements
Ce mémoire constitue l’aboutissement d’une formation d’actuaire ingénieur de l’ENSAE et l’Ecole Centrale de Marseille et d’une année de travail parmi l’équipe Data Analytics, Actuarial and Underwriting solutions.
Je tiens à remercier Vincent Féraud, tuteur de mémoire pour m’avoir permis de réaliser un projet en lien avec des problématiques tant passionnantes qu’innovantes ainsi que pour son encadrement tout au long des développements. Je remercie aussi Emmanuel Delafosse pour ses relectures attentives, puis tous les membres de l’équipe qui ont partagé leur temps, leur expérience, leur expertise et leurs conseils sur les thématiques d’intérêt.
Je remercie également les professeurs Renaud Bourlès et Dominique Henriet de l’Ecole Centrale m’ayant orienté vers la formation d’actuaire via le double diplôme ENSAE, ainsi que toutes les personnes de mon entourage qui ont pu apporter, de près ou de loin, ou bien leurs connaissances ou bien leur soutien.
Executive Summary
The essence of insurance companies is to accept risk in return for the payment of a premium. Although insurers have equity capital to absorb the volatility of underwriting results, they remain exposed to a probability of ruin. The stakeholders in the insurance business tolerate more or less such risk appetite. Prudential regulation, which represents the interests of consumers, require equity capital to absorb the sum of annual losses that may occur over the next 200 years.
Insurers can then define a risk retention and transfer the surplus to reinsurers in order to reduce their capital exposure and therefore the exposure of their shareholders. To determine the limit of coverage for catastrophic events, the insurer is more particularly interested in the annual loss curves generated by the largest extreme event in a year.
However, natural disaster phenomena are not well represented by data samples. This prevents the use of traditional statistical results. Indeed, these are infrequent events oc- curring over large spatial areas and sometimes very destructive. Insurers may decide to exploit the financial results of vendor models. They may also decide to build disaster mod- els to define catalogues of peril scenarios based on the random occurrence of underlying physical events.
In this context, the objective of this thesis is to develop the actuarial information that can be obtained from such models by insisting on the automation of such productions on the internal Aegis platform. The aim is to offer underwriters and top managers of AXA Group local entities as much quantitative information as possible to help them manage their activities. To do this, first of all, it is necessary to modify the blocks of the CAT models to propose a prudent, simple and coherent model to evaluate the losses of an event as soon as it occurs. Secondly, to illustrate the usefulness of a high-performance and accurate CAT model, the outputs are formatted to dynamically assess the impact of underwriting a new activity on pure and commercial treaty costs and the evolution of subsequent retention.
Figure 1 – Synthesis on the use of CAT models
Resolution approach - development of the live assess- ment tool
To begin, the paper comes back to the notion of insurable risk and questions this notion in the particular case of natural disasters. This risk is presented and analyzed from a macroscopic point of view. To shed light on the developments, emphasis is placed on the physical characteristics underlying the flood risk.
The actuarial approach to deal with CAT peril is presented. First of all, by emphasizing why a historical or statistical approach is not sufficient. Then by justifying the interest in developing CAT models and presenting the various modules (exposure, physical hazard, vulnerability, financial conditions) as well as the traditional and innovative inputs and outputs. The limitations and the need to develop tools specific to the live-cat are also highlighted in the brief.
In a second step, the modification of the CAT modules is detailled. Starting with the physical hazard for which a strategy for generating flood event footprints from incomplete satellite images is presented. A hydraulic model developed and calibrated in collaboration with natural disaster modelers allows the footprint to be reconstructed and a height of water above the ground to be defined in each surface element. Although the results are already relevant, one strategy considered to capture secondary hazards was to cross- reference the extent of the polygon containing the reconstructed footprint with the risk maps of the affected region.
Executive Summary
Figure 2 – Mingling between geocoded portfolio and flood footprint
The vulnerability module allows to associate the intensity of the physical event and the exposure of the insured assets with an economic destruction rate. By defining frequency as the probability of a property claim in the flood footprint and severity as a destruction rate knowing claim, it is possible to use a standard statistical approach of frequency- severity type. Such a module is calibrated on the basis of claims from a major Seine flood event using glm statistical tool. To rationalize the production of these models, the thesis presents and compares techniques for selecting explanatory variables and defining risk classes from statistical science or machine learning. In addition, an automated process is provided to test different distributions for the residues of a glm through the Tweedie family particularly known for the distribution of the same name.
The resulting vulnerability grid is mainly used to guide the selection and addition of relevant macroscopic variables to the Europe Flood internal model in order to obtain a set of vulnerability curves which are consistent with the accuracy of flood footprints. This internal model is more complete because it has been calibrated using a data history of about ten years as well as valuesa priori provided by an AXA Group subsidiary specialized in engineering studies and therefore legitimate to specify the behavior of buildings in branches of activity for which the data history is not deep enough.
Figure 3 – Presentation of the vulnerability model used
The financial guarantee module is introduced using a presentation of the reinsurance risk transfer tool. There are two forms of contracts, treaties for risk groups and faculta- tive contracts for specific risks. Among the products, the distinction between linear risk transfer via proportional reinsurance and non-linear risk transfer via non-proportional reinsurance is essential. In addition, since a reinsurer must fight against moral hazard and anti-selection phenomenon, there are various benefit programs that an insurer may be offered. Once the major products are known, the thesis presents the practical imple- mentation of a module for calculating insurance and optional financial guarantees. The tool is developed on R and makes the most of the optimized data structuresdata table, as well as the parallel calculation to produce results quickly for the affected sub-portfolio.
At the end of the module, losses are net of facultatives and gross of treaties.
Results obtained and applications
Application of the live-cat model to a flash flood case (Aude 2018) and a classic overflow (Seine 2016)
The model developed above is tested on two recent events, each with its own specificities.
Using the vulnerability module calibrated in the previous section, physical considerations and expert adjustment results are applied to the vulnerability curves of the internal model.
At the end of the procedure, the losses are underestimated for flash-flood events. In particular, the losses reported for residential activity are less than what was constated.
This is due to an initial very incomplete satellite footprint, consequence of a small number of satellite passes during the event to enrich the data. In the case of river overflow flooding following a long rainy period, the study highlights that the result is explained by a few sites that are exposed, vulnerable and bordering areas of high physical risk. In both cases the result produced is used, on the one hand by orienting the work of claims and fraud management, and on the other hand by proposing an estimate of losses on a reasonable mesoscopic scale. This tool could be also used to trigger parametric prepayment waiting for a proper damage evaluation.
