−u002p−1+αu2p−1=f dans ]c, b[ u2p−1(c) =u2p−2(c), u2p−1(b

MAP 431, F. Nataf nataf@ann.jussieu.fr

SUJET DECOMPOSITION DE DOMAINE

On se place tout d’abord en dimension 1 d’espace et sur le segment Ω =]a, b[, on consid`ere le probl`eme

−u⁰⁰+αu=f (1)

muni de conditions aux limites en a et b de type Dirichlet homog`ene et o`u α est positif et donn´e. On suppose donn´es deux points c et d de ]a, b[ tels que a < c < d < b. On a ainsi la d´ecomposition de domaine Ω =]a, d[∪]c, b[. On propose l’algorithme it´eratif suivant (appel´e algorithme de Schwarz), o`u µ est un r´eel donn´e:

−u⁰⁰₀+αu₀=f dans ]a, d[

u₀(0) = 0, u₀(d) =µ puis, pour tout entierp≥1











−u⁰⁰_2p−1+αu_2p−1=f dans ]c, b[

u_2p−1(c) =u_2p−2(c), u_2p−1(b) = 0 −u⁰⁰_2p+αu2p=f dans ]a, d[

u_2p(d) =u_2p−1(d), u_2p(a) = 0

1. En utilisant un sch´ema aux diff´erences finies `a trois points, montrer num´eri- quement que cet algorithme converge, on pourra choisir par exemplea= 0, b= 1,u= sin(x) etf de telle sorte queusoit solution de (1). On prendra

´

egalementα= 1 etµ= 0. Faites varierc etdet v´erifiez num´eriquement que le nombre d’it´erations pour arriver `a une pr´ecision donn´ee d´epend de la taille du recouvrementd−c. Qualifier cette d´ependance.

2. on se place dans le cas o`u α= 0. D´emontrer (th´eoriquement) que cette convergence est g´eom´etrique. On pourra pour cela faire la diff´erence entre ulet u.

3. Etendre th´eoriquement cette approche pour une d´ecomposition Ω = (∪^K_k=1Ω2k)∪(∪^K_k=1Ω_2k−1)

o`u les Ω_l sont des intervalles ouverts.

4. Etendre cette approche num´eriquement `a la dimension 2. On choisira comme domaine test un rectangle coup´e en deux bandes.

5. On choisit comme terme source f(x1, x2) =

|x|²(|x| −1/2)² si |x|<1/2 0 si |x|>1/2

avec|x|= (x²₁+x²₂)^1/2/ Utiliser Freefem++ pour ´etendre cet algorithme

`

a un domaine enLd´efini par:

L={(x1, x2)∈R²; x1∈[−l, l], x2∈[0, l]}∪{(x1, x2)∈R²; x1∈[−l,0], x2∈[−l, l]}

1

On pourra choisirl= 1. V´erifier alors la convergence de cet algorithme.

6. Plutˆot que d’´echanger des valeurs de Dirichlet on peut penser ´echanger des valeurs de Fourier, dans le cas de la question 1) on aura alors











−u⁰⁰_2p−1+αu2p−1=f dans ]c, b[

u_2p−1(c) +γcu⁰_2p−1(c) =u_2p−2(c)) +γcu⁰_2p−2(c), u_2p−1(b) = 0 −u⁰⁰_2p+αu2p=f dans ]a, d[

u_2p(d)) +γ_du⁰_2p(d) =u_2p−1(d) +γ_du⁰_2p−1(d), u_2p(a) = 0

(2) Pour quelle signe deγc et γd cet algorithme est il bien pos´e. V´erifier sa convergence. A t on la mˆeme d´ependance du nombre d’it´erations en la taille du recouvrement? Montrer num´eriquement que l’on peut prendre c=d.

7. Impl´ementation dans le logiciel FreeFem++

On se place en dimension deux d’espace et on consid`ere le probl`eme:

Trouveru∈H¹(Ω) tel que pour toutv∈H¹(Ω) on ait:

Z

Ω

α u v+∇u∇v= Z

Ω

f v

o`u Ω est un ouvert born´e deR²etf est une fonction donn´ee. Le domaine Ω est d´ecompos´e en deux sous-domaines Ω1 et Ω2tel que: ¯Ω = ¯Ω1∪Ω¯2et Ω1∩Ω1=∅. On note Γ = ¯Ω1∩Ω¯2l’interface entre les deux sous-domaines.

On consid`ere la m´ethode it´erative suivante:

Pour i = 1,2, trouver (uⁿ⁺¹_i , λⁿ⁺¹_i )∈ H¹(Ωi)×L²(Γ) tel que pour tout vi∈H¹(Ωi) on ait:

Z

Ωi

α uⁿ⁺¹_i vi+∇uⁿ⁺¹_i ∇vi+ Z

Γ

γiuⁿ⁺¹_i vi= Z

Ωi

f vi+ Z

Γ

λⁿ_ivi.

et pour toutφ∈L²(Γ) on ait (j= 3−i) Z

Γ

λⁿ⁺¹_i φ= Z

Γ

−λⁿ_jφ+ Z

Γ

γuⁿ_jφ

Montrer que l’algorithme ci-dessus est l’extension naturelle de l’algorithme (2)

Montrer que la forme matricielle est donn´ee par les expressions ci dessous o`u par abus de notation, on note de la mˆeme mani`ere les fonctions ´el´ements finis et le vecteur des degr´es de libert´e correspondants.

K˜1uⁿ⁺¹₁ =f+B₁^Tλⁿ₁ K˜2uⁿ⁺¹₂ =f+B₂^Tλⁿ₂

M_Γλⁿ⁺¹₁ =−M_Γλⁿ₂+ 2γM_ΓB₂uⁿ⁺¹₂ MΓλⁿ⁺¹₂ =−MΓλⁿ₁+ 2γMΓB1uⁿ⁺¹₁

(3)

2

Les matricesB1etB2sont des matrices de restriction (`a coefficients 0 ou 1) Les matrices ˜K1et ˜K2sont donn´ees par

K˜j=αMj+Kj+B_j^T2γ MΓBj,∀j= 1,2. (4) o`u K₁ et K₂ sont les matrices de rigidit´e des sous-domaines, M₁ et M₂ sont les matrices de masse,M_Γ est la matrice de masse de l’interface

(MΓ)ij = Z

Γ

(φiφj),

(5) Les fonctionsφi sont les fonctions de base associ´ees aux degr´es de libert´e ile long de l’interface Γ.

(Difficile) Impl´ementer l’algorithme ci dessus dans FreeFem++. Indica- tion: Comme il n’est pas possible en FreeFem++ de d´efinir des fonc- tions ´el´ements finis sur une fronti`ere d’un sous domaine, on contournera le probl`eme en d´efinissant λ_i comme une fonction ´el´ements finis de Ω_i `a valeurs dansR.

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