MAP 431, F. Nataf
SUJET DECOMPOSITION DE DOMAINE
On se place tout d’abord en dimension 1 d’espace et sur le segment Ω =]a, b[, on consid`ere le probl`eme
−u00+αu=f (1)
muni de conditions aux limites en a et b de type Dirichlet homog`ene et o`u α est positif et donn´e. On suppose donn´es deux points c et d de ]a, b[ tels que a < c < d < b. On a ainsi la d´ecomposition de domaine Ω =]a, d[∪]c, b[. On propose l’algorithme it´eratif suivant (appel´e algorithme de Schwarz), o`u µ est un r´eel donn´e:
−u000+αu0=f dans ]a, d[
u0(0) = 0, u0(d) =µ puis, pour tout entierp≥1
−u002p−1+αu2p−1=f dans ]c, b[
u2p−1(c) =u2p−2(c), u2p−1(b) = 0 −u002p+αu2p=f dans ]a, d[
u2p(d) =u2p−1(d), u2p(a) = 0
1. En utilisant un sch´ema aux diff´erences finies `a trois points, montrer num´eri- quement que cet algorithme converge, on pourra choisir par exemplea= 0, b= 1,u= sin(x) etf de telle sorte queusoit solution de (1). On prendra
´egalementα= 1 etµ= 0. Faites varierc etdet v´erifiez num´eriquement que le nombre d’it´erations pour arriver `a une pr´ecision donn´ee d´epend de la taille du recouvrementd−c. Qualifier cette d´ependance.
2. on se place dans le cas o`u α= 0. D´emontrer (th´eoriquement) que cette convergence est g´eom´etrique. On pourra pour cela faire la diff´erence entre ulet u.
3. Etendre th´eoriquement cette approche pour une d´ecomposition Ω = (∪Kk=1Ω2k)∪(∪Kk=1Ω2k−1)
o`u les Ωl sont des intervalles ouverts.
4. Etendre cette approche num´eriquement `a la dimension 2. On choisira comme domaine test un rectangle coup´e en deux bandes.
5. On choisit comme terme source f(x1, x2) =
|x|2(|x| −1/2)2 si |x|<1/2 0 si |x|>1/2
avec|x|= (x21+x22)1/2/ Utiliser Freefem++ pour ´etendre cet algorithme
`a un domaine enLd´efini par:
L={(x1, x2)∈R2; x1∈[−l, l], x2∈[0, l]}∪{(x1, x2)∈R2; x1∈[−l,0], x2∈[−l, l]}
On pourra choisirl= 1. V´erifier alors la convergence de cet algorithme.
1
6. Plutˆot que d’´echanger des valeurs de Dirichlet on peut penser ´echanger des valeurs de Fourier, dans le cas de la question 1) on aura alors
−u002p−1+αu2p−1=f dans ]c, b[
u2p−1(c) +γcu02p−1(c) =u2p−2(c)) +γcu02p−2(c), u2p−1(b) = 0 −u002p+αu2p=f dans ]a, d[
u2p(d)) +γdu02p(d) =u2p−1(d) +γdu02p−1(d), u2p(a) = 0
Pour quelle signe deγc et γd cet algorithme est il bien pos´e. V´erifier sa convergence. A t on la mˆeme d´ependance du nombre d’it´erations en la taille du recouvrement? Montrer num´eriquement que l’on peut prendre c=d.
Les questions suivantes sont facultatives.
7. On se place encore dans le cas sans recouvrement mais avec 2 sous- domaines [a, c[ et ]c, b[. Une autre approche est d’´echanger des valeurs de Dirichlet aux it´erations impaires sur ]c, b[ et des valeurs de Neumann aux it´erations paires sur ]a, c[. En faisant varier la position de c, mon- trer que l’algorithme peut converger. Pour le faire converger dans toutes les configurations montrer qu’une relaxation sur les it´erations paires per- met d’assurer la convergence (d’ailleurs en 2 it´erations pour une valeur particuli`ere du param`etre).
8. Etendre cette approche au cas de plusieurs sous domaines sans recouvre- ment.
2