Figure 4 – Result for Aude 2018 event Figure 5 – Result for Seine 2016 event
Executive Summary
Development of a tool to quantify the impact of a new activity
The outputs of a CAT model are the AEP and OEP curves which give the cumulative annual loss and the maximum annual loss for a given return period. The actuary may shock the calculation assumptions to see the impact on these curves. Another operation consists in defining risk maps based on the physical hazard module or maps relating to losses generated by the model. More specifically, capacity maps indicate in which regions it is still possible to underwrite while respecting the given reinsurance treaty structure.
A further step forward is to directly assess the impact of underwriting a new activity on the AEP and OEP curves, then output the relevant actuarial indicators. This is what is presented in the brief.
Actuarial reflection on the advanced use of CAT models
Without changing the hedging strategy, underwriting a new activity generally introduces:
• Capital costs materialized in the Solvency 2 regime by moving the point AEP200.
• Additional reinsurance costs for additional use of the treaty.
• Additional treaty costs for capacity expansion.
• Facultative reinsurance costs if certain major risks of the business are covered.
Each time the cost comes from the difference between the risk premium paid and the pure model premium. In the case of capital, the risk is materialized by a cost of capital.
In the case of reinsurance it is materialized by the difference between called commercial premium and internal pure premium.
Giving itself all the degrees of freedom to set the hedging and retention strategy, and starting from the notion of risk appetite of the insurance company materialized by a tolerated probability of ruin, the theoretical results suggest that it is possible to compare global strategies by the financial indicator of the return on equity.
Figure 6 – Illustration of the parameters influencing the RoE
As part of AXA’s activities, the entities set a risk retention threshold above which any loss due to a natural disaster is capped. Following the underwriting of new activity, the knowledge of the variation of OEP200 point allows to know the extension of the capacity of the treaty. The additional reinsurance costs are calculated as a pure model premium and then as a commercial premium by a proxy. Retention increases in the same way and introduces some additional capital cost. The remaining degree of freedom is therefore the choice between facultative and treaty. This question is complex because it’s not only a matter of costs, since according to this aspect a facultative is generally to be avoided because it is more expensive since it is less mutualized and mutualizable. Thus, comparing two strategies is like comparing programs with different facultative programs.
Tool development
Given the development of the big data tools, it is now possible to define catalogues of stochastic events affecting each cell gridding a country. With objects giving for high resolution elementary cells (25m*25m) a list of events and physical hazard intensity, it is possible to calculate the impact of any site of the new activity on the events constituting the scenario catalogue. Then, by using an annual event table, manufactured by first drawing a certain number of events per year from the stochastic catalogue, it is possible to quantify the impact on the AEP and OEP curves and thus produce the previous analysis in a dynamic way.
The tool developed proposes to visualize the key information of the new business and then the pure and commercial impact on reinsurance. For the facultative part, the underwritter can upload portfolios with a given strategy but also view the pure premium of the different tranches at policy and site level to quantify whether or not he is doing quality business.
The development was conducted for the impact of a single-peril guarantee, storms, on a portfolio exposed to muti-peril, mainly storms and earthquakes. The earthquake events are provided in an additional table which is taken into account when assessing the costs of the treaty. However, the given values only concern the use of these covers for storms.
Future development will consist in developing the tool for multi-peril underwriting and then generalizing it to AXA entities interested in pure physical pricing without any pricing statistics.
Executive Summary
Figure 7 – Implementation of a dynamic pricing tool for reinsurance and capital costs in pure physical model vision
Note de Synthèse
Contexte et problématique de l’étude
L’essence des compagnies d’assurance est d’accepter du risque en contrepartie du paie- ment d’une prime. Bien que disposant de fonds propres pour absorber la volatilité des résultats techniques les assureurs restent exposés à une probabilité de ruine. Les parties prenantes de l’activité d’assurance tolèrent plus ou moins une telle appétence au risque.
La réglementation prudentielle européenne, qui représente les intérêts de consommateurs, exige de disposer de fonds propres pour absorber la somme des pertes annuelles susceptible de survenir au cours des 200 prochaines années.
Les assureurs peuvent alors définir une rétention de risque puis transférer le surplus aux ré- assureurs afin de moins exposer leurs capitaux et donc leurs actionnaires. Pour déterminer la limite de la couverture d’évènements catastrophes, l’assureur s’intéresse plus particu- lièrement aux courbes des pertes annuelles engendrées par le plus important évènement extrême sur une année.
Toutefois, les phénomènes catastrophes naturelles ne sont pas bien représentés par des échantillons de données ce qui empêche d’exploiter les résultats statistiques traditionnels.
En effet, ce sont des évènements peu fréquents survenant sur de larges étendues spa- tiales et parfois très destructeurs. Les assureurs peuvent décider d’exploiter les résultats financiers de modèles vendeurs. Ils peuvent également décider de construire des modèles catastrophes permettant de définir des catalogues de scénarios par péril à partir de la réalisation aléatoire d’évènements physiques sous-jacents.
Dans ce contexte, l’objectif de ce mémoire est de développer les informations actuarielles que permettent d’obtenir de tels modèles en insistant sur l’automatisation ces productions sur la plateforme interne Aegis. La finalité est d’offrir aux souscripteurs et au top mana- gement des entités locales du groupe AXA le maximum d’informations quantitatives pour aider au pilotage des activités. Pour cela, dans un premier temps, il s’agit de modifier les blocs des modèles CAT pour proposer un modèle prudent, simple et cohérent d’évaluation des pertes d’un évènement sitôt sa réalisation. Deuxièmement, pour illustrer l’utilité d’un modèle CAT performant et granulaire, les entrées et sorties des modules sont mises en
forme afin d’évaluer dynamiquement l’impact de la souscription d’une nouvelle activité sur les coûts de traité pur et commercial et l’évolution de la rétention consécutive.
Figure 8 – Synthèse sur l’utilisation des modèles CAT
Démarche de résolution - développement de l’outil d’éva- luation live
Pour commencer, le mémoire revient sur la notion de risque assurable et interroge cette notion dans le cas particulier des catastrophes naturelles qui sont présentées et analysées d’un point de vue macroscopique. Dans le but d’éclairer les développements du mémoire, l’accent est mis sur les caractéristiques physiques sous-jacentes au péril inondation.
L’approche actuarielle pour traiter le péril CAT est présentée. Tout d’abord en soulignant pourquoi une approche historique ou statistique n’est pas suffisante. Puis en justifiant l’intérêt de développer des modèles CAT et en présentant les divers modules (exposition, aléa physique, vulnérabilité, conditions financières) ainsi que les inputs et outputs tant traditionnels qu’innovants. Les limites et la nécessité de développer des outils spécifiques au live-cat sont également soulignés.
Dans un second temps, les modules CAT sont modifiés. A commencer par l’aléa physique pour lequel une stratégie de génération des empreintes d’évènements inondation à partir d’images satellites lacunaires est présentée. Un modèle hydraulique développé et calibré en collaboration avec des modélisateurs en catastrophes naturelles permet de reconstruire l’empreinte et définir une hauteur d’eau par rapport au sol en chaque élément de surface.
Bien que les résultats soient déjà pertinents, une stratégie envisagée pour capter les aléas
Note de Synthèse
secondaires fut de croiser l’étendue du polygone contenant l’empreinte reconstituée avec les cartes de risques de la région affectée.
Figure 9 – Croisement entre portefeuille géocodé et empreinte inondation
Le module de vulnérabilité permet d’associer à l’intensité de l’évènement physique et à l’exposition des biens assurés un taux de destruction économique. En définissant la fré- quence comme la probabilité declaimd’un bien dans l’empreinte inondation, et la sévérité comme un taux de destruction sachant claim, il est possible d’utiliser une approche sta- tistique usuelle de type fréquence-sévérité. Un tel module est calibré à l’aide de l’outil glm sur les sinistres d’un évènement inondation majeur de la Seine. Pour rationaliser la production de modèles glm, le mémoire présente et compare des techniques de sélection de variables explicatives et de formations de classes de risques issues de la science statis- tique ou du machine learning. De plus un procédé automatisable est donné pour tester différentes distributions pour les résidus au travers de la famille Tweedie particulièrement connue pour la distribution du même nom.
La grille de vulnérabilité obtenue est principalement utilisée afin d’orienter la sélection et l’ajout de variables macroscopiques pertinentes au modèle interneEurope Flood afin d’ob- tenir un jeu de courbes de vulnérabilités en adéquation avec la précision des empreintes inondations. Ce modèle interne est plus complet car il a été calibré en utilisant un histo- rique de données d’une dizaine d’années ainsi que des valeurs a priori, fournies par une filiale du groupe AXA spécialisée dans la réalisation d’études d’ingénierie et donc légi- time pour spécifier le comportement des bâtiments de branches d’activités pour lesquels l’historique de données n’est pas assez profond.
Figure 10 – Présentation du modèle de vulnérabilité utilisé
Le module de garanties financières est introduit à l’aide d’une présentation de l’outil de transfert de risque réassurantiel. Il existe deux formes de contrats, les traités pour des groupes de risques et les facultatives pour des risques précis. Parmi les produits, la distinction entre transfert de risque linéaire via la réassurance proportionnelle et transfert de risque non linéaire via la réassurance non proportionnelle est essentielle. De plus, puisqu’un réassureur doit lutter contre les phénomènes d’aléa moral et d’antisélection il existe différents programmes d’indemnités qu’un assureur peut se voir proposer. Une fois les grands produits connus, le mémoire présente l’implémentation pratique d’un module de calcul des garanties financières d’assurance et de facultatives. L’outil est développé sur R et exploite au maximum les structures de données optimisées data table, ainsi que le calcul parallélisé afin de produire des résultats rapidement pour le sous portefeuille sinistré. En sortie du module les pertes sont nettes de conditions facultatives et brutes de traité.
Résultats obtenus et applications
Application du modèle live-cat à un cas de flash flood (Aude 2018) et un débordement classique (Seine 2016)
Le modèle développé ci-dessus est testé sur deux évènements récents ayant chacun ses spécificités. A l’aide du module de vulnérabilité calibré dans la section précédente, des considérations physiques et des résultats d’experts, des ajustements sont opérés sur les courbes de vulnérabilité du modèle interne. En fin de procédure les pertes sont sous esti- mées pour l’évènement de typeflash flood. Plus particulièrement les pertes annoncées pour l’activité résidentielle sont moindres que ce qui fut constaté. Cela est dû à une empreinte satellite initiale très lacunaire du fait d’un faible nombre de passages du satellite au cours de l’évènement pour enrichir les données. Dans le cas de l’inondation par débordement de rivière consécutif à une longue période de pluies, l’étude met en avant à quel point le résultat est expliqué par quelques sites à la fois exposés, vulnérables et en bordure de zone de risque physique élevé. Dans les deux cas le résultat produit remplit son office, d’une
Note de Synthèse
part en orientant les travaux de gestion des sinistres, de prépaiement paramétrique, de détection de fraude et d’autre part en proposant une estimation des pertes à une échelle mésoscopique raisonnable.
Figure 11 – Résultat pour l’évènement Aude 2018
Figure 12 – Résultat pour l’évènement Seine 2016
Développement d’un outil de quantification de l’impact d’une nouvelle activité
Lesoutputsd’un modèle CAT sont les courbes AEP et OEP qui donnent la perte annuelle cumulée et la perte annuelle maximale pour une période de retour donnée. L’actuaire peut choquer les hypothèses de calcul pour voir l’impact sur ces courbes. Une autre exploitation consiste à définir des cartes de risque basées sur le module d’aléa physique ou encore des cartes d’expositions relatives aux pertes générées par le modèle. Plus finement, des cartes de capacité permettent d’indiquer dans quelles régions il est possible d’encore souscrire sans dépasser la capacité de la structure de traité de réassurance donnée. Une avancé supplémentaire sur ce sujet est d’évaluer directement l’impact de la souscription d’une nouvelle activité sur les courbes AEP et OEP puis sortir les indicateurs actuariels pertinents. C’est ce qui est présenté dans le mémoire.
Réflexion actuarielle sur l’utilisation avancée des modèles CAT
Sans changer de stratégie de couverture, souscrire une nouvelle activité introduit d’une manière générale
• Des coûts de capital matérialisés dans le régime Solvabilité 2 par le déplacement du point AEP200.
• Des coûts de réassurance supplémentaires au titre de l’utilisation additionnelle du traité.
• Des coûts de traité supplémentaires au titre de l’extension de capacité.
• Des coûts de réassurance de type facultatif si certains grands risques de l’activité sont couverts.
A chaque fois le coût vient de la différence entre prime de risque payée et prime pure modèle. Dans le cas du capital la prime de risque est matérialisé par un coût du capital.
Dans le cas de la réassurance par la différence entre prime commerciale appelée et prime pure interne.
Se donnant tous les degrés de liberté pour fixer la stratégie de couverture et de rétention, et en partant de la notion d’appétence au risque de la compagnie d’assurance matérialisée par une probabilité de ruine tolérée, les résultats théoriques suggèrent qu’il est possible de comparer des stratégies globales par l’indicateur financier du return on equity.
Figure 13 – Illustration des paramètres influant le RoE
Dans le cadre des activités d’AXA, les entités fixent une rétention du risque matérialisée par un seuil à partir duquel toute perte au titre d’une catastrophe naturelle est écrêtée.
Suite à la souscription de nouvelle activité, la variation du point OEP200 permet de connaître l’extension de capacité du traité. Les coûts de réassurance supplémentaires se calculent en prime pure modèle puis en prime commerciale par un proxy. De la même manière, la rétention augmente et introduit un certain coût de capital supplémentaire. Le degré de liberté restant est donc le choix entre facultative et traité qui ne se règle pas en ne considérant que les coûts, puisque selon cet aspect une facultative est en général à éviter car plus chère puisque moins mutualisée et mutualisable. Ainsi la stratégie de comparaison de deux stratégies revient à comparer des programmes de facultatives différents.
Développement de l’outil
Compte tenu du développement des outils de big data il est maintenant possible de dé- finir des catalogues d’évènements affectant chaque cellule quadrillant un pays. Disposant d’objets donnant pour des cellules élémentaires à forte résolution (25m*25m) une liste d’évènements et d’intensité d’aléa physique, il est possible de calculer l’impact de n’im- porte quel site de la nouvelle activité sur les évènements constitutifs du catalogue de scénarios. Puis, en travaillant avec une table d’évènements annuels fabriquée en tirant au préalable un certain nombre d’évènements par année dans le catalogue stochastique, il est possible de quantifier l’impact sur les courbes AEP et OEP et donc produire l’analyse précédente de manière dynamique.
Note de Synthèse
Le module développé propose de visualiser les informations clées du new business puis l’impact pur et commercial sur la réassurance. Pour la partie facultative le souscripteur peut téléverser des portefeuilles avec une stratégie donnée mais aussi visualiser la prime pure des différentes tranches au niveau police et site pour quantifier s’il fait des affaires de qualité ou non.
Le développement a été mené pour l’impact d’une garantie mono-péril, les tempêtes, sur un portefeuille exposé à du muti-péril, principalement les tempêtes et séismes. L’exposition aux séismes est renseignée dans une table annexe prise en compte lors de l’évaluation des coûts du traité. Cependant les valeurs données concernent uniquement l’utilisation de ces couvertures au titre des tempêtes. Un développement futur consistera à développer l’outil pour de la souscription multi-péril puis à le généraliser pour les entités d’AXA intéressées tant par la tarification physique pure sans proxies statistiques de tarification que par des outils groupes de qualité.
Figure 14 – Implémentation d’un outil de tarification dynamique de coûts de réassurance et de capital en vision modèle physique pur
Table des matières
Remerciements i
Executive Summary iii
Note de Synthèse xi
Introduction 1
1 Catastrophes naturelles et compagnies d’assurance 3 1.1 L’équipeData Analytics, Actuarial and Underwriting Solutions du Groupe
AXA . . . 3 1.1.1 Le Groupe AXA . . . 3 1.1.2 L’équipe Data Analytics, Actuarial and Underwriting Solutions . . . 4 1.2 Le risque catastrophes naturelles . . . 5 1.2.1 L’activité d’une assurance est de couvrir les risques . . . 5 1.2.2 Le risque catastrophe naturelle, un risque singulier . . . 6 1.2.3 Un risque de plus en plus présent . . . 7 1.3 Les inondations : un sous-risque particulier, difficile à modéliser . . . 10
1.3.1 Caractérisation du risque inondation, mesure de l’intensité, de l’auto- protection et l’auto-assurance . . . 10 1.3.2 Paramètres physiques pour la modélisation d’une inondation . . . . 11 2 Modélisation physique des catastrophes naturelles 15 2.1 Une approche historique et statistique limitée . . . 15 2.2 Modèles CAT . . . 18 2.2.1 Le module physique . . . 18 2.2.2 Le module d’exposition . . . 20 2.2.3 Le module de vulnérabilité . . . 21 2.2.4 Le module financier . . . 23 2.2.5 Les sorties du modèle . . . 24 2.3 Limite des modèles CAT . . . 26
2.3.1 Limites sur conditions d’utilisation . . . 26 2.3.2 Approche live-cat . . . 26 2.3.3 Intérêt du live-cat . . . 27 3 Module physique de modélisation postérieure à l’évènement inondation 29 3.1 Création de l’empreinte physique à partir des données satellite . . . 30 3.1.1 Détermination du profil . . . 30 3.1.2 Modélisation de l’inondation . . . 31 3.2 Comparaison historique et à d’autres travaux . . . 33 3.3 Croisement avec claims historiques . . . 34
4 Module vulnérabilité 37
4.1 Stratégie générale : modélisation de la vulnérabilité . . . 38 4.1.1 Sélection de variables explicatives . . . 38 4.1.2 Classification de variables . . . 41 4.1.3 Outils statistiques utilisés pour la modélisation . . . 43 4.1.4 Automatiser la sélection de glm au travers de la famille Tweedie . . 44 4.1.5 Validation de modèle . . . 47 4.2 Application aux données France 2016 . . . 51 4.2.1 Ajout de variables et exemple de discrétisation . . . 51 4.2.2 Sélection des variables les plus importantes . . . 53 4.2.3 Présentation de modèles et discussion . . . 55 4.3 Développement d’un modèle de vulnérabilité général simplifié à partir du
modèle interne . . . 57 5 La réassurance, l’outil de transfert de risque adapté à l’assurance. 61 5.1 La réassurance, un outil de Risk Management . . . 61 5.1.1 Avantages de la réassurance . . . 62 5.1.2 Format des garanties financières . . . 63 5.2 Réassurance proportionnelle . . . 65 5.3 Réassurance non proportionnelle . . . 68 5.4 Application aux CAT NAT . . . 70 6 Implémentation d’un module de calcul financier multi garanties 73 7 Modélisation live-cat avec application aux évènements Aude 2018 et
Seine 2016 77
7.1 Les évènements de backtest . . . 77 7.2 Développement général du modèle . . . 80 7.3 Ajustements pour la LOB résidentielle . . . 81 7.3.1 Justification du protocole . . . 81 7.3.2 Protocole de définition des taux de destruction pour les biens en
étage supérieur . . . 82 7.3.3 Modification pour les occupations "immeubles" . . . 83 7.4 Ajustements pour la LOB industrielle . . . 85 7.4.1 Correction de la définition préalable des classes de risque . . . 85 7.4.2 Modification des classes de risque élevées . . . 85
Table des matières
7.5 Présentation et discussion des résultats finaux . . . 88 7.5.1 Discussion pour l’évènement Aude 2018 . . . 89 7.5.2 Discussion pour l’évènement Seine 2016 . . . 90 7.5.3 Intérêt du modèle proposé pour les souscripteurs et letop management 92 7.6 Sensibilité de la modélisation . . . 93 7.6.1 Protocole de test . . . 94 7.6.2 Présentation des résultats . . . 95 7.6.3 Analyse . . . 102 7.6.4 Stratégie pour l’amélioration et l’automatisation du procédé . . . . 104 8 Utilisation des modèles CAT pour la production d’indicateurs actuariels107
8.1 Calcul d’un SCR à partir des courbes AEP et OEP issues de l’event loss table . . . 108 8.1.1 Réglementation prudentielle et modèle interne . . . 108 8.1.2 Calcul pratique . . . 109 8.2 De la notion d’aversion au risque à la notion de couverture de réassurance
optimale . . . 111 8.2.1 Définition d’une appétence au risque et rétention de risque . . . 111 8.2.2 Coûts d’une stratégie de couverture . . . 114 8.3 Optimisation de la structure de réassurance d’un portefeuille . . . 116 9 Utilisation des modèles CAT pour piloter l’activité de souscription 119
9.1 Impact marginal d’un site ou d’une police sur la VaR de la perte annuelle maximale d’un portefeuille d’assurés . . . 120 9.2 Tarification dynamique complète et aide au choix de couverture . . . 121 9.2.1 Présentation des coûts de couverture à appétence fixée . . . 121 9.2.2 Aide de choix de couverture . . . 123 9.2.3 Key Performance Indicators . . . 124 9.3 Présentation de la plateforme shiny. . . 125
Conclusion 127
Bibliographie 129
Glossaire 133
A Influence de l’exposition dans une régression 141 B Preuve de l’équivalence entre les définitions de l’indice de Gini 145 C Impact d’un programme de réassurance sur le SCR catastrophes natu-
relles 147
Introduction
Les activités d’épargne devenant moins attractive, l’assurance des biens et des personnes tend à redevenir le cœur de métier des assureurs. Parmi les risques couverts, le péril catastrophes naturelles est singulier. Omettant des discussions relatives au dérèglement climatique, le manque de données pour quantifier ces évènements rares, parfois sévères et survenant pour des groupes d’assurés entraîne une forte session du risque aux réassureurs.
Pour le marché français le taux de session est d’environ 60% selon le rapport de l’ACPR (2017).
Garantie obligatoire lors de la vente de polices de type propriété, être en mesure de tarifer techniquement en fonction de l’exposition permettrait, d’une part de proposer des primes en adéquation avec les risques des polices et d’autre part réduire ses coûts de réassurance en réassurant uniquement ce qui dépasse l’appétence au risque définie par le top mana- gement. C’est pourquoi les assureurs peuvent décider acheter auprès de spécialistes des informations relatives à leur exposition, les principaux étant AIR, RMS, EQE. Toutefois les modèles proposés sont des boites noires, à partir du portefeuille d’assurés le vendeur de modèle donne uniquement les valeurs financières en sortie de modèle à échelle plus ou moins précise. Cela est suffisant pour des activités de risk management, mais ne pas connaître les évènements considérés et la vulnérabilité des biens ne laisse pas de degrés de liberté pour innover dans le domaine.
Au cours des dernières années AXA s’est doté de modèles internes pour les principaux périls menaçant ses entités principales, et l’équipe Data Analytics, Actuarial and Under- writing Solutions a pour mandat de les développer pour aider au mieux les souscripteurs, informer le top management et au final servir les clients. Au travers ce mémoire les outils traditionnels sont transformés pour permettre de produire des évaluations des pertes dans un délai de maximum 48h après un évènement, nommé live-cat ou fast-cat. Aborder ce sujet permet de présenter dans le détail un modèle CAT adapté au contexte. Ces modèles sont ensuite exploités à l’aide de techniques de big data servant la production réfléchie d’indicateurs actuariels pour tarifer dynamiquement les coûts de rétention, de réassurance et de capital de nouvelle activité.
Pour parvenir à cet objectif, le lecteur trouvera dans les chapitres 1 et 2 plus de détails
sur la notion de catastrophe naturelle et une présentation rapide de leur traitement en assurance à l’aide de modèles CAT.
Les chapitres 3, 4, 6 présentent les modules CAT modifiés pour s’adapter à la spécificité dulive-cat. Le chapitre 5 précède la présentation de l’outil de calcul financier et permet de comprendre la complexité de ce qui est implémenté en présentant la variété de produits de réassurance, expliquant comment ils fonctionnent et pourquoi ils existent. Le chapitre 7 constitue la validation du modèle développé sur deux évènement de backtest.
Enfin les chapitre 8 et 9 présentent, respectivement, une justification théorique sur les indicateurs actuariels à visualiser dans l’optique de comparer 2 stratégies de couverture en réassurance facultative et traité, et l’implémentation concrète sur la plateforme interne au Groupe AXA tant pour évaluer la qualité d’un portefeuille d’une nouvelle activité que la qualité des facultatives qu’il contient.
Avertissement : L’ensemble des données numériques figurant dans ce mémoire ayant été normalisées à des fins de protection de l’information, il est suggéré au lecteur d’apprécier la pertinence de la démarche, plus que les résultats chiffrés.
1
CHAPITRE
Catastrophes naturelles et compagnies d’assurance
Les compagnies d’assurance couvrant des risques non-vie sont soumis au risque de catas- trophes naturelles. Ce risque est un des enjeux des décennies à venir pour le Groupe AXA et sa stratégie industrielle. Au sein du Groupement des Intérêts Economiques, l’équipe Data Analytics, Actuarial and Underwriting Solutions a un rôle clef pour fournir aux souscripteurs et Top Management une vision dynamique de leurs expositions.
Après un questionnement sur la notion de risque et d’assurabilité des catastrophes natu- relles, une étude macroscopique du risque est développée. Le développement se concentre ensuite sur le sous-risque inondation et ses déterminants physiques puisque l’objet d’une grande partie du mémoire est relatif aux inondations.
1.1 L’équipe Data Analytics, Actuarial and Under- writing Solutions du Groupe AXA
1.1.1 Le Groupe AXA
AXA est une compagnie d’assurance internationale française. Aujourd’hui parmi les plus grands assureurs mondiaux, le Groupe s’est formé par une suite de fusions et d’acquisitions de plusieurs compagnies d’assurance dont la plus ancienne existait au XIXe siècle.
L’entreprise est présente dans chacun des grands secteurs de l’assurance, que ce soit de l’assurance non-vie (biens, responsabilité civile, ...), de l’assurance vie (contrats de vie, de décès, d’épargne et de retraite, ...), de la santé & prévoyance, ou encore la réassurance.
Son chiffre d’affaires avoisine cent milliards d’euros sur les six dernières années (102,9Me pour l’exercice 2018) pour un résultat net de l’ordre de cinq milliards. Ces éléments font d’AXA un acteur majeur de l’assurance à échelle d’internationale.
La stratégie du Groupe se développe selon trois axes, présentés par Mr. Buberl dans Stratégie AXA (2018) :
• Le recentrage des activités sur le quart des pays (sur les 62 pays où le Groupe est présent, voir la Figure 1.1) où les neuf dixièmes du résultat sont réalisés. Le reste des entités étant gérées en private equity.
• Une concentration sur les activités pour lesquelles le contact avec les clients est le plus nécessaire (santé, prévoyance, assurance entreprise). Ce sont des secteurs moins affectés par le contexte financier de taux bas qui a un impact sur les activités vie, et où la concurrence est moins intense en comparaison d’activités de vente aux consommateurs (assurance automobile ou multi-risque habitation).
• L’apport de nouveaux services aux clients et tout particulièrement une présence sur les secteurs d’activités associés aux nouvelles pratiques de consommation permises par les plateformes de services.
Figure 1.1 – AXA en 2018 - Un Groupe international localisé dans 62 pays
1.1.2 L’équipe Data Analytics, Actuarial and Underwriting So- lutions
L’équipe Data Analytics, Actuarial and Underwriting Solutions est membre du Groupe- ment des Intérêts Economique d’AXA. Son activité générale est relative aux activités d’assurance non-vie du Groupe, au support et transfert de bonnes pratiques aux entités.
Pour cela, l’équipe se concentre sur des aspects métiers en proposant une plateforme In- ternet aidant les souscripteurs à sélectionner, tarifer, suivre et couvrir les accumulations de risques catastrophes naturelles et plus récemment cybersécurité et P&C général. Les fonctionnalités de la plateforme permettent un pilotage dynamique de l’activité d’assu- rance du Groupe et de réguler l’appétence et le transfert de risque des entités locales au travers d’indicateurs actuariels et de cartes de risques. Pour atteindre ces objectifs, l’équipe utilise son expertise en modélisation pour produire de fines évaluations.
1.2. Le risque catastrophes naturelles
Le lecteur intéressé pourra consulter les travaux des apprentis actuaires qui se sont succé- dés dans l’équipe. Dans le cadre du mémoire traité, les plus importants sont ceux traitant du risque inondation de E. Dadoun (2014) et de H. E. Hassani (2017). Le mémoire de T.
Sermet (2018) est également intéressant puisqu’il propose des techniques pour distribuer le coût de réassurance d’un portefeuille de manière statique.
1.2 Le risque catastrophes naturelles
1.2.1 L’activité d’une assurance est de couvrir les risques
Définition 1 (Risque). Au sens juridique, un risque est un événement éventuel qui peut causer un dommage.
Le plus souvent, le dommage dont il est question peut se rattacher à une perte pécuniaire.
Toutefois, il existe des cas de figure dans lesquels le dommage peut affecter plus que la richesse, par exemple l’état de santé global d’un individu.
Pour proposer une étude quantitative, il est usuel de déterminer un indicateur de criticité du risque.
Définition 2 (Criticité d’un risque). La criticité d’un risque dépend de :
• Sa fréquence de survenance,
• Sa sévérité,
• Sa maîtrise, c’est-à-dire la capacité à le prévenir et à s’en protéger,
• Le nombre ou effectif de sinistrés.
Ces aspects permettent de catégoriser les typologies de risque usuelles. Les plus utilisées sont présentées dans la Table 1.1.
Table 1.1 – Les différentes typologies de risque
Fréquence Sévérité Effectif Maîtrise Attritionels élevé faible unité variable
Graves moyenne moyenne unité variable Atypiques faible élevé unité variable Catastrophiques faible variable groupe variable
L’assurance permet de maîtriser les risques en substituant de la richesse entre les différents états de la nature pouvant survenir.
Définition 3 (Risque assurable). Un risque assurable, est un risque
• Aléatoire,
• Quantifiable,
• Mutualisable,
• Économiquement viable.
L’aspect économiquement viable se réfère d’une part à l’intérêt qu’auront les clients pour tel ou tel produit. Un mécanisme essentiel est qu’ils doivent être plus averses au risque que l’assurance pour accepter de verser une prime de risque plutôt que s’assurer eux même.
D’autre part, l’assureur doit chercher à tarifer ses produits en prenant garde aux pro- blèmes d’anti-sélection et d’aléa moral qui l’affectent et qui peuvent rendre non profitable une activité. L’anti-sélection vient lorsqu’un produit attire une typologie de client indé- sirable pour ce produit. Quant à l’aléa moral, il existe dès qu’un individu change son comportement dès qu’il se sait assuré. Ce peut être avant la survenance du dommage (dit ex ante) ou après (dit ex post).
Enfin la concurrence entre assureurs et plus généralement la loi de l’offre et de la demande sont le dernier aspect qui expliquent le choix de l’assureur de proposer ses services ou non pour couvrir une typologie de risques.
1.2.2 Le risque catastrophe naturelle, un risque singulier
Les catastrophes naturelles (CAT NAT) peuvent avoir plusieurs sources et se distinguent selon leur origine,
• Géologique. Avec par exemple les séismes, les éruptions volcaniques, les glissements de terrain.
• Hydrologique. Qui désignent tous les types d’inondations d’origine naturelle.
• Météorologique. Liées aux vents comme les tempêtes, les ouragans ou cyclones.
• Climatologique. Elles regroupent les phénomènes de sécheresse, de grêle et de feux de forêt.
Définition 4 (Risque catastrophe naturelle). Le risque catastrophe naturelle est difficile à définir univoquement. Il est possible de le définir au sens de,
• L’arrêté de catastrophe naturelle. Mais il n’y en a que dans les pays ayant développés des programmes de couverture des catastrophes naturelles.
• Des normes locales, qui sont inscrites en France dans le code des assurance.
• Des normes prudentielles européennes Solvabilité 2.
• D’un niveau de criticité défini pour une étude à échelle mondiale.
Pour le pilotage des activités mondiales du Groupe AXA, il est plus aisé de retenir le dernier point de définition du risque. Le risque catastrophes naturelles est caractérisé par
• Une sévérité souvent importante que ce soit pour l’intensité de l’évènement ou sa durée. Les CAT NAT peuvent causer d’importants dégâts matériels et pertes humaines.
• Une fréquence peu élevée. Toutefois l’historique récent de données montre une tendance à la hausse du nombre de CAT NAT, principalement pour le risque hy- drologique.
• Un degré demaîtrisepassant par la prévention et la protection variable mais au rôle considérable puisque le nombre de mort par catastrophe naturelle tend à diminuer.
• Un effectif affecté important.
Le risque de catastrophe naturelle est-il un risque assurable ?
1.2. Le risque catastrophes naturelles
• La survenance est bien aléatoire.
• Les pertes sont de plus en plus quantifiables avec l’accroissement des connaissances sur les CAT NAT.
• En revanche le risque n’est pas mutualisable à petite échelle spatiale et temporelle.
Pour qu’il y ait mutualisation il faudrait l’indépendance et l’homogénéité par classe de risque des sites assurés pour appliquer la loi forte des grands nombre. Ce n’est pas le cas puisque les évènements affectent un nombre important de sites. Toutefois à grande échelle spatiale et temporelle (par exemple un continent sur 200 ans) le risque est plutôt mutualisable. Cela souligne l’intérêt de diversifier la localisation des sites assurés, à la fois en qualité et quantité. Cela souligne également l’essence du coeur de métier des compagnies de réassurance qui profitent d’une diversification internationale.
• L’équilibre de marché pour l’assurance des risques catastrophiques suggère une ac- tivité économiquement viable.
Économiquement le risque catastrophes naturelles n’est pas parfaitement assurable. Au cours de la seconde révolution industrielle, le père de l’organisation scientifique du travail, Henry Ford, disait pourtant "New York n’est pas la création des hommes, mais celle des assureurs." Cette idée souligne l’importance de garanties contre des vagues de destruction dans des pays émergeants et donc l’aspect social de l’assurance catastrophes naturelles dans le sens qu’elle facilite l’élaboration de projets.
1.2.3 Un risque de plus en plus présent
Le risque catastrophes naturelles augmente, comme en témoigne l’analyse du nombre d’évènements depuis 1900 (source : les données de la base de données publique EM-DAT (2018)).
Figure 1.2 – Nombre de catastrophes mondiales par année pour les 5 types de risque les plus représentés
Le constat est une tendance à une augmentation du nombre de sinistres à partir des années 70. A ce stade cette augmentation a de nombreuses explications possibles :
• L’invention des ordinateurs a facilité le stockage de données et le suivi historique.
De la même manière les appareils de mesure se sont perfectionnés et ont été plus largement déployés.
• La croissance de la population mondiale implique un étalement des régions habitées vers des zones plus exposées au risque. De la même manière, et hors tout phénomène d’inflation, la somme assurée par unité de surface a certainement augmenté au cours du temps du fait de l’urbanisation croissante. Et donc ce qui était auparavant non exposé est maintenant retenu comme catastrophe lorsqu’un évènement l’affecte.
• Enfin, le dérèglement climatique n’est pas à exclure.
Pour illustrer l’impact de chaque facteur explicatif il s’agit d’étudier d’une part les sinistres sismologiques et d’autre part les sinistres hydrologiques. Les sinistres sismologiques sont présentés sur la Figure 1.3. L’intervalle de confiance dessiné a été tracé par la méthode LOESS qui sera présentée dans la section 4.1. Dans la mesure où l’effet du dérèglement climatique ne concerne pas la sismologie, l’augmentation du nombre de séismes à partir des années 70 rend compte des 3 premiers points évoqués ci-dessus.
Figure 1.3 – Nombre de sinistres géologiques (séismes) par année
Dans un second temps, l’étude concerne le nombre de sinistres hydrologiques corrigé par le nombre de séismes au court du temps afin de retirer en grande partie les 3 degrés de liberté expliquant la hausse (Figure 1.4). Une première courbe représente le nombre d’inondations sans correction particulière. Il explose à partir des années 70. La deuxième courbe représente ce nombre corrigée du nombre de séismes. La hausse est moins marquée.
La conclusion réside certainement en deux notions.
1.2. Le risque catastrophes naturelles
Figure 1.4 – Nombre de sinistres hydrologiques (inondations) par année
Premièrement un aspect n’a pas été évacué. Les évènements inondations peuvent être res- senti comme mieux maîtrisés (prévention des pluies extrêmes, protection par la construc- tion de digues, l’aménagement de lacs de rétention,...). De plus les populations pourraient s’habituer plus facilement à ces évènements communs qu’aux catastrophes de type tem- pête ou séisme, puisque ces évènements ont d’une manière générale une plus faible période de retour, bien que cela dépende des régions considérées. Deuxièmement le dérèglement climatique peut jouer même si son impact semble limité pour le moment.
La hausse du nombre de catastrophes se traduit en une hausse des pertes en valeur écono- mique et en valeur assurée au cours du temps. La demande mondiale en assurance catas- trophe naturelle est présentée sur la Figure 1.5. La figure montre également la différence entre pertes économiques et pertes assurées entre 1980 et 2018. Le degré de financement par les assurances est ainsi représenté. La lecture précise est difficile, il demeure possible de constater une évolution du ratio au cours du temps. En 2018 la couverture est de 133 milliards de dollars 2016 pour 320 milliards de dommages, soit un ratio de couverture est de 42 %.
Figure 1.5 – Couverture du risque catastrophes naturelles
1.3 Les inondations : un sous-risque particulier, dif- ficile à modéliser
1.3.1 Caractérisation du risque inondation, mesure de l’inten- sité, de l’auto-protection et l’auto-assurance
Un certain nombre d’évènements appartiennent aux risques catastrophiques de type inon- dation. Dans le rapport Flood – an underestimated risk de Swiss Re (2012), neuf types sont identifiés.
• Les débordements de rivières ou inondations fluviales, surviennent lors de la crue d’un cours d’eau qui se répand sur les terrains attenants. Une crue est plutôt rare, longue et coûteuse.
• Les inondations soudaines ou flash-flood, sont la conséquence d’une grande quan- tité de précipitation sur une zone géographique très localisée. Elles sont plutôt fré- quentes, sur une période courte.
• La submersion marine, inonde les terres le long des côtes du fait d’une forte marée, de vent et/ou de pluie.
• La liste comprend également les ruptures de barrage, les tsunamis, les ondes de tempête (inondations après cyclones), la fonte d’embâcles de glace, les remontées de nappe phréatiques.
Les plus modélisées dans un objectif prospectif sont les inondations fluviales. Les autres demeurent à ce jour très difficilement anticipables. Pour ce cas de figure l’analyse de la criticité est la suivante. La sévérité de l’évènement est donnée par la hauteur de déborde- ment ou de manière équivalente, grâce aux courbes de tarage liant le débit de l’écoulement.
La sévérité dépend également de la durée de l’inondation. L’effectif affecté est relatif à l’étendue spatiale de l’évènement. Le degré de maîtrise passe par la protection qui influe sur la probabilité d’être affecté par l’inondation. Pour protéger les biens il est possible de construire des digues, de surélever les bâtiments en les construisant sur pilotis. Le rôle de l’auto-assurance n’est pas non plus à négliger. En limite de zone inondable, il peut être intéressant d’investir dans des matériaux plus résistants pour limiter les pertes lors d’une inondation.
Pour présenter la fréquence d’un évènement inondation (ou en général d’un évènement) l’unité de mesure est la période de retour plutôt que la probabilité de survenance. La notion est équivalente en utilisant pour relation de passage la moyenne d’une loi géométrique.
• Si la probabilité de survenance d’un sinistre dans l’année est p. Alors la variable aléatoire X définissant si un sinistre aura lieu suit une loi de Bernouilli B(p).
• Soit Y la variable aléatoire qui donne le nombre d’années avant qu’un sinistre ait effectivement lieu. Alors Y suit une loi Géométrique G(p). En moyenne, le sinistre arrive après T = 1/p année. T est nommé temps de retour ou période de retour.
Dans le cadre de Solvabilité 2, les activités de gestion des risques se focalisent par définition duSolvency Capital Requirement (SCR)sur les scénarios deux centennaux annuels. Ou de manière équivalente sur le quantile, aussi nommé Value at Risk, à 99,5% des pertes annuelles.
1.3. Les inondations : un sous-risque particulier, difficile à modéliser
Enfin, pour connaître la probabilité de survenance du sinistre au moins une fois sous T années alors il faut chercher à connaître la probabilité que le sinistre n’arrive pas. C’est à dire qu’il y ait 0 réussites dans T épreuves de Bernouilli consécutives. C’est exactement P(Z = 0) pourZ suivant une loi BinomialeB(T, p). Ce qui donneP(Z >1) = 1−(1−p)T. Pour le deux centennal (T = 200 et p= 2001 ), la probabilité de retour sous 200 ans est de 63,3% soit grossièrement 2 chances sur 3.
1.3.2 Paramètres physiques pour la modélisation d’une inonda- tion
Pour modéliser une inondation, les paramètres physiques suivants sont nécessaires :
• Hydrographiques,
• Topographiques,
• Hydrologiques,
• Pluviométriques.
Données hydrographiques
Les données hydrographiques sont d’une part les emplacements des lacs et rivières et d’autre part les territoires constituant leurs bassins versants. Pour l’Europe au sens des 33 membres de l’European Environment Agency (EEA)(qui inclut les membres de l’Union Européenne), il est possible de récupérer ces données dans la Base Ecrins (2018). Plus précisément, chaque bassin versant se divise en sous-bassins versants qui correspondent à la surface d’alimentation des affluents se jetant dans un cours d’eau principal. Ces sous bassins peuvent être sujet aux flash-flood en fonction de caractéristiques présentées dans un document de l’UCAR (2011). Ces caractéristiques sont,
• La taille du bassin, mesurée par son aire A.
• La forme du bassin, mesurée par le périmètreP. Le ratio de circularité (ou quotient isopérimétrique) du bassin est défini par le carré du rapport du rayon du cercle dont l’aire serait égale à A sur le rayon du cercle dont le périmètre serait égal à P : r =
A π P2 4π2
= 4πAP2 . Ce ratio sera important si le bassin est la fois étendu (r croissant en A) et peu allongé (r décroissant enP).
• La densité de drainage, mesurée par la quantité d’affluents du bassin. Ce paramètre est capté par la quantité AL oùL est la longueur cumulée de cours d’eau.
• La pente, mesurée par le dénivelé calculé grâce aux données topographiques.
• La rugosité, qui est influencée par la présence d’obstacles ralentissant les écoulements et augmentant l’infiltration des sols. Pour quantifier la rugosité des sols, une couche supplémentaire d’information est requise et toujours fournie par l’EEA en Europe.
Données topographiques
Les données topographiques enregistrées dans des modèles numériques d’élévation sont également une composante essentielle à la modélisation. Il y a des modèle dits de terrain ou de surface. Dans les deux cas l’altitude est donnée par rapport au niveau de la mer.
Cependant les seconds prennent en compte la hauteur des constructions sur le sol tandis que les premiers excluent les constructions. Puisque les modèles de surface permettent de reconstruire des modèles de terrain, les données brutes sont des modèles numériques d’élévation de surface. A nouveau l’EEA propose une base de données pour toute l’Europe nommée EU-DEM (2017) et construite à partir de plusieurs modèles proposés par la NASA.
D’un point de vue pratique les données sont ce qu’on appelle des rasters, souvent en- registrés sous forme de fichiers .tiff. Pour chaque coordonnées (x, y) est associé une d’information, ici l’altitude du point, donnée dans le système de projection EP SG: 3035 pour le raster EU-DEM (2017).
E. Dadoun (2014) s’est intéressé à comparer la qualité des modèles numériques, en re- marquant des écarts à la réalité du fait de la précision des mesures, des éventuels post- traitement suite à la mesure et de la résolution des fichiers. Toutefois les modèles sont fiables sur la majorité des zones géographiques. Avec parfois des désaccords pour les zones accidentées et donc peu habitées.
Données hydrologiques
Les données hydrologiques sont principalement les hauteurs d’eaux et les débits en divers points des cours d’eau. Ces informations sont liées dans des abaques appelés courbes de tarage.
Ces données permettent d’estimer la fréquence des débordements qui surviennent lorsque les hauteurs d’eau sont élevées. Pour cela il s’agit de calibrer des lois statistiques dans les queues de distribution des hauteurs d’eau et donc calibrer une loi extrême sur les maxima d’une série temporelle de hauteur d’eau.
Pour récupérer ces données il faut des stations de mesure hydrologiques. Et un problème essentiel est le coût, si bien que des pays tels que la France sont quadrillés de stations de mesure (Figure 1.6) tandis que certains membres de l’EEA ne disposent pas d’autant d’installations.
1.3. Les inondations : un sous-risque particulier, difficile à modéliser
Figure 1.6 – Stations de jaugeage hydrométriques en France
Carte réalisée avec la librairieleaflet, données accessibles sur https ://www.data.gouv.fr/fr/datasets/stations-hydrometriques-metropole/
Données pluviométriques
Les données pluviométriques sont bien plus simple d’accès que les données hydrologiques.
Certains modèles inondation utilisent les précipitations comme donnée élémentaire. Elles sont retenues lorsque c’est la seule solution. La récolte de donnés se fait par l’intermédiaire de stations météorologiques. Une approche par relevé satellite est possible mais l’informa- tion est très imprécise comme en témoigne des études antérieures dans l’équipe qui ont conduit à modifier l’approche pour aboutir à ce qui sera présenté dans le chapitre 3.
E. Dadoun (2014) montrait que les flash-flood ont lieu lors de précipitations extrêmes et l’approche par satellite ne fonctionnait que partiellement puisqu’elle ne venait pas capter les informations très locales. Pour cela une étude consistait à compter le nombre d’évè- nements qui étaient expliqués par un dépassement du quantile à 98% de la distribution des précipitations moyennes journalières, sur les 10 jours précédents le sinistre. Dans le cas de données satellites le taux de capture était de 10% contre 60% (voir 70%) avec des stations météorologiques. Il reste toutefois plus efficace de modéliser à partir de données hydrologiques.
